第十五章 分式知识体系框架图

第十五章 分式知识体系框架图

定义：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式。分式A B 中，A 叫做分子，B 叫做分母 有意义：0B ≠

分式的有关概念 分式有无意义的条件

无意义：0B =

分式值为0的条件：0A =且0B ≠

(C 0),A A C B B C

=≠ 其中A,B,C 是整式 分式的基本性质

分式的基本性质 (C 0),A A C B B C

÷=≠÷ 其中A,B,C 是整式 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分

分式 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 分式的运算 同分母分式相加减： 分母不变，只把分子相加减 分式的加减法则：

异分母分式相加减：先通分，变成同分母分式，再加减 负整数指数幂：1(0,)n n

a a n a -=≠为正整数 定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程

分式方程 分式方程的解法：①将分式方程转化为整式方程 ②解整式方程 ③验根 列分式方程解应用题：审、设、列、解、检、答

八年级上册第十五章分式知识点总结及练习

第十五章 分式 一、知识概念： 1.分式：形如 A B ，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件：分母不等于0. 3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变. 4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分. 5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分. 6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式. 7.分式的四则运算： ⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c ±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd ±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd ?= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc ÷=?= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b ?? = ???

8.整数指数幂： ⑴m n m n a a a +?=（m n 、是正整数） ⑵() n m mn a a =（m n 、是正整数） ⑶()n n n ab a b =（n 是正整数） ⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >） ⑸n n n a a b b ?? = ??? （n 是正整数） ⑹1 n n a a -=（0a ≠，n 是正整数） 9. 分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).

第十五章分式知识点总结及单元测试题

第十六章分式知识点总结 1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。 分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零 2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 （0≠C ） 3.分式的通分和约分：关键先是分解因式 ,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd ±±±=±=±= 4.分式的运算： 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为 同分母分式，然后再加减 混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即)0(10≠=a a ； 当n 为正整数时，n n a a 1=- （)0≠a 6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数) （1）同底数的幂的乘法：n m n m a a a +=?；（2）幂的乘方：mn n m a a =)(; （3）积的乘方：n n n b a ab =)(； (4）同底数的幂的除法：n m n m a a a -=÷( a ≠0)； （5）商的乘方：n n n b a b a =)(()；(b ≠0) 7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 解分式方程的步骤 ： (1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根． 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原 分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 8.科学记数法：把一个数表示成n a 10?的形式（其中101<≤a ，n 是整数）的记数方法叫做科学记数法． 用科学记数法表示绝对值大于10的n 位整数时，其中10的指数是1-n 用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点 前面的一个0) bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=?;n n n b a b a =)(C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷=

人教版八年级数学上册第十五章 分式知识点总结和典型题型

分式知识点总结和典型题型 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法: b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1, ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件 【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2） 4 2 ||2--x x （3）653 222----x x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 【例4】（1）当x 为何值时，分式 x -84 为正； （2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负； （3）当x 为何值时，分式 3 2 +-x x 为非负数.

教育心理学知识框架结构图个人整理

教育心理学知识框架结构图 第一编 第一章绪论 第一节教育心理学的研究对象与内容 （1）教育心理学的研究对象 （2）教育心理学研究的内容 （3）教育心理学与邻近学科的关系 ①教育心理学与教育学的关系 ②教育心理学与其他心理学分支的关系（普通心理学、儿童心理学）第二节教育心理学的起源与发展 （1）早期的教育心理学思想 （2）教育心理学的创建 （3）教育心理学的发展 教育心理学发展的特点： ①内容庞杂，没有独立的理论体系； ②对人类高级心理活动研究少，对教育实践作用不大。 （4）教育心理学的理论建设与发展趋势 ①内容趋于集中；②各派的分歧日趋缩小；③注重学校教育实践。 第三节教育心理学的性质与意义 （1）教育心理学的性质 （2）教育心理学的意义

