高等数学一微积分考试必过归纳总结要点重点
全书内容可粗分为以下三大部分：第一部分函数极限与连续（包括级数）
第二部分导数及其应用（包括多元函数）
第三部分积分计算及其应用（包括二重积分和方程）
第一部分函数极限与连续
一、关于函数概念及特性的常见考试题型：
1、求函数的自然定义域。
2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。
3、求反函数。
4、求复合函数的表达式。
二、极限与连续
常见考试题型：
1、求函数或数列的极限。
2、考察分段函数在分段点处极限是否存在，函数是否连续。
3、函数的连续与间断。
4、求函数的渐进线。
5、级数的性质及等比级数。
6、零点定理。
每年必有的考点
第三部分导数微分及其应用
常见考试题型：
1、导数的几何意义；
2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。
3、求函数的导数：复合函数求导，隐含数求导，参数方程求导；
4、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的拐点；
5、求闭区间上连续函数的最值；
6、实际问题求最值。
每年必有的考点
第四部分积分计算及应用
考试常见题型
1、不定积分的概念与计算；
2、定积分的计算；
3、定积分计算平面图形的面积；
4、定积分计算旋转体的体积；
5、无穷限反常积分
6、二重积分
7、微分方程
最近几年考题中，积分计算的题目较多，而且也有一定的难度。
第一部分 函数极限与连续
一、关于函数概念及特性的常见考试题型： 1、求函数的自然定义域。
2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。
3、求反函数。
4、求复合函数的表达式。
例1..函数
___________.
知识点：定义域
约定函数的定义域是使函数的解析表达式有意义的一切实数所构成的数集。 解 要使根式函数有意义必须满足23log log 0x ≥，
要使23log log 0x ≥成立， 只有3log 1x ≥，即3x ≥.
注：我们所求定义域的函数一般都是初等函数，而初等函数：由基本初等函数，经过有限次的
＋－×÷运算及有限次的复合得到的函数称为初等函数。这就需要我们把基本初等函数的定义域、值域等搞清楚。
基本初等函数的性质与图形如下表所示(T 表周期)：
例2 求函数()ln(1),0.f x x x =-≤的值域
解：由0.x ≤可知11x -≥，所以ln(1)0x -≥，故
()ln(1),0.f x x x =-≤的值域为[0,)+∞
例3 . 1.下列函数中在所给的区间上是有界函数的为（ ）
A ．f (x )=
1
1
+x [0，1] B ．f (x )=
1
1
+x （-1，0） C ．f (x )=e x (-∞，+∞) D ．f (x )=ln x (0，+∞)
知识点：函数的有界性
注：函数的有界性是指值域的有界性。 解：A 1111+1212+1
x x x ≤≤≤≤?≤≤当0时，，故f (x )=
11
+x 在[0，1]上为有界函数。 B ． -11lim
=+1x x →∞故f (x )=
1
1
+x 在（-1，0）上为无界函数。 CD 结合函数图像判断。
例4、设函数()f x 是定义在(,)a a -上的任意函数，证明： （1）、()()(),(,)g x f x f x x a a =+-∈-是偶函数
（2）、()()(),(,)g x f x f x x a a =--∈-是奇函数 知识点：奇偶性
若对于任何x ，恒有()()f x f x -=-成立，则称()f x 是奇函数。若对于任何x ，恒有
()()f x f x -=成立，则称()f x 是偶函数．
奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y 轴对称 分析：因为()g x 是定义在对称区间上，根据定义，只需证明：
（1）()()g x g x -= （2）()()g x g x -=-
只证（1）：()()(())()()()g f f f f x x x x x g x =+-=+=---- 偶函数。
例5、求函数44log 2log y =+. 知识点：反函数
求反函数的步骤是：先从函数()y f x =中解出1()x f y -=，再置换x 与y ，就得反 函数1()y f x -=。
解：由44411log 2log log 22y x =+=
+ ，可得41
2()log 2
y x -=，所以214y x -=，上式中x 与y 的记号互换，即得反函数为
例6．1. 设f (x )=x 3-x ，x x 2sin )(=?，则f [)4
(π-?]=( )
B.22
- D.2 2. 已知f (x +1)=x 2
，则f (x )=知识点 ：复合函数
解：1.
[]3()f x x x ?=sin 2-sin2
答案：C
2. 令1,x u += 则1x u =-，故由2
(1)f x x +=可得2
()(1)f u u =-，即2
()(1)f x x =-.
二、 极限与连续 常见考试题型：
1、求函数或数列的极限。
2、考察分段函数在分段点处极限是否存在， 函数是否连续。
3、函数的连续与间断。
4、求函数的渐进线。
5、级数的性质及等比级数。
6、零点定理。 典型例题
求极限方法总结：利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等
例7．求22235
lim 31
x x x x →-++．
知识点： 若函数()y f x =在点0x 处连续，0
0lim ()()x x f x f x →=
解 因为
7161lim 3lim )13(lim 2
2
2
≠=+=+=+→→→x x x x x ．
故 22
2
22
lim(235)
235
7
lim
131
lim(31)
7
x x x x x x x x x →→→-+-+=
=
=++ 例8、221
lim 32
x x x →∞++
解 ： ∞=++=++=++∞→∞→∞→2
22
2222
31
2lim 2312lim 2312lim
x x x x
x x x x x x x x 知识点：一般地，设000,0,,a b m n N ≠≠∈，则
例9 =-++∞→2
35
63lim
2n n n n ___________. 解：
3n n n
→∞
→∞=-例10 （1）、121cos 0
lim(1)
x
x x -→+ (2) lim 1n
n n n →∞??
?+??
知识点：重要极限：1∞
01
(1
)
lim(1),1lim(1),()0,lim(1())x
u x t x x t e u x u x e x
t e →∞→+=+=→+=，
解: (1) 22
1
1
221cos 1cos 0
lim(1)
lim[(1)]
x x
x x
x x x x --→→+=+
因为 2
120lim[(1)]x x x e →+=，22
200lim
lim 21cos 2
x x x x x
x →→==-。 (2) 求 lim 1n
n n n →∞??
