昆明理工数值分析大作业最小二乘法

数值分析实验报告

课题八曲线拟合的最小二乘法

一、问题提出

从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y与时间t的拟合曲线。

二、实验要求

t(分）0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 y(×10)0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64

1、用最小二乘法进行曲线拟合；

2、近似解析表达式为?( t) = a1t + a2t 2 + a3t 3；

3、打印出拟合函数?(t)，并打印出?(t j )与y(t j)的误差，j = 1,2,",12 ；

4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；

5、* 绘制出曲线拟合图﹡。

三、实验目的

1、掌握曲线拟合的最小二乘法；

2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组；

3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。

四、实验原理——最小二乘法拟合

在函数的最佳平方逼近中f(x)∈[a,b],对已知函数f(x)的一组离散数据{(xi,yi),i=0,1,…m}，yi=f(xi)，求函数拟合S*(x),记误差δi=S*(xi)-yi 要求一个函数)(*x S y =与所给数据(){}m i y x i i ,,1,0,,???=的曲线拟合，这里()()m i x f y i i ,,1,0???==，要求一个函数)(*x S y =与所给数据

(){}

m i y x i i ,,1,0,,???=拟合，若记误差

()()()T m i i i m i y x S δδδδδδ,,,,,,,1,0210*???=???=-=，设()()()x x x n ???,,,10???是[]

b a C ,上线性无关函数族，在()()(){}x x x span n ????,,,10???=中找一函数()x S *,使误差平方和

()[]()()[]2

2

*

2

2

2min ∑∑∑=∈==-=-==m

i i i x S m

i m

i i i i

y x S y x S ?

δδ， （4.1）

这里

()()()()()m n x a x a x a x S <111100???+???++=. （4.2）

这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法。

用最小二乘法求拟合曲线时，首先要确定()x S 的形式。这不单纯是数学问题，还与所研究问题的运动规律及所得观测数据()i i y x ,有关；通常要从问题的运动规律或给定数据描图，确定()i x S 的形式，并通过实际计算选出较好的结果—这点将从下面的例题得到说明。()x S 的一般表达式为（4.2）式表示的线性形式。若()x k ?是k 次多项式，()x S 就是n 次多项式。为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中

2

2δ都考虑为加权平方和

()()()[]2

22

i i m

i i x f x S x w -=∑=δ

（4.3）

这里()0≥x w 是[]b a ,上的权函数，它表示不同点()()i i x f x ,处的数据比重不同，例如，()i x w 可表示在点()()i i x f x ,处重复观测的次数，用最小二乘法求拟合曲线的问题时，就是在形如（4.2）式的()x S 中求一函数

()x S y *=，使（4.3）式取得最小。它转化为求多元函数

()()()()2

0010,,,??

?

???-=???∑∑==n j i i j j m

i i n x f x a x w a a a I ? （4.4）

的极小点()*

*1*0,,,n

a a a ???的问题。由求多元函数极值的必要条件，有 ()()()().,,1,0,0200n k x x f x a x w a I

i k n j i i j j m i i k ???==??

????-=??∑∑==??

五、实验设计和实验步骤

本实验利用最小二乘法和题目所给函数形式对所给数据进行拟合。而后选用不同函数形式对所给数据进行拟合得到拟合数据和所给数据的相对误差。而后在正交多项式函数组的基础上建立相对最佳基函数选择指标P 并且记录了相对最佳拟合函数。现将实验步骤陈述如下: （1） 建立正交多项式函数族建立的程序思路和拟合函数系数求解。 （2） 编辑程序进行计算记录实验结果。

（3） 对所得结果进行总结和分析，找出存在的问题，探索拟合函数

的选择与拟合精度间的关系。评价本次实验的结果。

六、编程思路

实验使用matlab工具编写了计算使用正交函数族φ=span(φ0(x),φ1(x)……φn(x))进行最小二乘法拟合的拟合函数各项系数的函数程序。这是比较简单的。并计算了其误差。现将编程思路陈述如下：

一，按照不同和拟合多项式求拟合函数及其误差：

（1）利用已知条件生成相应正交多项式函数族φ=span(φ0(x),φ1(x)……φn(x))。

（2）求格拉姆矩阵（即求其对角线元素）

G=

（3）求（φk(x)，f(x)）

（4）对应除以相应格拉姆矩阵对角线元素得到拟合函数系数向量a.

（5）生成拟合函数绘图并且计算原来拟合数据中对应x点的函数值，求其误差。

（6）改变所选择拟合函数的类型进行拟合如上过程求其拟合函数误差及相应图像。

（4）探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。

利用已经建立的最小二乘法拟合函数来建立相应的最佳拟合函数寻找函数，是一个比价复杂的过程，这里我们仅仅使用上面的正交多项式生成的函数族φ=span(φ0(x),φ1(x)……φn(x))来寻找适宜的基函数值个数，通过误差是否达到某一个极值来反应其适宜度的变化情况，现将该程序的建立思路简述如下：

（1）利用拟合数据和拟合函数值的相对误差建立判断指标P,

（2）利用判断指标P随着基函数个数的变化找出拟合数据范围内的最大值，最小值和峰值。

（3）记录峰值处的拟合函数个数。

（4）在一定范围内画出判断指标P随基函数个数变化的函数图。

七、程序建立及实验结果

利用正交多项式求最小二乘法拟合函数: function w=zjdxsnh(n,x,y);

m=length(x);

mf=zeros(1,n);

mp=zeros(1,n);

P=ones(n,m);

aw=0;

af=zeros(1,n-2);

bf=zeros(1,n-2);

for i=1:m;

aw=x(i)+aw;

end

af(1)=aw/m;

for i=1:m

P(2,i)=x(i)-af(1);

end

for i=3:n;

d=i-2;

sump1=sum(P(i-1,:).^2);

sump2=sum(P(i-2,:).^2);

sump3=sum((P(i-1).^2).*x);

af(i-1)=sump3/sump1;

bf(i-2)=sump1/sump2;