1 / 25 ①教育心理学的研究有助于促进整个心理科学的发展； ②教育心理学的研究对教育实践有重要的指导意义。 有助于提高教育、教学工作的质量与效率； 有助于帮助教育者更新教育观念、提高自我教育的能力。 第四节教育心理学研究的基本原则与方法 （1）教育心理学研究的指导思想和基本原则 ①客观性原则；②系统性原则；③理论联系实际的原则；④教育性原则。）教育心理学研究的主要方法（2 ①教育心理实验②观察法③调查法问卷法、访谈法、教学经验总结法3）教育心理学研究方法的综合化趋势（注意采用多种方法研究和探讨课题；①强调并大量采用多变量设计；②注意将定性分析和定量分析方法相结合。③第二章教育与心理发展心理发展概述第一节）心理发展的概念（1 （2）心理发展的一般规律2 / 25 ①心理发展是一个既有阶段性又有连续性的过程； ②心理发展具有一定的方向性和顺序性； ③心理发展具有不平衡性； ④心理发展的个别差异性； ⑤心理发展各个方面之间的相互联系和相互制约； ⑥心理发展是逐渐分化和统一的过程。

人教版初中数学第十五章分式知识点

第十五章 分式 15.1 分式 15.1.1 从分式到分式 1、一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 2、与分式有关的条件 （1）分式有意义：分母不为0（0B ≠） （2）分式无意义：分母为0（0B =） （3）分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 0B A ） （4）分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或? ??<<00B A ） （5）分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或???><0 0B A ） （6）分式值为1：分子分母值相等（A=B ） （7）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 例1．若24 x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞4 B ．x≠4 C ．x≥4 D ．x ＜4 【答案】B ． 【解析】 试题解析：由题意得，x-4≠0， 解得，x≠4， 故选B ． 考点：分式有意义的条件． 考点：分式的基本性质． 例2．要使分式1(1)(2) x x x ++-有意义，则x 应满足 （ ） A ．x≠-1 B ．x≠2 C ．x≠±1 D ．x≠-1且x≠2 【答案】D ． 【解析】 试题分析：∵（x+1）（x ﹣2）≠0，∴x+1≠0且x ﹣2≠0，∴x≠﹣1且x≠2．故选D ． 考点：分式有意义的条件．

例3．下列各式：，，，，中，是分式的共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C ． 【解析】 试题分析：，，中分母中含有字母，因此是分式．故分式有3个．故选C ． 考点：分式的定义． 例4．当x= 时，分式0． 【答案】1 【解析】 试题分析：由题意得：210x -=，且x+1≠0，解得：x=1，故答案为：1． 考点：分式的值为零的条件． 15.1.2 分式的基本性质 1、分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：A A B C B C ?=?，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 例1 x 、y 都扩大到原来的10倍，则分式的值（ ） A ．扩大100倍 B ．扩大10倍 C ．不变 D 【答案】C ． 【解析】 x 、y 都扩大到原来的10 故选C ． 2b a -x x 3+πy +5b a b a -+)(1y x m -x x 3+b a b a -+)(1y x m -

(完整版)人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳(无答案)

分式知识点总结和题型归纳 第一部分 分式的运算 （一）分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义: 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 分式有意义：分母不为0（0B ≠） 分式无意义：分母为0（0B =） 【例1】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件 分式值为0：分子为0且分母不为0（? ??≠=00 B A ） 【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2） 4 2||2 --x x （3） 6 5322 2----x x x x 【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4 |1|5+--x x （2） 5 6252 2+--x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 分式值为正或大于0：分子分母同号（?? ?>>00B A 或? ??<<00 B A ）

分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或???><0 B A ） 【例1】（1）当x 为何值时，分式 x -84 为正； （2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负； （3）当x 为何值时，分式3 2 +-x x 为非负数. 【例2】解下列不等式 （1） 01 2 ||≤+-x x （2） 03 252 >+++x x x 题型五：考查分式的值为1，-1的条件 分式值为1：分子分母值相等（A=B ） 分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 【例1】若 2 2 ||+-x x 的值为1，-1，则x 的取值分别为 思维拓展练习题： 1、若a>b>0,2a ＋2b －6ab=0,则 a b a b +=- 2、一组按规律排列的分式：25811 234,,,,b b b b a a a a --L L （ab ≠0），则第n 个分式为

