上海历年中考数学压轴题复习(试题附答案)

上海历年中考数学压轴题复习
2001 年上海市数学中考
27．已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＜BC，且 AD＝5，AB＝DC＝2． （1）如图 8，P 为 AD 上的一点，满足∠BPC＝∠A．
图8
①求证；△ABP∽△DPC ②求 AP 的长． （2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A、D 不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE 交直线 BC 于点 E，同时交直线 DC 于点 Q，那么
。
①当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，设 AP＝x，CQ＝y，求 y 关于 x 的函数解析式，
并写出函数的定义域；
②当 CE＝1 时，写出 AP 的长（不必写出解题过程）．
27．（1）①证明：
∵ ∠ABP＝180°－∠A－∠APB，∠DPC＝180°－∠BPC－∠APB，∠BPC＝∠A，∴ ∠ABP＝∠DPC．∵ 在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD，∴ ∠A＝∠D．∴ △ABP∽△ DPC．
②解：设 AP＝x，则 DP＝5－x，由△ABP∽△DPC，得 AB PD ，即 2 5 x ，解 AP DC x 2
得 x1＝1，x2＝4，则 AP 的长为 1 或 4． （2）①解：类似（1）①，易得△ABP∽△DPQ，∴ AB AP ．即 2 x ，
PD DQ 5 x 2 y

得 y 1 x2 5 x 2 ，1＜x＜4． 22
②AP＝2 或 AP＝3－ 5 ．
（题 27 是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推断 与证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即 灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联 系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题 的途径．）
。
上海市 2002 年中等学校高中阶段招生文化考试
27．操作：将一把三角尺放在边长为 1 的正方形 ABCD 上，并使它的直角顶点 P 在对角 线 AC 上滑动，直角的一边始终经过点 B，另一边与射线 DC 相交于点 Q．
:
图5
图6
图7
探究：设 A、P 两点间的距离为 x．
（1）当点 Q 在边 CD 上时，线段 PQ 与线段 PB 之间有怎样的大小关系试证明你观察
得到结论；
（2）当点 Q 在边 CD 上时，设四边形 PBCQ 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数解析式，
并写出函数的定义域；
（3）当点 P 在线段 AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形如果可能，指出所
有能使△PCQ 成为等腰三角形的点 Q 的位置，并求出相应的 x 的值；如果不可能，试说明

理由． （图 5、图 6、图 7 的形状大小相同，图 5 供操作、实验用，图 6 和图 7 备用）
五、（本大题只有 1 题，满分 12 分，（1）、（2）、（3）题均为 4 分） 27．
图1
图2
图3
~
（1）解：PQ＝PB
……………………（1 分）
证明如下：过点 P 作 MN∥BC，分别交 AB 于点 M，交 CD 于点 N，那么四边形 AMND
和四边形 BCNM 都是矩形，△AMP 和△CNP 都是等腰直角三角形（如图 1）．
∴ NP＝NC＝MB．
……………………（1 分）
∵ ∠BPQ＝90°，∴ ∠QPN＋∠BPM＝90°．
而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴ ∠QPN＝∠PBM．
……………………（1 分）
又∵ ∠QNP＝∠PMB＝90°，∴ △QNP≌△PMB． ……………………（1 分）
∴ PQ＝PB．
（2）解法一
由（1）△QNP≌△PMB．得 NQ＝MP．
∵ AP＝x，∴ AM＝MP＝NQ＝DN＝ 2 x ，BM＝PN＝CN＝1－ 2 x ，
2
2
>
∴ CQ＝CD－DQ＝1－2· 2 x ＝1－ 2x ． 2
得
S△PBC＝
1 2
BC·BM＝
1 2
×1×（1－
2 x ）＝ 1 －
2
2
2 x． 4
………………（1 分）
S△PCQ＝
1 2
CQ·PN＝
1 2
×（1－
2x ）（1－ 2 x ）＝ 1 － 3 2 x ＋ 1 x2
2
24
2
（1 分）

S
四边形 PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ＝
1 2
x2－
2x ＋1．
即 y＝ 1 x2－ 2x ＋1（0≤x＜ 2 ）．
2
2
……………………（1 分，1 分）
解法二
作 PT⊥BC，T 为垂足（如图 2），那么四边形 PTCN 为正方形．
∴ PT＝CB＝PN．
又∠PNQ＝∠PTB＝90°，PB＝PQ，∴△PBT≌△PQN．
S S S 四边形 PBCQ＝ △四边形 PBT＋ 四边形 PTCQ＝S 四边形 PTCQ＋S△PQN＝S 正方形 PTCN
…（2 分）
|
＝CN2＝（1－ 2 x ）2＝ 1 x2－ 2x ＋1
2
2
∴ y＝ 1 x2－ 2x ＋1（0≤x＜ 2 ）．
2
2
……………………（1 分）
（3）△PCQ 可能成为等腰三角形
①当点 P 与点 A 重合，点 Q 与点 D 重合，这时 PQ＝QC，△PCQ 是等腰三角形，
此时 x＝0
……………………（1 分）
②当点 Q 在边 DC 的延长线上，且 CP＝CQ 时，△PCQ 是等腰三角形（如图 3）
……………………（1 分）
解法一 此时，QN＝PM＝ 2 x ，CP＝ 2 －x，CN＝ 2 CP＝1－ 2 x ．
2
2
2
∴ CQ＝QN－CN＝ 2 x －（1－ 2 x ）＝ 2x －1．
2
2
当 2 －x＝ 2x －1 时，得 x＝1．
……………………（1 分）
解法二 此时∠CPQ＝ 1 ∠PCN＝°，∠APB＝90°－°＝°， 2
￥
∠ABP＝180°－（45°＋°）＝°，得∠APB＝∠ABP， ∴ AP＝AB＝1，∴ x＝1．
……………………（1 分）

