三角函数与解三角形高考试题精选
一.解答题(共31小题)
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tanA+tanB)=+.(Ⅰ)证明:a+b=2c;
(Ⅱ)求cosC的最小值.
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=
(a2﹣b2﹣c2).
(Ⅰ)求cosA的值;
(Ⅱ)求sin(2B﹣A)的值.
3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
(Ⅰ)求C;
(Ⅱ)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,sinB=C.(1)求tanC的值;
(2)若a=,求△ABC的面积.
5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.(Ⅰ)证明:sinAsinB=sinC;
(Ⅱ)若b2+c2﹣a2=bc,求tanB.
6.在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.
(1)求BC的长;
(2)求sin2C的值.
7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b﹣c=2,cosA=﹣.
(Ⅰ)求a和sinC的值;
(Ⅱ)求cos(2A+)的值.
8.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量=(a,b)与=(cosA,sinB)平行.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若a=,b=2,求△ABC的面积.
9.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且b=3,c=1,△ABC 的面积为,求cosA与a的值.
10.如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=,EA=2,∠ADC=,∠BEC=.
(Ⅰ)求sin∠CED的值;
(Ⅱ)求BE的长.
11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(Ⅰ)证明:A=2B;
(Ⅱ)若△ABC的面积S=,求角A的大小.
12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,b2﹣a2=c2.(1)求tanC的值;
(2)若△ABC的面积为3,求b的值.
13.在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且a+b+c=8.
(Ⅰ)若a=2,b=,求cosC的值;
(Ⅱ)若sinAcos2+sinBcos2=2sinC,且△ABC的面积S=sinC,求a和b的值.14.△ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.
(Ⅰ)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);
(Ⅱ)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.
15.△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c.
(Ⅰ)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);
(Ⅱ)若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cosB的值.
16.四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.
(1)求C和BD;
(2)求四边形ABCD的面积.
17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cosB;
(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
18.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;
(2)若cosB=,求cosC的值.
19.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.(Ⅰ)证明:B﹣A=;
(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围.
20.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosB=,sin(A+B)=,ac=2,求sinA和c的值.
21.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA.
(Ⅰ)证明:sinB=cosA;
(Ⅱ)若sinC﹣sinAcosB=,且B为钝角,求A,B,C.
22.△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.
(1)求;
(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.
23.已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.
(Ⅰ)若a=b,求cosB;
(Ⅱ)设B=90°,且a=,求△ABC的面积.
24.△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC
(Ⅰ)求.
(Ⅱ)若∠BAC=60°,求∠B.
25.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a﹣c=b,sinB=sinC,(Ⅰ)求cosA的值;
(Ⅱ)求cos(2A﹣)的值.
26.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cosA=,B=A+.(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)求△ABC的面积.
27.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.
(1)若sin(A+)=2cosA,求A的值.
(2)若cosA=,b=3c,求sinC的值.
28.在△ABC中,角A,B,C的对边是a,b,c,已知3acosA=ccosB+bcosC (1)求cosA的值
(2)若a=1,cosB+cosC=,求边c的值.
29.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=a?cosB.(1)求角B的大小;
(2)若b=3,sinC=2sinA,分别求a和c的值.
30.在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.
(Ⅰ)求cosA的值;
(Ⅱ)求c的值.
三角函数与解三角形高考试题精选
参考答案与试题解析
一.解答题(共31小题)
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tanA+tanB)=+.(Ⅰ)证明:a+b=2c;
(Ⅱ)求cosC的最小值.
【解答】解:(Ⅰ)证明:由得:
;
∴两边同乘以cosAcosB得,2(sinAcosB+cosAsinB)=sinA+sinB;
∴2sin(A+B)=sinA+sinB;
即sinA+sinB=2sinC(1);
根据正弦定理,;
∴,带入(1)得:;
∴a+b=2c;
(Ⅱ)a+b=2c;
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=4c2;
∴a2+b2=4c2﹣2ab,且4c2≥4ab,当且仅当a=b时取等号;
又a,b>0;
∴;
∴由余弦定理,=;
∴cosC的最小值为.
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=
(a2﹣b2﹣c2).
(Ⅰ)求cosA的值;
(Ⅱ)求sin(2B﹣A)的值.
