2014版教材课后习题答案4-7章
P78 第四章
3.一物体按规律x ＝ct 3
在流体媒质中作直线运动，式中c 为常量，t 为时间．设媒质对物体的阻力正比于速度的平方，阻力系数为k ，试求物体由x ＝0运动到x ＝l 时，阻力所作的功．
解：由x ＝ct 3
可求物体的速度： 23d d ct t
x
==
v 1分 物体受到的阻力大小为： 34
32
42299x kc t kc k f ===v 2分
力对物体所作的功为：
?=W W d =?-l
x x kc 03
43
2d 9 =
7
273
7
3
2
l
kc - 2分
4．一人从10 m 深的井中提水．起始时桶中装有10 kg 的水，桶的质量为1 kg ，由于水桶漏水，每升高1 m 要漏去0.2 kg 的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功．
解：选竖直向上为坐标y 轴的正方向，井中水面处为原点．
由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F 等于水桶的重量
即： F =P =gy mg ky P 2.00-=-=107.8 1.96y (SI) 3分
人的拉力所作的功为：
W=??=H
y F W 0
d d ＝?-10
d )96.18.107(y y =980 J 2分
5．质量m ＝2 kg 的质点在力i t F
12=(SI)的作用下，从静止出发沿x 轴正向作直线运动，
求前三秒内该力所作的功．
解： ??=?=t t r F A d 12d v
1分
而质点的速度与时间的关系为
2000
03d 212d 0d t t t t m F
t a t t
t
==+=+
=??
?
v v 2分 所以力F 所作的功为 ??==3
3
30
2d 36d )3(12t t t t t A =729 J 2分
6．如图所示，质量m 为 0.1 kg 的木块，在一个水平面上和一个劲度系数k 为20 N/m 的轻弹簧碰撞，木块将弹簧由原长压缩了x = 0.4 m ．假设木块与水平面间的滑动摩擦系数 k 为0.25，问在将要发生碰撞时
木块的速率v 为多少？
解：根据功能原理，木块在水平面上运动时，摩擦力所作的功等于系统（木块和弹簧）机械能的增量．由题意有 222
1
21v m kx x f r -=
- 而
mg f k r μ=
3分
由此得木块开始碰撞弹簧时的速率为 m
kx gx k 2
2+=μv
1分
= 5.83 m/s 1分
[另解]根据动能定理，摩擦力和弹性力对木块所作的功，等于木块动能的增量，应有
20
2
1
0v m kxdx mgx x
k -
=--?μ k
m
其中
20
2
1kx kxdx x
=
?
7．一物体与斜面间的摩擦系数 = 0.20，斜面固定，倾角 = 45°．现
给予物体以初速率v 0 = 10 m/s ，使它沿斜面向上滑，如图所示．求：
(1) 物体能够上升的最大高度h ；
(2) 该物体达到最高点后，沿斜面返回到原出发点时的速率v ．
解：(1)根据功能原理，有 mgh m fs -=
202
1v 2分 ααμαμsin cos sin mgh Nh fs ==mgh m mgh -==2
02
1ctg v αμ 2分
)
ctg 1(220
αμ+=g h v =4.5 m 2分
(2)根据功能原理有 fs m mgh =-2
2
1v 1分
αμctg 2
12
mgh mgh m -=v 1分
[]21
)ctg 1(2αμ-=gh v =8.16 m/s 2分
8．一链条总长为l ，质量为m ，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为a ．设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为
．令链条由静止开始运动，则
(1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？
(2)链条刚离开桌面时的速率是多少？ 解：(1)建立如图坐标. 某一时刻桌面上全链条长为y ,则摩擦力大小为 g l
y
m
f μ= 1分 摩擦力的功 ??--==00d d a l a l f y gy l
m
y f W μ 2分
=022a l y l mg -μ =2)(2a l l
mg
--μ 2分
(2)以链条为对象，应用质点的动能定理 ∑W ＝2
22
121v v m m -
其中 ∑W = W P ＋W f ，v 0 = 0 1分
W P =?l
a x P d =l
a l mg x x l mg l
a 2)
(d 22-=? 2分
由上问知 l
a l mg W f 2)(2
--=μ
所以
22222
1
