《一元二次方程》全章教案

《一元二次方程》全章教案

单元要点分析

教材内容

1．本单元教学的主要内容．

一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．

2．本单元在教材中的地位与作用．

一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．

教学目标

1．知识与技能

了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．

2．过程与方法

（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．?根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．

（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．

（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，?导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．

（4）通过用已学的配方法解ax2+b x+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．

（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．

（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，?并用该模型解决实际问题． 3．情感、态度与价值观

经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．

教学重点

1．一元二次方程及其它有关的概念．

2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．

3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．

教学难点

1．一元二次方程配方法解题．

2．用公式法解一元二次方程时的讨论．

3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键

1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．

2．用配方法解一元二次方程的步骤．

3．解一元二次方程公式法的推导．

课时划分

本单元教学时间约需16课时，具体分配如下：

22．1 一元二次方程 2课时

22．2 降次──解一元二次方程 7课时

22．3 实际问题与一元二次方程 5课时

发现一元二次方程根与系数的关系 2课时

第1课时 22．1 一元二次方程

教学内容

一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．

教学目标

了解一元二次方程的概念；一般式ax2+b x+c=0（a≠0）及其派生的概念；?应用一元二次方程概念解决一些简单题目．

1．通过设置问题，建立数学模型，?模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．

2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．

3．解决一些概念性的题目．

4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键

1．?重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．

2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．

教学过程

一、复习引入

学生活动：列方程．

问题（1）古算趣题：“执竿进屋”

笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。

有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。

借问竿长多少数，谁人算出我佩服。

如果假设门的高为x?尺，?那么，?这个门的宽为_______?尺，长为_______?尺，

?根据题意，?得________．

整理、化简，得：__________．

问题（2）如图，如果AC CB

AB AC

，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．

https://www.sodocs.net/doc/9f15826810.html,

如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________．

整理得：_________．

问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？

如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．

整理，得：________．

老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．

二、探索新知

学生活动：请口答下面问题．

（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？

（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？

（3）有等号吗？还是与多项式一样只有式子？

老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）?都有等号，是方程．

因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

一个一元二次方程经过整理化成a x2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．

解：略

注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.

例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．

分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成a x2+bx+c=0（a ≠0）的形式．

解：略

三、巩固练习

教材P32练习1、2

补充练习:判断下列方程是否为一元二次方程？

(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5

x

=0 (4) x2-4=(x+2) 2(5) a x2+bx+c=0

四、应用拓展

例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17?≠0即可．证明：m2-8m+17=（m-4）2+1

∵（m-4）2≥0

∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0

∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

?练习: 1.方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？

2.当m为何值时,方程(m+1)x／4m／-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程

五、归纳小结（学生总结，老师点评）

本节课要掌握：

（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式a x2+bx+c=0（a≠0）?和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．

六、布置作业

1．教材P34习题22．1 1(2)(4)(6)、2．

2．选用作业设计．补充:若x2-2x m-1+3=0是关于x的一元二次方程,求m的值

作业设计

一、选择题

1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．

①3x2+7=0 ②a x2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5

x

=0

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、?一次项系数和常数项分别为（）． A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6

3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．

A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数

二、填空题

1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．

2．一元二次方程的一般形式是__________．

3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．

三、综合提高题

1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）x-（x+1）是一元二次方程？

2．关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？

3．一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，?是这样做的：

设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：

第一步：

所以，________

第二步：

所以，________

（1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；

（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为______．

课后反思

第2课时 22．1 一元二次方程

教学内容

1．一元二次方程根的概念；

2．?根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目． 教学目标

了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．

提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题． 重难点关键

1．重点：判定一个数是否是方程的根；

2．?难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．

教学过程

一、复习引入

学生活动：请同学独立完成下列问题．

问题1．前面有关“执竿进屋”的问题中,我们列得方程x 2

-8x+20=0

列表：

问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2

+7x=44

列表：

老师点评（略） 二、探索新知 提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2?中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题2中还有其它解吗？ 老师点评：（1）问题1中x=2与x=10是x 2-8x+20=0的解，问题2中，x=4是x 2+7x-44=0

的解.（2）如果抛开实际问题，问题2中还有x=-11的解．

一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．

回过头来看：x 2-8x+20=0有两个根，一个是

2，另一个是10，都满足题意；但是，问题2中的x=-11的根不满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解． 例1．下面哪些数是方程2x 2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．

分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．

解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二

次方程2x2+10x+12=0的两根．

例2.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值

练习:关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值

点拨:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解.

例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0

分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．解：略

三、巩固练习

教材P33思考题练习1、2．

四、应用拓展

例3．要剪一块面积为150c m2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，?这块铁片应该怎样剪？

设长为xcm，则宽为（x-5）cm

列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0

请根据列方程回答以下问题：

（1）x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．

（2）完成下表：

（3）你知道铁片的长x是多少吗？

分析：x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，?但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根．

解：（1）x不可能小于5．理由：如果x<5，则宽（x-5）<0，不合题意．

x不可能等于10．理由：如果x=10，则面积x2-5x-150=-100，也不可能．（2）

（3）铁片长x=15cm

五、归纳小结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握：

（1）一元二次方程根的概念；

（2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；

（3）要会用一些方法求一元二次方程的根．(“夹逼”方法; 平方根的意义)

六、布置作业

1．教材P34复习巩固3、4 综合运用5、6、7 拓广探索8、9．

2．选用课时作业设计．

作业设计

一、选择题

1．方程x（x-1）=2的两根为（）．

A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2 2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（）．

A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2=1

a

C．x1=a，x2=

1

a

D．x1=a2，x2=b2

3．已知x=-1是方程a x2+bx+c=0的根（b≠0）（）．

A．1 B．-1 C．0 D．2

二、填空题

1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．

2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．

3．方程（x+1）2x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．

三、综合提高题

1．如果x=1是方程a x2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．

2．如果关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．

3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（

21 x

x

-

）

2-2x

21

x

x

-

+1=0，?令

21

x

x

-

=y，则有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小

明给出的问题：在（x2-1）2+（x2-1）=0中，求出（x2-1）2+（x2-1）=0的根．

课后反思

第3课时 22.2.1 直接开平方法

教学内容

运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．

教学目标

理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．

提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．

重难点关键

1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．

2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．

教学过程

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题 问题1．填空

（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=（x+______）2．

问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（

2p ）2 2

p

． 问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程于一元一次方程有什

么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？ 二、探索新知

上面我们已经讲了x 2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x 换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？ （学生分组讨论）

老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x ，那么2t+1=±3 即2t+1=3，2t+1=-3

方程的两根为t 1=1，t 2=--2

例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1

分析：很清楚，x 2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1． 解：(2)由已知，得：（x+3）2=2

直接开平方，得：x+3=

即，

所以，方程的两根x 1x 2

例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2

提高到14.4m ，求每年人均住房面积增长率． 分析：设每年人均住房面积增长率为x ．?一年后人均住房面积就应该是10+?10x=10（1+x ）；

二年后人均住房面积就应该是10（1+x ）+10（1+x ）x=10（1+x ）2

解：设每年人均住房面积增长率为x ， 则：10（1+x ）2=14.4 （1+x ）2=1.44

直接开平方，得1+x=±1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2

所以，方程的两根是x 1=0.2=20%，x 2=-2.2

因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2=-2.2应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为20%．