【解答】(Ⅰ)解:由,得asinB=bsinA,
又asinA=4bsinB,得4bsinB=asinA,
两式作比得:,∴a=2b.
由,得,
由余弦定理,得;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ),可得,代入asinA=4bsinB,得.由(Ⅰ)知,A为钝角,则B为锐角,
∴.
于是,,
故.
3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
(Ⅰ)求C;
(Ⅱ)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
【解答】解:(Ⅰ)∵在△ABC中,0<C<π,∴sinC≠0
已知等式利用正弦定理化简得:2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,
整理得:2cosCsin(A+B)=sinC,
即2cosCsin(π﹣(A+B))=sinC
2cosCsinC=sinC
∴cosC=,
∴C=;
(Ⅱ)由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab?,
∴(a+b)2﹣3ab=7,
∵S=absinC=ab=,
∴ab=6,
∴(a+b)2﹣18=7,
∴a+b=5,
∴△ABC的周长为5+.
4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,sinB=C.(1)求tanC的值;
(2)若a=,求△ABC的面积.
【解答】解:(1)∵A为三角形的内角,cosA=,
∴sinA==,
又cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC,
整理得:cosC=sinC,
则tanC=;
(2)由tanC=得:cosC====,
∴sinC==,
∴sinB=cosC=,
∵a=,∴由正弦定理=得:c===,
则S
=acsinB=×××=.
△ABC
5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.(Ⅰ)证明:sinAsinB=sinC;
(Ⅱ)若b2+c2﹣a2=bc,求tanB.
【解答】(Ⅰ)证明:在△ABC中,∵+=,
∴由正弦定理得:,
∴=,
∵sin(A+B)=sinC.
∴整理可得:sinAsinB=sinC,
(Ⅱ)解:b2+c2﹣a2=bc,由余弦定理可得cosA=.
sinA=,=
+==1,=,
tanB=4.
6.在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.
(1)求BC的长;
(2)求sin2C的值.
【解答】解:(1)由余弦定理可得:BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7,
所以BC=.
(2)由正弦定理可得:,则sinC===,
∵AB<BC,BC=,AB=2,角A=60°,在三角形ABC中,大角对大边,大边对大角,>2,
∴角C<角A,角C为锐角.sinC>0,cosC>0则cosC===.因此sin2C=2sinCcosC=2×=.
7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b﹣c=2,cosA=﹣.
(Ⅰ)求a和sinC的值;
(Ⅱ)求cos(2A+)的值.
【解答】解:(Ⅰ)在三角形ABC中,由cosA=﹣,可得sinA=,△ABC的面积为3,可得:,
可得bc=24,又b﹣c=2,解得b=6,c=4,由a2=b2+c2﹣2bccosA,可得a=8,,解得sinC=;
(Ⅱ)cos(2A+)=cos2Acos﹣sin2Asin==.
8.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量=(a,b)与=(cosA,sinB)平行.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若a=,b=2,求△ABC的面积.
【解答】解:(Ⅰ)因为向量=(a,b)与=(cosA,sinB)平行,
所以asinB﹣=0,由正弦定理可知:sinAsinB﹣sinBcosA=0,因为sinB ≠0,
所以tanA=,可得A=;
(Ⅱ)a=,b=2,由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA,可得7=4+c2﹣2c,解得c=3,
△ABC的面积为:=.
9.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且b=3,c=1,△ABC 的面积为,求cosA与a的值.
【解答】解:∵b=3,c=1,△ABC的面积为,
∴=,
∴sinA=,
又∵sin2A+cos2A=1
∴cosA=±,
由余弦定理可得a==2或2.
10.如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=,EA=2,∠ADC=,∠BEC=.
(Ⅰ)求sin∠CED的值;
(Ⅱ)求BE的长.
【解答】解:(Ⅰ)设α=∠CED,
在△CDE中,由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD?DEcos∠CDE,
即7=CD2+1+CD,则CD2+CD﹣6=0,
解得CD=2或CD=﹣3,(舍去),
在△CDE中,由正弦定理得,
则sinα=,
即sin∠CED=.
(Ⅱ)由题设知0<α<,由(Ⅰ)知cosα=,
而∠AEB=,
∴cos∠AEB=cos()=cos cosα+sin sinα=,
在Rt△EAB中,cos∠AEB=,
故BE=.
11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(Ⅰ)证明:A=2B;
(Ⅱ)若△ABC的面积S=,求角A的大小.