?+??
解：(1)
(1)
1111lim lim lim 1lim 11111n
n n n n n n n n n n n n n n n -+-+→∞→∞→∞→∞+-???????
?==-=-
? ? ? ?++++???????? 例11. 2000tan sin 1cos (1)lim (2)lim (3)lim (4)lim sin (2007.10)2x x x n x kx x n x x x n
π
→→→→∞-
知识点：重要极限 0()00sin sin sin ()
lim
1,
lim
1,
lim
1()n n
x u x a n a x
u x x u x a →→→===
解：0000
tan sin 1sin 1
(1)lim
lim lim 111cos limcos x x x x x x x x x x x x
→→→→===?=
(4) sin 2lim(sin
)lim
22
22n n n n n
n
π
π
π
ππ→∞
→∞
=?
=
例12．求极限（1）2
0ln(1)
lim 1cos x x x
→+- （2）(
)
2
x 01sin 3lim
(1cos 2)ln(1)x e x
x x →--+
知识点：利用等价无穷小代换求函数极限。
,',,'ααββ为无穷小， 且~',~'ααββ， 则'lim
lim '
ααββ= 解：(1)因为221x x ~)ln(+, 2
2
11x x ~
cos - 所以 22
002
ln(1)lim
=lim =211cos 2
x x x x x x →→+- （2）因为2
21~x e x -， sin3~3x x ，22
121cos 2~(2)2x x x -=，ln(1)~x x +
所以 (
)
2
x 01sin 3lim
(1cos 2)ln(1)x e x
x x →--+22x 0(3)3
lim (2)2
x x x x →?==?． 注：在使用等价无穷小代换时，应注意只能对乘除法代换，不能对加减法代换，即只对极限中的各个因式进行代换．
记住下列几个常用的等价无穷小以及由此导出其它的等价无穷小
1、sin ~,x x 导出 ()0u x →时，sin ()~()
u x u x
2、tan ~,x x 导出 ()0u x →时，tan ()~()u x u x
3、arcsin ~x x ， 导出 ()0u x →时，arcsin ()~()u x u x
4、1~x e x -， 导出 ()0u x →时，()1~()u x e u x -
5、ln(1)~x x +， 导出 ()0u x →时，()ln 1()~()u x u x +
6、2
1cos ~2
x x -， 导出 ()0u x →时
，
2
()1cos ()~
2
u x u x -
例13：(1) x x x x x sin e lim 20-→ (2) 2sin lim
1
x x x
x →∞++ (3)
x 1
lim (1)tan
2
x
x π→- （4）11lim 1ln x x
x x →??-
?-?
? 知识点： 洛必达法则：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式
∞
∞
、0
．其它类型的未定式 ∞-∞，0?∞ ，000,,1∞∞ 可转化为分式型的未定式，从而可以用洛必达法则
解：(1) 20lim e sin x x x x x →- 0
()0
（2）
2sin lim
1
x x x
x →∞++
∞?? ?∞??
(3) x 1
lim (1)tan
2x
x π→-
(0)0
?∞→
(4) 1110
1ln 11ln 1lim lim lim 011ln (1)ln ln x x x x x x x x x x x x x x
x
→→→-++-∞-∞??- ?---??+ 例14．求极限（1）x
x x x cos 12
e e lim 0--+-→. (2) 0ln cos 0,0,lim ln cos x ax a b bx →≠≠
知识点; 等价无穷小和洛比达法则结合
解：
（1）0e e 2lim 1cos x x x x -→+-- 0
()0
(2) 001
(sin )
ln cos cos lim lim 1ln cos (sin )
cos x x a ax ax
ax
bx b bx bx
→→-=- 0()0 例15 .设f (x )是连续函数，且f(0)=1，则=?→2
x lim
x dt )t (tf x
（ ） B.
1
2
知识点： 变上限函数求导求极限
解： 0
2
x 0
x 0
()()lim
lim
2x
tf t dt xf x x x →→=?x 0()(0)1
lim 222
f x f →==== 例16．设函数f (x )=??
?
??≥+-<02302sin 2 x k x x x x x
在x =0点连续，则k =（ ）
知识点：函数连续 若0
0lim ()()x x f x f x →=，则称函数()y f x =在点0x 处连续。
分段函数在分段点点0x 处连续?()y f x =在点0x 处既左连续又右连续。 解：因为()y f x =在点0处连续，
所以k f x
x
x x x f x x x =====--
-→→→)0(22lim 2sin lim )(lim 00
例17．函数2
1
()(23)
x x f x e x x -=
-- 的间断点的个数为 【 】 (A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个 知识点： 判断初等函数的间断点
如果()f x 在点0x 不连续，则称0x 是()f x 的间断点．
● 若下列三种情况之一成立，则0x 是()f x 的间断点： i ．0()f x 无定义 (0x 是无定义的孤立点) ii ．0
lim ()x x f x →不存在
iii ．0()f x 有定义，0
lim ()x x f x →存在，但0
0lim ()()x x f x f x →≠．
● 若()f x 是含有分母的初等函数，则分母的零点是间断点．
● 若()f x 是分段函数，则分段的分界点是可疑的间断点．
解：将函数的分母做因式分解，则有1
()(1)(2)
x
x f x e x x -=
--．分母的零 点就是函数的间断点．可以看到分母的零点为1,2x =，应选择C ．
注： 对函数做因式分解是判断函数零点的常用方法． 例18．求曲线x
x y )
2ln(+=
的水平渐近线和竖直渐近线.
解： 因为 1
ln(2)
2lim lim 01
x x x x x →∞→∞++==，0ln(2)lim
x x x →+=∞ 所以0y =为曲线x x y )
2ln(+=
的水平渐近线， 0x =为曲线x
x y )2ln(+=的水平竖直渐近线。
例
18 求级数 1
025n n +∞
=??
