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2004年上海交通大学数学分析答案

2004年上海交通大学数学分析

一（14）设lim n n a a →∞

=，证明22lim

21a

n na a a n n =+++∞

→ 证因2

n x n =∞ ，故利用Stolz 公式，11lim

lim n n n n n n n n

y y y

x x x +→∞→∞+-=-，得

12112222(1)1lim lim lim lim (1)212

n n n n n n n a a na n a n a

a n n n n ++→∞→∞→∞→∞+++++===+-+ 二（14）证明2sin()x 在[)+∞,0上不一致连续.

证

因n x =

n y =22sin sin 1n n x y -=，

0n n x y -=-=→，

故2sin()x 在[)+∞,0上不一致连续.

三（14）设)(x f 在[]a 2,0上连续，且)0(f ＝)2(a f ，证明?0x ∈[]a ,0，使

)(0x f ＝)(0a x f +

证作()()()g x f x a f x =+-（[]0,x a ∈），则()g x 在[]0,a 上连续，因)0(f ＝)2(a f ，故(2)(0)g a g =-，

情形1 若(0)0g =，则取00x =，则)(0x f ＝)(0a x f +，

情形2 若(0)0g ≠，则因2(2)(0)(0)0g a g g =-<，故由介值定理知，存在[]00,x a ∈，使得0()0g x =，即)(0x f ＝)(0a x f +.

四（14）证明不等式x π

2＜x sin ＜x ，??

?∈2,0πx

证作sin ()x f x x =

，π0,2x ??

∈ ???

，则因 2

2cos sin cos ()(tan )0x x x x f x x x x x

-'==-<，故sin ()x f x x =在π0,2??

???上严格单调减少，而0lim ()1x f x →=，π22lim ()πx f x →=，因此，在π0,2?? ???上，有2sin ()1πx f x x <=<，即x π2＜x sin ＜x .

五 (14) 设()d a

f x x +∞?

收敛,且)(x f 在[)+∞,a 上一致连续，证明)(lim

x f x +∞

→=

证因)(x f 在[)+∞,a 上一致连续，故0ε?>，0δ?>，使得当

[)12,,t t a ∈+∞且12t t δ-<时，有12()()2

f t f t ε

，

令(1)()d a n n a n u f x x δ

++-=

，则由积分第一中值定理得，

[](1),n x a n a n δδ?∈+-+，使得(1)()d ()a n n n a n u f x x f x δ

δ++-=

因()d a

f x x +∞?

收敛，故级数1

n n u ∞

=∑收敛，从而0n u →，即

()0n f x δ→，也即()0n f x →，故对上述的ε，存在N +∈ ，使得

当n N >时，()2

n f x ε

取X a N δ=+，则当x X >时，因

[)[)0,(1),k x a a k a k δδ∞

=∈∞=+-+

故存在惟一的k +∈ ，使得[)(1),x a k a k δδ∈+-+，易见k N >，且k x x δ-<，从而

()()()()2

k k f x f x f x f x ε

ε≤+-<+

六（14）设211

n x n -=，121d n n n x x x +=?，1,2,n = ，证明级数()∑∞=--1

11n n n x 收

敛.

解. 11

211d ln |ln(1)n n n n n x x x x n ++===+?，因2121n n S S k +=+，故只要证 ()12111

11ln(1)n n

k n k k k S x k

k -==??=-=-+????∑∑22111()2n k k k =??=+????∑ 收敛即可.

七（14）设)(x f 在[]1,0上连续，)1(f = 0 ,n n x x f x g )()(= ，1,2,n = ，证明)}({x g n 在[]1,0上一致收敛.

八（12）设()f x 在[]1,0上连续，证明1

lim ()d n n n x f x x →∞

?＝)1(f .

证（1）（令n t x =，则10

()d n n x f x x ?1

()d n n

t f t t =?，

（2）因()f x 在[]1,0上连续，故0M ?>，使得()f x M ≤，[]0,1x ∈，（3）

0ε?>，记3a M

，不妨设01a <<，则

110

()d ()d d 3

a a

t f t t t f t t M t Ma ε

≤≤==

??，

（4）11111111

()d (1)[()(1)]d ()(1)d n n

a a

t f t t f t

f t f t t f t f t -=-≤-???

11111()(1)(1)(1)d n

t f t t f t f f t =-+-?

111

()(1)d (1)1d n

f t f t f t t ≤-+-??