【解答】(Ⅰ)证明:∵b+c=2acosB,
∴sinB+sinC=2sinAcosB,
∴sinB+sin(A+B)=2sinAcosB
∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB
∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B)
∵A,B是三角形中的角,
∴B=A﹣B,
∴A=2B;
(Ⅱ)解:∵△ABC的面积S=,
∴bcsinA=,
∴2bcsinA=a2,
∴2sinBsinC=sinA=sin2B,
∴sinC=cosB,
∴B+C=90°,或C=B+90°,
∴A=90°或A=45°.
12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,b2﹣a2=c2.(1)求tanC的值;
(2)若△ABC的面积为3,求b的值.
【解答】解:(1)∵A=,∴由余弦定理可得:,∴b2﹣a2=bc﹣c2,
又b2﹣a2=c2.∴bc﹣c2=c2.∴b=c.可得,
∴a2=b2﹣=,即a=.
∴cosC===.
∵C∈(0,π),
∴sinC==.
∴tanC==2.
或由A=,b2﹣a2=c2.
可得:sin2B﹣sin2A=sin2C,
∴sin2B﹣=sin2C,
∴﹣cos2B=sin2C,
∴﹣sin=sin2C,
∴﹣sin=sin2C,
∴sin2C=sin2C,
∴tanC=2.
(2)∵=×=3,
解得c=2.
∴=3.
13.在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且a+b+c=8.
(Ⅰ)若a=2,b=,求cosC的值;
(Ⅱ)若sinAcos2+sinBcos2=2sinC,且△ABC的面积S=sinC,求a和b的值.【解答】解:(Ⅰ)∵a=2,b=,且a+b+c=8,
∴c=8﹣(a+b)=,
∴由余弦定理得:cosC===﹣;
(Ⅱ)由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得:sinA?+sinB?=2sinC,整理得:sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC,
∵sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC,
∴sinA+sinB=3sinC,
利用正弦定理化简得:a+b=3c,
∵a+b+c=8,
∴a+b=6①,
∵S=absinC=sinC,
∴ab=9②,
联立①②解得:a=b=3.
14.△ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.
(Ⅰ)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);
(Ⅱ)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.
【解答】解:(Ⅰ)∵a,b,c成等差数列,
∴2b=a+c,
利用正弦定理化简得:2sinB=sinA+sinC,
∵sinB=sin[π﹣(A+C)]=sin(A+C),
∴sinA+sinC=2sinB=2sin(A+C);
(Ⅱ)∵a,b,c成等比数列,
∴b2=ac,
∴cosB==≥=,
当且仅当a=c时等号成立,
∴cosB的最小值为.
15.△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c.
(Ⅰ)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);(Ⅱ)若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cosB的值.
【解答】解:(Ⅰ)∵a,b,c成等差数列,
∴a+c=2b,
由正弦定理得:sinA+sinC=2sinB,
∵sinB=sin[π﹣(A+C)]=sin(A+C),
则sinA+sinC=2sin(A+C);
(Ⅱ)∵a,b,c成等比数列,
∴b2=ac,
将c=2a代入得:b2=2a2,即b=a,
∴由余弦定理得:cosB===.
16.四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD;
(2)求四边形ABCD的面积.
【解答】解:(1)在△BCD中,BC=3,CD=2,
由余弦定理得:BD2=BC2+CD2﹣2BC?CDcosC=13﹣12cosC①,
在△ABD中,AB=1,DA=2,A+C=π,
由余弦定理得:BD2=AB2+AD2﹣2AB?ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②,由①②得:cosC=,
则C=60°,BD=;
(2)∵cosC=,cosA=﹣,
∴sinC=sinA=,
则S=AB?DAsinA+BC?CDsinC=×1×2×+×3×2×=2.
17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cosB;
(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
【解答】解:(1)sin(A+C)=8sin2,
∴sinB=4(1﹣cosB),
∵sin2B+cos2B=1,
∴16(1﹣cosB)2+cos2B=1,
∴16(1﹣cosB)2+cos2B﹣1=0,
∴16(cosB﹣1)2+(cosB﹣1)(cosB+1)=0,
∴(17cosB﹣15)(cosB﹣1)=0,
∴cosB=;
(2)由(1)可知sinB=,
∵S
=ac?sinB=2,
△ABC
∴ac=,
∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××
=a2+c2﹣15=(a+c)2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4,
∴b=2.
