高二数学同步辅导教材(第17讲)

高二数学同步辅导教材（第17讲）

一、 本章主要内容

8.6抛物线的简单几何性质

课本第120页至第123页

二、 本讲主要内容

1、抛物线的简单几何性质及运用

2、直线和抛物线的位置关系

三、学习指导

1、抛物线的简单几何性质

（1）自身固有的几何性质

① 位置关系：焦点在对称轴上，准线垂直于对称轴；顶点是焦点及焦点在准线上射影的中点； ② 数量关系：焦点到准线距离为p 。

离心率e=1，通径长为2p

（2）解析性质：以抛物线y 2=2px （p>0）为例

① 范围：x ≥0，y ∈R

② 基本参数：焦点F （2p

，0），准线x=2p

，顶点（0，0）

③ 焦半径：抛物线y 2=2px （p>0）上点P （x 0，y 0）到焦点F 距离r=x 0+2p

抛物线y 2=-2px （p>0）上点P （x 0，y 0）到焦点F 距离r=2p

-x 0

抛物线x 2=2py （p>0）上点P （x 0，y 0）到焦点F 距离r=y 0+2p

抛物线x 2=-2py （p>0）上点P （x 0，y 0）到焦点F 距离r=2p

-y 0

2、直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线的位置关系与直线与椭圆双曲线的位置关系一样，有三种：相离、相交、相切，判断方程仍然是判别式法（△法），其中当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线方程与抛物线方程联立消元后所得方程为一元一次方程。所以在用判别式的符号判断直线与抛物线位置关系时，应注意这一退化情形。

四、典型例题

例1、当k 为何值时，直线y=kx+k-2与抛物线y 2

=4x 有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？ 解题思路分析：

直线与抛线线位置关系的判断通过它们的方程构成的方程组的解的情况来判断。

由 ???=-+=x 4y 2k kx y 2得：k 2x 2+2(k 2-2k-2)x+(k-2)2=0

当k=0时，方程退化为一次方程，-4x+4=0，该方程只有一解x=1，原方程组只有一组解???-==2

y 1x ，

∴直线y=-2与抛物线只有一个公共点。

当k ≠0时，二次方程的△=4(k 2-2k-2)2-4k 2(k-2)2=-16(k 2

-2k-1)

当△>0得k 2-2k-1<0，21k 21+<<-，∴当0k 21<<-，或21k 0+<<时，直线与抛物线有两个公共点

由△=0得k=21±，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点

由△<0得21k -<，或21k +>，此时直线与抛物线无公共点

注：1、由本题可知，直线与抛物线只有一个公共点的含义有两种位置情形：

???直线与抛物线相切称轴此直线平行于抛物线对直线与抛物线相交)( 2、因抛物线方程不是关于x 、y 的齐次式，故在消元过程中应适当加以选择，如本题，应消去x 较方便。请同学们实践一下。

例2、过抛物线y 2=2px （p>0)焦点F 的直线与抛物线交于P 、Q 两点，线段PQ 的中垂线交x 轴于R ，求证：|PQ|=2|FR|。

解题思路分析：

引入参数求出|PQ|及|FR|，因PQ 是过F 的旋转直线系，所以将直

线PQ 的斜率作为参数。

显然直线PQ 的斜率存在

设直线PQ ：)2

p x (k y -= 由 ??

???=-=px 2y )2p x (k y 2得：04p k x )2k (p x k 2222=++- 设P （x 1，y 2），Q （x 2，y 2），则由抛物线定义得： 222121k

)1k (p 2p x x )2p x ()2p x (|QF ||PF ||PQ |+=++=+++=+= 为求|FR|，下求点k 坐标，设PQ 中点（x 0，y 0）

则 2

2210k 2)2k (p 2x x x +=+=，k p )2p x (k y 00=+= ∴ PQ 中垂线方程：2

2k 2)2k (p x (k 1k p y +--=-） 令y=0，得：22k k )

2k 3(p x +=

∴ |FR|=22k k

)1k (p |2p x |+=- ∴ |PQ|=2|FR|

注：1、本题在求弦长|PQ|时，因直线PQ 过焦点，故采用了定义，简化计算。

2、在求PQ 中点M 坐标时，除了用韦达定理法，还可用点差法，而且因为抛物线方程是非次式，用点差法相对来说简单一些。

y 12

=2px 1 ①

y 22=2px 2 ②

①-②得：(y 1-y 2)(y 1+y 2)=2p(x 1-x 2)

∵ x 1≠x 2