（5）因()f x 在[]1,0上连续，故()f x 在[]1,0上一致连续，故对上述的正数ε，0δ?>，当[]12,0,1x x ∈且12x x δ-<时，有

12()()3(1)

f x f x a ε

（6）因1lim 1n

n a →∞

=，记min{,

}3(1)

M a ε

εδ*=-，则存在正整数N ，使得当

n N >时，有11n

a ε*-<，

（7）当(,1)t a ∈时，有111111n n

t t

a -=-≤-，从而当n N >时，有

111

()(1)d (1)1d 3

f t f t f t t ε

-+-<

（8）由（3）和（7）知，当n N >时，有

1110()d (1)n

t f t t f -?1

1111

02()d ()d (1)33a

n n n n

a t f t t t f t t f ε

ε≤+-<+=??

九（12）设1a >0，1+n a ＝n a ＋n a 1

，证明n ＝1

证（1

）要证n ＝1 ，只要证2

lim 12n

n a n →∞=，

即只要证221lim 1(22)2n n

n a a n n +→∞-=+-，即证221lim()2n n n a a +→∞

-= （2）因1+n a ＝n a ＋n a 1

，故110n n n a a a +-=>，

1211n n n

a a a +=+ 22

111122

11()()112n n n n n n n n n n n

a a a a a a a a a a a +++++-=-+==++=+ 因此只要证21

lim 0n n

a →∞=，即只要证lim n n a →∞

=∞

（3）由11

0n n n

a a a +-=>知，{}n a 单调增加，假如{}n a 有上界，则{}n a 必

有极限a ，由1+n a ＝n a ＋n a 1

知，a ＝a ＋1a ，因此10a

=，矛盾.

这表明{}n a 单调增加、没有上界，因此lim n n a →∞

=∞. （证完）

十（28）计算下述积分：

．d x y ??

，其中D 是矩形区域x 1≤，20≤≤y

解记21{(,)|1,02,0}D x y x y y x =≤≤≤-≤

22{(,)|1,02,0}D x y x y y x =≤≤≤≤-，

d d d D

D D x y x y x y =+??

112

221

d ()d d ()d x x x x y y x y x y --=-+-????

2211

22()d (2)d 33x x x x --=+-?? 3

2200

44()d (2)d 33x x x x =+-?? π1

416d cos d 33x x t t =

+??

()x t =这里 π

01161cos2d 332t t +??=+ ???

π4

0141cos412cos2d 332t t t +??=+++ ???

? π

0143sin 4sin 23328t t t ??=+++???? 143ππ5133823

??=++=+ ??? 2．

22d d ()d d d d S

yz y z x z y z x xy x y +++??

，其中S 是曲面

224z x y +=-上0≥y 的那部分正侧.

解记22{(,,)|4,0}x y z x z y ∑=+≤=（取下侧），

22{(,,)|04}V x y z y x z =≤≤--，则V S ?=+∑，由高斯公式知，

2222d d ()d d d d ()d d d 0

S V

yz y z x z y z x xy x y x z x y z +∑

∑

+++=-=++??

???224

2222

()d d d d ()d d V

x z x z x y z y

x z x z +=+=+????4

2012π(4)d 4y y =-? 4

π32π(4)63

y ??=--=??

《数学分析III》期中考试试题及参考答案

数学分析下册期末试题（模拟）一、填空题（每小题3分，共24分） 1 、重极限 22(,)lim x y →=___________________ 2、设(,,)x yz u x y z e +=，则全微分du =_______________________ 3、设(sin ,)x z f x y y e =+，则 z x ?=?___________________ 4、设L 是以原点为中心，a 为半径的上半圆周，则 2 2()L x y ds +=?________. 5、曲面222 239x y z ++=和2 2 2 3z x y =+所截出的曲线在点(1,1,2)-处的法平面方程是___________________________. 6 、已知12??Γ= ???32?? Γ-= ??? _____________. 7、改变累次积分的顺序，2 1 20 (,)x dx f x y dy =?? ______________________. 8、第二型曲面积分 S xdydz ydzdx zdxdy ++=??______________，其中S 为球面2 2 2 1x y z ++=，取外侧. 二、单项选择题（每小题2分，共16分） 1、下列平面点集，不是区域的是（）（A ）2 2 {(,)14}D x y x y =<+≤ （B ）{(,)01,22}D x y x y =<≤-≤≤ （C ）{(,)01,1}D x y x y x =≤≤≤+ （D ）{(,)0}D x y xy => 2、下列论断，正确的是（）（A ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个累次极限都不存在，则该函数在 00(,)x y 处重极限必定不存在.