???∑的和 知识点：等比级数（几何级数）1211
n n n aq a aq aq aq ∞
--==+++++∑L L
当1q <时,等比级数收敛 ; 且12111n n n aq a aq aq a a
q
q ∞
--==+++++=
-∑L L 当1q ≥时，等比级数发散 ．
解：因为 1
231
022********n n n ++∞
=??
??????=+++++ ?
? ? ???
??????
∑L L
所以 1
2
225253
15
n n +∞
=??
=
=
?
??
-
∑ 注意：收敛的必要条件：若0
n n u ∞
=∑收敛， 则 lim 0n n u →∞
=级数
三、闭区间上连续函数的性质：
例20．设f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0, f(1)=1. 证明：至少存在一点ξ∈（0，1），使f(ξ)=ξ知识点 零点定理 若)(x f 在闭区间[]b a ,连续，且0)()(
证明：.令()()1F x f x x =-+，则()F x 在闭区间
[]0,1连续，(0)(0)110F f =-=-<，
(1)(1)1110F f =-+=>，则由零点定理至少有一点(0,1)ξ∈，使()0,F ξ=即()1f ξξ=-。
第二部分 导数微分及其应用 常见考试题型：
1、导数的几何意义；
2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。
3、求函数的导数：复合函数求导， 隐含数求导，参数方程求导；
4、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的拐点；
5、求闭区间上连续函数的最值；
19 求级数1
025n n +∞
=??
?
??
∑的和S
6、实际问题求最值。
一、有关定义的题型 例21设f ′(0)=1，求0
(3)()
lim
2x f t f t t
→--
知识点：导数的定义
解: 0
0(3)()(3)(0)(()(0))
lim
lim
22x x f t f t f t f f t f t t
→→------= 例22．设()f x =21,01
33,12x x x x ?-≤≤?-<≤?, 讨论该函数在1x =处的连续性与可导性
知识点：
1、函数()f x 在点0x 处连续?()f x 在点0x 处连续既左连续又右连续.
2、函数()f x 在点0x 处可导?左导数0()f x -'和右导数0()f x +'都存在且相等
3、分段函数在分段点的左右导数可用导数的左右极限来得到。
解：因为 ++-+
2
1
1
1
1
lim ()lim 330(1),lim ()lim 10(1)x x x x f x x f f x x f →→→→=-===-== 所以 ()f x 在1x =处连续
因为1
1
1
(1)lim ()lim(33)lim 3=3x x x f f x x +++
+→→→'''==-= (1)(1)f f +-''≠，()f x 在1x =处不可导
总之，()f x 在1x =处连续不可导
例23 .设???????=≠-=-00012
x ,
x ,x
e )x (
f x ，则)(f 0'=。
解：2
0010
()(0)(0)lim lim 00
x
x x e f x f x f x x -→→---'==-- 例24．求曲线x y x e =+上点（0，1）处的切线是.
知识点：导数的几何意义，0()f x '在几何上表示曲线()y f x =在点000(,())M x f x 处的切线的斜率．
解：因为1x y e '=+所以曲线x y x e =+在点（0，1）处的切线方程的斜率为0'2x y ==, 则曲线x y x e =+在点（0，1）处的切线方程为12(0)y x -=?-, 即21y x =+
例25设函数()f x 在x a =处可导，则()f x 在x a =处（C.）2005年4月 A.极限不一定存在
B.不一定连续
C.可.不一定可微
知识点：()f x 可导?()f x 可微
()f x 可导?()f x 连续
例26、若函数()f x 在点0x 处自变量增量x ?=，对应函数增量y ?的线性主部为2，求函数在该点的导数值0()f x ' 2006年1月 知识点：微分
解： 因为 00()()20.25f x d x x A x f =??=''=
所以 0()8f x '=
二、有关导数计算的题型 基本求导公式 导数的四则运算
若函数()u u x =，()v v x =都在点x 处可导，则有 (ⅰ)(()())()()u x v x u x v x '''±=±； (ⅱ)[()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+；
(ⅲ)2
()()()()()()()u x u x v x u x v x v x v x '
''??-= ???
， ()0v x ≠． 复合函数的导数
设函数()y f u =及()u g x =可以复合成函数(())y f g x =，若()u g x = 在点x 可导，且()y f u =在相应的点()u g x =可导，则复合函数(())y f x ?=在点x 处可导， 且((()))d x g y x x f d g '='，或 dy du dy dx du dx =?， 初等函数的求导问题全部解决 例27、求下列函数的导数。
1) y=x ln 12
+ . arctan 32)
3)sin sin sin x
n nx x
x
+
导数的四则运算 , 复合函数的导数
复合函数求导：逐层求导， 外层求导，内层不动。
解：2
1)ln))
y x x
'''
=+==
2）
arctan arctan
arctan
2
3()sin3
sin s
si
i
(n)
3
n
x
x x
x x
x
x
''
??'
-
=
?
??
例28、求下列函数的微分(1)ln tan
2
x
y=(2)(ln)
y f x
=
知识点:求微分()
dy f x dx
'
=
解：（1）因为2
ta
1
tan
1
(l
2
n tan)(n s
)()
2tan
2
ec
222
x
dy x
x
x
dx
x
x
'''
===??
?
22
11111
()
2sin
tan cos tan cos2
2222
x
x x x x x
'
=???==
??
所以1
sin
dy dx
x
=
（2）设：ln
u x
=，则; ()
y f u
=，故
所以1
(ln)
dy f x dx
x
'
=
例29、求下列函数的导数
（1）设
1
,(1).
x
y x y'
=求
（2）
(
)2
2
x1
1
ln1,
61
y x
x x
+
=+≠-
-+
2007.
知识点：当幂指函数求导，或当函数是多个因式相乘时，采用对数求导法解
1
(1)x
y x
=，两边取对数：
1
ln
y x
x
=
l n
两边关于x求导：
222
1111
ln(ln)
1
ln
x x x
x x x
y
y x
'
=-+=-
'+
(2)因为
例30、设sin2
y x
=, 求()n
y
知识点：高阶导数，熟记下列高阶导数公式
解：(sin2)sin(2)(2)2sin(2).