（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？ 共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．?我们把这种思想称为“降次转化思想”． 三、巩固练习

教材P 36 练习．

补充题：如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s?的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，?P 、

Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8c m 2？

B

C

A

Q

https://www.sodocs.net/doc/9f15826810.html,

P

老师点评：

问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2

则PB=x ，BQ=2x 依题意，得：

1

2

x 22x=8 x 2=8 根据平方根的意义，得x=±

即x 1

x 2=

可以验证，

都是方程

1

2

x 22x=8的两根，但是移动时间不能是负值． 所以

PBQ 的面积等于8c m 2．

四、应用拓展

例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？ 分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ，?那么二月份的营业额就应该是（1+x ），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x ）2． 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ． 那么1+（1+x ）+（1+x ）2=3.31 把（1+x ）当成一个数，配方得：

（1+x+

12）2=2.56，即（x+3

2）2=2．56 x+32=±1.6，即x+32=1.6，x+3

2

=-1.6

方程的根为x 1=10%，x 2=-3.1

因为增长率为正数，

所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%． 五、归纳小结

本节课应掌握： 由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=

转化为应用

直接开平方法解形如（mx+n ）2=p （p ≥0），那么mx+n=

，达到降次转化之目的．若p ＜0

则方程无解

六、布置作业

1．教材P45复习巩固1、2．

2．选用作业设计:

一、选择题

1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．

A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程3x2+9=0的根为（）．

A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根

3．用配方法解方程x2-2

3

x+1=0正确的解法是（）．

A．（x-1

3

）2=

8

9

，x=

1

3

±

3

B．（x-

1

3

）2=-

8

9

，原方程无解

C．（x-2

3

）2=

5

9

，x1=

2

3

+

3

，x2=

2

3

D．（x-

2

3

）2=1，x1=

5

3

，x2=-

1

3

二、填空题

1．若8x2-16=0，则x的值是_________．

2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．

3．如果a、b b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．

三、综合提高题

1．解关于x的方程（x+m）2=n．

2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），?另三边用木栏围成，木栏长40m．

（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？

（2）鸡场的面积能达到210m2吗？

3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，?并说明你制作的理由吗？

课后反思

第4课时 22.2.2 配方法(1)

教学内容

间接即通过变形运用开平方法降次解方程．

教学目标

理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，?引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．

重难点关键

1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．

2．?难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们解下列方程

（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7

老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得

x=或mx+n=（p≥0）．

如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗?

二、探索新知

列出下面问题的方程并回答：

（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？

（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？

问题2：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？

（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有．

（2）不能．

既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：

x2+6x-16=0移项→x2+6x=16

两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2+6x+32=16+9

左边写成平方形式→（x+3）2=?25 ?降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5

解一次方程→x1=2，x2= -8

可以验证：x1=2，x2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.

像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．

可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1．用配方法解下列关于x的方程

（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-1

2

=0

分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．

解：略

三、巩固练习

教材P38讨论改为课堂练习，并说明理由．

教材P39练习1 2．（1）、（2）．

四、应用拓展

例3．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B?两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，?几秒后△PCQ?的面积为Rt△ACB 面积的一半．

C A Q

https://www.sodocs.net/doc/9f15826810.html,

P

分析：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．?根据已知列出等式．

解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半． 根据题意，得：

12（8-x ）（6-x ）=12312

3836 整理，得：x 2-14x+24=0

（x-7）2=25即x 1=12，x 2=2

x 1=12，x 2=2都是原方程的根，但x 1=12不合题意，舍去． 所以2秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半． 五、归纳小结 本节课应掌握：

左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程． 六、布置作业

1．教材P 45 复习巩固2．3(1)(2)

2．选用作业设计． 一、选择题

1．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）． A ．（x-2）2+3 B ．（x-2）2-3 C ．（x+2）2+3 D ．（x+2）2-3 2．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）． A ．x 2-8x+（-4）2=31 B ．x 2-8x+（-4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2-4x+4=-11

3．如果m x 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）．

A ．1

B ．-1

C ．1或9

D ．-1或9 二、填空题

1．方程x 2+4x-5=0的解是________．

2．代数式222

1

x x x ---的值为0，则x 的值为________．

3．已知（x+y ）（x+y+2）-8=0，求x+y 的值，若设x+y=z ，则原方程可变为_______，?所以求出z 的值即为x+y 的值，所以x+y 的值为______． 三、综合提高题

1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．

2．如果x 2-4x+y 2

，求（xy ）z 的值．

3．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500?元，?市场调研表明：?当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？

课后反思

第5课时 22.2.2 配方法(2)

教学内容

给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程．

教学目标

了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．

通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．重难点关键

1．重点：讲清配方法的解题步骤．

2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，?两边加上的常数是一次项系数一半的平方．教具、学具准备

小黑板

教学过程

一、复习引入

（学生活动）解下列方程：

（1）x2-4x+7=0 （2）2x2-8x+1=0

老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式，?不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：略. (2)与(1)有何关联?

二、探索新知

讨论:配方法届一元二次方程的一般步骤：

(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；

（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；

（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．

例1．解下列方程

（1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0

分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．

解：略

三、巩固练习

教材P39练习 2．（3）、（4）、（5）、（6）．

四、应用拓展

例2．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6

分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，

那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=1

2

（6x+7）+

1

2

，x+1=

1

6

（6x+7）-

1

6

，因此，方程就转化为

y?的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y

则3x+4=1

2

y+

1

2

，x+1=

1

6

y-

1

6

依题意，得：y2（1

2

y+

1

2

）（

1

6

y-

1

6

）=6

去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72 y2（y2-1）=72，y4-y2=72

（y2-1

2

）2=

289

4

y2-1

2

=±

17

2

y2=9或y2=-8（舍）∴y=±3

当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-2 3

当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-5 3

所以，原方程的根为x1=-2

3

，x2=-

5

3

例3求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0.