数学分析公式

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=，　，　，　a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

2016上海交通大学期末高数试卷(A类)

2016级第一学期《高等数学》期末考试试卷 (A 类) 一、单项选择题（本题共15分，每小题3分） 1. 若3222lim 12 x ax bx x →∞++=+（其中,a b 为常数），则（）（A ）0a =，b ∈R ；（B ）0a =，1b =；（C ）a ∈R ，1b =；（D ）a ∈R ，b ∈R 。 2. 若函数()f x 的一个原函数是(2)e x x -，则'(1)f x += （）（A ）e x x ；（B ）1e x x +；（C ）1(1)e x x ++；（D ）(1)e x x +。 3. 反常积分1 0ln[(1)]d x x x -? （）（A ）2=-；（B ）1=-；（C ）0=；（D ）发散。 4. 设OA a =和OB b =是两个不共线的非零向量，AOB ∠是向量a 与b 的夹角，则AOB ∠的角平分线上的单位向量为（）（A ）||||||||||||a b a b a a b b a a b b ---；（B ）||||||||||||a b a b a a b b a a b b +++；（C ）||||||||||||b a a b b a a b b a a b ---；（D ）||||||||||||b a a b b a a b b a a b +++。 5. 设函数()f x 为连续函数，对于两个命题：（I ）若()00()(()())d d x u F x f t f t t u =--??，则()F x 为奇函数；（II ）若()f x 为奇函数，则()3 0()()d d x y x G x f t t y =??为奇函数，下列选项正确的是（）（A ）（I ）和（II ）均正确；（B ）（I ）和（II ）均错误。（C ）仅（I ）正确；（D ）仅（II ）正确；二、填空题（每小题3分，共15分） 6. 已知函数()y f x =由参数方程3cos 2sin x t y t =??=? （0t <<π）所确定，则 ''()f x =___________________。 7. 一平面通过y 轴，且点)2,4,4(-到该平面的距离等于点)2,4,4(-到平面0z =的距离，则该平面方程是：_________________________。 8. 已知321e e x x y x =-，22e e x x y x =-，23e x y x =-是某二阶常系数非齐次线性微

数学分析试题及答案解析

2014 ---2015学年度第二学期《数学分析2》A 试卷一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?（）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????= dx x g dx x f dx x g x f （）. 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛，()?+∞a dx x g 条件收敛，则()()?+∞ -a dx x g x f ][必然条件收敛（）. 4. 若()?+∞ 1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1 n n f 收敛（） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（）

A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞=--+12111n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1<=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散； 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；

数学分析三试卷及答案

《数学分析》(三）――参考答案及评分标准一．计算题（共8题,每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限．解: 11 (,)f x y y x = +=，因此二重极限为0．……(4分) 因为011x y x →+ 与011 y y x →+均不存在, 故二次极限均不存在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(),(,,)0 z xf x y F x y z =+??=?所确定的隐函数，其中f 和F 分别具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解：对两方程分别关于x 求偏导: , ……(4分) 。?解此方程组并整理得 ()()() ()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-= '++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数,变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。设,,22 y x y x y w ze μν+-=== (假设出现的导数皆连续). 解:z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-====。 ……(4 分）代人原方程,并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得: 222 2w w w μμν??+=???。 ……（9分） 4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省？ ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=??

(最新整理)上海交通大学年数学分析考研试题

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上海交通大学2005年数学分析考研试题一、设函数)(x f 定义在R 上,满足R x ∈?，有2 )1()(2x x f x f -=-+,试求)(x f 的表达式；二、设}{n x 是收敛数列，}sup{},inf{n n x x ==βα,证明βα,中至少有一个属于}{n x 。三、设a>0,c 〉0，数列}{n a 定义如下： 2,1),(),(211211=+=+=+n a a a a n a c n n a c ，证明数列}{n a 收敛，并求其极限；四、设.0)0(,0,sin )(01=≠=?f x dt x f x t ，试求)0('f ；五、设)(x f 在),1[+∞上可导,1)1(=f ,且满足)(1)('22x f x x f += ，试证:A x f x =+∞→)(lim 存在，且41π +