P(i,:)=x.*P(i-1,:)-af(i-1)*P(i-1,:)-bf(i-2)*P(i-2,:);

end

for j=1:n;

for k=1:m;

mf(j)=mf(j)+P(j,k)^2;

mp(j)=mp(j)+P(j,k)*y(k);

end

end

%正交多项式的系数计算

A=zeros(n,n+2);

A(:,3)=1;

A(2,4)=af(1);

A(:,1)=zeros();

A(:,2)=zeros();

for i=3:n;

d=i-1;

for j=4:(n+2);

A(i,j)=A(i-1,j-1)-af(i-2)*A(i-1,j)-bf(i-2)*A(i-2,j-2);

end

end

%最终系数计算

AY=zeros(1,n);

a=mp./mf;

AX=zeros(n,n+2);

for z=1:n

AX(z,:)=a(z)*A(z,:);

end

for b=1:n;

for t=1:b;

AY(b)=AX(n-t+1,b+3-t)+AY(b);

end

end

w=AY;

由于使用的是课本上的正交多项式进行拟合，其系数的计算会带来巨大的误差，故最终的拟合多项式和原来的拟合数据发生了很大误差，这说明利用以上这一思路和实验设计来求解题目是不适合的。即：

采用生成多项式的方法和思路去寻找最小二乘法拟合是不合理的。

至于后面探索精度和拟合多项式类型之间关系的工作至此无法做起！由此本实验转换思路利用matlab强大的拟合功能来进行：

所使用的代码如下：

x=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55];

y=[0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64];

plot(x,y,'*');

hold on

p=polyfit(x,y,n);

xx=0:1:55;

yy=polyval(p,xx);

plot(xx,yy);

分别采用5次多项式，4次多项式和3次多项式所得拟合曲线如下：

5次，

3次，

下面是误差反应的图形：

四次:

对比拟合曲线得知采用五次多项式来拟合曲线其趋势相对较符合。

七、实验结果分析

本次实验尝试采用自编程序的方法来进行相应的最小二乘法拟合及探索工作，但是由于选取的方法不当带来了巨大误差导致了实验的失

败，最终采用已经有的成熟技术得到了实验结果。

数值分析大作业-三、四、五、六、七

大作业 三 1. 给定初值 0x 及容许误差 ，编制牛顿法解方程f (x )=0的通用 程序. 解：Matlab 程序如下： 函数m 文件：fu.m function Fu=fu(x) Fu=x^3/3-x; end 函数m 文件：dfu.m function Fu=dfu(x) Fu=x^2-1; end 用Newton 法求根的通用程序Newton.m clear; x0=input('请输入初值x0:'); ep=input('请输入容许误差:'); flag=1; while flag==1 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0)

while flag1==1 && m<=10^3 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0)=ep flag=0; end end fprintf('最大的sigma 值为：%f\n',sigma); 2．求下列方程的非零根 5130.6651()ln 05130.665114000.0918 x x f x x +??=-= ?-???解：Matlab 程序为： （1）主程序 clear clc format long x0=765; N=100; errorlim=10^(-5); x=x0-f(x0)/subs(df(),x0); n=1; while nerrorlim n=n+1; else break ; end x0=x; end disp(['迭代次数: n=',num2str(n)]) disp(['所求非零根: 正根x1=',num2str(x),' 负根x2=',num2str(-x)]) （2）子函数 非线性函数f function y=f(x) y=log((513+0.6651*x)/(513-0.6651*x))-x/(1400*0.0918); end

数值分析上机作业

昆明理工大学工科研究生《数值分析》上机实验 学院：材料科学与工程学院 专业：材料物理与化学 学号：2011230024 姓名: 郑录 任课教师：胡杰

P277-E1 1.已知矩阵A= 10787 7565 86109 75910 ?? ?? ?? ?? ?? ??,B= 23456 44567 03678 00289 00010 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ,错误！未找到引用源。 = 11/21/31/41/51/6 1/21/31/41/51/61/7 1/31/41/51/61/71/8 1/41/51/61/71/81/9 1/51/61/71/81/91/10 1/61/71/81/91/101/11?????????????????? （1）用MA TLAB函数“eig”求矩阵全部特征值。 （2）用基本QR算法求全部特征值（可用MA TLAB函数“qr”实现矩阵的QR分解）。解：MA TLAB程序如下： 求矩阵A的特征值： clear; A=[10 7 8 7;7 5 6 5;8 6 10 9;7 5 9 10]; E=eig(A) 输出结果： 求矩阵B的特征值： clear; B=[2 3 4 5 6;4 4 5 6 7;0 3 6 7 8;0 0 2 8 9;0 0 0 1 0]; E=eig(B) 输出结果：

求矩阵错误！未找到引用源。的特征值： clear; 错误！未找到引用源。=[1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6; 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7; 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8; 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9;1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10; 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11]; E=eig(错误！未找到引用源。) 输出结果： （2）A= 10 7877565861097 5 9 10 第一步：A0=hess(A);[Q0,R0]=qr(A0);A1=R0*Q0 返回得到： 第二部：[Q1,R1]=qr(A1);A2=R1*Q1

昆明理工大学研究生学业奖学金评选及管理办法(试行)

昆理工大校教字…2014?47号 昆明理工大学研究生学业奖学金 评选及管理办法（试行） 第一章总则 第一条为激励研究生勤奋学习、潜心科研、勇于创新、积极进取，在全面实行研究生教育收费制度的情况下更好地支持研究生顺利完成学业，根据?财政部国家发展改革委教育部关于完善研究生教育投入机制的意见?（财教…2013?19号）、?财政部教育部关于印发?研究生学业奖学金管理暂行办法?的通知?（财教…2013?219 号）及?云南省财政厅云南省教育厅关于印发云南省研究生学业奖学金助学金管理三个暂行办法的通知?（云财教…2013?369 号）文件精神，结合我校实际情况，制定本办法。

