八年级数学上册《三角形》(谢)分解

初中数学

八年级数学上册-《三角形》

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授课教师：老谢

11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 教学过程：

一、提出问题，情景导入

三角形是一种最常见的几何图形，如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角形的形象。

那么什么叫做三角形呢？

二、合作学习，新知探究

1、三角形及有关概念 （1）、三角形定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

（2）、理解应注意：①三条线段必须不在一条直线上，②首尾顺次相接。 （3）、三角形相关概念：

边：组成三角形的线段叫做三角形的边。

三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c ，表

示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示，顶点A 所对的边BC 可用

a 表示。 角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简

称角。

顶点：相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

(4)、三角形表示：三角形ABC 用符号表示为△ABC 。.

2、三角形三边的不等关系

任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？

有两条路线：（1）从B →C ，（2）从B →A →C ；不一样， AB+AC ＞BC ①；因为两点之间线段最短。 同样地有 AC+BC ＞AB ② AB+BC ＞AC ③

由式子①②③我们可以知道什么？

三角形的任意两边之和大于第三边.

3、三角形的分类

（1）、按角分类: （2）、按边分类:

a b c (1)C B A

三、知识迁移，巩固提高

例 用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？

分析：（1）等腰三角形三边的长是多少？若设底边长为x ㎝，则腰长是多少？（2）“边长为4㎝”是什么意思？

11.1.2 三角形的高、中线与角平分线

教学过程：

一、提出问题，情景导入

我们已经知道什么是三角形，也学过三角形的高。三角形的主要线段除高外，还有中线和角平分线值得我们研究。

二、合作学习，新知探究

1、三角形的高

（1）、请你在图中画出△ABC 的一条高并说说你画法。

从△ABC 的顶点A 向它所对的边BC 所在的直线画垂线，垂足为D ，所得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高，表示为AD ⊥BC 于点D 。注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。

（2）、请你再画出这个三角形AB 、AC 边上的高，看看有什么发现？结论：三角形的三条高相交于一点。

（3）、如果△ABC 是直角三角形、钝角三角形，上页的结论还成立吗？现在我们来画钝角三角形三边上的高。

（4）、请你画一个直角三角形，再画出它三边上的高。

上面的结论还成立。

2、三角形的中线

（1）、如图二，我们把连结△ABC 的顶点A 和它的对边BC 的中点D ，所

得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线，表示为BD=DC 或BD=DC ＝1/2BC 或2BD=2DC=BC.

（2）、请你在图中画出△ABC 的另两条边上的中线，看看有什么发现？

（3）、如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上页的结论还成立吗？

3、三角形的角平分线

（1）、如图，画∠A 的平分线AD ，交∠A 所对的边BC 于点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD 或∠BAD=∠CAD ＝1/2∠BAC 或2∠BAD=2∠CAD ＝∠BAC 。

思考：三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？

三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。

D C

B A

（2）、请你在图中再画出另两个角的平分线，看看有什么发现？

结论：三角形三个角的平分线相交于一点。

（3）、如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上页的结论还成立吗？请画图回答。

上面的结论还成立。

（4）、想一想：三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同？

结论：三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。

11.1.3三角形的稳定性

教学过程：

一、提出问题，情景导入

盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？

二、合作学习，新知探究

1、三角形的稳定性

〔实验〕

（1）、把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

结论：不会改变。

（2）

（2）、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

结论：会改变。

（3）、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？结论：不会改变。

2、从上面的实验中，你能得出什么结论？

三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。

三、知识迁移，巩固提高

三角形具有稳定性固然好，四边形不具有稳定性也未必不好，它们在生产和生活中都有广泛的应用。如：

钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，活动挂架则是利用四边形的不稳定性。

你还能举出一些例子吗？

11.2.1三角形的内角

教学过程：

一、提出问题，情景导入

我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？

二、合作学习，新知探究

1、三角形内角和的证明

（1）、回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？

把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。

[投影1]