)(22)(v m a l l mg l a l mg =---μ
α
h
0v
a
l -a
x
y
a
l -a
得 []
2
1
2
22
)
()(a l a l l
g ---=
μv 2分
9．劲度系数为k 、原长为l 的弹簧，一端固定在圆周上的A 点，圆周的半径R ＝l ，弹簧的另一端点从距A 点2l 的B 点沿圆周移动1/4周长到C 点，如图所示．求弹性力在此过程中所作的功．
解：弹簧长为AB 时，其伸长量为 l l l x =-=21
1分 弹簧长为AC 时，其伸长量为 l l l x )12(22-=-=
1分
弹性力的功等于弹性势能的减少 2
221212
121kx kx E E W P P -=-= 2分 [
]
22
)12(12
1--=
kl 2)12(kl -= 1分
10．一质量为m 的质点在Oxy 平面上运动，其位置矢量为
j t b i t a r
ωωsin cos +=(SI)
式中a 、b 、是正值常量，且a ＞b ． (1)求质点在A 点(a ，0)时和B 点(0，b )时的动能； (2)求质点所受的合外力F 以及当质点从A 点运动到B 点的过程中F
的分力x F 和y F 分
别作的功．
解：(1)位矢 j t b i t a r
ωωsin cos += (SI) 可写为 t a x ωcos = ， t b y ωsin =
t a t x x ωωsin d d -==v ， t b t
y ωωcos d dy
-==v
在A 点(a ，0) ，1cos =t ω，0sin =t ω
E KA =222
22
12121ωmb m m y x =+v v 2分
在B 点(0，b ) ，0cos =t ω，1sin =t ω
E KB =222
22
12121ωma m m y x =+v v 2分
(2) j ma i ma F y x +==j t mb i t ma ωωωωsin cos 2
2-- 2分
由A →B ??-==0
20
d cos d a a x x x t a m x F W ωω=?=
-0
222
21
d a ma x x m ωω 2分
??-==b b y y t b m y F W 020dy sin d ωω=?-=-b mb y y m 02
222
1d ωω 2分
11．某弹簧不遵守胡克定律. 设施力F ，相应伸长为x ，力与伸长的关系为 F ＝52.8x ＋
38.4x 2
（SI ）求：
(1)将弹簧从伸长x 1＝0.50 m 拉伸到伸长x 2＝1.00 m 时，外力所需做的功．
(2)将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质量为2.17 kg 的物体，然后将弹簧拉伸到一定伸长x 2＝1.00 m ，再将物体由静止释放，求当弹簧回到x 1＝0.50 m 时，物体的速率．
(3)此弹簧的弹力是保守力吗？
C
A
解：(1) 外力做的功
＝31 J 1分
(2) 设弹力为F ′
= 5.34 m/s 1分 (3) 此力为保守力，因为其功的值仅与弹簧的始末态有关． 2分
12．如图所示，悬挂的轻弹簧下端挂着质量为m 1、m 2的两个物体，开始时处于静止状态．现在突然把m 1与m 2间的连线剪断，求m 1的最大速度为多少？设弹
簧的劲度系数k ＝8.9×104
N/m ，m 1＝0.5 kg ，m 2＝0.3 kg ．
解：以弹簧仅挂重物m 1时，物体静止（平衡）位置为坐标原点，竖直向下为y 轴正向，此时弹簧伸长为： l 1＝m 1 g / k ① 1
分 再悬挂重物m 2后，弹簧再获得附加伸长为
l 2＝m 2 g /k ② 1分
当突然剪断连线去掉m 2后，m 1将上升并开始作简谐振动，在平衡位置处速度最大．根据机械能守恒，有
21221)(21gl m l l k -+＝21212
121kl m m +v ③ 2分 将①、②代入③得 )
(v k m g m m 121= ≈0.014 m/s ④ 1分
13．用劲度系数为k 的弹簧，悬挂一质量为m 的物体，若使此物体在平衡位置以初速v 突然向下运动，问物体可降低到何处？
解：取物体在平衡位置时，重力势能E P ＝0，设平衡时弹簧的伸长量为x 0，则物体开始向下运动的一瞬间，机械能为
2v m kx E 2
1
21201+=
1分 设物体刚好又下降x 距离的一瞬间速度为零(不再下降)，则该瞬时机械能为
mgx x x k E -+=
202)(2
1
1分 物体运动过程中，只有保守力作功，故系统的机械能守恒：
mgx x x k m kx -+=+2020)(2
1
21212v 2分 把kx 0＝mg 代入上式，可解得： k m x v = 1分
???+==2
1d )4.388.52(d 2x x x
x x x
F W ???=-==1212
d d 2
1'
2x x x x W
