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固体物理答案

（1）

共价键结合的特点共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”

饱和性和方向性

饱和性：由于共价键只能由为配对的电子形成，故一个原子能与其他原子形成共价键的数目是有限制的。N<4，有n 个共价键；n>=4，有（8-n ）个共价键。其中n 为电子数目。方向性：一个院子与其他原子形成的各个共价键之间有确定的相对取向。

（2）如何理解电负性可用电离能加亲和能来表征

电离能：使原子失去一个电子所必须的能量其中A 为第一电离能，电离能可表征原子对价电子束缚的强弱；亲和势能：中性原子获得电子成为-1价离子时放出的能量，其中B 为释放的能量，也可以表明原子束缚价电子的能力，而电负性是用来表示原子得失电子能力的物理量。故电负性可用电离能加亲和势能来表征。

（3）引入玻恩-卡门条件的理由是什么

在求解原子运动方程是，将一维单原子晶格看做无限长来处理的。这样所有的原子的位置都是等价的，每个原子的振动形式都是一样的。而实际的晶体都是有限的，形成的键不是无穷长的，这样的链两头原子就不能用中间的原子的运动方程来描述。波恩—卡门条件解决上述困难。

（4）温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是一个声学波的声子数目多对同一振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低的声子数目多

温度一定，一个声学波的声子数目多。

对于同一个振动模式，温度高的声子数目多。

（5） /

（6）长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化

不能。长声学波代表的是原胞的运动，正负离子相对位移为零。

（6）晶格比热理论中德拜（Debye ）模型在低温下与实验符合的很好，物理原因

是什么爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么

在甚低温下，不仅光学波得不到激发，而且声子能量较大的短声学波也未被激发，得到激发的只是声子能量较小的长声学格波。长声学格波即弹性波。德拜模型只考虑弹性波对热容德贡献。因此，在甚低温下，德拜模型与事实相符，自然与实验相符。爱因斯坦模型过于简单，假设晶体中各原子都以相同的频率做振动，忽略了各格波对热容贡献的差异，按照爱因斯坦温度的定义可估计出爱因斯坦频率为光学支格波。在低温主要对热容贡献的是长声学支格波。

（7）试解释在晶体中的电子等效为经典粒子时，它的有效质量为什么有正、有负、无穷大值带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点

m F m m l +=* m F m v F m

v F l ?+?=??*

])()[(1

])()[(1电子给予晶格德外力给予电子德晶格给予电子德外力给予电子德－＝＋p p m p p m

m ????=?*

当电子从外场获得的动量大于电子传递给晶格的动量时，有效质量为正；

当电子从外场获得的动量小于电子传递给晶格的动量时，有效质量为负；当电子从外场获得的动量等于电子传递给晶格的动量时，有效质量为无穷。】

（8）为什么温度升高，费米能级反而降低体积膨胀时，费米能级的变化在温度升高时，费米面以内能量离约范围的能级上的电子被激发到之上约范围的能级。故费米球体积V 增大，又电子总数N 不变，则电子浓度减小，又，则费米半径变小，费米能级也减小。当体积膨胀时，V 增大，同理费米能级减小。

（9）什么是p型、N型半导体试用能带结构解释。

P型半导体：在四价元素（硅或锗）半导体中参入微量的三价元素（硼或铝），主要依赖空穴导电；N型半导体：在四价元素（硅或锗）半导体中参入少量五价元素（磷或砷）杂质，主要依赖电子导电。

（10）德拜模型的三点假设

（1）晶体视为连续介质，格波视为弹性波（2）有一支纵波两支横波（3）晶格震动频率在0~之间（为德拜频率）

（11）布洛赫定理的内容

（12）金刚石结构有几支格波几支声学波几支光学波设晶体有N个原胞，晶体振动模式数为多少

金刚石为复式格子，每个原胞中有两个原子。

￥

则m=3，n=2.（m表示晶体的维数，n是原胞中原子的数目）

所以，有6支格波，3支声学波，3支光学波。

振动模式数为6N

（13）近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点

近自由电子：（1）在k=nπ/a时（在布里渊区边界上），电子的能量出现禁带，禁带宽度为（2）在k=nπ/a附近，能带底部电子能量与波矢的关系是向上弯曲的抛物线，能带顶部是向下弯曲的抛物线（3）在k远离nπ/a处，电子的能量与自由电子的能量相近。

紧束缚：, 表示相剧为的两个格点上的波函数的重叠积分，它依赖于与的重叠程度，重叠最完全，即最大，其次是最邻近格点的波函数的重叠积分，涉及较远的格点的积分甚小，通常可以忽略不计。近邻原子的波函数重叠越多，的值越大，能带宽度越宽。由此可见，与原子内层原子所对应的能带较窄，而不同的原子态所对应的和是不同的。