数与式知识结构图

数与式 知识结构表 定义：整数和分数统称为有理数。 正整数 整数 零 负整数 分类 有理数 正分数 分数 负分数 相反数与绝对值:一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 （1）加法法则：同号两数相加，符号不变，绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大数的符号，绝对值相减。 （2）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 运算 （3）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。 数 （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 （5）乘方法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 （6）运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，括号按从小到大的顺序依次进行。 定义：有理数和无理数统称为实数 有理数：略 分类 无理数：无限不循环小数. 定义: 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根，记作±a . 实数 平方根 性质:正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根是0；负数没有平方根.正数a 的正的平方根叫做a 的 算术平方根，0的算术平方根是0．非负数a 的算术平方根记作a ． 立方根 定义:如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根，记作3a ． 性质:正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,零的立方根是零. 运算法则: 实数的运算和有理数的运算相仿． 实数的运算 科学计数法:a ×10n ,其中0<|a|<10,n 为整数. 近似数与有效数 字有效数字:从一个数的左边第一个非零数字起,到末位数字止,所有的数字都是这个数的有效数字 数 定义:单项式与多项式统称为整式. 定义:略 与 单项式 系数:数字因数 次数:所有字母指数的和. 式 分类 定义:几个单项式的和. 多项式 项:每个单项式. 次数:多项式里次数最高项的次数. 常数项:不含字母的项. 加减法（合并同类项）:系数相减加，字母及其指数不变。 整式 (1)同底数幂的乘法:a m ·a n =a m+n . (2)同底数幂的除法:a m ÷a n =a m-n .a 0=1(a ≠0) 运算 整数指数幂的运算 (3)幂的乘方(a m )n =a mn . (4)积的乘方:(ab)n =a n b n . 乘法:分单项式乘以单项式；单项式乘以多项式；多项式乘以多项式。 除法:分单项式除以单项式；多项式除以单项项式。 平方差公式:(a+b)(a-b)=a 2-b 2. 乘法公式 完全平方和公式(a ±b)2=a 2±2ab+b 2. 定义: 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式． 分解因式 ①提公因式法：()ma mb mc m a b c ++=++． 方法 ②公式法：22()()a b a b a b -=+-，2222()a ab b a b ±+=±. 式 ①定义:形如B A (A 、 B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子叫做分式； 相关概念 ②分式有意义的条件：分母不为零。如果分母为零，分式就没有意义． ③分式的值等于零的条件：分子等于零并且分母不为零． 分式 分式的基本性质：M B M A B A M B M A B A ÷÷=??=,(其中M 是不为零的整式)．利用分式的基本性质进行分式的约分和通分． 分式的运算：分式的运算和分数的运算相仿． 定义: 形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式． 最简二次根式：一个二次根式的被开方数的因数是整数，因式是整式且被开方数中不含能开方的因数或 相关概念 因式，这样的二次根式叫做最简二次根式． 二次根式 同类二次根式：当二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二 次根式. 性质:a ≥0(a ≥0)；(a )2＝a (a ≥0)；2a ＝a . (1) 二次根式的加减法:先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并． 运算 （2）二次根式的乘法法则： ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)； （3）二次根式的除法法则： b a ＝b a (a ≥0，b ＞0)．

八年级数学下册第十五章分式知识点总结

第十五章 分式 1.分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式。 例1.下列各式a π，11x +，15 x+y ，22 a b a b --，-3x 2，0?中，是分式的有（ ）个。 2.分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】 分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B ≠0且A=0 即子零母不零】 例2.下列分式，当x 取何值时有意义。（1）2132 x x ++； （2）2 323x x +-。 例3.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）。 A ．121x + B ．21x x + C ．231x x + D ．2 221x x + 例4．当x______时，分式2134 x x +-无意义。当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。 例5.已知1x -1y =3，求5352x xy y x xy y +---的值。 3.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 （0≠C ） 4.分式的通分和约分：关键先是分解因式。 C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷=

例6.不改变分式的值，使分式115101139 x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ）。 例7.不改变分式2323523 x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（? ）。 例8.分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（ ）。 例9.约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m -+- 例10.通分：（1） 26x ab ，29y a bc ； （2）2121a a a -++，261 a - 例11.已知x 2+3x+1=0，求x 2+ 21x 的值． 例12.已知x+1x =3，求2 421x x x ++的值． 5.分式的运算： 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。 ,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd ±±±=±=±= bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=?;n n n b a b a =)(

生活与哲学知识结构框架图(一目了然,快速记忆)