x F x F m v m
W
2=v 3分
3分
P103 第五章
3．一飞轮以等角加速度2 rad /s 2
转动，在某时刻以后的5s 内飞轮转过了100 rad ．若此
飞轮是由静止开始转动的，问在上述的某时刻以前飞轮转动了多少时间？ 解：设在某时刻之前，飞轮已转动了t 1时间，由于初角速度 0＝0
则
1
β=t 1 ① 1分
而在某时刻后t 2 =5 s 时间内，转过的角位移为
2
2212
1t t βωθ+
= ② 2分 将已知量=θ100 rad ， t 2 =5s ， =β 2 rad /s 2
代入②式，得
1 =
15 rad /s 1分
从而 t 1 =
1
/=β 7.5ｓ
即在某时刻之前，飞轮已经转动了7.5ｓ． 1分
4．有一半径为R 的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板的转动惯量22
1
mR J =
，其中m 为圆形平板的质量） 解：在r 处的宽度为d r 的环带面积上摩擦力矩为
r r r R mg
M d 2d 2
?π?π=μ
3分 总摩擦力矩 mgR M M R μ3
2
d 0==? 1分
故平板角加速度 =M /J 1分
设停止前转数为n ，则转角 = 2n
由 J /Mn π==422
0θβω 2分
可得 g R M
J n μωωπ16/342
020=π=
1分
5．如图所示，转轮A 、B 可分别独立地绕光滑的固定轴O 转动，它们的质量分别为m A ＝10 kg 和m B ＝20 kg ，半径分别为r A 和r B ．现用力f A 和f B 分别向下拉绕在轮上的细绳且使绳与轮之间无滑动．为使A 、B 轮边缘处的切向加速度相同，相应的拉力f A 、f B 之比应为多少？(其中A 、B 轮绕O 轴转动时的转动惯量分别为221A A A r m J =
和22
1B B B r m J =) 解：根据转动定律 f A r A = J A
A
① 1分
其中2
2
1A A A r m J =
，且 f B r B = J B B
② 1分
B A f A
r B r A
其中22
1
B B B r m J =
．要使A 、B 轮边上的切向加速度相同，应有 a = r A
A
= r B
B
③ 1分
由①、②式，有
B
B B A
A A
B A B A B A B A r m r m r J r J f f ββββ== ④ 由③式有 A
/
B
= r B / r A
将上式代入④式，得 f A / f B = m A / m B = 2
1
2分
6．一质量为m 的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示．轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r ，整个装置架在光滑的固定轴承之上．当物体从静止释放后，在时间t 内下降了一段距离S ．试求整个轮轴的转动惯量(用m 、r 、t 和S 表示)．
解：设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T ，则根据牛顿运动定律和转动定律得：
mg -T ＝ma ① 2
分
T r ＝J ② 2分 由运动学关系有： a = r ③ 2分
由①、②、③式解得： J ＝m ( g －a ) r 2
/ a ④ 又根据已知条件 v 0＝0
∴ S ＝
2
2
1at ， a ＝2S / t 2 ⑤ 2分将⑤式代入④式得：J ＝mr 2
(S
gt 22－1) 2分
7．一定滑轮半径为0.1 m ，相对中心轴的转动惯量为1×103 kg ·m 2
．一变力F ＝0.5t (SI)沿切线方向作用在滑轮的边缘上，如果滑轮最初处于静止状态，忽略轴承的摩擦．试求它在1 s 末的角速度．
解：根据转动定律 M ＝J d / d t 1分 即 d ＝(M / J ) d t 1分
其中 M ＝Fr ， r ＝0.1 m ， F ＝0.5 t ，J ＝1×10-3 kg ·m 2
, 分别代入上式，得
d ＝50t d t 1分
则1 s 末的角速度
1
＝
?1
50t d t ＝25 rad / s 2分
8．一长为1 m 的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动．抬起另一端使棒向上与水平面成60°，然后无初转速地将棒释放．已知棒对轴的转动惯量为
2
3
1ml ，其中m 和l 分别为棒的质量和长度．求： (1) 放手时棒的角加速度；
(2) 棒转到水平位置时的角加速度． 解：设棒的质量为m ，当棒与水平面成60°角并开始下落时，根据转
动定律 M = J 1分
其中 4/30sin 2
1
mgl mgl M ==
1分m
O
r
T r
β
T
mg
l O 60