五、归纳小结

本节课应掌握：

1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．

2．配方法是解一元二次方程的通法，它重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性（如例3）在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到。

六、布置作业

1.教材P45复习巩固3．（3）（4）

补充：（1）已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则求x+y+z的值

（2）求证：无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数

2.作业设计

一、选择题

1．配方法解方程2x2-4

3

x-2=0应把它先变形为（）．

A．（x-1

3

）2=

8

9

B．（x-

2

3

）2=0

C．（x-1

3

）2=

8

9

D．（x-

1

3

）2=

10

9

2．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．

A ．x 2+1=0

B ．（2x+1）2=0

C ．（2x+1）2+3=0

D ．（1

2

x-a ）2=a 3．已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值是（ ）． A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-2 二、填空题

1．如果x 2+4x-5=0，则x=_______．

2．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2-2x-4y+16的值总是_______数． 3．如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________． 三、综合提高题

1．用配方法解方程．

（1）9y 2-18y-4=0 （2）x 2 2．已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求

22

2x y

x y

-+的值． 3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，?为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，?如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．

①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．

课后反思

第6课时 22.2.3 公式法

教学内容

1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念；

3．利用公式法解一元二次方程． 教学目标

理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．

复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2+bx+c=0（a ≠0）?的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程． 重难点关键

1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．

2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导． 教学过程

一、 复习引入

1． 前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程

（1）x 2=4 (2)(x-2) 2=7

提问1 这种解法的（理论）依据是什么？

提问2 这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程。） 2．面对这种局限性，怎么办？（使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。）

（学生活动）用配方法解方程 2x 2+3=7x

（老师点评）略

总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．

(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边； （4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；

（5）变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实

根．

二、探索新知 用配方法解方程

（1） ax 2－7x+3 =0 (2)a x 2+bx+3=0

(3)如果这个一元二次方程是一般形式a x 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．

问题：已知ax 2

+bx+c=0（a ≠0），试推导它的两个根x 1=2b a

-，

x 2=2b a

-(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？)

分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c?也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：a x 2+bx=-c

二次项系数化为1，得x 2+

b a x=-

c a

配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a

）

2

即（x+2b a

）2=22

44b ac

a - ∵4a 2

>0，4a2＞0, 当b 2

-4ac ≥0时22

44b ac

a -≥0

∴（x+2b a

）2

2

直接开平方，得：x+2b

a

=即

∴x 1x 2 由上可知，一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：

（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，?

将a 、b 、c 代入式子就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了

所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。) （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．

（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 公式的理解

（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1．用公式法解下列方程．

（1）2x 2-x-1=0 （2）x 2

+1.5=-3x (3) x 21

2

=0 （4）4x 2-3x+2=0 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．

补:（5）（x-2）（3x-5）=0 三、巩固练习 教材P 42 练习1．（1）、（3）、（5）或(2) 、(4) 、(6) 四、应用拓展

例2．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22

m x

++（m-2）x-1=0提出了下列问题．

（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？ 分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足:

①211(1)(2)0m m m ?+=?++-≠?或②21020

m m ?+=?-≠?或③1020m m +=??-≠?

解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2

m 2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0

当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1

b 2-4ac=（-1）2-4323（-1）=1+8=9

x=

(1)13

224

--±±=?

x 1=，x 2=-

1

2

因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=-12

． （2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0

因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意．

②当m 2+1=0，m 不存在．

③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意．

当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1

当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0

解得x=-

13

因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-?1时，其一元一次方程的根为x=-

13

． 五、归纳小结 本节课应掌握：

（1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念；

（3）应用公式法解一元二次方程的步骤:1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算b 2-4ac ，若结果为负数，方程无解，4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。 （4）初步了解一元二次方程根的情况． 六、布置作业

1．教材P 45 复习巩固4．

2．选用作业设计:

一、选择题

1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．

A ．x=

32-± B ．x=32

C ．x=

32-± D ．x=32

±

22的根是（ ）．

A ．x 1，x 2

B ．x 1=6，x 2

C ．x 1，x 2

D ．x 1=x 2

3．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）． A ．4 B ．-2 C ．4或-2 D ．-4或2 二、填空题

1．一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________． 2．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．

3．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____． 三、综合提高题

1．用公式法解关于x 的方程：x 2-2ax-b 2+a 2=0．

2．设x 1，x 2是一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，（1）试推导x 1+x 2=-

b a ，x 1·x 2=c

a

；（2）?求代数式a （x 13+x 23）+b （x 12+x 22）+c （x 1+x 2）的值．

3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，?那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10?元用电费外超过部分还要按每千瓦时

100

A

元收费． （1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（?用A 表示）

（2

根据上表数据，求电厂规定的A 值为多少？ 课后反思:

第7课时 22.2.4 判别一元二次方程根的情况

教学内容

用b 2-4ac 大于、等于0、小于0判别ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的情况及其运用． 教学目标

掌握b 2-4ac>0，a x 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b 2-4ac=0，a x 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b 2-4ac<0，ax 2+bx+c=0（a ≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．

通过复习用配方法解一元二次方程的b 2-4ac>0、b 2-4ac=0、b 2-4ac<0各一题，?分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目． 重难点关键

1．重点：b 2-4ac>0?一元二次方程有两个不相等的实根；b 2-4ac=0?一元二次方程有两个相等的实数；b 2-4ac<0?一元二次方程没有实根． 2．难点与关键

从具体题目来推出一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的b 2-4ac 的情况与根的情况的关系． 教具、学具准备

小黑板 教学过程

一、复习引入

（学生活动）用公式法解下列方程．

（1）2x 2-3x=0 （2）3x 2（3）4x 2+x+1=0

老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b 2-4ac=9>0，?有两个不相等的实根；（2）b 2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b 2-4ac=│-43431│=<0，?方程没有实根.

二、探索新知

请观察上表，结合b -4ac 的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的猜想。 从前面的具体问题，我们已经知道b 2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：

求根公式：x=2b a -±，当b 2-4ac>0等于一

个具体数，所以一元一次方程的x 1x 1

的实根．当b 2-4ac=0时，?，所以x 1=x 2=

2b

a

-，即有两个相等的实根；当b 2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解． 因此，（结论）（1）当b 2-4ac>0时，一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）?有两个不相等实

数根即x 1=2b a -+，x 2=2b a

-．

（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根即x 1=x 2=

2b

a

-． （3）当b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）没有实数根． 例1．不解方程，判定方程根的情况 （1）16x 2+8x=-3 （2）9x 2+6x+1=0 （3）2x 2-9x+8=0 （4）x 2-7x-18=0

