相似三角形模型讲解-一线三等角问题
第一部分 相似三角形模型分析
一、相似三角形判定的基本模型认识
（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）
B
（平行）
B
（不平行）
（二）8字型、反8字型
B
C
B C
（蝴蝶型）
（平行） （不平行） （三）母子型
B
（四）一线三等角型：
三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景
二、相似三角形判定的变化模型
旋转型：由A 字型旋转得到。8字型拓展 C
B E
D
A
共享性
G
A
B
C
E
F
一线三等角的变形
一线三直角的变形
第二部分 相似三角形典型例题
讲解
母子型相似三角形
例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ?=2
．
例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上,ABC DEB ∠=∠．
求证：（1）DA DE DB ?=2
； （2）DAC DCE ∠=∠．
例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．
求证：EG EF BE ?=2
．
相关练习：
1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2
．
2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2
=NC ·NB
3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。 求证：EB ·DF=AE ·DB
4.在?ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。 求证：∠=?GBM 90
5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）
已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设
A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ．
A
C
D
E B
B
G
M
F E
H
D
C
A