22
y x x x x
ππ
'''
==+=+,
所以()2sin(2)
2
n n
y x n
π
=+
例31 求22
3
z x xy y
=++在点(1,2)处的偏导数。
知识点：偏导数计算 解法：
23z
x y x ??=+, 32z x y y ??=+ 则
(1,2)
8z
x
??= ,
(1,2)
7z y
??=
例32、求函数22ln(1)z x y =++)当1,2x y ==时的全微分. 2005年1月 知识点：全微分0
0000(,)(,)x y p dz f x y dx f x y dy ''=?+?
解：
222,1z x x x y ?=?++
22
2,1z y y x y ?=?++ 所以 1,2
1,21,212
y 33
x y x y x y z z dz
dx dy dx dy x ======??=
?+?=+??
注意：如果求非具体点的全微分，只需求出偏导函数，带入全微分公式即可：
例33、xy z xe =y
, 求2z
x y
???
解：xy xy
z e xye x
?=+?，
22xy xy xy z xe xe x ye x y ?=++?? 例34 设方程222z x y z ye ++=确定隐函数(,)z z x y =,求,x y z z ''
知识点：隐含数求导
二元方程(,)0F x y =确定一个一元的隐函数()y f x =,且
x y F dy
dx F '=-'
F (x , y , z ) = 0确定二元函数z =z (x , y )，且：
x z F z
x F ??'=-'，y z F z y F ??'=-'
解：令222(,,)z F x y z x y z ye =++- 原方程即为 (,,)0F x y z =
2x F x '=，22z
z y z F y e F z ye ''=-=-
注：使用公式时，将方程表示为(,,)0F x y z = 或(,)0F x y =
三、导数应用
1、导数和微分在经济分析中的应用
边际函数：在经济学中，一个经济函数()f x 的导数()f x '称为该函数的边际函数． 弹性函数: 经济函数()y f x =弹性函数
Ey
Ex
如下定义： 注意：1）()y f x =在x 点可导，在x 点的弹性就存在。 2）
x x Ey Ex
==
()
x x f x x
y =' 例35 1．已知生产某商品x 个的边际收益为30-2x ，则总收益函数为（ ）
A ．30-2x 2
B ．30-x 2
C ．30x-2x 2
D ．30x-x 2
知识点：q 表示某产品产量， (),(),()C q R q L q 分别表示成本函数、收益函数和利润函数，则
边际成本 MC =()C q ' 边际收益 MR =()R q '
边际利润 ML =()L q ' 显然：
()(()())))((L q R L q R q C C q q q =-?'''=-= MR —MC
解：因为2(30)302x x x '-=-，答案为D . 供给价格弹性与需求价格弹性
1、设 ()S S p =是市场对某一种商品的供给函数，其中p 为商品价格，S 为市场供给量，则：
()ES p
S p Ep S
'= ------- 供给价格弹性 2、设 ()D D p =是市场对某一种商品的需求函数，其中p 为商品价格，D 为市场需求量，则：
()ED p
D p Ep D
-'= ------ 需求价格弹性 注意，当0p ?>时0D ?<，所以 0()li 0m
p D
D p p
?→?'?≤=
负号保证：
0ED
Ep
≥， 需求价格弹性总是正数。 例36.设某商品的需求函数为()-D p a bp =，其中p 表示商品价格，D 为需求量，a 、b 为正常数，则需求量对价格的弹性
ED
EP
=（ ） A.b
a bp -
- B.
b
a bp
- C. bp
a bp
-- D.
bp
a bp
- 解：
bp
a pb
b bp a p p D D p EP ED -=---=-=)()(' 2、导数在研究函数形态方面的应用
理论基础：微分中值定理
函数的凹凸性，单调性， 极值最值
例37 函数2()45f x x x =--在区间[0,4]是否满足罗尔定理的条件，若满足，求出使
()0f ξ'=的点ξ．
知识点：、罗尔定理 若函数()f x 满足：
(1) 在闭区间[,]a b 连续；(2) 在开区间(,)a b 可导 (3) ()()f a f b =， 则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ'= 拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函数()f x 满足： (1) 在闭区间[,]a b 连续；(2) 在开区间(,)a b 可导 则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()()
()f b f a f b a
ξ-'=
-
解： ()f x 在[0,4]连续且可导，又(0)(4)5f f ==-． 故()f x 在[0,4]满足罗尔定理的条件．由于()24f x x '=-． 令()0f x '=，得2x =，即点2ξ=．
例38 .函数-x y e x =-在区间(-1,1)内（ ）2005年1月 A.单调减小 B.单调增加 C.不增不减
D.有增有减
知识点： 设函数()y f x =在[,]a b 上连续， 在(,)a b 上可导， (1)、若在(,)a b 内()0f x '>， 则()y f x =在[,]a b 上单调增加； (2)、若在(,)a b 内()0f x '<， 则()y f x =在[,]a b 上单调减少。 解：因为--1(1)0,(1,1)x x y e e x '=--=-+<∈- 所以应该选A
例39. 试确定函数1x y e x =--的单调区间。
知识点： 求单调区间
一阶导数为零（驻点）或不存在的点可能恰好是单调区间的分界点， 这些分界点将函数的定义域分划成若干个部分单调区间。 解：函数的定义域为(,)-∞+∞， 且
当(,0)x ∈-∞时， 0y '<， 故函数在(,0)-∞上单调减少； 当(0,)x ∈+∞时， 0y '>， 故函数在(0,)+∞上单调增加。
故(,0)-∞为单调递增区间，(0,)+∞为单调增区间。
例40．求曲线321y x x x =--+的凹凸区间和拐点. 知识点：曲线的凹凸区间和拐点
()0f x ''>时，曲线为凹的，()0f x ''<，曲线为凸的。
确定曲线拐点的方法：
1、求出()f x ''在区间I 上为零或不存在的点；
2、这些点将区间I 划分成若干个部分区间，然后考察()f x ''在每个部分区间上的符号，确定曲线()y f x =的凹凸性；
3、若在两个相邻的部分区间上，曲线的凹凸性相反，则此分界点是拐点；若在两个相邻的部分区间上，曲线的凹凸性相同，则此分界点不是拐点。
解：21
'321,"62,3
y x x y x x =--=-=时，"0y =。
例41．求函数y =x -ln(1+x )的极值.