%
上海市 2003 年初中毕业高中招生统一考试
27.如图，在正方形 ABCD 中，AB＝1 ，弧 AC 是点 B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧。
点 E 是边 AD 上的任意一点（点 E 与点 A、D 不重合），过 E 作弧 AC 所在圆的切线，交边 DC
于点 F，G 为切点：
（1）当∠DEF＝45o时，求证：点 G 为线段 EF 的中点；
（2）设 AE＝x，FC＝y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）将△DEF
沿直线
EF
翻折后得△D 1 EF，如图，当
EF＝
5 6
时，讨论△AD1 D
与△ED1 F
是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。
：

2004 年上海市中考数学试卷
27、（2004?上海）数学课上，老师提出： 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 点的坐标为（1，0），点 B 在 x 轴上，且在 点 A 的右侧，AB=OA，过点 A 和 B 作 x 轴的垂线，分别交二次函数 y=x2 的图象于点 C 和 D， 直线 OC 交 BD 于点 M，直线 CD 交 y 轴于点 H，记点 C、D 的的横坐标分别为 xC、xD，点 H 的纵坐标为 yH．
!
同学发现两个结论： ①S△ CMD：S 梯形 ABMC=2：3 ②数值相等关系：xC?xD=﹣yH （1）请你验证结论①和结论②成立； （2）请你研究：如果上述框中的条件“A 的坐标（1，0）”改为“A 的坐标（t，0）（t＞0）”， 其他条件不变，结论①是否仍成立（请说明理由）； （3）进一步研究：如果上述框中的条件“A 的坐标（1，0）”改为“A 的坐标（t，0）（t＞0）”， 又将条件“y=x2”改为“y=ax2（a＞0）”，其他条件不变，那么 xC、xD 与 yH 有怎样的数值关系 （写出结果并说明理由）

考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）可先根据 AB=OA 得出 B 点的坐标，然后根据抛物线的解析式和 A，B 的坐标得 出 C，D 两点的坐标，再依据 C 点的坐标求出直线 OC 的解析式．进而可求出 M 点的坐标， 然后根据 C、D 两点的坐标求出直线 CD 的解析式进而求出 D 点的坐标，然后可根据这些点 的坐标进行求解即可； （2）（3）的解法同（1）完全一样．
、
解答：解：（1）由已知可得点 B 的坐标为（2，0），点 C 坐标为（1，1），点 D 的坐标为（2， 4）， 由点 C 坐标为（1，1）易得直线 OC 的函数解析式为 y=x， 故点 M 的坐标为（2，2），
所以 S△ CMD=1，S 梯形 ABMC=
所以 S△ CMD：S 梯形 ABMC=2：3， 即结论①成立． 设直线 CD 的函数解析式为 y=kx+b，
则
，
解得
所以直线 CD 的函数解析式为 y=3x﹣2．
{
由上述可得，点 H 的坐标为（0，﹣2），yH=﹣2 因为 xC?xD=2，

所以 xC?xD=﹣yH， 即结论②成立； （2）（1）的结论仍然成立． 理由：当 A 的坐标（t，0）（t＞0）时，点 B 的坐标为（2t，0），点 C 坐标为（t，t2），点 D 的坐标为（2t，4t2）， 由点 C 坐标为（t，t2）易得直线 OC 的函数解析式为 y=tx， 故点 M 的坐标为（2t，2t2），
所以 S△ CMD=t3，S 梯形 ABMC= t3．
所以 S△ CMD：S 梯形 ABMC=2：3，
…
即结论①成立． 设直线 CD 的函数解析式为 y=kx+b，
则
，
解得
所以直线 CD 的函数解析式为 y=3tx﹣2t2； 由上述可得，点 H 的坐标为（0，﹣2t2），yH=﹣2t2 因为 xC?xD=2t2， 所以 xC?xD=﹣yH， 即结论②成立； （3）由题意，当二次函数的解析式为 y=ax2（a＞0），且点 A 坐标为（t，0）（t＞0）时，点 C 坐标为（t，at2），点 D 坐标为（2t，4at2），
！
设直线 CD 的解析式为 y=kx+b，
则：
，
解得
所以直线 CD 的函数解析式为 y=3atx﹣2at2，则点 H 的坐标为（0，﹣2at2），yH=﹣2at2． 因为 xC?xD=2t2，
所以 xC?xD=﹣ yH． 点评：本题主要考查了二次函数的应用、一次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图 象的交点等知识点．

）
2005 年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷
1、 （本题满分 12 分，每小题满分各为 4 分） 在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O 是边 AC 上的一个动点，以点 O 为圆心作半 圆，与边 AB 相切于点 D，交线段 OC 于点 E，作 EP⊥ED，交射线 AB 于点 P，交射线 CB 于 点 F。 （1） 如图 8，求证：△ADE∽△AEP； （2） 设 OA＝x，AP＝y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3） 当 BF＝1 时，求线段 AP 的长.
F
B
B
P
D
C
E O AC
A
图8
图 9（ 备 用 图 ）
}
25（. 1）证明：连结OD AP切半圆于D，ODA PED 90
又 OD OE，ODE OED 90 ODE 90 OED EDA PEA，又 A A ADE AEP