分析：不解方程，判定根的情况，只需用b 2-4ac 的值大于0、小于0、等于0?的情况进行分析即可． 解：（1）化为16x 2+8x+3=0

这里a=16，b=8，c=3，b 2-4ac=64-431633=-128<0 所以，方程没有实数根．

《二元一次方程》教学设计

《8．1二元一次方程》教学设计（1课时） 一、教材的地位与作用 《二元一次方程》是九年义务教育教科书人教版教材七年级下册第八章《二元一次方程组》的第一节。在此之前学生已经学习了一元一次方程，这为本节的学习起了铺垫的作用。本节内容是二元一次方程的起始部分，因此，在本章的教学中，起着承上启下的地位。 二、教学目标 (一)知识与技能： 1.了解二元一次方程概念； 2.理解二元一次方程的解的概念和解的不唯一性； 3. 学会求出某二元一次方程的几个解和检验某对数值是否为二元一次方程的解; 4会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。 (二)过程与方法： 初步学会利用二元一次方程来解决实际问题，感受二元一次方程解的不唯一性。获得求二元一次方程解的思路方法。体会学习二元一次方程的必要性，学会独立思考，体会数学的转化思想和主元思想。 (三)情感态度： 通过与一元一次方程的比较，加强学生的类比的思想方法; 通过“合作学习”，使学生认识数学是根据实际的需要而产生发展的观点.，并在解决问题的过程中，渗透类比的思想方法和德育教育. 三、教学重点与难点 教学重点：二元一次方程及其解的概念。 教学难点：把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。 四、教法与学法分析 教法：情境教学法、比较教学法、阅读教学法。 学法：阅读、比较、探究的学习方式。 五、教学过程 （一）创设情境，引入新课 从学生喜欢篮球到学生熟悉的姚明进行引入。 师：火箭队最近取得了20连胜，姚明参加了前面的12场比赛，是球队的顶梁柱。 （1）连胜的第12场，火箭对公牛，在这场比赛中，姚明得了12分，其中罚球得了2分，你知道姚明投中了几个两分球？(本场比赛姚明没投中三分球)师：能用方程解决吗？列出来的方程是什么方程？ （2）连胜的第1场，火箭对勇士，在这场比赛中，姚明得了36分，你知道姚明投中了几个两分球，罚进了几个球吗？(罚进1球得1分,本场比赛姚明没投中三分球)师:这个问题能用一元一次方程解决吗?,你能列出方程吗? 设姚明投进了x 个两分球,罚进了y个球，可列出方程______。 （3）在雄鹿队与火箭队的比赛中易建联全场总共得了19分，其中罚球得了3分。你知道他分别投进几个两分球、几个三分球吗？ 设易建联投进了x个两分球，y个三分球,可列出方程______。 师：对于所列出来的三个方程，后面两个你觉的是一元一次方程吗？那这两个方

(精)人教版数学九年级上册《二次函数》全章教案(最新)

22．1二次函数的图像和性质（一） 一、学习目标 1．知识与技能目标： （1）理解并掌握二次函数的概念； （2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式； （3）能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。 二、学习重点难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 2．难点：理解二次函数的概念。 三、教学过程 （一）创设情境、导入新课： 回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？ （二）自主探究、合作交流： 问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。问题2：n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系? 问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。 问题5：什么是二次函数？ 形如。 问题6：函数y=ax2+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？

（三）尝试应用： 例1． 关于x 的函数 是二次函数， 求m 的值． 注意：二次函数的二次项系数必须是 的数。 例2． 已知关于x 的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7。求这个二次函数的解析式．(待定系数法) （四）巩固提高： 1．下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=3x －1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2－2x+1; (5)y=x 2－x(1+x); (6)y=x － 2+x ． 2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。 3、n 支球队参加比赛，每两支队之间进行一场比赛。写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式。 4、已知二次函数y=x2+px+q ，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为－ 5， 求这个二次函数的解析式． （五）小结： 1．二次函数的一般形式是 。2．会用 法求二次函数解析式。 （六）作业设计 22．1二次函数 y=ax 2的图像和性质（二） 一．学习目标： m m 2 21)x (m y --=

新人教版一元一次方程全章优秀教案

新人教版七年级上册数学 第三章一元一次方程教案 （2015年秋季学期） 授课者：蒋宏亮 学校：东兴市京族学校 第三章一元一次方程 单元要点分析 教案内容 方程就是将众多实际问题“教案化”的一个重要模型?因此，课本从学生熟悉的实际问题开始，从算式到方程，展开方程的学习，以使学生认识到方程的出现源于解决问题的需要，体会学习方程的意义和作用. 本章内容主要分为以下三个部分： 1 ?通过丰富实例，从算式到建立一元一次方程，？展开方程是刻画现实生活的 有效数学模型. 2 .运用等式的基本性质解方程，归纳移项法则，运用分配律，？归纳“合并”、“去括号”等法则，逐步展现求解方程的一般步骤，这些内容的学习不是孤立进行 的，始终从实际问题出发，使学生经历模型化的过程，激发学生的好奇心和主动学习的欲望. 3 .运用方程解决丰富多彩的、贴近学生生活的实际问题，？展现运用方程解决 实际问题的一般过程. 为了使学生经历“建立方程模型”这一数学化的过程，理解学习方程的意义，培养学生的抽象概括等能力，课本内容的呈现都以求解决一个实际问题为切入点，让学生经历抽象、符号变号、应用等活动，在活动中培养学生解决问题的兴趣和能力，提高学生的思维水平和应用数学知识去解决实际问题的意识. 三维目标 1 ．知识与技能根据具体问题中的数量关系，经历形成方程模型，解方程和运用方程解决实际

问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型． 2 ．过程与方法 （1）了解一元一次方程及其相关概念，会解一元一次方程．（数学系数） （2）能以一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题，包括列方程，?求解 方程和解释结果的实际意义及合理性，提高分析问题、解决问题的能力． 3．情感态度与价值观培养学生求实的态度。培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。 激发学生的好奇心和主动学习的欲望，体会数学的应用价值．重、难点与关键 1 ．重点：一元一次方程有很多直接应用，?解一元一次方程是解其他方程和方程组的基础．因此本章重点在于使学生能根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本方法，能运用一元一次方程解决实际问题． 2 ．难点：正确地列出一元一次方程的解决实际问题． 3 ．关键：（1）熟练地解一元一次方程的关键在于正确地了解方程、方程解的意义和运用等式的两个性质． （2）正确地列出方程的关键在于正确地分析问题中的已知数、未知数，?并找 出能够表示应用题全部含义的相等关系． 3.1 从算式到方程 §3.1.1 一元一次方程（一）教案目标： 知识与技能： 通过处理实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步；过程与方法： 初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念；情感、态度、价值观： 培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。 教案重点：从实际问题中寻找相等关系 教案难点：从实际问题中寻找相等关系 教案过程： 一、情境引入 提出教科书第78 页的问题，并用多媒体直观演示： 问题1：从题中你能获得哪些信息？（可以提示学生从时间、路程、速度、等方面去考虑。）可以在学生回答的基础上做回顾小结问题2:你会用算术方法求出A,B两地的距离吗？列算式试试。 教师可以在学生回答的基础上做回顾小结： 1、问题涉及的三个基本物理量及其关系； 2、对于客车，1km所用的时间为—h，而卡车所用的时间为—h；所以1km， 70 60 1 1 客车比卡车少用的( ---------- )h。路程多少千M时客车才比卡车少用1h呢？ 60 70 1 1

解一元二次方程--教学设计(张洁)