知识点： 函数的极值，驻点（导数为0的点）
连续函数的极值点必是驻点和不可导的点 求函数的极值的步骤： 先求出驻点和不可导点（可疑的极值点），再利用第一充分条件，第二充分条件判断可疑点是否为极值点．
第一充分条件 设函数()f x 在点0x 的某个邻域0(,)U x δ内连续，在去心邻域0(,)o
U x δ内可导，
(1)、当00(,)()0x x x f x δ'∈->时,， 则0()f x 为()f x 的极大值 (2)、00(,)()0x x x f x δ'∈-<时,，
当00(,)()0x x x f x δ'∈+>时,， 则0()f x 为()f x 的极小值 第二充分条件
设函数()f x 在点0x 处具有二阶导数， 且00()0,()0f x f x '''=≠， 则 (1)、当0()0f x ''<时， 函数()f x 在0x 处取得极大值； (2)、当0()0f x ''>时， 函数()f x 在0x 处取得极小值。 解：ln(1)y x x =-+， 定义域：(1,)-+∞
令0y '=时，00,"0x x y ==>，所以x =0是函数的极小值点, 而函数的极小值为0.
例42 求()f x x =-[0,2]上的最大值与最小值． 知识点：闭区间上连续函数的最值。 方法： 1、先求区间内部可疑的极值点
2、计算区间端点和内部可疑极值点的函数值。
3、比较函数值大小， 确定最大值和最小值。
解 1()1210
2f x x '=-?=>．
令()0f x '=，得驻点1x =．由于(0)0,(1)1,(2)2f f f ==-=- 比较可知，()f x 在[0,2]上的最大值为(0)0f =，最小值为(1)1f =-。
例43．证明：当0x >时，12
x
<+
。 知识点：利用单调性证明不等式。。
证明：令()(1)2
x
f x =+，
则 111()0
222
f x '=
-<-=，()(1)2x
f x =+单调递减，
所以当0x >， ()(0)f x f <， 12
x
<+
.
例44．.已知某厂生产x 件某产品的成本为2
125000200.40
C x x =++ (1)要使平均成本最小,应生产多少件产品 2005年1
(2)如产品以每件500元出售,要使利润最大,应生产多少件产品 知识点：实际问题：1）求出目标函数，写出定义域。 2）求唯一驻点。
3）由实际意义和驻点唯一直接判断最值情况。
解：(1) 平均成本函数为250001
()200.40
C x x x =++
0x > 则2
250001
()40
C x x '=-+，令()0C x '=得1000x = 由实际意义和驻点唯一可知，当生产1000产品时，平均成本最小。
(2) 利润函数21
()500(25000200).40
L x x x x =-++
11
()5002003002020
L x x x '=--=-令()0L x '=得6000x =
由实际意义和驻点唯一可知，当生产6000产品时，利润最大.
第三部分 积分计算及应用
考试常见题型
1、不定积分的概念与计算；
2、定积分的计算；
3、定积分计算平面图形的面积；
4、定积分计算旋转体的体积；
5、无穷限反常积分
6、二重积分
7、微分方程 一、 不定积分 例45 ．设?+=
C x
x
dx x f sin )(，则f (x )= 知识点：不定积分的概念与性质 如果()()F x f x '=或 ()()dF x f x dx =，函数()F x 就称为()f x 一个原函数，()f x 得全体原函数为()()()f x dx dF x F x C ==+??
解：2
sin cos sin ()x x x x
f x x x '-??== ???
例462(5)d .x x e x -?
知识点：不定积分的计算：
运算性质
性质1 [()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±???
性质2 k f x d x kf x d x ??=??()(
) ( k 为非零常数 )
基本积分表为前提
10dx C =? 2 ?+=C kx kdx (k 为常数)， 31
11
x dx x C μμμ+=++? (1-≠μ)， 4 ?
+=C x dx x ln 1
5?
+=+C x dx x
arctan 11
2
6 ?
+=-C x dx x
arcsin 112
7?+=C x xdx sin cos ， 8 ?+-=C x xdx cos sin ， 9??
+==C x dx x xdx tan cos 1sec 22， 10??
+-==C x dx x
xdx cot sin 1csc 2
2
， 11?+=C x xdx x sec tan sec ， 12 ?+-=C x xdx x csc cot csc ， 13 ?+=
C a a
dx a x
x ln 1， 14 x x
e dx e
C =+?，
解：2(5)d [(2)52)d x x x x e x e x -=-???
注意：计算不定积分一定不要漏掉常数C 。
例47 (1) 212cos dx x x ? (2) 222
dx
x x ++? (3)
232
dx
x x -+?
（4）?
-+.282
x
x dx
知识点：不定积分的第一换元积分法（凑微分法）
解：(1) 21212212
cos cos sin 22dx d C x x x x x
=-=-+??。
(2)
222(1)
arctan(1)22(1)1(1)1
dx dx d x x C x x x x +===++++++++???。
(3)
211
32(1)(2)21
dx dx dx dx x x x x x x ==--+----?
???
(4)1
1
arcsin
.3
x d x --===+C 注意：常见的凑微分公式
?
?
=x
x x x
de e f dx e e
f )()(；
?
?