图1

（2）、想一想，还可以怎样拼？

①剪下∠A，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。

图2

②把和剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800

如果把上页移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗？

已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=1800。

由图2、图3你又能想到什么证明方法？请说说证明过程。

三、知识迁移，巩固提高

1、例如图，C岛在A岛的北偏东500方向，B岛在A岛的北偏东800方向，C岛在B岛的北偏西400方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？

分析：怎样能求出∠ACB的度数？

根据三角形内角和定理，只需求出AB和∠CBA的度数即可。

∠CAB等于多少度？怎样求∠CBA的度数？

2、在直角三角形ABC中，∠C＝900由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=1800，

所以∠A+∠B＝900‘三角形内角和定理的推论：直角三角形的两个锐角互余。

11.2.2三角形的外角

一、提出问题，情景导入

如图，△ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？

是∠A、∠B、∠C，它们的和是1800。

若延长BC至D，则∠ACD是什么角？这个角与△ABC的三个内角有什么关系？

二、合作学习，新知探究

1、三角形外角的概念

∠ACD叫做△ABC的外角。也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

想一想，三角形的外角共有几个？（共有六个）

注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角.

2、三角形外角的性质

容易知道，三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角，那与另外两个角有怎样的数量关系呢？

如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？

∵CE∥AB，∴∠A=∠1，∠B=∠2

又∠ACD=∠1+∠2

∴∠ACD=∠A+∠B

你能用文字语言叙述这个结论吗？

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

三、知识迁移，巩固提高

例如图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角，

它们的和是多少？

分析：∠1与∠BAC、∠2与∠ABC、∠3与∠ACB

有什么关系？∠BAC、ABC、∠ACB有什么关系？

解：∵∠1+∠BAC=1800，∠2+∠ABC=1800，∠3+∠ACB=1800，

∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=5400

又∠BAC+∠ABC+∠ACB=1800

∴∠1+∠2+∠3==3600。

你能用语言叙述本例的结论吗？

三角形外角的和等于3600。

11.3．1 多边形

教学过程：

一、情景导入

[投影1]看下页的图片，你能从中找出由一些线段围成的图形吗？

二、多边形及有关概念

这些图形有什么特点？

由几条线段组成；它们不在同一条直线上；首尾顺次相接．

这种在平页内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……、n边形。这就是说，一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形，三角形是最简单的多边形。

与三角形类似地，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，如图中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．如图中的∠1是五边形ABCDE的一个外角。[投影2]

连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．

四边形有几条对角线？五边形有几条对角线？画图看看。

你能猜想n边形有多少条对角线吗？说说你的想法。

n边形有1/2n（n－3）条对角线。因为从n边形的一个顶点可以引n－3条对角线，n个顶点共引n（n －3）条对角线，又由于连接任意两个顶点的两条对角线是相同的，所以，n边形有1/2n（n－3）条对角线。

三、凸多边形和凹多边形

[投影3]如图，下页的两个多边形有什么不同？

在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形。

注意：今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形．

四、正多边形的概念

我们知道，等边三角形、正方形的各个角都相等，各条边都相等，像这样各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

11.3．2 多边形的内角和

一、回顾导入

我们已经证明了三角形的内角和为180°，在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数，知道四边形内角的和为360°，现在你能利用三角形的内角和定理证明吗？

二、多边形的内角和

〔投影1〕如图，从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？

可以引一条对角线；它将四边形分成两个三角形；因此，四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC 的内角和=2×180°=360°。

类似地，你能知道五边形、六边形……n边形的内角和是多少度吗？

〔投影2〕观察下页的图形，填空：

五边形六边形

从五边形一个顶点出发可以引对角线，它们将五边形分成三角形，五边形的内角和等于；

从六边形一个顶点出发可以引对角线，它们将六边形分成三角形，六边形的内角和等于；

〔投影3〕从n边形一个顶点出发，可以引对角线，它们将n边形分成三角形，n边形的内角和等于。