一、关联认知经验， 明确研究方向 问题（1）我们上节课已经学习了一元二次方程的概念，按照你以往的学习经验，接下来我们要研究什么呢？ 活动（1）请每组同学写出一些一元二次方程，为了方便观察，我们统一都写成一元二次方程的一般形式. 活动（2）虽然同学们写的都是一般形式，但是我们还是发现大家能够写出看起来是各式各样的一元二次方程.当我们要研究一个比较复杂的情形时可以怎么办呢？对，分类.那么请同学试着将这些一元二次方程分分类吧. 活动（3）请每组同学领一张任务纸，讨论呈现方式后，将自己小组同学写出的所有一元二次方程进行归类。学生预案： 根据已有的学习一元一次方程和分式 方程的经验，我们是按照方程的概念、解 法和应用的顺序展开研究，下面应该研究 一元二次方程的解法了. 学生预案： 分类方法可能有： （1）按等号左边多项式所含的项数分； （2）按系数是否为零分等情况； 教师预案： 根据学生的分类情况及时回应，如果 学生分类范围比较大，追问还能细分么？ 例子中若含有x2+1=0，x2+2x=0则引导学 生细分为两种情况，例子中若不含 x2+2x=0，教师不急于补充，在接下来的环 节中引导学生自主写出. 经过讨论，发现当a>0时，根据b、c 正、零、负的不同取值，一元二次方程共 有9种不同的类型；当a<0时，依据等式 的基本性质可将方程变为a>0的情形，因 此我们可以直接对b、c进行分类,对这9 类情形进行解法探究. 学生预案： 类别的呈现会出现直接罗列、树状 图、列表格等不同的形式。 教师预案： 用实物投影全班展示,比一比谁的呈 现方式更加直观简洁。 让学生有意识的 根据自己的学习经验， 总结代数学中研究方 程的一般顺序.自主提 出研究的内容和方向. 让学生自己写一 元二次方程，是对定义 的一次复习，同时也是 训练学生的发散思维， 提高同学的参与度和 研究兴趣的一种策略. 使学生在分类活 动中逐步认识一元二 次方程的各种形式，为 探究一元二次方程的 解法布好局，学生在接 下来的学习中探究每 个不同形式的方程解 法，也就完成了整个单 元中解法探索的整合 教学.使学生的学习是 连贯的、系统的，知识 的建构是完整的. “列表格”是数学中 常用的分析问题的方 法，既有直观简洁的特 征，又能体现分类者的 思维顺序。这里，通过 填表加深学生对一元 二次方程各项系数的 认识，以及方程不同类 型的理解，并为后续研

人教版初中数学七年级下册第八章：二元一次方程组(全章教案)

教材简析 本章的内容包括：(1)二元一次方程、二元一次方程组的相关概念；(2)解二元一次方程组的两种基本方法——代入消元法、加减消元法；(3)列二元一次方程组解决实际问题；(4)三元一次方程组的解法．方程是一种重要的描述现实世界的数学模型，而二(三)元一次方程组是刻画现实问题的重要数学模型．用它解决实际问题时，要注意分析题中的等量关系，引进适当的未知量，建立相应的方程． 方程与方程组是中考命题的重点和热点，主要考查用定义判断二元一次方程组，二元一次方程组的解法，用二元一次方程组解决实际问题，多以选择题、填空题和解答题的形式出现，难度中等． 教学指导 【本章重点】 二元一次方程组的有关概念、解法和应用． 【本章难点】 1．灵活选用适当的方法解二元一次方程组． 2．列二元一次方程(组)解决实际问题． 3．三元一次方程组的解法． 【本章思想方法】 1．体会和掌握化归思想，如通过消元，把“三元”转化为“二元”，把“二元”转化为“一元”，这一过程体现了化归思想． 2．体会分类讨论思想，如求二元一次方程的整数解和列方程组解应用题时，有些问题需要分类讨论，分类的关键是根据分类的目的找出分类的对象，分类既不能重复，也不能遗漏，最后要全面总结． 3．掌握数学建模思想，如通过探索实际应用问题中的数量关系和变化规律，从中抽象出二元一次方程(组)模型，并运用二元一次方程(组)的知识解决实际问题． 课时计划 8．1二元一次方程组1课时 8．2消元——解二元一次方程组2课时 8．3实际问题与二元一次方程组1课时 *8.4三元一次方程组的解法1课时

教学目标 一、基本目标 【知识与技能】 1．了解二元一次方程(组)的概念和二元一次方程(组)解的含义． 2．会检验一对数是不是二元一次方程组的解，会利用列表尝试的方法求简单的二元一次方程组的解． 【过程与方法】 经历探索二元一次方程组的过程，培养学生观察、分析、概括的能力． 【情感态度与价值观】 通过对实际问题的分析及合作探究的过程，培养学生实事求是的态度． 二、重难点目标 【教学重点】 二元一次方程组的定义和二元一次方程组的解的定义． 【教学难点】 利用列表尝试的方法求简单的二元一次方程组的解． 教学过程 环节1自学提纲，生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P88～P89的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】 (一)二元一次方程 1．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 2．一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．3．教材P88问题答案： 解：方程x＋y＝10与2x＋y＝16都含有两个未知数x和y，且含有未知数的项的次数都是1，而一元一次方程只含有一个未知数． 4．下面哪些是二元一次方程？为什么？ (1)x2＋y＝20； (2)2x＋5＝10； (3)2a＋3b＝1； (4)x2＋2x＋1＝0；

二次函数教案设计(全)

课题：1.1二次函数 教学目标： 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、会用待定系数法求二次函数的解析式。 教学重点：二次函数的概念和解析式 教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 教学设计： 一、创设情境，导入新课 问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题） 二、 合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系： （1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( Cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2) （一）教师组织合作学习活动： 1、先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。 2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。 （1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2+58x-112 （二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法。 x

【教学设计】《一元一次方程》示范教学方案

第三章一元一次方程 3.1从算式到方程 《一元一次方程》教学设计 一、教学目标 1.了解方程及一元一次方程的概念． 2.使学生经历把实际问题抽象为数学方程的过程，认识到方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，初步体会建立数学模型的思想． 二、教学重点及难点 重点：方程及一元一次方程的概念，方程思想． 难点：从列算式到列方程的思维习惯的转变． 三、教学用具 电脑、多媒体、课件 四、相关资源 视频《一元一次方程定义的应用》，与课本内容要保持一致 . 五、教学过程 （一）创设情境 一辆客车和一辆卡车同时从A 地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70 km /h ，卡车的行驶速度是60 km /h ，客车比卡车早1 h 经过B 地．A ，B 两地间的路程是多少？ 1．你会用算术方法解决这个问题吗？ 师生活动：学生审题之后教师展示问题，学生分组讨论解决问题的方法，学生代表展示结果，教师及时给予肯定或帮助，并说明算术解法不便捷．教师提出进一步学习新解法的必要性． 小结：对于1 km 的路程，客车比卡车少用11h 6070??- ??? ，则A ，B 两地间的路程是： 111=420km 6070??÷- ??? （）． 2．在学生尝试算术方法解决问题之后，教师提问： （1）此题中涉及哪些量，这些量之间有什么关系？如何表示？ （2）你认为应引进什么样的未知量？如何用方程表示这个问题中的相等关系？