第二条本办法所称研究生是指我校纳入全省研究生招生计划的全日制博士、硕士研究生。获得奖励的研究生须具有中华人民共和国国籍。 第三条研究生学业奖学金评定按照公平、公正、公开的原则，根据研究生的学业表现逐年评定，实行动态管理。 第四条学校可根据经费筹措情况、收费标准、学业成绩、科研成果、社会服务等因素，对研究生学业奖学金的等级、标准及覆盖面做动态调整。 第二章参评条件及资格 第五条昆明理工大学研究生学业奖学金适用于2014级及以后入学，学制内在籍在读的全日制博士、硕士研究生。单独命题考试录取考生、破格录取考生及享受少数民族照顾政策录取考生不参与新生硕士研究生学业奖学金评选。 第六条参评研究生学业奖学金的基本条件： 1．热爱社会主义祖国，拥护中国共产党的领导； 2．遵守宪法和法律，遵守高等学校规章制度； 3．诚实守信，道德品质优良； 4．积极参与科学研究和社会实践。 第七条硕博连读学生根据当年所修课程的层次阶段确定身份参与学业奖学金的申报。在修读硕士课程阶段按照硕士研究生身份申报学业奖学金；进入修读博士研究生课程阶段按照博士研究生身份申报学业奖学金。 第八条有以下情形之一的，不具有研究生学业奖学金获奖资格： 1.违反国家法律法规者； 2.在提交的申请资料中，提供不实信息或隐瞒不利信息者； 3.考试作弊者；

数值分析大作业三 四 五 六 七

大作业 三 1. 给定初值 0x 及容许误差 ，编制牛顿法解方程f (x )=0的通用程序. 解：Matlab 程序如下： 函数m 文件：fu.m function Fu=fu(x) Fu=x^3/3-x; end 函数m 文件：dfu.m function Fu=dfu(x) Fu=x^2-1; end 用Newton 法求根的通用程序Newton.m clear; x0=input('请输入初值x0:'); ep=input('请输入容许误差:');

flag=1; while flag==1 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0)

while flag==1 sigma=k*eps; x0=sigma; k=k+1; m=0; flag1=1; while flag1==1 && m<=10^3 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0)=ep flag=0;

end end fprintf('最大的sigma 值为：%f\n',sigma); 2．求下列方程的非零根 5130.6651()ln 05130.665114000.0918 x x f x x +?? =-= ?-???解： Matlab 程序为： （1）主程序 clear clc format long x0=765; N=100; errorlim=10^(-5); x=x0-f(x0)/subs(df(),x0); n=1;

昆明理工大学—数值分析各年考试题及答案教案资料

昆明理工大学—数值分析各年考试题及答 案

昆明理工大学数值分析考试题 （07） 一．填空（每空3分，共30分） 1．设A 0.231 x =是真值 0.229 T x =的近似值，则 A x 有 位有效数字。 2．若74()631f x x x x =+++，则017[2,2,...2]f = ，018[2,2,...2]f = 。 3．A=1031????-?? ,则1A = ；A ∞= ；2A = 2()cond A = 。 4．求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 。 5．设105%x =± ，则求函数()f x = 。 6．A=2101202a a ?? ? ? ??? ,为使其可分解为T L L g （L 为下三角阵，主对角线元素>0）， a 的取值范围应为 。 7．用最小二乘法拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直线是 。 （注意：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。） 二．推导与计算 （一）对下表构造f(x)的不超过3次的插值多项式，并建立插值误差公式。（12分）

（二）已知()x x =Φ和()x 'Φ满足∣()x 'Φ-3∣<1。请利用()x Φ构造一个收敛的简单迭代函数()x ψ，使1(),0,1,......k k x x k +=ψ=收敛。（8分） （三）利用复化梯形公式计算2 1 0x I e dx -=?，使其误差限为60.510-?，应将区间 [0，1] 等份。 （8分） （四）设A= 1001005a b b a ?? ???? ???? ，detA ≠0，推导用a ，b 表示解方程组AX=f 的Seidel(G-S) 迭代法收敛的充分必要条件。（10分） （五）确定节点及系数，建立如下 GAUSS 型求积公式 1 11220 ()()A f x A f x ≈+? 。（10分） （六）对微分方程初值问题'00(,) ()y f x y y x y ?=?=? （１）用数值积分法推导如下数值算法：1111(4)3 n n n n n h y y f f f +-+-=+++， 其中(,)i i i f f x y =，(1,,1)i n n n =-+。（8分） （２）试构造形如 1011011(),n n n n n y a y a y h b f b f +--=+++ 的线形二步显格式差 分格式，其中111(,),(,)n n n n n n f f x y f f x y ---==。试确定系数 0101,,,a a b b ，使差分格式的阶尽可能高，写出其局部截断误差主项，并 指明方法是多少阶。（14分）

数值分析作业答案

数值分析作业答案 插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。 （2）用Lagrange插值基底。 （3）用Newton基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底 设多项式为: ， 所以： 所以f(x)的二次插值多项式为： （2）用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： (3) 用Newton基底: 均差表如下： xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有 式中 令得 插值点个数

是奇数，故实际可采用的函数值表步长 8、，求及。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系： 所以有： 15、证明两点三次Hermite插值余项是 并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件 知有二重零点xk和k+1。设 确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可； 当时，，构造关于变量t的函数 显然有 在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在及使得 在，，上对使用Rolle定理，存在，和使得 再依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得 而，将代入，得到 推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有： 确定误差限： 记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk，xk+1]上有 而最值 进而得误差估计： 16、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。