18.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;
(2)若cosB=,求cosC的值.
【解答】(1)证明:∵b+c=2acosB,
∴sinB+sinC=2sinAcosB,
∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B),由A,B∈(0,π),
∴0<A﹣B<π,∴B=A﹣B,或B=π﹣(A﹣B),化为A=2B,或A=π(舍去).∴A=2B.
(II)解:cosB=,∴sinB==.
cosA=cos2B=2cos2B﹣1=,sinA==.
∴cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=.
19.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.(Ⅰ)证明:B﹣A=;
(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)由a=btanA和正弦定理可得==,
∴sinB=cosA,即sinB=sin(+A)
又B为钝角,∴+A∈(,π),
∴B=+A,∴B﹣A=;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知C=π﹣(A+B)=π﹣(A++A)=﹣2A>0,
∴A∈(0,),∴sinA+sinC=sinA+sin(﹣2A)
=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A
=﹣2(sinA﹣)2+,
∵A∈(0,),∴0<sinA<,
∴由二次函数可知<﹣2(sinA﹣)2+≤
∴sinA+sinC的取值范围为(,]
20.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosB=,sin(A+B)=,ac=2,求sinA和c的值.
【解答】解:①因为△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知cosB=,sin(A+B)=,ac=2,所以sinB=,sinAcosB+cosAsinB=,
所以sinA+cosA=①,结合平方关系sin2A+cos2A=1②,
由①②解得27sin2A﹣6sinA﹣16=0,
解得sinA=或者sinA=﹣(舍去);
②由正弦定理,由①可知sin(A+B)=sinC=,sinA=,
所以a=2c,又ac=2,所以c=1.
21.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA.
(Ⅰ)证明:sinB=cosA;
(Ⅱ)若sinC﹣sinAcosB=,且B为钝角,求A,B,C.
【解答】解:(Ⅰ)证明:∵a=btanA.
∴=tanA,
∵由正弦定理:,又tanA=,
∴=,
∵sinA≠0,
∴sinB=cosA.得证.
(Ⅱ)∵sinC=sin[π﹣(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=,由(1)sinB=cosA,
∴sin2B=,
∵0<B<π,
∴sinB=,
∵B为钝角,
∴B=,
又∵cosA=sinB=,
∴A=,
∴C=π﹣A﹣B=,
综上,A=C=,B=.
22.△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.
(1)求;
(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.
【解答】解:(1)如图,过A作AE⊥BC于E,
∵==2
∴BD=2DC,
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAC
在△ABD中,=,∴sin∠B=
在△ADC中,=,∴sin∠C=;
∴==.…6分
(2)由(1)知,BD=2DC=2×=.
过D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,
∵AD平分∠BAC,
∴DM=DN,
∴==2,
∴AB=2AC,
令AC=x,则AB=2x,
∵∠BAD=∠DAC,
∴cos∠BAD=cos∠DAC,
∴由余弦定理可得:=,
∴x=1,
∴AC=1,
∴BD的长为,AC的长为1.
23.已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.(Ⅰ)若a=b,求cosB;
(Ⅱ)设B=90°,且a=,求△ABC的面积.
【解答】解:(I)∵sin2B=2sinAsinC,
由正弦定理可得:>0,
代入可得(bk)2=2ak?ck,
∴b2=2ac,
∵a=b,∴a=2c,
由余弦定理可得:cosB===.
(II)由(I)可得:b2=2ac,
∵B=90°,且a=,
∴a2+c2=b2=2ac,解得a=c=.
∴S
==1.
△ABC
24.△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC
(Ⅰ)求.
(Ⅱ)若∠BAC=60°,求∠B.
【解答】解:(Ⅰ)如图,
由正弦定理得:
,
∵AD平分∠BAC,BD=2DC,
∴;
(Ⅱ)∵∠C=180°﹣(∠BAC+∠B),∠BAC=60°,
∴,
由(Ⅰ)知2sin∠B=sin∠C,
∴tan∠B=,即∠B=30°.
25.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a﹣c=b,sinB=sinC,(Ⅰ)求cosA的值;
(Ⅱ)求cos(2A﹣)的值.