（3）列方程的依据是什么？ 师生活动：教师与学生一起进行分析，引导学生找出相等关系列出方程． 小结：（1）本题中涉及一个相等关系，是从时间上考虑，两车的行使时间之差为1 h ． （2）如果设A ，B 两地相距x km ，则A ，B 两地间的路程是： 16070 x x -=． （3）列方程的依据是根据问题中的相等关系列出等式． 设计意图：让学生感受用算术解法不容易，使学生认识到进一步学习新解法的必要性． （二）合作探究 1．对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？ 师生活动：教师提出问题，学生思考回答． 小结：设客车行驶时间为x h ，根据路程相等列方程，得：70x ＝60（x ＋1）． 设计意图：这是一个行程问题，用未知量表示路程、时间、速度，让学生体会到用字母也可以表示数量，找出相等关系是列方程的关键所在，通过对问题的思考有助于分析问题．体会一个问题中的相等关系往往不止一个，所以列出方程的角度不是唯一的． 2．比较列算式和列方程解决这个问题各有什么特点？ 师生活动：小组交流、讨论，教师组间巡查，关注学生是否认真讨论． 小结：用算术方法解题时，列出的算式只能用已知数．而列方程时，方程中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数． 这就是说，在方程中未知数（字母）可以和已知数一起表示问题中的数量关系． 设计意图：让学生知道用算术方法解题时，列出的算式只能用已知数，而用方程解决问题时，方程中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数，也就是说，在方程中未知数（字母）可以和已知数一起表示问题中的数量关系． 3．你能归纳出方程的定义吗？ 师生活动：教师引导学生结合上面等式的特征，给出方程的定义．学生归纳出定义之后，教师提问：你能列举方程的一个例子吗？ 归纳：列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式——方程． 设计意图：这是首次正式给出方程的定义，学生在小学已经学过简易方程，通过举例可让学生回顾已经学过的知识．

数学f9第四章《一元一次方程》全章教案

本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 第四章一元一次方程 课标要求： （1）能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；（2）会解一元一次方程；（3）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理. 课时1 从问题到方程（1） 一、教材分析： 1.学习目标： 知识与技能：学会用方程描述问题中数量之间的相等关系. 过程与方法：通过对多种实际问题中数量关系的分析，使学生初步感受方程是刻画现实世界的有效模型. 情感、态度与价值观：初步认识方程与现实世界的密切联系，感受数学的价值. 2.重、难点：理解题意，寻求数量间的等量关系并列出方程. 二、教材处理： 1.情景创设： （1）天平称球（或硬币、铅笔等），见课本P114. （2）排球联赛，某队胜多少场？见课本P114.…… 建议根据实际情况，创设较多的与学生生活相关的实际问题，以激发学生学习兴趣. 2.学生活动、意义建构、数学理论： 用天平演示实验后，学生思考问题一：可以用什么方法解决这个问题？问题二：你是如何解决这个问题的？借助方程能否解，怎样解？ 对排球队胜多少场的问题，学生思考问题一：猜一猜，该队胜了多少场？问题二：可以用什么方法解决这个问题？（尝试法；枚举法；列方程等）问题三：设该队胜了x场，能用方程来解吗？如何解？从而揭示课题——从问题到方程. 3.数学运用： 例1（补）：见教师教学参考资料“某校七年级共有216名师生参加某次活动，用一辆面包车和若干辆客车接送，已知这一辆面包车只能坐16人，还需用多少辆40座的客车？” 学生思考一：设用x辆40座的客车，则客车能接送多少人？ 学生思考二：列方程，等量关系是什么？ 师提供正确的解题格式“设还需用x辆40座的客车.根据题意，得40x+16=216”. 变式训练一：用四辆轿车和若干辆客车接送，已知一辆轿车只能坐4人，还需用多少辆40座的客车？ 变式训练二：用轿车和客车共9辆车接送，已知一辆轿车只能坐4人，还需用多少辆轿车和多少辆40座的客车？……

二元一次方程组学案(全章精编)教学内容

二元一次方程 学习目标： 1、认识二元一次方程 2、了解二元一次方程的解 3、会求二元一次方程的正整数解 4、列二元一次方程 二、例题解析 1、已知方程3x m-2-2y 2n-1=7是二元一次方程，求m 和n 的值． 2、已知? ? ?-==13 y x 是方程42-=-y mx 解，求m 的值. 3、方程82=+y x 的正整数解 补充例题： 1、用x 的代数式表示y 的代数式． x －y ＝3 2x=3y 2x=3y+1 2x=4y-1 3x-4y=3 4x+3y=2 2、把方程化为一般形式： X=y-1 2x=3(y-1) 2(x+1)-3(y-1)=5 3x-1=2(y+1)-1 三、同步练习： 1．已知方程21123 m x +-y 2-3n =1是二元一次方程，则m=_____，n=_______ 2．在（1）5121 (2)(3)(4)2346 x x x x y y y y ==-==????? ? ? ? =-=-==????中， _______是方程7x-3y=2的解；?________是方程2x+y=8的解； 3．若121 3x y ?=??? ?=-?? 是方程4x+9x-15m=0的一组解，则m=_______． 4、甲种面包每个2元，乙种面包每个2.5元，现在某人买了x 个甲种面包，y 个乙种面包，共 花了30元. （1）列出关于x 、y 的二元一次方程 ; （2）如果5=x ，那么=y . （3）如果乙种面包买了4个，那么甲种面包买了 个. 5、二元一次方程x+2y=7的正整数解是______________． 6、现有足够的1元、2元的人民币，需要把面值为10元人民币换成零钱，请你设计几种兑换 方案．

人教版初中数学七年级上册第三章：一元一次方程(全章教案)

第三章一元一次方程 本章的内容包括：一元一次方程及其相关的概念，等式的性质；一元一次方程的解法；利用一元一次方程分析与解决实际问题．方程是一种重要的描述现实世界的数学模型．教材以实际问题为主线引入方程和方程的解的概念，探索等式的性质以及解一元一次方程，然后通过实践与探索，经历“问题情境——建立数学模型——解答——应用与拓展”的过程，体会数学建模思想．在中考中只要考查一元一次方程的解法以及列一元一次方程解应用题，既可能单独命题，也可能结合其他知识综合命题，题型主要是填空题、选择题和解答题． 【本章重点】 1．理解和掌握一元一次方程的解法． 2．能利用一元一次方程解应用题． 【本章难点】

1．能熟练地解一元一次方程． 2．正确地找出应用题中的数量关系，正确地列方程并求解． 【本章思想方法】 1．体会和掌握转化思想．如：在本章中体现转化思想的内容主要有：通过去分母、去括号等过程，将复杂的一元一次方程转化为一元一次方程的最简形式求解．2．掌握方程思想．方程思想在本章内容的体现主要是列方程解决实际问题．解决问题的思路是分析题意，找出题目中的相等关系，列出一元一次方程，解方程，得出答案． 3.1从算式到方程2课时 3.2解一元一次方程(一)——合并同类项与移项2课时 3.3解一元一次方程(二)——去括号与去分母2课时 3.4实际问题与一元一次方程2课时

3.1从算式到方程 3.1.1一元一次方程(第1课时) 一、基本目标 【知识与技能】 1．初步学会寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念． 2．理解一元一次方程、方程的解的概念． 3．掌握检验某个值是不是方程的解的方法． 【过程与方法】 培养学生根据问题寻找相等关系，根据相等关系列出方程的能力． 【情感态度与价值观】 让学生体会数学与生活的密切联系，培养学生热爱数学、热爱生活的乐观人生态度．二、重难点目标 【教学重点】 1．了解一元一次方程及相关概念． 2．寻找相等关系，列出方程． 【教学难点】 寻找问题中的相等关系，正确地列出方程．