（2）OD CB OA AC
OD 3 OD 3 x OE,同理可得：AD 4 x
x5
5
5
ADE AEP
AP AE
y
8 5
x
4
xy
64
x2
y
16
x
AE AD 8 x 4 x 5 25
5
55
(x 0)
(3)由题意可知存在三种情况
但当E在C点左侧时ＢＦ显然大于４所以不合舍去
当x 5 时AP AB(如图） 4
延长DO，BE交于H
易证DHE DJE
HD 6 x, PBE PDH 90 5
PFB PHD
1 6x
PB 12 x
PB
2
AP
6
55
!
J
;

当x 5 时P点在B点的右侧 4
延长DO, PE交于点H
同理可得DHE EJD
PBF PDH
1 6x
BP 12 x
BP
2
55
AP 4 2 2
—
2006 年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷
25（本题满分 14 分，第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 7 分，第（3）小题满分 3 分） 已知点 P 在线段 AB 上，点 O 在线段 AB 的延长线上。以点 O 为圆心，OP 为半径作圆，点 C 是圆 O 上的一点。
（1） 如图 9，如果 AP=2PB，PB=BO。求证：△CAO∽△BCO； （2） 如果 AP=m（m 是常数，且 m〉1），BP=1，OP 是 OA、OB 的比例中项。当点 C
在圆 O 上运动时，求 AC：BC 的值（结果用含 m 的式子表示）； （3） 在（2）的条件下，讨论以 BC 为半径的圆 B 和以 CA 为半径的圆 C 的位置关系，
并写出相应 m 的取值范围。
$

C
A
P
BO
图9
25．（1）证明： AP 2PB PB BO PO，AO 2PO ． AO PO 2 ．································································································（2 分） PO BO PO CO ， ········································································································（1 分）
/
AO CO ． ∠COA ∠BOC ，△CAO∽△BCO ． ······················（1 分） CO BO
（2）解：设 OP x ，则 OB x 1，OA x m ， OP 是 OA ，OB 的比例中项，
x2 x 1 x m ，························································································（1 分）
得 x m ，即 OP m ． ···········································································（1 分）
m 1
m 1
OB 1 ． ·····································································································（1 分） m 1
OP 是 OA ， OB 的比例中项，即 OA OP ， OP OB
OP OC ， OA OC ．·············································································（1 分） OC OB
设圆 O 与线段 AB 的延长线相交于点 Q ，当点 C 与点 P ，点 Q 不重合时，
∠AOC ∠COB ，△CAO∽△BCO ． ··················································（1 分） AC OC ．·······································································································（1 分）
BC OB
。
AC OC OP m ；当点 C 与点 P 或点 Q 重合时，可得 AC m ，
BC OB OB
BC
当点 C 在圆 O 上运动时， AC : BC m ；·····················································（1 分）
（3）解：由（2）得， AC BC ，且 AC BC m 1 BC m 1，
AC BC m 1 BC ，圆 B 和圆 C 的圆心距 d BC ，
显然 BC m 1 BC ，圆 B 和圆 C 的位置关系只可能相交、内切或内含．
当圆 B 与圆 C 相交时， m 1 BC BC m 1 BC ，得 0 m 2 ，

m 1，1 m 2； ·······················································································（1 分）
当圆 B 与圆 C 内切时， m 1 BC BC ，得 m 2 ； ···································（1 分） 当圆 B 与圆 C 内含时， BC m 1 BC ，得 m 2 ． （1 分）
^
2007 年上海市初中毕业生统一学业考试
25．（本题满分 14 分，第（1）小题满分 4 分，第（2），（3）小题满分各 5 分）
~
已知：∠MAN 60 ，点 B 在射线 AM 上， AB 4（如图 10）．P 为直线 AN 上一动点，
以 BP 为边作等边三角形 BPQ （点 B，P，Q 按顺时针排列）， O 是 △BPQ 的外心．
（1）当点 P 在射线 AN 上运动时，求证：点 O 在∠MAN 的平分线上； （2）当点 P 在射线 AN 上运动（点 P 与点 A 不重合）时，AO 与 BP 交于点 C ，设 AP x ， AC AO y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）若点 D 在射线 AN 上，AD 2 ，圆 I 为 △ABD 的内切圆．当△BPQ 的边 BP 或 BQ
与圆 I 相切时，请直接写出点 A 与点 O 的距离．
A
A
|
B
P
O
P B
O
M
Q NM
图 10
25．（1）证明：如图 4，连结 OB，OP ，
QN
\
备用图
O 是等边三角形 BPQ 的外心，OB OP ， ···································································1 分
圆心角 BOP 360 120 ． 3
·