【解答】解:(Ⅰ)将sinB=sinC,利用正弦定理化简得:b=c,
代入a﹣c=b,得:a﹣c=c,即a=2c,
∴cosA===;
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知:如图,在四边形 ABCD 中, AB ∥CD , ∠ACB =90°, AB=10cm , BC=8cm , OD 垂直平分 A C .点 P 从点 B 出发,沿 BA 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;同时,点 Q 从点 D 出发,沿 DC 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;当一个点停止运动,另一个点也停止运动.过点 P 作 PE ⊥AB ,交 BC 于点 E ,过点 Q 作 QF ∥AC ,分别交 AD , OD 于点 F , G .连接 OP ,EG .设运动时间为 t ( s )(0<t <5) ,解答下列问题: (1)当 t 为何值时,点 E 在 BAC 的平分线上? (2)设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ,求 S 与 t 的函数关系式; (3)在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使四边形 PEGO 的面积最大?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由; (4)连接 OE , OQ ,在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使 OE ⊥OQ ?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)4s t =;(2)PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ,(05)t <<;(3)5 2t =时, PEGO S 四边形取得最大值;(4)16 5 t = 时,OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 (1)当点E 在∠BAC 的平分线上时,因为EP ⊥AB ,EC ⊥AC ,可得PE=EC ,由此构建方程即可解决问题. (2)根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +(S △OPC +S △PCE -S △OEC )构建函数关系式即可. (3)利用二次函数的性质解决问题即可. (4)证明∠EOC=∠QOG ,可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ,推出EC GQ OC OG =,由此构建方程即可解决问题. 【详解】 (1)在Rt △ABC 中,∵∠ACB=90°,AB=10cm ,BC=8cm , ∴22108-=6(cm ), ∵OD 垂直平分线段AC , ∴OC=OA=3(cm ),∠DOC=90°, ∵CD ∥AB ,
创作编号:BG7531400019813488897SX 创作者: 别如克* 三角函数 一、选择题 1.已知 α 为第三象限角,则 2 α 所在的象限是( ). A .第一或第二象限 B .第二或第三象限 C .第一或第三象限 D .第二或第四象限 2.若sin θcos θ>0,则θ在( ). A .第一、二象限 B .第一、三象限 C .第一、四象限 D .第二、四象限 3.sin 3π4cos 6π5tan ??? ??3π4-=( ). A .- 4 3 3 B . 4 3 3 C .- 4 3 D . 4 3 4.已知tan θ+θtan 1 =2,则sin θ+cos θ等于( ). A .2 B .2 C .-2 D .±2 5.已知sin x +cos x =51 (0≤x <π),则tan x 的值等于( ). A .- 4 3 B .- 3 4 C . 4 3 D . 3 4 6.已知sin α >sin β,那么下列命题成立的是( ). A .若α,β 是第一象限角,则cos α >cos β B .若α,β 是第二象限角,则tan α >tan β C .若α,β 是第三象限角,则cos α >cos β D .若α,β 是第四象限角,则tan α >tan β
7.已知集合A ={α|α=2k π±3π2,k ∈Z },B ={β|β=4k π±3 π2,k ∈Z },C = {γ|γ=k π± 3 π 2,k ∈Z },则这三个集合之间的关系为( ). A .A ?B ?C B .B ?A ?C C .C ?A ?B D .B ?C ?A 8.已知cos (α+β)=1,sin α=31 ,则sin β 的值是( ). A .3 1 B .-3 1 C . 3 2 2 D .- 3 2 2 9.在(0,2π)内,使sin x >cos x 成立的x 取值范围为( ). A .??? ??2π ,4π∪??? ??4π5 ,π B .?? ? ??π ,4π C .?? ? ??4π5 ,4π D .??? ??π ,4π∪??? ? ?23π ,4π5 10.把函数y =sin x (x ∈R )的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的2 1 倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是( ). A .y =sin ??? ? ? 3π - 2x ,x ∈R B .y =sin ?? ? ??6π + 2x ,x ∈R C .y =sin ??? ? ? 3π + 2x ,x ∈R D .y =sin ??? ? ? 32π + 2x ,x ∈R 二、填空题 11.函数f (x )=sin 2 x +3tan x 在区间??? ???3π4π ,上的最大值是 . 12.已知sin α= 552,2 π ≤α≤π,则tan α= . 13.若sin ??? ??α + 2π=53,则sin ?? ? ??α - 2π= . 14.若将函数y =tan ??? ? ? 4π + x ω(ω>0)的图象向右平移6π个单位长度后,与函数y =tan ??? ? ? 6π + x ω的图象重合,则ω的最小值为 . 15.已知函数f (x )=21(sin x +cos x )-2 1 |sin x -cos x |,则f (x )的值域是 . 16.关于函数f (x )=4sin ??? ? ? 3π + 2x ,x ∈R ,有下列命题:
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米. 【答案】553 【解析】 【分析】 如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可. 【详解】 解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J. ∵AM⊥CD, ∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°, ∴四边形OQMP是矩形, ∴QM=OP, ∵OC=OD=10,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∵OP⊥CD, ∠COD=30°, ∴∠COP=1 2 ∴QM=OP=OC?cos30°=3 ∵∠AOC=∠QOP=90°, ∴∠AOQ=∠COP=30°, ∴AQ=1 OA=5(分米), 2 ∴AM=AQ+MQ=5+3 ∵OB∥CD, ∴∠BOD=∠ODC=60°
在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米), 在Rt△PKE中,EK=22 -=26(分米), EF FK ∴BE=10?2?26=(8?26)(分米), 在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米), 在Rt△FJE′中,E′J=22 -(2)=26, 63 ∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE=4. 故答案为:5+53,4. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 2.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系; (2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由 (3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长. 【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP62 23 . 【解析】 【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再
三 角 函 数 考点1:三角函数的有关概念; 考点2:三角恒等变换;(两角和、差公式,倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式) 考点3:正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质;(定义域、值域、最值;单调区间、最小正周 期、对称轴对称中心) 考点4:函数y =Asin()0,0)(>>+???A x 的图象与性质;(定义域、值域、最值;单调区间、最小 正周期、对称轴对称中心、图像的变换) 一、三角函数求值问题 1. 三角函数的有关概念 例1. 若角θ的终边经过点(4,3)(0)P a a a -≠,则sin θ= . 练习1.已知角α的终边上一点的坐标为(3 2cos ,32sin π π),则角α的最小正值为( ) A 、65π B 、32π C 、35π D 、6 11π 2、公式法: 例2.设(0,)2πα∈,若3 sin 5α=)4 πα+=( ) A. 75 B. 15 C. 75- D. 15 - 练习1.若πtan 34α??-= ??? ,则cot α等于( ) A.2- B.12 - C.12 D.2 2.α是第四象限角,5 tan 12 α=-,则sin α=( ) A .15 B .15- C .513 D .513 - 3. cos 43cos77sin 43cos167o o o o +的值为 。 4.已知1sin cos 5θθ+=,且324 θππ ≤≤,则cos2θ的值是 . 3.化简求值 例3.已知α为第二象限角,且sin α,求sin(/4)sin 2cos21 απαα+++的值 练习:1。已知sin α=,则44sin cos αα-的值为( ) A .15 - B .35 - C .15 D .35
年级:辅导科目:数学课时数: 课题三角函数 教学目的 教学内容 一、知识网络 二、命题分析 1.从近几年高考来看,对于本单元的考查,一般是以1~3个客观题和1个解答题形式出现,以中、低档题为主.考查的内容主要有:三角函数的图像和性质、三角函数的基本公式、三角函数的恒等变形及解三角形等基本知识.解答题常与平面向量、不等式、函数的最值等进行简单的综合,但难度不大. 2.预计在今后的高考中,与三角函数有关的问题将继续作为高考的重点进行考查.其中,角的概念多结合三角函数的基础知识进行考查.三角函数的图像和性质主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性及图像的平移和伸缩等,多以小而活的选择题和填空题形式出现.形如y=A sin(ωx+φ)的函数将依然作为必考内容出现在高考题中,并与三角恒等变形、平面向量、解三角形等知识结合,形成小型综合题.解三角形问题将会以选择题或填空题形式出现,主要考查正、余弦定理及利用三角函数公式进行恒等变形的技能及运算能力,以化简、求值或判断三角
