椭圆及其标准方程练习题
椭圆及其标准方程练习题
【基础知识】
一．椭圆的基本概念
1. 椭圆的定义：我们把平面内与两个定点 的距离的和等于常数 （ ）的点
的轨迹叫做椭圆，用符号表示为这两个定点叫椭圆的 ，两个焦点之间的距离叫做椭圆的 。
二．椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的性质
椭圆的图象和性质
数学定义式 |MF 1|+|MF 2|=2 a
焦点位置
x 轴 y 轴
y
y
图形
o x
o x
a
三、求椭圆标准方程的常用方法是待定系数法： 椭圆方程的总形式为 [ 经典例题 ] ：
例1. 根据定义推导椭圆标准方程 .
已知 B ，C 是两个定点，｜ BC ｜＝ 6，且
ABC 的周长等于 16，求顶点 A 的轨迹方程
已知 F 1, F 2 是定点， | F 1 F 2|=8, 动点 M 满足| M F 1|+| M F 2|=8 ，则点 M 的轨迹是 （ A ）椭圆 （ B ）直线
（ C ）圆 （ D ）线段
标准方程
焦点坐标 焦距 顶点坐标 a, b, c 的关系式 长、短轴
长轴长 =2a, 短轴长 =2b
对称轴
两坐标轴
离心率
e
c =
( 0 < e < 1)
2 2
例 2. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴两个焦点坐标分别是 (-4,0) 、（ 4， 0），椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于
10；
⑵两个焦点坐标分别是（ 0，－ 2）和（ 0,2 ）且过（
3 , 5 ）
2 2
例 3 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 两个焦点坐标分别是 (-3 ， 0) ，(3 ， 0) ，椭圆经过点 (5 ， 0).
(2) 两个焦点坐标分别是 (0 ， 5) ， (0 ， -5) ，椭圆上一点 P 到两焦点的距离和为 26.
例 4 已知椭圆经过两点（
3 , 5
)与( 3 , 5 ) ，求椭圆的标准方程 2 2
例 5 1. 椭圆短轴长是 2，长轴是短轴的 2 倍，则椭圆离心率是 ；
2. 如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为
；
3. 若椭圆的两个焦点 F 1 、F 2 与短轴的一个端点 B 构成一个正三角形， 则椭圆的离心率为
；
[ 典型练习 ] ：
x
2
y
2
1 椭圆
1 上一点 P 到一个焦点的距离为 5，则 P 到另一个焦点的距离为（
）
25
9
A.5
B.6
C.4
D.10
x
2
y
2
2. 椭圆
1 的焦点坐标是（
）
25 169
A.( ± 5， 0)
B.(0 ，± 5)
C.(0 ，± 12)
D.(
± 12，0)
3. 已知椭圆的方程为 x
8
y 1 ，焦点在 x 轴上，则其焦距为（
）
m
A.2
8 m 2
B.2 2 2 m
C.2 m
2
8
D.
2 m 2 2
4. a
6, c 1 ,焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是
2
x2 5. 椭圆
m 2
y2
1 的焦点坐标是m 5
（A）(±7, 0) （B）(0, ±7) （C）(±7 ,0) （D）(0, ± 7 )
6. 设F1, F2为定点，| F1F2|=6 ，动点M满足| MF1 | | MF2 | 6 ，则动点M的轨迹是（）
A. 椭圆
B. 直线
C. 圆
D.
x 2 y 2
7. 椭圆 1 的左右焦点为F1, F2，一直线过F1交椭圆于A、B 两点，则ABF 2的周长为（）
16 7
A.32
B.16
C.8
D.4
8. P 为椭圆x y2
1 上的一点，F1 和F
2 是其焦点，若∠ F1PF2=60°，则△F1PF2 的面积为.
9. 如果方程100 64
x2ky2 2 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是.
x 2 y2
10. 方程 1 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是.
2m m 1
11. 在△ABC中，BC=24，A C、AB的两条中线之和为39, 求△ABC的重心轨迹方程.
x 2 y2
12. 已知点P 在椭圆 1 上，F1、F2是椭圆的焦点，且PF1⊥PF2，求
49 24
（1）| PF1 | ·| PF2 | （2）△PF1F2 的面积
y
P
F1 o F2 x 2
6. 平面内两个定点 F 1, F 2之间的距离为 2，一个动点 M 到这两个定点的距离和为
6. 建立适当的坐标系，推
导出点 M 的轨迹方程 .
作业
1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出
a,b,c 的值 2
① x 2
y
2
2 1 ；②
x
2
4 y
2
2
1 ；③
x
2
4 y
2
2
1 ；④ 4 y 2
9 x 2
36
x
2
2 椭圆 16 y
2
9
1 的焦距是
，焦点坐标为
；若 CD 为过左焦点 F 1的弦，则 F 2CD 的
周长为
3． 方程 4
x 2
ky
2
1的曲线是焦点在 y 上的椭圆 ，求 k 的取值范围
x
2
4 椭圆
100 y
2
36
1 上一点 P 到焦点 F 1 的距离等于 6，则点 P 到另一个焦点 F
2 的距离是
5 动点 P 到两定点 F 1 (-4,0)， F 2 (4,0)的距离的和是 8，则动点 P 的轨迹为