当 OB 不垂直于 AM 时，作 OH AM ， OT AN ，垂足分别为 H，T ． 由 HOT A AHO ATO 360 ，且 A 60 ，
AHO ATO 90 ，HOT 120 ．
BOH POT ． ················································································································1 分 Rt△BOH ≌Rt△POT ．····································································································1 分 OH OT ．点 O 在 MAN 的平分线上． ·····································································1 分
当 OB AM 时， APO 360 A BOP OBA 90 ．
即 OP AN ，点 O 在 MAN 的平分线上． 综上所述，当点 P 在射线 AN 上运动时，点 O 在 MAN 的平分线上．
"
《
A
P
H
T
B
O
A CP B
O
Q
Q
M
N
M
N
图4
图5
（2）解：如图 5，
·
AO 平分 MAN ，且 MAN 60 ，
BAO PAO 30 ． ·······································································································1 分
由（1）知， OB OP ， BOP 120 ，
CBO 30 ，CBO PAC ．
BCO PCA，AOB APC ． ···········································································1 分 △ABO∽△ACP ． AB AO ． AC AO AB AP． y 4x ． ·····························································1 分
AC AP 定义域为： x 0 ． ·····················································································································1 分
（3）解：①如图 6，当 BP 与圆 I 相切时， AO 2 3 ；····················································2 分
②如图 7，当 BP 与圆 I 相切时， AO 4 3 ； ····································································1 分 3
！
③如图 8，当 BQ 与圆 I 相切时， AO 0 ．···········································································2 分

A (D)
IP
B
&
OQ
M
N
图6
P( A)
ID
B
OQ
M
N
,
图7
P
( A) O
Q
D I
B N
M
）
图8
2008 年上海市中考数学试卷
25．（本题满分 14 分，第（1）小题满分 5 分，第（2）小题满分 4 分，第（3）小题满分 5 分）
已知 AB 2，AD 4 ，DAB 90 ，AD∥BC（如图 13）．E 是射线 BC 上的动点（点 E 与点 B 不重合）， M 是线段 DE 的中点．
%
（1）设 BE x ，△ABM 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）如果以线段 AB 为直径的圆与以线段 DE 为直径的圆外切，求线段 BE 的长； （3）联结 BD ，交线段 AM 于点 N ，如果以 A，N，D 为顶点的三角形与△BME 相似， 求线段 BE 的长．
A
D
M
A
D
B
/
!
EC
B
备用图
C
图 13
25．解：（1）取 AB 中点 H ，联结 MH ，
M 为 DE 的中点，MH ∥BE ， MH 1 (BE AD) ． ·····································（1 分） 2

又 AB BE ，MH AB ．······················································································（1 分）
S△ABM
1 2
AB
MH
，得 y
1 2
x 2(x
0) ； ·············································（2 分）（1 分）
（2）由已知得 DE (x 4)2 22 ．············································································（1 分）
以线段 AB 为直径的圆与以线段 DE 为直径的圆外切，
MH
1 2
AB
1 2
DE
，即
1 2
(x
4)
1 2
2
(4
x)2
22

．
······························（2
分）
解得 x 4 ，即线段 BE 的长为 4 ；·················································································（1 分）
3
3
（3）由已知，以 A，N，D 为顶点的三角形与 △BME 相似，
·
又易证得 DAM EBM ． ··························································································（1 分） 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：① ADN BEM ；② ADB BME ． ①当 ADN BEM 时， AD∥BE ，ADN DBE ．DBE BEM ． DB DE ，易得 BE 2AD ．得 BE 8 ； ······························································（2 分） ②当 ADB BME 时， AD∥BE ，ADB DBE ． DBE BME ．又 BED MEB，△BED∽△MEB ．
DE BE ，即 BE2 EM DE ，得 x2 1 22 (x 4)2 22 (x 4)2 ．
BE EM
2
解得 x1 2 ， x2 10 （舍去）．即线段 BE 的长为 2． ···············································（2 分）
综上所述，所求线段 BE 的长为 8 或 2．
|
2009 年上海市初中毕业统一学业考试
;
25．（本题满分 14 分，第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 5 分，第（3）小题满分 5 分）
已知 ABC 90°，AB 2，BC 3，AD∥BC，P 为线段 BD 上的动点，点 Q 在射线
AB 上，且满足 PQ AD （如图 8 所示）． PC AB
（1）当 AD 2 ，且点 Q 与点 B 重合时（如图 9 所示），求线段 PC 的长；

（2）在图 8 中，联结 AP ．当 AD 3 ，且点 Q 在线段 AB 上时，设点 B、Q 之间的距离 2
为 x ， S△APQ S△PBC
y ，其中 S△APQ 表示 △APQ 的面积， S△PBC 表示 △PBC 的面积，求 y 关
于 x 的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当 AD AB ，且点 Q 在线段 AB 的延长线上时（如图 10 所示），求 QPC 的大小．
A
}
D P
A
D
P
A
D
P
<
QB
图8
C
B（Q） ）
图9
CB
C
<
Q
图 10
（2009 年上海 25 题解析） 解：（1）AD=2，且 Q 点与 B 点重合，根据题意，∠PBC=∠PDA，
因为∠A=90。 PQ/PC=AD/AB=1,所以：△PQC 为等腰直角三角形，BC=3，所以：PC=3 /2,
（2）如图：添加辅助线，根据题意，两个三角形的面积可以分别表示成 S1，S2， 高分别
是 H，h，
则：S1=（2-x）H/2=（2*3/2）/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2
S2=3*h/2 因为两 S1/S2=y，消去 H,h,得：
2
Y=-(1/4)*x+(1/2),
定义域：当点 P 运动到与 D 点重合时，X 的取值就是最大值，当 PC 垂直 BD 时，这时 X=0，
连接 DC,作 QD 垂直 DC，由已知条件得：B、Q、D、C 四点共圆，则由圆周角定理可以推知：
三角形 QDC 相似于三角形 ABD
!
QD/DC=AD/AB=3/4，令 QD=3t,DC=4t,则：QC=5t，由勾股定理得： 直角三角形 AQD 中：(3/2)^2+(2-x)^2=(3t)^2 直角三角形 QBC 中：3^2+x^2=(5t)^2 整理得：64x^2-400x+301=0 (8x-7)(8x-43)=0
得 x1=7/8 x2=(43/8)>2(舍去) 所以函数: Y=-(1/4)*x+1/2 的定义域为[0，7/8] (3)因为：PQ/PC=AD/AB,假设 PQ 不垂直 PC，则可以作一条直线 PQ′垂直于 PC，与 AB 交于 Q′点， 则：B，Q′，P，C 四点共圆，由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：
PQ′/PC=AD/AB, 又由于 PQ/PC=AD/AB 所以，点 Q′与点 Q 重合，所以角∠QPC=90。
|
A
D
P
A
D
A
D
\
P
—
Q
B
图8
C
B（Q） ）
图9
P
CB
C
Q
图 10