（14）紧束缚模型下，内层电子的能带与外层电子的能带相比较，哪一个宽为什么

外层电子的能带较宽，因为近邻原子的波函数重叠越多，的值越大，能带将越宽。（15)在晶格常数为a的一维简单晶格中，波长=4a和=4a/5的两个格波所对应的原子振动有无不同画图说明之。

没有不同

（16）在什么情况下必须可以忽略电子对固体热容量的贡献，并说明原因。

在什么情况下必须考虑电子对固体热容量的贡献，并说明原因。

在常温下晶格振动对摩尔热容量的贡献的量级为，而电子比热容的量级

为，晶格热容量比电子热容量大得多，可以忽略。这是因为尽管金属中有大量的自由电子，但只有费米面附近范围的电子才能受热激发而跃迁至较高的能级，所以电子热容量很小。

在低温范围，晶格热容量迅速下降，在低温的极限趋于0，电子热容量和T 成正比，随温度下降比较缓慢。

（17）请简述满带、空带、价带、导带和带隙。

满带：能带中所有电子状态结构被电子所填满空带：能带中所有电子状态均未被电子占据价带：最外层电子所处的能带

导带：能带中只有部分电子状态被电子占据，其余为空态带隙：量能带之间的间隔

—

近满态：能带中大部分电子状态被电子占据，只有少数空态（18）请解释晶向指数、晶面指数和密勒指数。

任意两格点连线称为晶列，晶列的取向称为晶向，描写晶向的一组数据称为晶向指数。如果取某一原子为原点，沿晶向到最近邻的原子的位矢为，, , 为固体物理学原胞基矢。为该晶列的晶列指数。在晶格中，通过任意三个在同一直线上的格点，作一平面，称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数（密勒指数）。

1试证明倒格矢332211b h b h b h G h

++=与正格子晶面族（h 1,h 2,h 3）正交；并证明晶

面族（h 1,h 2,h 3）面间距为3

213212h h h h h h G d π

=，其中321h h h G 为倒格矢

332211b h b h b h G h

++=的长度。

2．证明对于基矢量321,,a a a 互相正交的晶格，证明密勒指数为（h ，k ，ι）的晶

面系，面间距d 满足： ])()()/[(123

22212a a k a h d ι

++=。

解：k a b j a b i a b 3

32211

2,2,2π

ππ=== 倒格矢321b l b k b h G kl h

++=与正格子晶面族（h,k,ι）正交。

])()()[(1

)(

222122a l a k a h G d hkl

++=

= —

3. 某单价金属，为平面正六方形晶格如图所示，六角形两个对边的间距是a, 基

矢j a i a a j a i a a

32,23221+-=+

=， 1）求出正格子原胞的体积；求出倒格子基矢，并画出

倒格子点阵原胞，和画出此晶体的第一布里渊区；2）若价电子可以看成是自由电子，原胞数为N ，求能态密度N （E ）； 3）求T ＝0k 时的费米能级E F 0。

若晶格为平面正三角形，相邻原子间距为a

（1）i a a =1， j a i a a 2

22+

=， k a =3 %

正格子原胞体积：2

V =

()()

???

?-=

+=+=????? ??+-=

?Ω

=j i a j i a i j a k j a i a a a a b

233233223223222321ππππ

j a

a a

b 342132ππ=?Ω=

（2）选定一倒格点为原点，原点的最近邻倒格矢有6个，它们是 )(,,2121b b b b +±±±，

a 2

a 1

222

232)2(232)( πππm

Na m

k a

N E N =?=

=00

)(F

E dE E N N

N E m Na F =0

2223

π m

Na N E F 2

32 π=

4. 已知由N 个原子组成的惰性元素晶体总势能可写为：

???

??????? ??-??? ??=6

612122)(r A r A N r U σσε，其中454.14,132.12612==A A ，求：

（1）原子平衡时距离；（2）晶体结合能。

（1）平衡时 ()00==r r dr

r dU 有 0612270

613

012

12=???

???

??? ??

+???? ??-r A r A N σσε σσ09.126

6120=???