=x d x f x dx
x f ln )(ln )
(ln ；
微积分笔记
第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=2 1 ) ()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时, 若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 奇函数：f(-x)=-f(x) 偶函数：f(-x)=f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数 §1.2 极 限 一、 主要内容 ㈠极限的概念 1. 数列的极限: A y n n =∞ →lim 称数列{}n y 以常数A 为极限；或称数列{}n y 收敛于A. 定理: 若{}n y 的极限存在 ?{}n y 必定有界.
高等数学(上册)-第一章教案
第一章：函数、极限与连续 教学目的与要求 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 所需学时：18学时（包括：6学时讲授与2学时习题） 第一节：集合与函数 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。
高等数学微积分总结
积 分 整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对 积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识. 一、不定积分 不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础，希望同学们熟记积分公式，及各种 方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等) 二、定积分 1.定义式: ()b a f x dx ? 2.定义域:一维区间,例如[,]a b 3.性质:见课本P 229-P 232 特殊:若 1f =,则()b a f x dx b a =-?,即区间长度. 4.积分技巧:奇偶对称性. 注意:定积分中积分变量可以任意替换即()()b b a a f x dx f y dy =? ?,而不定积分不具有这种性质. 5.积分方法:与不定积分的方法相同. 6.几何应用: 定积分的几何意义: ()b a f x dx ? 表示以()f x 为顶与x 轴所夹区域面积的代数和(注意如()0f x <,则面积为负); 其他应用:如 ()f x 表示截面积,则积分为体积;平面弧长 (b a f x ? 等. 三、二重积分 1.定义式: (,)xy D f x y d σ ?? 2.定义域:二维平面区域 3.性质:见下册课本P 77 特殊: 若 1f =,则(,)xy D f x y dxdy S =?? ,即S 为xy D 的面积. 4.坐标系: ①直角坐标系: X 型区域,Y 型区域 ②极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉r ,积分时一般先确定θ的范围,再确定r 的范围. 5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心; 6.几何应用: 二重积分的几何意义:若(,)0f x y ≥,则(,)xy D f x y dxdy ?? 表示以(,)f x y 为顶以xy D 为底的曲顶柱体体积; 其他应用:求曲面(,)z z x y =的面积xy D ?? 四、三重积分 1.定义式 (,,)f x y z dv Ω??? 2.定义域:三维空间区域; 3.性质:与二重积分类似; 特殊: 若 1f =,则(,,)f x y z dv V Ω =???,其中V 表示Ω的体积. 4.坐标系: ①直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面 积易求时采用) ②柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用; ③球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先θ,后?,最后 r . 5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等. 6.应用: (,,)f x y z 表示密度,则(,,)f x y z dv Ω ???为物体质量.(不考虑几何意义) 五、第一类曲线积分
高等数学笔记
第1章函数 §1 函数的概念 一、区间、邻域 自然数集N整数集Z有理数集Q实数集R 建立数轴后： 建立某一实数集A与数轴上某一区间对应 区间：设有数a,b,a a称为N(a,δ)的中心，δ>0称为邻域N(a,δ)的半径。 去心邻域：把N(a,δ)的中心点a去掉，称为点a的去心邻域，记为N(a^,δ)={x|0<|x?a|<δ}=N(a,δ)?{a} 注：其中，?{a}表示去掉由a这一个数组成的数集。 二、函数概念 例1. 设圆的半径为x(x>0)，它的面积A=πx2，当x在(0,+∞)内任取一个数值（记为?x∈(0,+∞)）时，由关系式A=πx2就可以确定A的对应数值。 文章来源：https://www.sodocs.net/doc/9d7256710.html,/ 例2. 设有半径为r的圆，作圆的内接正n边形，每一边对应的圆心角α=2πn，周长S n=n?2r sinπn，当边数n在自然数 集N(n≥3)任取一个数，通过关系式S n=2nr sinπn就有一个S n对应确定数值。 函数定义：设有数集X,Y，f是一个确定的对应法则，对?x∈X，通过对应法则f都有唯一的y∈Y与x对应，记为x→f y，或f(x)=y，则称f为定义在X上的函数。 其中X称为f的定义域，常记为D f。 X——自变量，Y——因变量。 当X遍取X中的一切数时，那么与之对应的y值构成一个数集V f={y|y=f(x),x∈X}，称V f为函数f的值域。 文章来源：https://www.sodocs.net/doc/9d7256710.html,/ 注意： （1）一个函数是由x,y的对应法则f与x的取值范围X所确定的。把“对应法则f”、“定义域”称为函数定义的两个要素。 例如，y=arcsin(x2+2)这个式子，由于x2+2>2，而只有当|x2+2|≤1时，arcsin才有意义，因此这个式子不构成函数关系。又例如，y=ln x2与y=2ln x不是同一个函数，因为定义域不同。而y=ln x2与y=2ln|x|是同一个函数，因为定义域相同。（2）函数的值域是定义域和对应法则共同确定的。 （3）确定函数定义域时，注意：若函数有实际意义，需依据实际问题是否有意义来确定。 若函数不表示某实际问题，则定义域为自变量所能取得的使函数y=f(x)成立的一切实数所组成的数值。 函数的几何意义：设函数y=f(x)定义域为D f，?x∈D f，对应函数值y=f(x)在XOY平面上得到点(x,y)，当x遍取D f中一切实数时，就得到点集P={(x,y)|y=f(x),x∈D f}。点集P称为函数y=f(x)的图形。 文章来源：https://www.sodocs.net/doc/9d7256710.html,/ 三、函数的几个简单性质 1. 函数的有界性 若?M>0,s.t.|f(x)|≤M,x∈I，则称y=f(x)在区间I上有界。否则称f(x)在I上无界。 注：s.t.是“使得，满足于”的意思，I表示某个区间。 【第五部分】不定积分 1.书本知识（包含一些补充知识） （1）原函数：F ’（x ）=f （x ），x ∈I ，则称F （x ）是f （x ）的一个“原函数”。 （2）若F （x ）是f （x ）在区间上的一个原函数，则f （x ）在区间上的全体函数为F （x ）+c （其中c 为常数） （3）基本积分表 c x dx x +?+?=?+???11 1 （α≠1，α为常数） （4）零函数的所有原函数都是c （5）C 代表所有的常数函数 （6）运算法则 []??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx x f a dx x f a )()()()()()(②① （7 ）[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分： c b x F dx b x f c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(一般地， （9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。 （10）不定积分的计算方法 数乘运算 加减运算 线性运算 （8） ①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法： 【解释：一阶微分形式不变性】 释义：函数 对应：y=f(u) 说明： （11）分段函数的积分 例题说明：{}dx x? ?2,1 max （12）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一 （16）隐函数求不定积分 例题说明： （17）三角有理函数积分的万能变换公式 （18）某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换 （19）其他形式的不定积分 第一章 代数运算与自然数 主要内容： 1、集合与映射的概念 2、映射及其运算 3、代数系统 4、自然数及其他相关定义 5、归纳法原理与反归纳法的运用 重点掌握 1、由A →B 的单映射σ的定义为：设2121,,,:a a A a A a B A ≠∈∈→若由σ，就推出)()21a a σσ≠（，则称σ为从A 到B 的单映射。 