（
2010 年上海市初中毕业统一学业考试数学卷
25．如图 9，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°.半径为 1 的圆 A 与边 AB 相交于点 D， 与边 AC 相交于点 E，连结 DE 并延长，与线段 BC 的延长线交于点 P. （1）当∠B＝30°时，连结 AP，若△AEP 与△BDP 相似，求 CE 的长； （2）若 CE=2，BD=BC，求∠BPD 的正切值；
（3）若 tan BPD 1 ，设 CE=x，△ABC 的周长为 y，求 y 关于 x 的函数关系式. 3
图9
图 10(备用)
用)
2011 年上海市初中毕业统一学业考试数学卷
图 11(备

2011 年上海市初中毕业统一学业考试数学卷
25．（本题满分 14 分，第（1）小题满分 4 分，第（2）、（3）小题满分各 5 分） 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点 P 是 AB 边上任意一点，直线 PE
⊥AB，与边 AC 或 BC 相交于 E．点 M 在线段 AP 上，点 N 在线段 BP 上，EM＝EN，sin EMP 12 ． 13
（1）如图 1，当点 E 与点 C 重合时，求 CM 的长； （2）如图 2，当点 E 在边 AC 上时，点 E 不与点 A、C 重合，设 AP＝x，BN＝y，求 y 关 于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）若△AME∽△ENB（△AME 的顶点 A、M、E 分别与△ENB 的顶点 E、N、B 对应）， 求 AP 的长．

2020上海中考数学压轴题专项训练

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得 1, 1643 c b c =-?? ++=-?， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12b c =-=- …………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12y x x =- - …………………………………………… （1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5AOH OBC ∠=∠= ……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511AH ABO BH ∠==÷= ………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =--， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分） 所以符合题意的点N 有4 个35 (22),(22),(1,),(3,)22 --+--- ……………………………………………………………………………………（1分） 25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5

中考数学压轴题解题方法大全及技巧

专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是

列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：

中考数学压轴题100题精选【含答案】

中考数学压轴题100题精选【含答案】 【001 】如图，已知抛物线 2 (1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为 ()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若O C O B =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1 个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围） （3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；

上海市各区县历年中考数学模拟压轴题汇总及答案

1．（本小题满分10分） 已知，如图，△ABC 是等边三角形，过AC 边上的点 作 DG x 2 bx c y ax ++=知C(2，4)，BC= 4. (1)求过O 、C 、B 三点的抛物线解析式，并写出顶点 坐标和对称轴； (2)经过O 、C 、B 三点的抛物线上是否存在P 点(坐标轴的距离相等.如果存在，求出P 点坐标；如果不存在，请说明理由. 4、 (本题12分)如图，AD(1)求证:四边形AEFD 是菱形； (2)若BE=EF=FC ，求∠BAD+∠ADC 的度数； (3)若BE=EF=FC ，设AB = m ，CD = n ，求四边形ABCD 的面积. 5、 (本题14分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线6422++-=x x y 与 x 轴交于A 、B 两点(A 点在B 点左侧)，与y 轴交于C 点，顶点为D.过点 C 、D 的直线与x 轴交于E 点，以OE 为直径画⊙O 1，交直线CD 于P 、E 两点. (1)求E 点的坐标； (2)联结PO 1、PA.求证:BCD ?～A PO 1?； (3) ①以点O 2 (0，m)为圆心画⊙O 2，使得⊙O 2与⊙O 1相切， 当⊙O 2经过点C 时，求实数m 的值； ②在①的情形下，试在坐标轴上找一点O 3，以O 3为圆心画 ⊙O 3，使得⊙O 3与⊙O 1、⊙O 2同时相切.直接写出满足条件的点O 3的坐标(不需写出计算过程). 6．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） （第24题图）