《生活与哲学》知识框架图（复习神器，一目了然，快速记忆） （1）哲学是一门给人智慧，使人聪明的学问。（注意：此处不能改成科学，只能是学问） 一.含义： （2）哲学是系统化理论化的世界观。（或关于世界观的学说） （3）哲学是对自然、社会和思维知识的概括与总结。（注意：具体科学包括自然科学、社会科学和思维科学，之间关系不能等同） 二.产生：（1）产生于人们实践活动中；（1）源于人们对世界的追问和对实践的反思 三.哲学的功能：指导人们正确的认识世界和改造世界（注意：哲学有正确与错误之分。只有正确的哲学才能让人们正确的认识与改造世界） （1）哲学与世界观：A 区别：a 、含义不同：世界观是人们对整个世界及人与世界关系的总的看法及根本观点 b 、世界观人从都有，哲学并非人人都有； c 、世界观是不自觉的、不系统的，哲学是系统化、理论化的。 四.哲学、世界观、方法论的关系： B:联系：哲学是对世界观进行系统化、理论化而形成的思想体系。（世界观和哲学一样有正确与错误之分） （2）世界观与方法论：一般来说，世界观决定方法论，方法论体现世界观。有什么样的世界观就有什么样的方法论。 （注意：在解题时时要注意世界观与方法论对应正确） 五.哲学同具体科学关系：1．区别：具体科学揭示某一具体领域的规律和奥秘（强调具体）； 哲学则对具体科学进行新的概括和总结，从中抽象出最一般的本质和最普遍的规律（强调抽象、一般）。 2．联系：（1）具体科学是哲学的基础，具体科学的进步推动着哲学的发展。 （2）哲学为具体科学提供世界观和方法论的指导。 六.哲学基本问题：1.是什么：（思维与存在关系问题）具体包括：（1）思维和存在何者为本原的问题。（以此划分唯物主义与唯心主义) （2）思维和存在有没有同一性问题。（思维能否正确认识存在的问题）（以此划分可知论与不可知论） 2．为什么：（1）思维与存在的关系问题，首先是人们在生活和实践活动中遇到的和无法回避的基本问题。 （2）思维与存在的关系问题，是一切哲学都不能回避的问题。它贯彻哲学始终。 1．唯物主义：（1）基本观点：物质是本原，意识是派生的；先有物质后有意识；物质决定意识。 （2）三种基本形态：古代朴素唯物主义、近代形而上学唯物主义、辩证唯物主义 七.哲学两大派别：2．唯心主义：（1）基本观点：意识是本原；先有意识后有物质；意识决定物质 （2）两种基本形态：主观唯心主义和客观唯心主义 主观唯心主义（把人的主观精神，如人的目的、意志等夸大为万物的本原，认为人的主观精神，决定客观事物乃至整个世界） 客观唯心主义（把客观精神，如上帝、鬼神、理念等看作世界的主宰与本原，它决定着客观事物的存在和发展）。 哲 学

分式方程知识点归纳总结

分式方程知识点归纳总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

分式方程知识点归纳总结 1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。 1) 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。 2) 分式有意义的条件：分母不为零，即坟墓中的代数式的值不能为零。 3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零 2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 用式子表示 其中A 、B 、C 为整式 （0≠C ） 注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。 （2）应用基本性质时，要注意C ≠0，以及隐含的B ≠0。 （3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或 分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。 3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式 1) 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。 2) 最简分式：分子与分母没有公因式的分式 3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。 4) 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。 C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷=

4. 分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为 注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。 5. 条件分式求值 1） 整体代换法：指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，并 把这个“整体”直接代入另一个式子，从而可避免局部运算的麻烦和困难。 例：已知 ，则求 2）参数法：当出现连比式或连等式时，常用参数法。 例：若 ，则求 6. 分式的运算： 1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 3）分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=?;n n n b a b a =)(411=+b a b b a b ab a 7223-++-432 c b a ==c b a c b a +++-523

第十五章分式知识点归纳与整理

第十五章分式知识点归纳与整理 §15.1分式 1.分式的概念 形如B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分 子,B 叫做分式的分母 整式和分式统称有理式。 情况 需要满足条件？ 例子 分式B A 有意义 分母0≠B 已知 当x 为何值时，分式有意义? 分式B A 的值为0 分母0≠B 且分子A=0 已知 当x 为何值时，分式值为0？ 特别注意：1 π不是分式。 2.分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 M B M A M B M A B A ÷÷=??=（其中0,0≠≠B M ，且M B A ,,均表示的是整式） 【分式的约分】首先要找出分子与分母的公因式，再把分子与分母的公因式约去。 【分式的通分】通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）。 2 42+-x x 2 42+-x x