七年级数学 第四章一元一次方程 教案 青岛版

第四章 一元一次方程 第1课时 从问题到方程（1） 目的与要求 对实际问题的分析，体会方程作为实际问题的数学模型的作用。 知识与技能 会列一元一次方程解决一些简单的实际应用 情感、态度与价值观 初步认识方程与现实世界的密切联系，感受数学的价值。 教学教程 一、情境引入 我国古代民间流传“百僧分百馍”问题：100个和尚分食100个馒头，大和尚1人吃3个，小和尚3人合吃1个馒头，100个和尚恰好分完100个馒头，问大和尚和小和尚各多少人？ 二、新授 阅读课本P148－150试一试 像这样这含有一个末知数（元）且末知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程 （linear equation with one unknown) 例1、下列各式是方程的是（ ） 例2、下列各式是一元一次方程的是（ ） 例3、已知 例4、根据下列条件列出方程 （1）某数的2倍与3的和等于4 （2）用某数去除14得商2，余数为4 （3）某数增加4倍后得20 例5、毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家，有一次有位数学家问他：：“尊敬的毕达哥位斯，请告诉我，有多少学生在你的学校里听你讲课？”毕达哥拉斯回答说：“一共有这么多学生在听课：其中在学习数学，学习音乐，沉默无言，此外还有三名妇女。”（只列方程不必解答） 例6、 买5瓶饮料，4只面包。 共15.8元钱。 每瓶饮料2.2元，每只面包

三、课堂随练 课堂练习 四、课堂作业 作业纸 五、课堂小结 这节课你学会了什么 六、课后反馈 补充：请你编拟一道符合实际生活的应用题，使编拟的应用题所列出的方程为一元一次方程。

第2课时从问题到方程 教学目的同上 知识与技能同上 情感、态度与价值观同上 教学过程 一、情境引入 强强今年12岁，他的爷爷72岁，想一想，几年后强强的年龄是他爷爷年龄的？ 二、知识新授 什么是等式？ 表示相等关系的式子叫做等式。 什么是方程？ 含有未知数的等式叫做方程？ 什么叫做一元一次方程？ 含有一个未知数（元），并且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程。 注意：未知数在分母中时，他的次数不能看成是1次。（分式方程） 例1、甲，乙两城市间的铁路经过技术改造，列车在两城市间的运行 速度从80km/h提高到100km/h，运行时间缩短了3h。甲，乙两城市间的 路程是多少？ 例2、我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，合理利 用水资源，很多城市制定了用水收费标准。A市规定了每户每月的标准 用水量，不超过标准用水量的部分按每立方米1.2元收费，超过标准用水 量的部分按每立方米3元收费。该市张大爷5月份用水9立方米，需交费16.2元，A市规定的每户每月标准用水量是多少立方米？ （只列方程） 例3、某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念。全班共送出2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（） A.x(x+1)=2550 B.x(x-1)=2550 C.2x(x+1)=2550 D.x(x-1)=2550×2 例4、七年级8个班进行足球友谊赛，比赛采用单循赛制（参加比赛的队每两队之间只进行一场比赛），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某七（4）班积17分，并以不败战绩获得冠军，那么七（4）班共胜几场？

一元二次方程(全章共21课教案)人教版

第十二章一元二次方程 第1课一元二次方程 一、教学目的 1．使学生理解并能够掌握整式方程的定义． 2．使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义． 3．使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式． 二、教学重点、难点 重点：一元二次方程的定义． 难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别． 三、教学过程 复习提问 1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？ 2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？ (l)3x+4=l； (2)6x-5y=7； 3．结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”． 引入新课 1．方程的分类： 通过上面的复习，引导学生答出： 学过的几类方程是 没学过的方程是 x2-70x+825=0，x(x+5)=150． 这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”而在整式方程中，“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．” 据此得出复习中学生未学过的方程是 (4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150． 同时指导学生把学过的方程分为两大类：

2．一元二次方程的一般形式 注意引导学生考虑方程 x2-70x+825=0 和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150， 可化为：x2+5x-150=0． 从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为 ax2+bx+c=0(a≠0) 的形式．并称之为一元二次方程的一般形式．强调，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数．要特别注意：二次项系数a是不等于0的实数(a=0时，方程化为bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可为任意实数．例把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项． 讲解例题 课堂练习 P5-6 1、2 课堂小结 1．方程分为两大类： 判别整式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数；判别一元一次方程，一元二次方程的关键是看方程化为一般形式后，未知数的最高次数是一次还是二次．2．一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，则这样的整式方程称一元二次方程．其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可为任意实数，而a不能等于零． 作业：教材中相关习题． 第2课一元二次方程的解法(一) 一、教学目的 1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程． 2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c ＜0)的方法． 二、教学重点、难点 重点：准确地求出方程的根． 难点：正确地表示方程的两个根． 三、教学过程 复习过程 回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据． 求下列各式中的x： 1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0． 回答解题过程中的依据． 解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．

二元一次方程全章教案

1 8.1二元一次方程组 一、学习内容：教材课题 二元一次方程组 二、学习目标：1、认识二元一次方程和二元一次方程组； 2、了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解. 三、自学探究 1、例题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 思考：这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x ，负的场数是y ，你能用方程把这些条件表示出来吗？ 由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件： 胜的场数＋负的场数＝总场数， 胜场积分＋负场积分＝总积分. 这两个条件可以用方程 ， 表示. 观察上面两个方程可看出，每个方程都含有 未知数（x 和y ），并且未知数的 都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. （P 93） 把两个方程合在一起，写成 x ＋y ＝22 ① 2x ＋y ＝40 ② 像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. （P 94） 2、探究讨论：8.1 满足方程①，且符合问题的实际意义的x 、y 的值有哪些？把它们填入表中. 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 思考：上表 中哪对x 、y 的值还满足方程② x=18 y=4 既满足方程①，又满足方程②，也就是说它们是方程①与方程②的公共解。 二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 四、自我检测 1、 教材P94 练习 2、已知方程：①2x+ 1 y =3；②5xy-1=0；③x 2 +y=2；④3x-y+z=0；⑤2x-y=3；⑥x+3=5，?