2、由A →B 的满映射σ的定义为：设B ran B A =→)(,:σσ若，则称σ为从A 到B 的满映射。 3、给出一个由整数集合Z 到自然数集合N 的双射：可考虑分段映射，即将定义域分为小于0、等于0、大于0的整数三部分分别给出其象 4、若集合|A|=n ，则集合A →A 的映射共有n n 种。 5、皮阿罗公理中没有前元的元素为1。 6、自然数a 与b 加法的定义中两个条件为①：'1a a =+②：)'('b a b a +=+. 7、自然数a 与b 相乘的定义中两个条件为: ①：a a =?1;②：a b a b a +?=?' 8、自然数a>b 的定义为:如果给定的两个自然数a 与b 存在一个数k,使得a=b+k ，则称a 大于b,b 小于a,记为a>b 或b 12、若A 是有限集合，则A →A 的不同映射个数为：||||A A 。 13、从整数集合Z 到自然数集合N 存在一个单映射。 14、若A 是有限集合，则不存在A 到其真子集合的单映射。 15、若A 为无限集合，则存在A 的真子集合B 使其与A 等价。 16、存在从自然数集合N 到整数集合Z 的一个满映射，但不是单映射。 可考虑将定义域分成奇数、偶数两部分，定义一个与n )1(-有关的映射 17、存在从自然数N 到整数集合Z 的双射。 可考虑分段映射 18、代数系统(+R ,?)与代数系统(R,+)是同构的，其中+R 表示正实数集合，R 表示实数集合，?与+就是通常的实数乘法与加法。 根据同构定义，只需找到一个从(+R ,?)到(R,+)的一一映射，例如lgx 就可以证明上述论述。 19、令+Q 为正有理数集合，若规定 2 b a b a +=⊕，ab b a =? 则： （1）{+Q ,⊕}构成代数体系，但不满足结合律。 （2）{+Q ,?}不构成代数体系，但满足结合律。 根据代数体系和结合律的定义可得上述论述成立。 20、若在实数集合中规定b a ⊕=a+b-a ×b ，其中+与×是通常的加法与乘法，则⊕满足结合律。 只需证明等式（b a ⊕）⊕c=)(c b a ⊕⊕成立 21、分别利用归纳法与反归纳法可以证明n 个数的算术平均值大于等于这n 个数的几何平均值。 归纳法根据定义易证，在运用反归纳法证明时可先证n=2,4,…,n 2都成立，假设命题对n=k 成立，令,...21k a a a S k k +++= 1 ...1211-+++=--k a a a S k k ，利用12111...---≥k k k a a a S 证之成立 第一章 函数 一、本章提要 基本概念 函数，定义域，单调性，奇偶性，有界性，周期性，分段函数，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数 第二章 极限与连续 一、本章提要 1.基本概念 函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点. 2.基本公式 (1) 1sin lim 0=→口 口口， (2) e )11(lim 0=+→口口口 (口代表同一变量). 3.基本方法 ⑴ 利用函数的连续性求极限； ⑵ 利用四则运算法则求极限； ⑶ 利用两个重要极限求极限； ⑷ 利用无穷小替换定理求极限； ⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求0 0形式的极限； ⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求∞ ∞形式的极限； ⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限； ⑻利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4.定理 左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. 第三章导数与微分 一、本章提要 1.基本概念 瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分． 2.基本公式 基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式． 3.基本方法 ⑴利用导数定义求导数； ⑵利用导数公式与求导法则求导数； ⑶利用复合函数求导法则求导数； ⑷隐含数微分法； ⑸参数方程微分法； ⑹对数求导法； ⑺利用微分运算法则求微分或导数． 第四章微分学的应用 一、本章提要 1. 基本概念 未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点,极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线,水平渐近线,铅直渐近线． 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝ 1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝1 1() (1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝ 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2 d x x ax b +? ＝ 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d () x x ax b +? ＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +? ＝2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7．2 d () x x ax b +? ＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8．2 2 d () x x ax b +? ＝ 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9．2 d () x x ax b +? ＝ 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10．x ? ＝ C 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝ 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13．x ? ＝ 2 2(23ax b C a -+ 14 ．2 x ? ＝ 222 3 2(34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>?的积分 22．2 d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ? +>? ? ?+< 23．2 d x x ax b +? ＝ 2 1 ln 2ax b C a ++ 高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!211 2125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则 定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于) () (lim 0x F x f x x ''→；当 )()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，) () (lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0 x f x x ，∞=→)(lim 0 x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）) () (lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞ 型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞ ∞ 型 同样适用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： （1）洛必达法则只能适用于“00 ”和“∞ ∞ ”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00 ”或“ ∞ ∞ ”型才能运用该法则； ) () (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→ 高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 2 1 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程 第五章 一元函数积分学 1．