方法 例子 找 公因式 （1）分子分母是单项式时，先找 分子分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式 （2）分子分母是多项式时，先把多项式因式分解，再按（1）中的方法找公因式 找 最简公分母 若分母为单项式： 1.找各分母系数的最小公倍数。 2.找各分母所含所有因式或字母 的最高次幂。 3.所得的系数与各字母（或因式）的最高次幂的积。 若分母为多项式： 1.先把分母因式分解。 其余步骤同分母为单项式。 ⑵ §15.2 分式的运算 1.分式的乘除 【乘法法则】分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 注意：如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。 【除法法则】分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 2.分式的加减法 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母的分式想加减，先通分，变为同分母的分式，再把分子相加减。 3.分式的乘方 【乘方法则】n n n b a b a =?? ? ?? 【零指数幂】任何不等于零的数的零次幂都等于1。 【负整指数幂】任何不等于零的数的－N （N 为正整数）次幂，等于这个数的N 次幂的倒数。 3 43123) 1(ab c b a -2 222444) 2(b a b ab a -+-231 x xy 125 ⑴ ， 4 ,)2(12 2—x x x -

第十六章分式知识点和典型例习题

第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2

生活与哲学知识结构框架图(一目了然-快速记忆)

《生活与哲学》知识框架图 （1）哲学是一门给人智慧，使人聪明的学问。（注意：此处不能改成科学，只能是学问） 一.含义： （2）哲学是系统化理论化的世界观。（或关于世界观的学说） （3）哲学是对自然、社会和思维知识的概括与总结。（注意：具体科学包括自然科学、社会科学和思维科学，之间关系不能等同） 二.产生：（1）产生于人们实践活动中；（1）源于人们对世界的追问和对实践的反思 三.哲学的功能：指导人们正确的认识世界和改造世界（注意：哲学有正确与错误之分。只有正确的哲学才能让人们正确的认识与改造世界） （1）哲学与世界观：A 区别：a 、含义不同：世界观是人们对整个世界及人与世界关系的总的看法及根本观点 b 、世界观人从都有，哲学并非人人都有； c 、世界观是不自觉的、不系统的，哲学是系统化、理论化的。 四.哲学、世界观、方法论的关系： B:联系：哲学是对世界观进行系统化、理论化而形成的思想体系。（世界观和哲学一样有正确与错误之分） （2）世界观与方法论：一般来说，世界观决定方法论，方法论体现世界观。有什么样的世界观就有什么样的方法论。 （注意：在解题时时要注意世界观与方法论对应正确） 五.哲学同具体科学关系：1．区别：具体科学揭示某一具体领域的规律和奥秘（强调具体）； 哲学则对具体科学进行新的概括和总结，从中抽象出最一般的本质和最普遍的规律（强调抽象、一般）。 2．联系：（1）具体科学是哲学的基础，具体科学的进步推动着哲学的发展。 （2）哲学为具体科学提供世界观和方法论的指导。 六.哲学基本问题：1.是什么：（思维与存在关系问题）具体包括：（1）思维和存在何者为本原的问题。（以此划分唯物主义与唯心主义) （2）思维和存在有没有同一性问题。（思维能否正确认识存在的问题）（以此划分可知论与不可知论） 2．为什么：（1）思维与存在的关系问题，首先是人们在生活和实践活动中遇到的和无法回避的基本问题。 （2）思维与存在的关系问题，是一切哲学都不能回避的问题。它贯彻哲学始终。 1．唯物主义：（1）基本观点：物质是本原，意识是派生的；先有物质后有意识；物质决定意识。 （2）三种基本形态：古代朴素唯物主义、近代形而上学唯物主义、辩证唯物主义 七.哲学两大派别：2．唯心主义：（1）基本观点：意识是本原；先有意识后有物质；意识决定物质 （2）两种基本形态：主观唯心主义和客观唯心主义 主观唯心主义（把人的主观精神，如人的目的、意志等夸大为万物的本原，认为人的主观精神，决定客观事物乃至整个世界） 客观唯心主义（把客观精神，如上帝、鬼神、理念等看作世界的主宰与本原，它决定着客观事物的存在和发展）。 哲 学