昆明理工大学关于2015年学校推免名额下达的通知(学院)

昆明理工大学教务处 昆理工大教务办字…2014?78号 关于做好昆明理工大学2015年推荐优秀 应届本科毕业生免试攻读研究生工作的通知 各学院： 根据《教育部办公厅关于进一步完善推荐优秀应届本科毕业生免试攻读研究生工作的通知》（教学厅…2014?5号）、《关于下达2015年推荐优秀应届本科毕业生免试攻读研究生名额的通知》（教学司…2014?号）等文件精神和我校2015年所获得的推免总名额情况，现将推免名额的分配及相关要求通知如下。请各学院根据《昆明理工大学推荐优秀应届本科毕业生免试攻读硕士学位研究生实施办法（修订）》（昆理工大校教字…2010?34号）、《昆明理工大学优秀应届本科毕业生免试攻读研究生推荐工作的补充规定（试行）》（昆理工大教务办字…2014?71号）等文件及本通知的相关要求，认真做好推荐工作。 一、我校推荐名额的分配 根据教育部高校学生司文件精神，2015年下达的推免生

名额不再区分学术学位和专业学位，今年我校共获得推免名额220个。经学校推免生遴选工作领导小组研究确定，留出复合型人才推荐名额20个，另外根据《昆明理工大学推荐优秀应届本科毕业生免试攻读硕士学位研究生实施办法》的相关规定，分配2个作为国家重点学科点推荐名额，分配8个作为一级学科博士点推荐名额，余下可分配的推荐名额共190个。 根据研究生院提供的各学院学位点数和教务处、城市学院提供的各学院2015届毕业生数，按下列办法计算确定各学院的推免生名额： 1、学位点基数名额：以可分配的推免名额190的50%即95为分子，以研究生院认定并经学校推免生遴选工作领导小组确定的全校学位点总数205个为分母，计算出每个学位点应得的份额，再乘以各学院的学位点总数，并执行“四舍五入”的原则，小数点后保留两位，得出各学院的学位点基数名额。 2、应届本科毕业生基数名额：以余下推免名额95为分子，以全校2015届本科毕业生总数6977为分母，计算出每个本科毕业生应得的份额，再乘以各学院本科毕业生总数，并执行“四舍五入”的原则，小数点后保留两位，得到各学院的应届本科毕业生基数名额。 3、各学院总名额＝（学位点基数名额+应届本科毕业生基数名额）“四舍五入”取整。（“四舍五入”取整后总名额超出或不足时将进行适当调整。） 据此，各学院推免生名额分配如下：

数值分析大作业

数值分析报大作业 班级：铁道2班 专业：道路与铁道工程 姓名：蔡敦锦 学号：13011260

一、序言 该数值分析大作业是通过C语言程序编程在Microsoft Visual C++ 6.0编程软件上运行实现的。本来是打算用Matlab软间来计算非线性方程的根的。学习Matlab也差不多有一个多月了，感觉自己编程做题应该没什么问题了；但是当自己真心的去编程、运行时才发现有很多错误，花了一天时间修改、调试程序都没能得到自己满意的结果。所以，我选择了自己比较熟悉的C程序语言来编程解决非线性的求值问题，由于本作业是为了比较几种方法求值问题的收敛速度和精度的差异，选择了一个相对常见的非线性函数来反映其差异，程序运行所得结果我个人比较满意。编写C语言，感觉比较上手，程序出现问题也能比较熟练的解决。最终就决定上交一份C程序语言编程的求值程序了！

二、选题 本作业的目的是为了加深对非线性方程求根方法的二分法、简单迭代法、、牛顿迭代法弦截法等的构造过程的理解；能将各种方法的算法描述正确并且能够改编为程序并在计算机上实现程序的正确合理的运行，能得到自己满意的结果，并且能调试修改程序中可能出现的问题和程序功能的增减修改。本次程序是为了比较各种方法在求解同一非线性方程根时，在收敛情况上的差异。 为了达到上面的条件我选择自己比较熟悉的语言—C语言来编程，所选题目为计算方程f(x)=x3-2x-5=0在区间[2,3]内其最后两近似值的差的绝对值小于等于5 ?的根的几种方法的比较。 110- 本文将二分法、牛顿法、简单迭代法、弦截法及加速收敛法这五种方法在同一个程序中以函数调用的方式来实现，比较简洁明了，所得结果能很好的比较，便于分析；发现问题和得出结论。