° m g
于是 2rad/s 35.743 ===
l
g J M β 1分 当棒转动到水平位置时， M =21
mgl 1分
那么 2rad/s 7.1423 ===l
g
J M β 1分
9．长为L 的梯子斜靠在光滑的墙上高为h 的地方，梯子和地面间的静摩擦系数为，若梯子的重量忽略，试问人爬到离地面多高的地方，梯子就会滑倒下来？
解：当人爬到离地面x 高度处梯子刚要滑下，此时梯子与地面间为最大静摩擦，仍处于平衡状态 (不稳定的) ．
1分 N 1－f ＝0， N 2－P ＝0 1分
N 1h －Px ·ctg ＝0 1分
f ＝N 2 1分 解得 2
22/tg h L h h x -=?=μθμ 1分
10．有一半径为R 的均匀球体，绕通过其一直径的光滑固定轴匀速转动，转动周期为T 0．如它的半径由R 自动收缩为
R 2
1
，求球体收缩后的转动周期．(球体对于通过直径的轴的转动惯量为J ＝2mR 2
/ 5，式中m 和R 分别为球体的质量和半径)．
解：球体的自动收缩可视为只由球的内力所引起，因而在收缩前后球体的角动量
守恒． 1分 设J 0和0、J 和
分别为收缩前后球体的转动惯量和角速度, 则有 J 00 = J
① 2分 由已知条件知：J 0 = 2mR 2 / 5，J = 2m (R / 2)2
/ 5
代入①式得 = 40 1分 即收缩后球体转快了，其周期
4
4220
0T T =π=
π
=
ωω
1分 周期减小为原来的1 / 4． 11．一匀质细棒长为2L ，质量为m ，以与棒长方向相垂直的速度v 0在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O 发生完全非弹性
碰撞．碰撞点位于棒中心的一侧L 2
1
处，如图所示．求棒在碰撞后的
瞬时绕O 点转动的角速度．(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为2
3
1ml ，式中的m 和l 分别为棒的质量和长度．) 解：碰撞前瞬时，杆对O 点的角动量为
L m L x x x x L L 0202/0
02/30
02
1d d v v v v ==-?
?
ρρρ 3分
式中为杆的线密度．碰撞后瞬时，杆对O 点的角动量为
L
h N 1 h N 2 P R θ R x R
f
L
2
1L 2
1L O
0v
0v
ωωω2
2
21272141234331mL L m L m J =???
??????
?? ??+??
? ??= 3分
因碰撞前后角动量守恒，所以
L m mL 02
2
1
12/7v =
ω 3分 ∴ = 6v 0 / (7L) 1分 12．如图所示，长为l 的轻杆，两端各固定质量分别为m 和2m 的小
球，杆可绕水平光滑固定轴O 在竖直面内转动，转轴O 距两端分别为
31l 和3
2
l ．轻杆原来静止在竖直位置．今有一质量为m 的小球，以水平速度0v 与杆下端小球m 作对心碰撞，碰后以02
1v
的速度返回，
试求碰撞后轻杆所获得的角速度． 解：将杆与两小球视为一刚体，水平飞来小球与刚体视为一系统．由角动量守恒
得 1分
ωJ l m l
m +-=3
223200
v v （逆时针为正向） ① 2分 又 2
2)3
(2)32(l m l m J += ② 1分
将②代入①得 l
230
v =ω 1分
13．一半径为25 cm 的圆柱体，可绕与其中心轴线重合的光滑固定轴转动．圆柱体上绕上绳
子．圆柱体初角速度为零，现拉绳的端点，使其以1 m/s 2
的加速度运动．绳与圆柱表面无相对滑动．试计算在t = 5 s 时
(1) 圆柱体的角加速度， (2) 圆柱体的角速度，
(3) 如果圆柱体对转轴的转动惯量为 2 kg ·m 2
，那么要保持上述角加速度不变,应加的拉力为多少？
解：(1) 圆柱体的角加速度
＝a / r ＝4 rad / s 2
2分 (2) 根据t t 0βωω+=，此题中0 = 0 ，则 有
t =
t
那么圆柱体的角速度 ====55 t t t βω20 rad/s 1分 (3) 根据转动定律 fr = J
则 f = J / r = 32 N 2分
14．一台摆钟每天快1分27秒，其等效摆长l = 0.995 m ， 摆锤可上、下移动以调节其周期．假如将此摆当作质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向下移动多少距离，才能使钟走得准确？
解：钟摆周期的相对误差T / T =钟的相对误差t / t 2分
等效单摆的周期 g l T /2π=，设重力加速度g 不变，则有 2分
2d T / T =d l / l 1分 令T = d T ，l = d l ，并考虑到T / T = t / t ，则摆锤向下移动的距离
2m m m
O
2
1v 0v
l
3
2l 3
1