政治必修三知识结构图,政治必修三知识框架图

政治必修三知识结构图,政治必修三知识框架图 篇一：高中政治必修三文化生活知识框架图(最新) 文化生活知识框架图（第一单元文化与生活） 建 立 文化生活知识框架图（第二单元文化传承与创新） 学习型社会必将促进文化的传承和创新 文化生活知识框架图（第三单元中华文化与民族精神） 篇二：政治必修三知识结构全图 【第一单元文化与社会】 文化的内涵：“文化”是相对于经济、政治而言的人类全部精神活动及其产品。意识形态部分：如世界观、人生观、价值观文化的组成部分非意识形态部分：如自然科学和技术、语言和文字文化的形式：思想、理论、信念、信仰、道德、教育、科学、文学、艺术。①文化是精神现象→非物质现象②文化是人类社会特有的现象→非自然现象文化的特征③个人的文化素养是逐步培养出来的→非天生具有④文化离不开物质活动和物质载体→非独立存在①文化作为一种精神力量，能够在人们认识世界、改造世界的过程中转化为物质力量，对社会发展产生深刻的影响。这种影响，不仅表现在个人的成长历程中，而且表现在民族和国家的历史发展中。②不同性质的文化所起的作用

不同，先进的、健康的文化对个人成长和社会发展起积极的促进作用；落后的、腐朽的文化对个人成长和社会发展起消极的阻碍作用。什么是文化①经济是基础，政治是经济的集中表现，文化是经济和政治的反映。相互影响②文化有其自身的传承性和相对对立性，文化发展并非与经济、政治的发展亦步亦趋。文政③文化对经济、政治有反作用。先进的、健康的文化促进经济、政治的发展，反之则阻碍经济、政治的发展。化治与的经济文化化：教育、科技、人才对经济发展的作用越来越重要。经关文化与经济相互交融济系文化经济化：文化产业迅速崛起，文化消费更加丰富，文化生产力日益重要。相互交融、政治文化化：文化素养影响着人们参与政治生活的态度和能力。文化与政治相互交融 文化政治化：反对文化霸权主义是当代国际政治斗争的重要内容。文重要性：文化在综合国力竞争中的地位和作用越来越突出，文化的力量，深深熔铸在化民族的生命力、创造力和凝聚力之中，成为综合国力的重要标志。与综必要性：在世界多极化和经济全球化进程中，发展中国家不仅在经济发展上面临严峻挑战，也在文化发展上面临严峻挑战。合国如何应对：发展中的中国，要想在激烈的国际净重中立于不败之地，就必须把文化建设作为社会主义现代化建设力的重要战略任务，牢牢把握先进文化的前进方向，大力弘扬民族精神，优先发展教育和科技，为经济建设提供正确的方向保证、不竭的精神动力和强大的智力支持。文化对人影响的来源：文化对人的影响，来自于特定的文化环境，来自于各种形式的文化活动。文化影响人们的交交往方

人教版初中数学第十五章分式知识点

第十五章分式 15.1 分式 15.1.1 从分式到分式 1、一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 2、与分式有关的条件 （1）分式有意义：分母不为0（0B ≠） （2）分式无意义：分母为0（0B =） （3）分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 0B A ） （4）分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或? ??<<00B A ） （5）分式值为负或小于0：分子分母异号（?? ?<>00B A 或???><00B A ） （6）分式值为1：分子分母值相等（A=B ） （7）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 例1．若24 x -有意义，则x 的取值范围是（） A ．x ＞4 B ．x≠4 C ．x≥4 D ．x ＜4 【答案】B ． 【解析】 试题解析：由题意得，x -4≠0， 解得，x≠4， 故选B ． 考点：分式有意义的条件． 考点：分式的基本性质． 例2．要使分式1(1)(2) x x x ++-有意义，则x 应满足（） A ．x≠-1 B ．x≠2 C ．x≠±1 D ．x≠-1且x≠2 【答案】D ． 【解析】 试题分析：∵（x+1）（x ﹣2）≠0，∴x+1≠0且x ﹣2≠0，∴x≠﹣1且x≠2．故选D ． 考点：分式有意义的条件．