计算数学排名

070102 计算数学 计算数学也叫做数值计算方法或数值分析。主要内容包括代数方程、线性代数方程组、微分方程的数值数值逼近问题，矩阵特征值的求法，最优化计算问题，概率统计计算问题等等，还包括解的存在性、唯一性差分析等理论问题。我们知道五次及五次以上的代数方程不存在求根公式，因此，要求出五次以上的高次代一般只能求它的近似解，求近似解的方法就是数值分析的方法。对于一般的超越方程，如对数方程、三角方采用数值分析的办法。怎样找出比较简洁、误差比较小、花费时间比较少的计算方法是数值分析的主要课题的办法中，常用的办法之一是迭代法，也叫做逐次逼近法。迭代法的计算是比较简单的，是比较容易进行的以用来求解线性方程组的解。求方程组的近似解也要选择适当的迭代公式，使得收敛速度快，近似误差小。 在线性代数方程组的解法中，常用的有塞德尔迭代法、共轭斜量法、超松弛迭代法等等。此外，一些比消去法，如高斯法、追赶法等等，在利用计算机的条件下也可以得到广泛的应用。在计算方法中，数值逼近本方法。数值逼近也叫近似代替，就是用简单的函数去代替比较复杂的函数，或者代替不能用解析表达式表值逼近的基本方法是插值法。 初等数学里的三角函数表，对数表中的修正值，就是根据插值法制成的。在遇到求微分和积分的时候，的函数去近似代替所给的函数，以便容易求到和求积分，也是计算方法的一个主要内容。微分方程的数值解法。常微分方程的数值解法由欧拉法、预测校正法等。偏微分方程的初值问题或边值问题，目前常用的是有限元素法等。有限差分法的基本思想是用离散的、只含有限个未知数的差分方程去代替连续变量的微分方程求出差分方程的解法作为求偏微分方程的近似解。有限元素法是近代才发展起来的，它是以变分原理和剖分的方法。在解决椭圆形方程边值问题上得到了广泛的应用。目前，有许多人正在研究用有限元素法来解双曲方程。计算数学的内容十分丰富，它在科学技术中正发挥着越来越大的作用。 排名学校名称等级 1 北京大学A+ 2 浙江大学 A+ 3 吉林大学A+ 4 大连理工大学A+ 5 西安交通大学A 北京大学：http:https://www.sodocs.net/doc/a016545886.html,/NewsSpecialDetailsInfo.aspx?SID=4 浙江大学：http:https://www.sodocs.net/doc/a016545886.html,/NewsSpecialDetailsInfo.aspx?SID=21847 吉林大学：http:https://www.sodocs.net/doc/a016545886.html,/NewsSpecialDetailsInfo.aspx?SID=5506 大连理工大学：http:https://www.sodocs.net/doc/a016545886.html,/NewsSpecialDetailsInfo.aspx?SID=4388 西安交通大学：http:https://www.sodocs.net/doc/a016545886.html,/NewsSpecialDetailsInfo.aspx?SID=18285

6、科研项目分类

昆理工大校字…2009?95号 昆明理工大学关于印发 《科研项目分类与认定办法（试行）》的通知 各院、部、处、室、馆、中心及直属部门： 《昆明理工大学科研项目分类与认定办法》（试行）已经2009年11月11日第十七次校长办公会研究通过。现印发给你们，请认真遵照执行。 二○○九年十一月十六日

昆明理工大学 科研项目分类与认定办法（试行） 第一章总则 第一条为充分发挥科研在支撑学校学科建设和高水平大学建设中的重要作用，统一我校科研项目类别，规范科研项目管理，为全校教职工的学术业绩量化提供科学依据，特制定本办法。 第二条本办法适用于学校科研项目的分类、认定、定级与管理。依据本办法规范和认定的科研项目，作为学校与学院专业技术人员绩效考核、人才培养与学科建设、研究生导师评聘等的重要依据。 第二章科研项目的定义与分类 第三条本办法所称科研项目，是指以学校名义承担、经学校科技处认定、由学校教职工负责的基础研究、应用研究、技术开发及转让、咨询服务等自然科学与人文社会科学领域的各类政府科技计划、企事业单位委托项目和国际组织资助项目。 第四条本办法将科研项目按项目来源、技术难度和研究经费，分为“国家级（A级）”、“省部级（B级）”、“地厅级（C级）”三个级别，每一个级别又分为“重大”、“重点”和“一般”三种类型（A1-A3、B1-B3、C1-C3）。未进入上述三级九类的项目，为其它项目（D类）。

第五条国家级（A级）科研项目包括：国家重点基础研究发展计划（973）项目，国家高新技术研究发展计划（863）项目，国家科技支撑计划项目，国际合作等科技部其它项目，国家发改委高技术产业化项目、重大产业技术开发项目，国家自然科学基金（NSFC）各类项目，国家社会科学基金项目，国家其它部委（局）项目；联合国及国际组织资助项目，企业重大科技攻关项目与重大技术转移项目；国家自然科学基金创新研究群体科学基金项目、杰出青年基金项目，教育部人才项目（长江学者和创新团队发展计划、新世纪优秀人才支持计划、全国优秀博士学位论文作者专项资金），云南省高端科技人才引进项目；国家实验室，国家重点实验室，国家工程研究中心，国家工程实验室，国家工程技术研究中心等。 第六条省部级（B级）科研项目包括：教育部各类项目，国家其他部委（局）和行业协会项目，司法部国家法治与法学理论研究项目；省应用基础研究计划项目，省科技创新强省计划项目（工业与高新、农业、国际合作、省校合作）、重点新产品开发计划和社会事业发展专项计划项目，省发改委高新技术产业化项目、重大产业技术开发项目，省哲学社会科学规划课题，其他厅局科技专项项目；联合国及外国政府国际基金资助项目，企事业单位委托项目，校企业预研基金项目；省创新人才团队项目，省人才引培工程项目（中青年学术和技术带头人后备人才、技术创新后备人才项目）；校高端人才引进计划项目，校创新团队项目等。教育部工程技术研究中心、教育部重点实验室，省发改委工程中心，省科技厅重点实验室、工程技术研究中心项目，昆明市重点实验

昆明理工大学—数值分析各年考试题及答案

昆明理工大学数值分析考试题 （07） 一．填空（每空3分，共30分） 1． 设A 0.231x =是真值0.229T x =的近似值，则A x 有 位有效数字。 2． 若74()631f x x x x =+++，则017[2,2,...2]f = ，018[2,2,...2]f = 。 3． A=1031?? ? ?-?? ,则1 A = ； A ∞ = ； 2 A = 2()cond A = 。 4． 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 。 5．设105%x =± ，则求函数()f x =的相对误差限为 。 6．A=2101202a a ?? ? ? ??? ,为使其可分解为T L L （L 为下三角阵，主对角线元素>0），a 的取值范 围应为 。 7．用最小二乘法拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直线是 。 （注意：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。） 二．推导与计算 （一）对下表构造f(x)的不超过3次的插值多项式，并建立插值误差公式。（12分） （二）已知()x x =Φ和()x 'Φ满足∣()x 'Φ-3∣<1。请利用()x Φ构造一个收敛的简单迭代函数()x ψ，使1(),0,1,......k k x x k +=ψ=收敛。（8分）