如图，EF 是平行四边形ABCD 的对角线BD 的垂直平分线，EF 与边AD 、BC 分别交于点E 、F ． （1）求证：四边形BFDE 是菱形； （2）若E 为线段AD 的中点，求证：AB ⊥BD . 7．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2 ）小题6分） 在平面直角坐标系中，抛物线2 y x bx c =++经过点（0，2）和点（3，5）． （1）求该抛物线的表达式并写出顶点坐标； （2）点P 为抛物线上一动点，如果直径为4⊙P 与y 轴相切，求点P 的坐标. 8．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（25分） 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC = 90°，AB =3，E 、F 分别是AB 边和AC 边上的动点，且∠EDF = 90°． （1）求DE ︰DF 的值； （2）联结EF ，设点B 与点E 间的距离为x ，△DEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； （3）设直线DF 与直线AB 相交于点G ，△EFG 能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE 的长；若不能，请说明理由. 9．（本题满分12分，每小题各如图10，已知抛物线交于点B ，且OB OA =. (1) 求c b +的值； (2) 若点C 第24题图 A D E C O 第25题B C D E F A

2017上海历年中考数学压轴题专项训练

24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得1, 1643c b c =-?? ++=-? ， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12 b c =-=-…………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12 y x x =- -……………………………………………（1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5 AOH OBC ∠=∠=……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= g ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511 AH ABO BH ∠==÷=………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =- -， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2 291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分）

中考数学压轴题十大类型经典题目75665

中考数学压轴题十大类型 目录 第一讲中考压轴题十大类型之动点问题 1 第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题7 第三讲中考压轴题十大类型之面积问题13 第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题19 第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题25 第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系31 第七讲中考压轴题十大类型之定值问题38 第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题44 第九讲中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究50 第十讲中考压轴题十大类型之圆56 第十一讲中考压轴题综合训练一62 第十二讲中考压轴题综合训练二68

第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题 一、知识提要 基本方法： ______________________________________________________; ______________________________________________________; ______________________________________________________． 二、精讲精练 1. （2011吉林）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =90°，CE ⊥AD 于点E ， AD =8cm ，BC =4cm ，AB =5cm ．从初始时刻开始，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，动点P 沿A -B -C -E 方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B -C -E -D 方向运动，到点D 停止，设运动时间为x s ，△P AQ 的面积为y cm 2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题： （1） 当x =2s 时，y =_____ cm 2；当x =9 2 s 时，y =_______ cm 2． （2）当5 ≤ x ≤ 14时，求y 与x 之间的函数关系式． （3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出15 4 y S 梯形ABCD 时x 的值． （4）直接写出在整个．．运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．

2020中考数学压轴题100题精选(附答案解析)

2020中考数学压轴题100题精选 （附答案解析） 【001 】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+（a ≠0）经过点 (2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结 BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．

【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t 秒（t＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S 与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C 成 为直角梯形？若能，求t （4）当DE经过点C 时，请直接 图16 【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

上海历年中考数学压轴题复习(试题附答案)

上海历年中考数学压轴题复习 2001年上海市数学中考 27．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2． （1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． 图8 ①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长． （2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么 ①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）． 27．（1）①证明： ∵ ∠ABP ＝180°－∠A －∠APB ，∠DPC ＝180°－∠BPC －∠APB ，∠BPC ＝∠A ，∴ ∠ABP ＝∠DPC ．∵ 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴ ∠A ＝∠D ．∴ △ABP ∽△DPC ． ②解：设AP ＝x ，则DP ＝5－x ，由△ABP ∽△DPC ，得 DC PD AP AB =，即252x x -=，解得x 1＝1，x 2＝4，则AP 的长为1或4． （2）①解：类似（1）①，易得△ABP ∽△DPQ ，∴ DQ AP PD AB =．即y x x +=-252，得22 521 2-+-=x x y ，1＜x ＜4．

②AP＝2或AP＝3－5． （题27是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推断与证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径．） 上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试 27．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q． 图5图6图7 探究：设A、P两点间的距离为x． （1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论； （2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由． （图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用） 五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分）

最新全国各地中考数学解答题压轴题解析2

全国各地中考数学解答题压轴题解析2

2011年全国各地中考数学解答题压轴题解析（2） 1．（湖南长沙10分）如图，在平面直角坐标系中，已知 点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边， 在其一侧作等边三角线APQ。当点P运动到原点O处时， 记Q得位置为B。 （1）求点B的坐标； （2）求证：当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值； （3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）过点B作BC⊥y轴于点C， ∵A(0,2)，△AOB为等边三角形， ∴AB=OB=2，∠BAO=60°， ∴BC=3，OC=AC=1。即B（ 3 1，）。 （2）不失一般性，当点P在x轴上运动（P不与O重合）时， ∵∠PAQ==∠OAB=60°，∴∠PAO=∠QAB， 在△APO和△AQB中，∵AP=AQ，∠PAO=∠QAB，AO=AB，∴△APO≌△AQB总成立。 ∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立。 ∴当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°。 （3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上， ∴AO与BQ不平行。

①当点P 在x 轴负半轴上时，点Q 在点B 的下方， 此时，若AB∥OQ ，四边形AOQB 即是梯形， 当AB∥OQ 时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°。 又OB=OA=2，可求得BQ=3。 由（2）可知，△APO≌△AQB ，∴OP=BQ=3， ∴此时P 的坐标为（3 0-， ）。 ②当点P 在x 轴正半轴上时，点Q 在点B 的上方， 此时，若AQ∥OB ，四边形AOQB 即是梯形， 当AQ∥OB 时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°。 又AB= 2，可求得BQ=23， 由（2）可知，△APO≌△AQB ，∴OP=BQ=23， ∴此时P 的坐标为（23 0， ）。 综上所述，P 的坐标为（3 0-， ）或（23 0，）。 【考点】等边三角形的性质，坐标与图形性质；全等三角形的判定和性质，勾股定理，梯形的判定。 【分析】（1）根据题意作辅助线过点B 作BC⊥y 轴于点C ，根据等边三角形的性质即可求出点B 的坐标。 （2）根据∠PAQ═∠OAB=60°，可知∠PAO=∠QAB ，得出△APO≌△AQB 总成立，得出当点P 在x 轴上运动（P 不与Q 重合）时，∠ABQ 为定值90°。 （3）根据点P 在x 的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果。 2.（湖南永州10分）探究问题：