? ??=A A r （2）结合能：()εεN A N A r U E b 6.8212

==-= 5．若晶体中两相邻原子的相互作用能n

m r r r U β

=)(，求

（1）平衡时原子间距；（2）单个原子结合能。

6. 试从k 的取值范围和E(k)~k 的关系两方面，画出一维晶格能带扩展能区图或简约能区图。

7.考虑一个双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地等于C 和10C 。令两种原子的质量m 相等，近邻原子间距为a/2，（1）求色散关系ω(k)，要求写出推导过程并粗略地画出简约区的色散关系图。

运动方程：)(10)()(10)(12212

2n n n n n

n n n n n v c v c dt

v d m v c v c dt

d m μμμμμ----=----=+- （1）

设试探解：][]

[nka wt i n nka wt i n

Be v Ae ----==μ （2）

代入（1）式，

B e

c B mw cA

B e c A mw ika

ika 11)10(11)10(22-+=--+=-- （3）

有解的条件：011)

10()10(112

2=-++--c

mw e c e c c

mw ika

ika （4）

0)cos 1(20222242=-+-ka c mcw w m ])cos 1(2012111[2

ka m

c w --±=±

当k ＝0，0,222

2==

-+w m

c w （

当k＝π/a，m

c w

2 ,

8.考虑一维双原子链的晶格振动，平衡时相邻原子间距为a，质量为m和M

（m

！

q=π/2a或-π/2a时光学支格波取最小值，声学支格波取最大值；

q=0时，光学支格波取最大值，声学支格波取最小值。

9. 推导晶格常数为a的体心立方晶格( 或面心立方、简单立方)中由原子S态фS

（r）形成的能带：1) 写出在最近邻作用近似下，由紧束缚法得到的晶体S态电子能量表达式E（k）；2）指出能带底与能带顶晶体电子能量，其能带宽度等于多少并求出能带底与能带顶的有效质量。

∑?--=最近邻m

R R

k i at s s e

J J E k E 10)(

对于简单立方晶格：()()()a a a R m ±±±=,,0,0,0,,0,0,0,

()()a k a k a k J J E k E z y x at

s s cos cos cos 210++--= 故

)0,0,0(Γ，能带底部，()

106J J E k E at s

s --= ),,(a

p π

±±±，能带顶部，()

106J J E k E at

s s +-=

112J E =?，

电子的有效质量分量：)(cos 2122a k J a m x xx

)(cos 212

2a k J a m y

yy =*

[

)

(cos 212

a k J a m z zz

能带底部，1

22J a m m m zz

yy xx ===*

能带顶部，1

2J a m m m zz

yy xx

-===*

10．已知一维晶体的电子能带可写成：

)2cos 81

cos 87()(2

2ka ka ma k E +-= 。式中a 是晶格常数。试求

（1）能带的宽度；

（2）电子在波矢k 的状态时的速度；（3）能带底部和顶部电子的有效质量。

解：（1） 2

()(cos cos 2)88

E k ka ka ma =-+

－coska +18

(2cos 2ka －1)]

、

＝2

4ma

(coska －2)2－1

当ka ＝(2n+1)

时,n=0,

1,2…

max 2

2()E k ma

当ka =2n 时, min ()0E k =

能带宽度＝2max min 2

2E E ma -=

（2）1()1

(sin sin 2)4

dE k

ka ka dk

ma υ==

- (3) 222*

1(cos cos 2)2E

k m m ka ka -????==-??????

当0k =时,带底，*

2m m =

当k a

=±时,带顶，*

3m m =-

11．设晶体中每个振子的零点振动能ω 2

，试用德拜模型求晶体的零点振动能。

3222)(v V c ωπωρα= )1

1(2)(3322T

L c v v V +=πωωρ

N d v v V d D D T L

c 3)11(2)(0

3320=+=??ωωωωπωωρ N v v V D T

L c 3)11(63332=+ωπ ])

11(18[332

c D v v V N +=πω 晶格振动的零点能

()D T L c

N d v v V d U D D

ωωωπωωωρωω 892

1)21(221033320

0=+==??

12.在极低温度下，利用德拜模型证明一维、二维、三维晶格热容与温度T 的关系。

…

13.温度为0K 时，N 个自由电子构成的三维自由电子气，费米能级为E F 0，

123

224)(E h m V E N ??? ??=π，求：(1)k 空间费米半径、费米温度；（2）体系中每个

电子的平均能量0E （用E F 0表示）

14.设有同种原子组成的二维正三角形晶体，相邻原子间距为a 。

利用紧束缚方法，在只考虑最近邻相互作用的近似下，求出由s 态电子形成的能带色散关系；（2）求出k=0处的电子平均速度（3）求出k=0处的电子有效质量。解：（1）如图，以中心原子为坐标原点建立直角坐标系：

则与该原子最近邻的六个原子的位矢的坐标为：

3,21()23,21()23,21()23,21()0,1()0,1(a a a a a a ，，，，，

由紧束缚近似，s 能带为：

????+--=??

????-+++--=?

????+++++--=--=---+-+-≠?∑y x x at s y x y x x at s k k ia k k ia k k ia k k ia iak iak at s R R

ik at s s ak ak ak B A E k k a k k a ak B A E e e e e e e B A E e B A E k E y

n n

23cos 21cos 2cos 2)3(2cos )3(2cos )(cos 2)()2321()2321()2321()2321(0

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