例3．下列各式：，，，，中，是分式的共有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C ． 【解析】 试题分析：，，中分母中含有字母，因此是分式．故分式有3个．故选C ． 考点：分式的定义． 例4．当x=时，分式211 x x -+的值为0． 【答案】1 【解析】 试题分析：由题意得：210x -=，且x+1≠0，解得：x=1，故答案为：1． 考点：分式的值为零的条件． 15.1.2 分式的基本性质 1、分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：A A B C B C ?=?，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 例1．如果把分式 y x x +10中的x 、y 都扩大到原来的10倍，则分式的值（） A ．扩大100倍 B ．扩大10倍 C ．不变 D ．缩小到原来的 101 【答案】C ． 【解析】 试题分析：把分式 y x x +10中的x 、y 都扩大到原来的10倍，可得y x x 10101010+?=y x x +10， 故选C ． 2b a -x x 3+πy +5b a b a -+)(1y x m -x x 3+b a b a -+)(1y x m -

生活与哲学知识结构框架图(一目了然-快速记忆)

《生活与哲学》知识框架图 （1）哲学是一门给人智慧，使人聪明的学问。 （注意：此处不能改成科学，只能是学问 ） （2）哲学是系统化理论化的世界观。 （或关于世界观的学说） （3）哲学是对自然、社会和思维知识的概括与总结。 （注意：具体科学包括 自然科学、社会科学和思维科学，之间关系不能等同 .产生：（1）产生于人们实践活动中；（1）源于人们对世界的追问和对实践的反思 只有正确的哲学才能让人们正确的认识与改造世界 世界观是人们对整个世界 及人与世界关系的总的看法及根本观点 世界观是不自觉的、不系统的，哲学 是系统化、理论化的。 S B ：联系：哲学是对世界观进行系统化、理论化而形成的思想体系。 （世 界观和哲学一样有正确与错误之分 ） （2）世界观与方法论：一般来说，世界观决定方法论，方法论体现世界观。有什么样的世界观就有什么样的方法论。 I （注意：在解题时时要注意世界观与方法论对应正确 ） 「物质的含义：是不依赖于人的意识，并能为人意识所反映的客观实在。 五.哲学同具体科学关系: 六.哲学基本问题: 七.哲学两大派别: 1?区别：具体科学揭示某一具体领域的规律和奥秘（ 强调具体）; 哲学则对具体科学进行新的概括和总结，从中抽象出最一般的本质和最普遍的规律（ .联系：（1）具体科学是哲学的基础，具体科学的进步推动着哲学的发展。 （2）哲学为具体科学提供世界观和方法论的指导。 1.是什么：（思维与存在关系问题）具体包括：（1）思维和存在何者为本原的问题。 （以此划分唯物主义与唯心主义 ） （2）思维和存在有没有同一性问题。 （思维能否正确认识存在的问题） （以此划分可知论与不可知论 ） 思维与存在的关系问题，首先是人们在生活和实践活动中遇到的和无法回避的基本问题。 思维与存在的关系问题，是一切哲学都不能回避的问题。它贯彻哲学始终。 基本观点：物质是本原，意识是派生的；先有物质后有意识；物质决定意识。 （2 ）三种基本形态： 古代朴素唯物主义、近代形而上学唯物主义、辩证唯物主义 基本观点：意识是本原；先有意识后有物质；意识决定物质 （2）两种基本形态： 主观唯心主义和客观唯心主义 把人的主观精神，如人的目的、意志等夸大为万物的本原，认为人的主观精神，决定客观事物乃至整个世界 （把客观精神，如上帝、鬼神、理念等看作世界的主宰与本原，它决定着客观事物的存在和发展 强调抽象、一般）。 .为什么： (1) (2) 唯物主义： (1) 唯心主义： (1) 主观唯心主义 '客观唯心主义 2. .含义: 三.哲学的功能：指导人们正确的认识世界和改造世界（注意： 哲学有正确与错误之分。 （1）哲学与世界观：A 区别：a 、含义不同： 、世 界观人从都有，哲学并非人人都有； b 四.哲学、世界观、方法论的关系 （注意：物质不能等同于具体的物质形态）