届上海初三数学各区一模压轴题汇总(15套全)

2016~2017学年度 上海市各区初三一模数学压轴题汇总 （18+24＋25） 共1５套 整理廖老师

宝山区一模压轴题 18(宝山)如图，D 为直角 ABC 的斜边AB 上一点,DE AB 交AC 于E ， 如果AED 沿着DE 翻折,A 恰好与B 重合，联结CD 交BE 于F ,如果8AC ，1 tan 2 A ，那么:___________.CF DF ２４（宝山）如图，二次函数2 32(0)2 y ax x a 的图像与x 轴交于A B 、 两点,与y 轴交于点,C 已知点(4,0)A . (１)求抛物线与直线AC 的函数解析式; （２）若点(,)D m n 是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA 的面积为S ,求S 关于m 的函数关系; (３）若点E 为抛物线上任意一点，点F 为x 轴上任意一点，当以A C E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出满足条件的所有点E 的坐标． 25（宝山）如图（1)所示,E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P Q 、 同时从点B 出发,点P 以1/cm s 的速度沿第18题 A 第24题

-- 着折线BE ED DC 运动到点C 时停止，点Q 以2/cm s 的速度沿着BC 运动到点C 时停止。设P Q 、 同时出发t 秒时,BPQ 的面积为2ycm ,已知y 与t 的函数关系图像如图(2)（其中曲线OG 为抛物线的一部分，其余各部分均 为线段). (１)试根据图（2）求0 5t 时，BPQ 的面积y 关于t 的函数解析式； (2)求出线段BC BE ED 、、的长度； （3)当t 为多少秒时，以B P Q 、、为顶点的三角形和ABE 相似; （4)如图（3)过点E 作EF BC 于F ，BEF 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度,如果BEF 中E F 、 的对应点H I 、恰好和射线BE CD 、的交点G 在一条直线，求此时C I 、两点之间的距离. 崇明县一模压轴题 18(崇明)如图,已知 ABC ?中，45ABC ∠=，AH BC ⊥于点H ,点D 在AH 上,且DH CH =，联结BD ,将BHD 绕 （3） （2）（1） 第25题 B B

上海历年中考数学压轴题复习[试题附答案解析]

历年中考数学压轴题复习 2001年市数学中考 27．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2． （1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． 图8 ①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长． （2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么 ①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）． 27．（1）①证明： ∵ ∠ABP ＝180°－∠A －∠APB ，∠DPC ＝180°－∠BPC －∠APB ，∠BPC ＝∠A ，∴ ∠ ABP ＝∠DPC ．∵ 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴ ∠A ＝∠D ．∴ △ABP ∽△DPC ． ②解：设AP ＝x ，则DP ＝5－x ，由△ABP ∽△DPC ，得 DC PD AP AB = ，即252x x -=，解得x 1＝1，x 2＝4，则AP 的长为1或4． （2）①解：类似（1）①，易得△ABP ∽△DPQ ，∴ DQ AP PD AB =．即y x x += -252，得22 5 212-+-=x x y ，1＜x ＜4． ②AP ＝2或AP ＝3－5．

（题27是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推断与证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径．） 市2002年中等学校高中阶段招生文化考试 27．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q． 图5图6图7 探究：设A、P两点间的距离为x． （1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论； （2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由． （图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用） 五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分） 27．

南昌中考数学压轴题大集合

一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交 于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 图① 图②

方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直

中考数学《压轴题》专题训练含答案解析

压轴题 1、已知,在平行四边形O ＡＢC 中,O Ａ=５，AB ＝4，∠OCA=90°,动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动,同时动点Ｑ从A 点出发沿射线ＡB 方向以每秒1个单位的速度移动.设移动的时间为ｔ秒. (１）求直线AC 的解析式; (2)试求出当t 为何值时,△O ＡC 与△PAQ 相似; （3)若⊙P 的半径为 58，⊙Q 的半径为2 3 ；当⊙P 与对角线AC 相切时，判断⊙Q 与直线AC 、B Ｃ的位置关系,并求出Q 点坐标。 解:(１）42033 y x =- + （２)①当0≤ｔ≤2．5时,Ｐ在O Ａ上，若∠OAQ ＝9０°时， 故此时△OA Ｃ与△PAQ 不可能相似. 当ｔ>2．5时,①若∠APQ=90°，则△A ＰQ ∽△ＯCA ， ∵t>2．5,∴ 符合条件. ②若∠A ＱP=９0°，则△APQ ∽△∠OA Ｃ， ∵t>2.5，∴ 符合条件.