（三）利用复化梯形公式计算2 1 x I e dx -=?，使其误差限为60.510-?，应将区间[0，1] 等份。（8分） （四）设A= 1001005a b b a ?????????? ，detA ≠0，推导用a ，b 表示解方程组AX=f 的Seidel(G-S) 迭代法收敛的充分必要条件。（10分） （五）确定节点及系数，建立如下 GAUSS 型求积公式 1 11220 ()()dx A f x A f x ≈+? 。（10分） （六）对微分方程初值问题'00(,) ()y f x y y x y ?=?=? （１） 用数值积分法推导如下数值算法： 1111(4)3 n n n n n h y y f f f +-+-=+ ++，其中(,)i i i f f x y =，(1,,1)i n n n =-+。（8分） （２） 试构造形如 1011011(),n n n n n y a y a y h b f b f +--=+++ 的线形二步显格式差分格式，其中111(,),(,)n n n n n n f f x y f f x y ---==。试确定系数0101,,,a a b b ，使 差分格式的阶尽可能高，写出其局部截断误差主项，并指明方法是多少阶。（14分） （考试时间2小时30分钟）

北航数值分析大作业第二题精解

目标：使用带双步位移的QR 分解法求矩阵10*10[]ij A a =的全部特征值，并对其中的每一个实特征值求相应的特征向量。已知：sin(0.50.2)() 1.5cos( 1.2)(){i j i j ij i j i j a +≠+== (i,j=1,2, (10) 算法： 以上是程序运作的逻辑，其中具体的函数的算法，大部分都是数值分析课本上的逻辑，在这里特别写出矩阵A 的实特征值对应的一个特征向量的求法： ()[]()() []()[]()111111I 00000 i n n n B A I gause i n Q A I u Bu u λλ-?-?-=-?-?? ?-=????→=??????→= ?? ? 选主元的消元 检查知无重特征值 由于=0i A I λ- ，因此在经过选主元的高斯消元以后，i A I λ- 即B 的最后一行必然为零，左上方变 为n-1阶单位矩阵[]()()11I n n -?-，右上方变为n-1阶向量[]()11n Q ?-，然后令n u 1=-，则 ()1,2,,1j j u Q j n ==???-。

这样即求出所有A所有实特征值对应的一个特征向量。 #include #include #include #define N 10 #define E 1.0e-12 #define MAX 10000 //以下是符号函数 double sgn(double a) { double z; if(a>E) z=1; else z=-1; return z; } //以下是矩阵的拟三角分解 void nishangsanjiaodiv(double A[N][N]) { int i,j,k; int m=0; double d,c,h,t; double u[N],p[N],q[N],w[N]; for(i=0;i

大学生创新创业训练计划项目管理办法

昆明理工大学文件 昆理工大校教字〔2012〕20号 昆明理工大学关于印发 《大学生创新创业训练计划项目管理 办法（试行）》的通知 各院、部、处、室、馆、中心及直属部门： 《昆明理工大学大学生创新创业训练计划项目管理办法（试行）》已经学校2012年第六次校长办公会研究通过，现印发给你们，请遵照执行。 二O—二年五月八日

昆明理工大学 大学生创新创业训练计划项目管理办法（试行） 第一章总则 第一条根据《教育部财政部关于“十二五”期间实施“高等学校本科教学质量与教学改革工程”的意见》（教高函〔2011 〕6 号）和《云南省教育厅转发教育部关于做好“本科教学工程” 国家级大学生创新创业训练计划实施工作的通知》（云教函〔2012 〕84 号）精神，“十二五”期间，教育部实施国家级大学生创新创业训练计划。国家级大学生创新创业训练计划是“十一五”期间实施“高等学校本科教学质量与教学改革工程”中“国家大学生创新性实验计划” 工作的延续与深化。为进一步深入实施我校“大学生创新创业训练计划”项目（以下简称创新项目），构建创新人才培养体系，加强大学生自主创新兴趣和能力培养，特制定本管理办法。 第二条国家级大学生创新创业训练计划包括创新训练计划项目、创业训练项目和创业实践项目三类。参与创新训练项目的学生，在导师指导下，自主完成创新性研究项目设计、研究条件的准备和项目的实施、数据处理与分析、报告撰写、成果（学术）交流等工作。参与创业训练项目的学生团队在导师指导下，通过编制商业计划书、开展可行性研究、模拟企业运行，进行一定程度的验证试验，撰写创业报告等工作，团队中的每个学生在项目实施过程中承担一项或多项具体的任务。参与创业实践项目的学生团队在学校导师和企业导师的共同指导下，采取前期创新训练项目（或创新性实验）的结果，提出一项具有市场前景的创新性产品或者服务，以此为基础开展创业实践活动。