切分别是:sin α=y r ,cos α=x r ,tan α=y x ,它们都是以角为 ,以比值为 的函数. 3.设角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴正半轴重合,终边与单位圆相交于点P ,过P 作PM 垂直于x 轴于M ,则点M 是点P 在x 轴上的正射影.由三角函数的定义知,点P 的坐标为 ,即 ,其中cos α= ,sin α= ,单位圆与x 轴的正半轴交于点A ,单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T (T ′),则tan α= .我们把有向线段OM 、MP 、AT (或AT ′)叫做α的 . (三)基础自测 1.与610°角终边相同的角可表示为( ) A .k ·360°+230°,k ∈Z B .k ·360°+250°,k ∈Z C .k ·360°+70°,k ∈Z D .k ·360°+270°,k ∈Z [答案] B [解析] 由于610°=360°+250°,所以610°与250°角的终边相同. 2.已知角α的终边经过点(3,-1),则角α的最小正值是( ) A.2π3 B. 11π6 C.5π 6 D.3π 4 [答案] B [解析] ∵sin α=-12=-1 2 ,且α的终边在第四象限, ∴α= 116 π. 3.若-π>θ>-3π 2 ,则点(tan θ,sin θ)在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 [答案] B [解析] 易知θ在第二象限,则tan θ<0,sin θ>0. 4.若α的终边过点P (2sin30°,-2cos30°),则sin α的值为( ) A.1 2 B .-12 C .-32 D .- 3 3 [答案] C [解析] P (2sin30°,-2cos30°)即P (1,-3),∴r =2,故sin α=-3 2 ,故选C. 5.已知角α的终边在直线y =-3x 上,则10sin α+3 cos α =________. [答案] 0 [解析] 设α终边上任一点P (k ,-3k ), 则r =x 2 +y 2 =k 2 +-3k 2 =10|k |. 当k >0时,r =10k , ∴sin α= -3k 10k =- 310 ,cos α= k 10k = 1 10 , ∴10sin α+3 cos α=-310+310=0. 当k <0时,r =-10k ,∴sin α= 310 ,cos α=- 1 10 ,∴10sin α+3 cos α=0.
如有帮助欢迎下载支持 锐角三角函数专题 共100分 命题人:王震宇 张洪林 一、选择题(30分) 1、如果∠A 是锐角,且A cos A sin =,那么∠A=_______。 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. CD 是Rt △ABC 斜边上的高,AC=4,BC=3,则cos ∠BCD=________。 A. 5 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 5 4 3、如果130sin sin 22=?+α,那么锐角α的度数是________。 A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 4、已知Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是________。 A. 32B sin = B. 32B cos = C. 3 2 B tan = 5、在Rt △AB C 中,如果各边长度都扩大2倍,那么锐角A 的正切值( ) A. 没有变化 B. 扩大2倍 C.缩小2倍 D. 不能确定 6、 在△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,则sin A 的值等于( ) A. 2 1 B. 22 C. 2 3 D. 1 7、已知α为锐角,下列结论 ①1cos sin =+αα ②如果?>45α,那么ααcos sin > ③如果2 1 cos > α,那么?<60α ④ααsin 1)1(sin 2-=- 正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、 △ABC 中,∠C =90°,53 sin = A ,则BC ∶AC 等于( ) A. 3∶4 B. 4∶3 C. 3∶5 D. 4∶5: 9、 如果α是锐角,且5 4 sin = α,那么)90cos(α-?=( ) A. 54 B. 43 C. 53 D. 5 1. 10、如右图,CD 是平面镜,光线从A 点出发经过CD 上点E 反射后照射到B 点,若入射角为α(入射角等于反射角),AC ⊥CD ,BD ⊥CD ,垂足分别为C 、D ,且AC =3,BD =6,CD =11,则tan α的值为( )
初中三角函数基础检测题 山岳 得分 (一)精心选一选(共36分) 1、在直角三角形中,各边都扩大2倍,则锐角A 的正弦值与余弦值都( ) A 、缩小2倍 B 、扩大2倍 C 、不变 D 、不能确定 2、在Rt △ABC 中,∠C=90 ,BC=4,sinA=5 4 ,则AC=( ) A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 3、若∠A 是锐角,且 sinA=31 ,则( ) A 、00<∠A<300 B 、300<∠A<450 C 、450<∠A<600 D 、600<∠A<900 4、若cosA=31,则A A A A tan 2sin 4tan sin 3+-=( ) A 、74 B 、31 C 、21 D 、0 5、在△ABC 中,∠A :∠B :∠C=1:1:2,则a :b :c=( ) A 、1:1:2 B 、1:1:2 C 、1:1:3 D 、1:1:22 6、在Rt △ABC 中,∠C=900,则下列式子成立的是( ) A 、sinA=sin B B 、sinA=cosB C 、tanA=tanB D 、cosA=tanB 7.已知Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=3,则下列各式中,正确的是( ) A .sinB=23 B .cosB=23 C .tanB=23 D .tanB=3 2 8.点(-sin60°,cos60°)关于y 轴对称的点的坐标是( )