综上可知,当 时，△O ＡC 与△APQ 相似． （３)⊙Q 与直线ＡＣ、B Ｃ均相切，Q 点坐标为（ 10 9 ,5 31） 。 ２、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为ｘ轴,ＯC 所在的直线为ｙ轴，建立平面直角坐标系.已知OA ＝3,ＯC =2，点E 是AB 的中点，在ＯA 上取一点D ，将△BD Ａ沿ＢD 翻折,使点A 落在BC 边上的点F 处． (1)直接写出点E 、F 的坐标； (2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式; (3)在x 轴、ｙ轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形ＭNF Ｅ的周长最小？如果存在，求出周长的最小值;如果不存在，请说明理由. 解：（1)(31)E ，;(12)F ，.(２）在Rt EBF △中,90B ∠=, 2222125EF EB BF ∴=+=+=. 设点P 的坐标为(0)n ，,其中0n >， 顶点(1 2)F ，， ∴设抛物线解析式为2 (1)2(0)y a x a =-+≠. ①如图①，当EF PF =时，22 EF PF =,2 2 1(2)5n ∴+-=. 解得10n =（舍去）;24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+.解得2a =. ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+ （第2题）

上海中考数学压轴题专题：圆的经典综合题资料

1．如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，点C 是AB ︵ 上的一个动点（不与点A 、B 重合），OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ． （1）当BC ＝1时，求线段OD 的长； （2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由； （3）设BD ＝x ，△DOE 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域． A E C D O B

2．如图，已知在△ABC中，AB＝15，AC＝20，cot A＝2，P是边AB上的一个动点，⊙P的半径为定长．当点P与点B重合时，⊙P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且⊙P 与边AC相交于点M和点N时，设AP＝x，MN＝y． （1）求⊙P的半径； （3）当AP＝65时，试比较∠CPN与∠A的大小，并说明理由．

3．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，∠B＝60°，AB＝10，AD＝4，⊙M 与∠BAD的两边相切，点N在射线AB上，⊙N与⊙M是等圆，且两圆外切． （1）设AN＝x，⊙M的半径为y，求y关于x的函数关系式； （2）当x为何值时，⊙M与CD相切？ （3）直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长是否可能相等？如果能，求出符合要求的x的值；如果不能，请说明理由．

4．已知：半圆O 的半径OA ＝4，P 是OA 延长线上一点，过线段OP 的中点B 作OP 的垂线交半圆O 于点C ，射线PC 交半圆O 于点D ，连接OD ． （1）当AC ︵ ＝CD ︵ 时，求弦CD 的长； （2）设PA ＝x ，CD ＝y ，求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； （3）设CD 的中点为E ，射线BE 与射线OD 交于点F ，当DF ＝1时，求tan ∠P 的值． 备用图 备用图

近年来中考数学压轴题大集合

近年来中考数学压轴题大集合 【一】函数与几何综合的压轴题 1.〔2004安徽芜湖〕如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 假如有一抛物线通过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 假如AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，如今AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解]〔1〕 〔本小题介绍二种方法，供参考〕 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ' '''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC ' ' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ' '=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D 〔1，0〕，A 〔-2，-6〕，得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B 〔-2，0〕，C 〔1，-3〕，得BC 直线方程：y =-x -2② 联立①②得 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标〔0，-2〕，即E 点在y 轴上 〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2，-6〕，C 〔1，-3〕 E 〔0，-2〕三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法，供参考〕 由〔1〕当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同〔1〕可得：1E F E F AB DC ''+=得：E ′F =2 图①

中考数学压轴题精选含详细答案

目 录 2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例1 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题 例2 2012年连云港市中考第26题 例3 2010年上海市中考第25题 例1 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O 是边AB 上的动点． （1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系； （2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长； （3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域． 图1 图2 图3 动感体验 请打开几何画板文件名“12徐汇25”，拖动点O 在AB 上运动，观察△OMP 的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以体验到，点O 和点P 可以落在对边的垂直平分线上，点M 不能． 请打开超级画板文件名“12徐汇25”， 分别点击“等腰”按钮的左部和中部，观察三个角度的大小，可得两种等腰的情形．点击“相切”按钮，可得y 关于x 的函数关系． 思路点拨 1．∠B 的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱． 2．分三种情况探究等腰△OMP ，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单． 3．探求y 关于x 的函数关系式，作△OBN 的边OB 上的高，把△OBN 分割为两个具有公共直角边的直角三角形． 满分解答

（1） 在Rt △ABC 中，AC ＝6，53sin =B ， 所以AB ＝10，BC ＝8． 过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ． 在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5MD B BM ==，所以65 MD =． 因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离． 图4 （2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况． ②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形． 在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5BO B BM ==，所以85BO =．此时425 OA =． ③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ． 在Rt △BOE 中，BE ＝32，4cos 5BE B BO ==，所以158BO =．此时658 OA =． 图5 图6 （3）如图7，过点N 作NF ⊥AB ，垂足为F ．联结ON ． 当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON ＝x ＋y ． 在Rt △BNF 中，BN ＝y ，3sin 5B =，4cos 5B =，所以35NF y =，45 BF y =． 在Rt △ONF 中，4105 OF AB AO BF x y =--=--，由勾股定理得ON 2＝OF 2＋NF 2． 于是得到22243()(10)()55 x y x y y +=--+． 整理，得2505040 x y x -=+．定义域为0＜x ＜5． 图7 图8 考点伸展 第（2）题也可以这样思考： 如图8，在Rt △BMF 中，BM ＝2，65MF =，85 BF =．

中考数学压轴题大集合

一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于 E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. ~ [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） ' 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 图① 图②

方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2x y =??=-? 》 ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? （ = 1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直