上海大学_王培康_数值分析大作业

数值分析大作业（2013年5月） 金洋洋（12721512），机自系 1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试分别指出它 们的绝对误差限, 相对误差限和有效数字的位数。 X1 =5.420, x 2 =0.5420, x 3=0.00542, x 4 =6000, x 5=50.610? 解：根据定义：如果*x 的绝对误差限 不超过x 的某个数位的半个单位，则从*x 的首位非零数字到该位都是有效数字。 显然根据四舍五入原则得到的近视值，全部都是有效数字。 因而在这里有：n1=4, n2=4, n3=3, n4=4, n5=1 （n 表示x 有效数字的位数） 对x1：有a1=5, m1=1 （其中a1表示x 的首位非零数字，m1表示x1的整数位数） 所以有绝对误差限 143 11 (1)101022 x ε--≤ ?=? 相对误差限 31() 0.510(1)0.00923%5.4201 r x x x εε-?= == 对x2：有a2=5, m2=0 所以有绝对误差限 044 11 (2)101022 x ε--≤ ?=? 相对误差限 42() 0.510(2)0.00923%0.54202 r x x x εε-?= == 对x3：有a3=5, m3=-2 所以有绝对误差限 235 11 (3)101022 x ε---≤ ?=? 相对误差限 53() 0.510(3)0.0923%0.005423 r x x x εε-?= == 对x4：有a4=0, m4=4 所以有绝对误差限 4411(4)1022 x ε-≤?= 相对误差限 4() 0.5 (4)0.0083%6000 4 r x x x εε= = = 对x5：有a5=6, m5=5 所以有绝对误差限 514 11(5)101022 x ε-≤ ?=? 相对误差限 45() 0.510(5)8.3%600005 r x x x εε?= ==

6、科研项目分类

昆理工大校字〔2009〕95号 昆明理工大学关于印发 《科研项目分类与认定办法（试行）》的通知 各院、部、处、室、馆、中心及直属部门： 《昆明理工大学科研项目分类与认定办法》（试行）已经2009年11月11日第十七次校长办公会研究通过。现印发给你们，请认真遵照执行。 二○○九年十一月十六日 昆明理工大学 科研项目分类与认定办法（试行） 第一章总则 第一条为充分发挥科研在支撑学校学科建设和高水平大学建设中的重要作用，统一我校科研项目类别，规范科研项目管理，为全校教职工的学术业绩量化提供科学依据，特制定本办法。 第二条本办法适用于学校科研项目的分类、认定、定级与管理。依据本办法规范和认定的科研项目，作为学校与学院专业技术人员绩效考核、人才培养与学科建设、研究生导师评聘等的重要依据。 第二章科研项目的定义与分类 第三条本办法所称科研项目，是指以学校名义承担、经学校科技处认定、由学校教职工负责的基础研究、应用研究、技术开发及转让、咨询服务等自然科学与人文社会科学领域的各类政府科技计划、企事业单位委托

项目和国际组织资助项目。 第四条本办法将科研项目按项目来源、技术难度和研究经费，分为“国家级（A级）”、“省部级（B级）”、“地厅级（C级）”三个级别，每一个级别又分为“重大”、“重点”和“一般”三种类型（A1-A3、B1-B3、C1-C3）。未进入上述三级九类的项目，为其它项目（D类）。 第五条国家级（A级）科研项目包括：国家重点基础研究发展计划（973）项目，国家高新技术研究发展计划（863）项目，国家科技支撑计划项目，国际合作等科技部其它项目，国家发改委高技术产业化项目、重大产业技术开发项目，国家自然科学基金（NSFC）各类项目，国家社会科学基金项目，国家其它部委（局）项目；联合国及国际组织资助项目，企业重大科技攻关项目与重大技术转移项目；国家自然科学基金创新研究群体科学基金项目、杰出青年基金项目，教育部人才项目（长江学者和创新团队发展计划、新世纪优秀人才支持计划、全国优秀博士学位论文作者专项资金），云南省高端科技人才引进项目；国家实验室，国家重点实验室，国家工程研究中心，国家工程实验室，国家工程技术研究中心等。 第六条省部级（B级）科研项目包括：教育部各类项目，国家其他部委（局）和行业协会项目，司法部国家法治与法学理论研究项目；省应用基础研究计划项目，省科技创新强省计划项目（工业与高新、农业、国际合作、省校合作）、重点新产品开发计划和社会事业发展专项计划项目，省发改委高新技术产业化项目、重大产业技术开发项目，省哲学社会科学规划课题，其他厅局科技专项项目；联合国及外国政府国际基金资助项目，企事业单位委托项目，校企业预研基金项目；省创新人才团队项目，省人才引培工程项目（中青年学术和技术带头人后备人才、技术创新后备人才项目）；校高端人才引进计划项目，校创新团队项目等。教育部工程技术研究中心、教育部重点实验室，省发改委工程中心，省科技厅重点实验室、工程技术研究中心项目，昆明市重点实验室、工程中心项目，校企科技合作平台项目等。

研究生数值分析试题

昆明理工大学2010级硕士研究生考试试卷 （注：考试时间150分钟；所有答案，包括填空题答案一律答在答题纸上，否则不予记分。） 一、 填空（每空2分，共24分） 1．近似数490.00的有效数字有 位，其相对误差限为 。 2．设7 4 ()431f x x x x =+++，则017[2,2,......2]f = ，018 [2,2,......2]f = 。 3．设4()2,[1,1]f x x x =∈-，()f x 的三次最佳一致逼近多项式为 。 4．1234A ??=??-??，1A = ，A ∞= ，2A = 。 5．210121012A -????=-????-?? ，其条件数2()Cond A = 。 6．2101202A a a ????=?????? ，为使分解T A L L =?成立（L 是对角线元素为正的下三角阵），a 的取 值范围应是 。 7．给定方程组121 122 ,x ax b a ax x b -=?? -+=?为实数。当a 满足 且02ω 时，SOR 迭代法收敛。 8．对于初值问题/ 2 100()2,(0)1y y x x y =--+=，要使用欧拉法求解的数值计算稳定，应限定步长h 的范围是 。 二、 推导计算 （15分）

（小数点后至少保留5位）。（15分） 3．确定高斯型求积公式 01 1010 ()()(),(0,1)f x d x A f x A f x x x ≈+ ∈? 的节点01,x x 及积分系数01,A A 。（15分） 三、 证明 1． 在线性方程组AX b =中，111a a A a a a a ?? ??=?????? 。证明当112a - 时高斯-塞德尔法 收敛，而雅可比法只在11 22 a - 时才收敛。 （10分） 2． 给定初值02 0, x a ≠以及迭代公式 1(2) ,(0,1,2...., 0) k k k x x a x k a +=-=≠ 证明该迭代公式是二阶收敛的。（7分） 3． 试证明线性二步法 212(1)[(3)(31)]4 n n n n n h y b y by b f b f ++++--=+++ 当1b ≠-时，方法是二阶，当1b =-时，方法是三阶的。（14分）