A .(32,12) B .(-32,12) C .(-3 2,-12) D .(-12,-32) 9.每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式,让我们感受到了国旗的神圣.?某同学站在离旗杆12米远的地方,当国旗升起到旗杆顶时,他测得视线的仰角为30°,?若这位同学的目高1.6米,则旗杆的高度约为( ) A .6.9米 B .8.5米 C .10.3米 D .12.0米 10.王英同学从A 地沿北偏西60o方向走100m 到B 地,再从B 地向正南方向走 200m 到C 地,此时王英同学离A 地 ( ) (A )350m (B )100 m (C )150m (D )3100m 11、如图1,在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30?, 向高楼前进60米到C 点,又测得仰角为45?,则该高楼的高度大约为( ) A.82米 B.163米 C.52米 D.70米 12、一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40o的方向行驶40海里到达B 地,再由B 地向北偏西10o的方向行驶40海里到达C 地,则A 、C 两地相距( ). (A )30海里 (B )40海里 (C )50海里 (D )60海里 (二)细心填一填(共33分) 1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC=3,则sinB=_____. 2.在△ABC 中,若BC=2,AB=7,AC=3,则cosA=________. 3.在△ABC 中,AB= ,AC=2,∠B=30°,则∠BAC 的度数是______. 图1 45? 30? B A D C
一、三角函数 题型1.三角函数定义、同角三角函数的基本关系式、诱导公式的应用 1.(2010全国1,2)记,)80cos(k =-ο 那么ο100tan 等于( ) 2 2 2 21.1. 1.1. k k D k k C k k B k k A -- --- - 2.(2014全国,3)设ο ο ο 35tan ,55cos ,33sin ===c b a ,则( ) b a c D a b c C a c b B c b a A >>>>>>>>.... 3.(2016课标3,5)若ααα2sin 2cos ,4 3 tan 2+=则=( ) 25 16.1.2548.2564A D C B 4.(2013课标2,15)设θ为第二象限角,若2 1 )4(tan =+πθ,则θθcos sin + =____________. 5.(2011课标1)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线x y 2=上,则θ 2cos =( ) 5 4.53- .5 3- .5 4 - A D C B 题型2.三角函数恒等变换、化简与求值 1.(2015课标1,2)οοοο10sin 160cos 10cos 20sin -=( ) 2 1.21.2 3. 2 3.A D C B - - 2.(2016课标2,9)若ααπ 2sin ,5 3 )4cos(则=-=( ) 25 7 .51.51.257.A - -D C B 3.(2010全国2,13)已知α是第二象限的角,3 4 )2tan(-=+απ ,则=αtan ____________. 题型3.判断、识别、确定三角函数的图像和解析式
(数学5必修)第一章:解三角形 [基础训练A 组] 一、选择题 1.在△ABC 中,若0 30,6,90===B a C ,则b c -等于( ) A .1 B .1- C .32 D .32- 2.若A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( ) A .A sin B .A cos C .A tan D . A tan 1 3.在△ABC 中,角,A B 均为锐角,且,sin cos B A >则△ABC 的形状是( ) A .直角三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 D .等腰三角形 4.等腰三角形一腰上的高是3,这条高与底边的夹角为060,则底边长为( ) A .2 B . 2 3 C .3 D .32 5.在△ABC 中,若B a b sin 2=,则A 等于( ) A .006030或 B .006045或 C .0060120或 D .0015030或 6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A .090 B .0120 C .0135 D .0150 二、填空题 1.在Rt △ABC 中,090C =,则B A sin sin 的最大值是_______________。 2.在△ABC 中,若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3.在△ABC 中,若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4.在△ABC 中,若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13,则C =_____________。 5.在△ABC 中,,26-= AB 030C =,则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 1. 在△ABC 中,若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么?