【新人教版】九年级数学上册第22章《二次函数》教案

第二十二章二次函数 22．1 二次函数的图象和性质 22．1.1 二次函数 1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式． 3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围． 重点 二次函数的概念和解析式． 难点 本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力． 一.创设情境，导入新课 问题1 现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2 很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)．

二.合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)； (2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)． (一)教师组织合作学习活动： 1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式． 2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨． (1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000 (3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法． 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式． 板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function)，称a为二次项系数，b为一次项系数，c

新人教版七年级上册数学第3章-一元一次方程全章教案

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第三章 一元一次方程 3.1从算式到方程 §3.1.1一元一次方程（一） 教学目标： 知识与技能： 通过处理实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步； 过程与方法： 初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念； 情感、态度、价值观： 培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。 教学重点：从实际问题中寻找相等关系 教学难点：从实际问题中寻找相等关系 教学过程： 一、情境引入 提出教科收第78页的问题，并用多媒体直观演示，同进出现下图： 问题1：从上图中你能获得哪些信息？（可以提示学生从时间、路程、速度、四地的排列顺序等方面去考虑。） 可以在学生回答的基础上做回顾小结 问题2：你会用算术方法求出王家庄到翠湖的距离吗· 教师可以在学生回答的基础上做回顾小结： 1、问题涉及的三个基本物理量及其关系； 2、从知的信息中可以求出汽车的速度； 3、从路程的角度可以列出不同的算式： ()50701510702301513+?--=- ()50701310502301513 +?-+=- 问题3：能否用方程的知识来解决这个问题呢？ 二、学习新知 1、引导学生设未知数，并用含未知数的字母表示有关的数量． 如果设王家庄到翠湖的路程为x 千米，那么王家庄距青山 千米，王家庄距秀水 千米． 2、引导学生寻找相等关系，列出方程． 问题1:题目中的“汽车匀速行驶”是什么意思？ 问题2:汽车在王家庄至青山这段路上行驶的速度该怎样表示你能表示其他各段路程的车速吗 问题3：根据车速相等，你能列出方程吗？

七年级数学下册 第二章 一元一次方程教案 (新版)新人教版

第二章一元一次方程教案 一、背景与意义分析 本课安排在第1章“有理数”之后，属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中的“数与代数”领域。 方程有悠久的历史，它随着实践需要而产生，被广泛应用。从数学科学本身看，方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推动了整个代数学的发展。从代数中关于方程的分类看，一元一次方程是最简单的代数方程，也是所有代数方程的基础。 本课中引出了方程、一元一次方程等基本概念，并且对“根据实际问题中的数量关系，设未知数，列出一元一次方程”的分析问题过程进行了归纳。以方程为工具分析问题、解决问题，即建立方程模型是全章的重点，同时也是难点。分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示其中的相等关系，是始终贯穿于全章主线，而对一元一次方程的有关概念和解法的讨论，是在建立和运用方程这种数学模型的大背景之下进行的。列方程中蕴涵的“数学建模思想”是本课始终渗透的主要数学思想。 在小学阶段，已学习了用算术方法解应用题，还学习了最简单的方程。本小节先通过一个具体行程问题，引导学生尝试如何用算术方法解决它，然后再一步一步引导学生列出含有未知数的式子表示有关的量，并进一步依据相等关系列出含有未知数的等式——方程。这样安排目的在于突出方程的根本特征，引出方程的定义，并使学生认识到方程是最方便、更有力的数学工具，从算术方法到代数方法是数学的进步。 算术表示用算术方法进行计算的程序，列算式是依据问题中的数量关系，算术中只能含已知数而不能含未知数。列方程也是依据问题中的数量关系（特别是相等关系），它打破了列算式时只能用已知数的限制，方程中可以根据需要含有相关的已知数和未知数，未知数进入式子是新的突破。正因如此，一般地说列方程要比列算式考虑起来更直接、更自然，因而有更多优越性。 二、学习与导学目标 １、知识积累与疏导：通过现实生活中的例子，体会到方程的意义，领悟一元一次方程的定义，会进行简单的辨别。 ２、技能掌握与指导：能根据具体问题中的数量关系，列出方程，感悟到方程是刻画现实世界的一个有效模型。利用率１００％。 ３、智能的提高与训导：在与他人交流探究过程中，学会与老师对话、与同学合作，合理清晰地表达自己的思维过程。 ４、情感修炼与开导：积极创设问题情景，认识到列方程解应用题的优越性，初步体会到“从算式到方程是数学的进步”的含义。 ５、观念确认与引导：通过经历“方程”这一数学概念的形成与应用过程，感受到“问题情境——分析讨论——建立模型——解释应用——转换拓展”的模式，从而更好地理解“方程”的意义。结合例题培养学生观察、类比的能力和渗透数形结合思想。 三、障碍与生成关注 通过“问题情境”，建立“数学模型”，难度较大，为此要充分引导学生关注生活实际，仔细分析题目题意，促使学生朝“数学模型”方面理解。 四、学程与导程活动 （一）创设情景、引入新课 同学们知道南通市的东城区吗？那宽广的人民东路延伸段正吸引着许多投资者的目光，南通市最大的环保热电厂已在东城区的新胜村拔地而起（图片展示），让我们乘３６路公交车去感受一下吧！

初中数学八年级下册第2章一元二次方程2.1一元二次方程教案新版浙教版

2.1 一元二次方程 教学内容 一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式及有关概念． 教学目标 了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念；应用一元二次方程的概念解决一些简单题目． 1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目. 4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 重难点 重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． 教学过程 一、情景导入 学生活动：列方程． 问题(1)古算趣题：“执竿进屋” 笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭. 有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足. 借问竿长多少数，谁人算出我佩服. 如果假设门的高为x尺，那么这个门的宽为_______尺，长为_______尺. 根据题意，得________． 整理、化简，得__________． 二、探索新知 学生活动：请口答下面问题． (1)上面方程整理后含有几个未知数？ (2)按照整式中的多项式的规定，它的最高次数是几次？ (3)有等号吗？还是与多项式一样只有式子？ 老师点评：(1)只含一个未知数x；(2)它的最高次数是2；(3)有等号，是方程． 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0

第八章《二元一次方程组》全章教案

第八章二元一次方程组 8.1二元一次方程组 教学目标： 1．认识二元一次方程和二元一次方程组. 2．了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解. 教学重点： 理解二元一次方程组的解的意义. 教学难点： 求二元一次方程的正整数解. 教学过程： 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 思考： 这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？ 由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件： 胜的场数＋负的场数＝总场数， 胜场积分＋负场积分＝总积分. 这两个条件可以用方程 x＋y＝22 2x＋y＝40 表示. 上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 把两个方程合在一起，写成 x＋y＝22 2x＋y＝40

像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 探究： 满足方程①，且符合问题的实际意义的x 、y 的值有哪些？把它们填入表中. 上表中哪对x 、y 的值还满足方程② 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 例1 （1）方程（a ＋2）x +(b -1)y = 3是二元一次方程，试求a 、b 的取值范围. （2）方程x ∣a ∣ – 1+(a -2)y = 2是二元一次方程，试求a 的值. 例2 若方程x 2 m –1 + 5y 3n – 2 = 7是二元一次方程.求m 、n 的值 例3 已知下列三对值： x ＝－6 x ＝10 x ＝10 y ＝－9 y ＝－6 y ＝－1 （1） 哪几对数值使方程 21 x －y ＝6的左、右两边的值相等？ （2） 哪几对数值是方程组 的解？ 例4 求二元一次方程3x ＋2y ＝19的正整数解. 课堂练习： 教科书第102页练习 习题8.1 1、2题 作业： 教科书第102页3、4、5题 教学反思： 21 x －y ＝6 2x ＋31y ＝－11