数值分析第二次大作业

《数值分析》计算实习报告 第二题 院系：机械工程及自动化学院 学号： 姓名： 2017年11月

一、题目要求 试求矩阵A =[a ij ]10×10的全部特征值，并对其中的每一个实特征值求相应的特征向量，已知 a ij ={ sin (0.5i +0.2j ) i ≠j 1.52cos (i +1.2j ) i =j (i,j =1,2, (10) 说明： 1.用带双步位移的QR 方法求矩阵特征值，要求迭代的精度水平为ε=10?12。 2.打印以下内容： （1）全部源程序； （2）矩阵A 经过拟上三角化后所得的矩阵A (n?1)； （3）对矩阵A (n?1)实行QR 方法迭代结束后所得的矩阵； （4）矩阵A 的全部特征值λi =(R i ,I i ) (i =1,2,?,10)，其中R i =Re(λi )，I i = Im(λi ) 。若λi 是实数，则令I i =0； （5）A 的相应于实特征值的特征向量。 3.采用e 型数输出实型数，并且至少显示12位有效数字。 二、算法设计思路和方案 1. 将矩阵A 拟上三角化得到矩阵A (n?1) 为了减少计算量，一般先利用Householder 矩阵对矩阵A 作相似变换，把A 化为拟上三角矩阵A (n?1)，然后用QR 方法计算A (n?1)的全部特征值，而A (n?1)的特征值就是A 的特征值。具体算法如下： 记(1)A A =，()r A 的第r 列至第n 列的元素为(r)(1,2, ,;,1,,)ij a i n j r r n ==+。 对于1,2,,2r n =-执行 （1）若() (2,3,,)r ir a i r r n =++全为零，则令(1)()r r A A +=，转(5)；否则转（2）。

大学科技计划(专项)项目经费管理实施细则

昆明理工大学文件 昆理工大校字〔2017〕65号 昆明理工大学关于印发科技计划（专项）项目经费管理实施细则的通知 各院、部、处、室、馆、中心及直属部门： 《昆明理工大学科技计划（专项）项目经费管理实施细则》已经学校研究通过，现印发给你们，请遵照执行。 2017年5月16日

昆明理工大学科技计划（专项）项目 经费管理实施细则 第一条根据学校制定的科研项目经费管理办法，为规范科技计划（专项）项目经费的预算管理，充分发挥资金的使用效力，特制定此实施细则。 第二条本实施细则所称科技计划项目指国家及地方批准设立的各级各类科技计划项目（含科技平台、团队建设、等项目），科技计划项目应具备项目申请书、计划任务（合同）书、经费预算书。科技专项项目指国家及地方各级政府部门及事业单位委托的专项科研项目。 第三条科技计划（专项）项目经费限于开展项目研究工作使用，分直接费用、间接费用。具体开支按照预算执行。 第四条在预算开支范围内，材料费报销须附供货单位盖章的明细清单，明确材料采购数量、采购价格等，总价超过1.5万元（含1.5万元）以上的材料采购须提供采购合同，总价低于10万元（含10万元）的材料采购合同可由基层学院签订，总价高于10万元的采购合同由实验室管理处或科技处签订。 第五条差旅费的开支标准原则上按国家有关规定和《昆明理工大学差旅费管理办法》执行。 一般情况下，应选择公共交通工具出行，不得自驾车辆出差；受地理环境和当地条件必须租车前往的，报销时须提供租车合同。对于租车所引起的安全事故等一切责任问题，由项目负责人、出差人员以及车辆租赁单位，依据车辆租用合同（协议）相关内容共同承担。

2019年云南昆明理工大学数值分析考研真题

2019年云南昆明理工大学数值分析考研真题 一、判断题：（10题，每题2分，合计20分） 1. 有一种广为流传的观点认为，现代计算机是无所不能的，数学家们已经摆脱了与问题的数值解有关的麻烦，研究新的求解方法已经不再重要了。 （ ） 2. 问题求解的方法越多，越难从中作出合适的选择。 （ ） 3. 我国南宋数学家秦九韶提出的多项式嵌套算法比西方早500多年，该算法能大大减少运算次数。 （ ） 4. 误差的定量分析是一个困难的问题。 （ ） 5. 无论问题是否病态，只要算法稳定都得到好的近似值。 （ ） 6. 高斯求积公式系数都是正数，故计算总是稳定的。 （ ） 7. 求Ax =b 的最速下降法是收敛最快的方法。 （ ） 8. 非线性方程（或方程组）的解通常不唯一。 （ ） 9. 牛顿法是不动点迭代的一个特例。 （ ） 10. 实矩阵的特征值一定是实的。 （ ） 二、填空题：（10题，每题4分，合计40分） 1. 对于定积分105n n x I dx x = +?，采用递推关系115n n I I n -=-对数值稳定性而言是 。 2. 用二分法求方程()55 4.2720f x x x ≡-+=在区间[1 , 1.3]上的根，要使误差不超过10 - 5，二分次数k 至少为 。 3. 已知方程()x x ?=中的函数()x ?满足()31x ?'-<，利用()x ?递推关系构造一个收敛的简单迭代函数()x φ= ，使迭代格式()1k k x x φ+=(k = 0 , 1 , …)收敛。 4. 设序列{}k x 收敛于*x ，*k k e x x =-，当12 lim 0k k k e c e +→∞=≠时，该序列是 收敛的。