基本要求 （1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。 （2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。 （3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次 线性微分方程的通解公式。 （4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。 （5）会用微积分基本公式求解定积分。 （6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 （7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。 （8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析 （1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布 尼茨公式；定积分的应用。 （2） 本章难点：求不定积分，定积分的应用。 重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写 总论 初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。 高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。 高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。 集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。 高等代数发展简史 代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。 人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。 在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。 在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。 三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。 高等数学知识点总结 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π 类型课程学习名称：高等数学 1 时间：2006.7.7 体裁：说明文 知识内容与结构备注一.课程目录 1函数 2极限和连续 3一元函数的导数和微分 4微分中值定理和导数的应用 5一元函数积分学 6多元函数微积分 二.知识层次分解2.3说明： 函数 1.预备知识 1)集合及其运算 1>概念 集合： 元素 2>绝对值及其基本性质 >区间和邻域 2.函数 3.基本特性 4.反函数 5.复合函数 6.初等数学 7.简单函数关系的建立 极限和连续 1数列极限 2数列级数的基本概念 3函数的极限 4极限的运算法则 5无穷小（量）和无穷大（量）6两个重要的极限 7函数的连续性和连续函数 8函数的间断点 一元函数的导数和微分 1导数的概念 2求导法则 基本求导公式 4高阶导数 5函数的微分 6导数和微分在经济学中的简单应用 微分中值定理和导数的应用 1微分中值定理 2洛必达法则 3 函数的单调性 4 曲线的凹凸性和拐点 5函数的极值与最值 一元函数积分学 1原函数和不定积分的概念 2基本积分公式 3换元积分法 4分部积分法 5微分方程初步 6定积分的概念及其基本性质 7 微积分基本公式 8 定积分的换元积分法和分部积分法 9 无穷限反常积分 10 定积分的应用 1空间解析几何 2多元函数的基本概念 3偏导数 4全微分 5多元复合函数的求导法则 6隐函数及其求导法则 7二元函数的极值 8二重积分 注： 1标识符：红色已领会理解橙色已弄懂粉色已记住绿色已会用蓝色已掌握 黑色增删修内容 2 说明：凡属课程都属说明文。要掌握其整体结构和层次内容和最后一层次 的说明内容的意思 3 步骤：1 填写结构 2 对照课程阅读，理解弄懂 第一章函数与极限 主要内容:函数的定义；函数的几种特性；复合函数、反函数与初等函数的概念；数列与函数极限的定义；极限的运算法则；无穷小与无穷大的概念；两个重要极限；无穷小的比较；函数在点与区间的连续性及间断性；闭区间上连续函数的性质。 内容要点： 1.函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2.复合函数和反函数的概念。 3.基本初等函数的性质及其图形。 4.立简单实际问题中的函数关系式。 5.极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6.子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。 7.极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单调有界数列必有极限的原理, 柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8.无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9.函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10.初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。 一、求函数的定义域 ①分式的分母不等于零；②偶次方根式中，被开方式大于等于零；③含有对数的式子，真数式大于零；④反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1；⑤分段函数的定义域是各段 函数定义域的并集；(6)若已知y=f(x)的定义域是[a,b]，求y=f[t(x)]的定义域，方法是 解a≦t(x)≦b 二、判断两个函数是否相同 一个函数的确定取决于其定义域和对应关系的确定，因此判断两个函数是否相同必须判断其定义域是否相同，且要判断函数表达式是否统一即可。 三、判断函数奇偶性 判断函数的奇偶性，主要的方法就是利用定义，其次是利用奇偶的性质，即奇(偶)函数之和仍是奇(偶)函数；两个奇函数之积是偶函数；两个偶函数之积仍是偶函数；一奇一偶之积是奇函数。 四、数列极限的求法 利用数列极限的四则运算法则、性质以及已知极限求极限。(1)若数列分子分母同时含n，则同除n的最高次项。（2）若通项中含有根式，一般采用先分子或分母有理化，再求极限的方法。(3)所求数列是无穷项和，通常先用等差或等比数列前n项求和公式求出，再求极限。（4）利用两边夹逼定理求数列极限，方法是将极限式中的每一项放大或缩小，并使放大、缩小后的数列具有相同的极限。通式为形如1的无穷次方的不定式，一般采用两个重要极限中等于e的那个式子求解。 五、函数极限的求法 1.用数列求极限方法， 2.在一点处连续，则在此处极限等于此处函数值， 3.分段函数，在某点极限存在，则此处左右极限都存在且相等。 主要公式总结 第八章空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程 第一章 函数极限与连续 （一） 本章重点（important points ）： 1. 了解极限的定义（重点是理解极限定义中的“任意”和“存在”，以及N 与ε的相关性；动态变化性）及求法，定义要从代数及几何两方面进行理解。 2. 理解以及运用两个重要的极限公式（及其拓展形式）。 3. 无穷小理论及其运用（主要是等价无穷小代换，在求极限以及一些证明题中会经常用到，so it is also important!）。 4. 函数的连续（这是以后很多公式定理运用的条件，所以必须掌握地very good ！）。 5. 分段函数的连续性，可导性，及其极限值的求法。 （二） 知识点分析（analysis ）： 常用不等式 1） 绝对值不等式： ||x |?|y ||≤|x ±y |≤|x |+|y | 2） 三角不等式： |x ?z |=|x ?y +y ?z |≤|xy |+|yz | 3） Bernoulli Inequality(贝努力不等式)： 若 x>-1, n ∈z, 且n>=2 则(1+x )n ≥1+nx 4) Cauchy Inequality （柯西不等式）： (∑x i y i ） n i=12 ≤(∑x i 2n i=1)?(∑y i 2n i=1) 5) e x ≥1+x 6) ln(1+n)≤x 7) (1+1n )n <(1+1 n+1 )n+1 && (1+1n ) n+1 >(1+1n ) n+2 即：数列{(1+1n )n } 单调递增， 数列{(1+1n ) n+1 } 单调递减。 8） 设 x ∈z +, 则 1 x+1大学微积分知识点总结
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