0-1背包问题的多种解法
一、 问题描述
0/1背包问题:
现有n 种物品，对1<=i<=n ，已知第i 种物品的重量为正整数W i ，价值为正整数V i ，背包能承受的最大载重量为正整数W ，现要求找出这n 种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过W 且总价值尽量大。（注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取，不允许只取一部分）
二、 算法分析
根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：
)
2(max )1()1}(1,0{11
∑∑==?????≤≤∈≤n
i i i i
n
i i i x v n i x W
x w 于是，问题就归结为寻找一个满足约束条件（1），并使目标函数式（2）达到最大的解向量),......,,,(321n x x x x X =。
首先说明一下0-1背包问题拥有最优解。
假设),......,,,(321n x x x x 是所给的问题的一个最优解，则),......,,(32n x x x 是下面问题的
一个最优解：∑∑==?????≤≤∈-≤n
i i i i
n
i i i x v n i x x w W x w 22
1
1max )
2}(1,0{。如果不是的话，设),......,,(32n y y y 是这个问题的一个最优解，则
∑∑==>n i n
i i
i i
i x
v y v 2
2
，且∑=≤+
n
i i
i
W y
w x w 2
11。因此，
∑∑∑====+>+n
i i i n i n i i i i i x v x v x v y v x v 1
2
2
1111，这说明),........,,,(321n y y y x 是所给的0-1背包问
题比),........,,,(321n x x x x 更优的解，从而与假设矛盾。
穷举法：
用穷举法解决0-1背包问题，需要考虑给定n 个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重量不超过背包重量的子集），计算每个子集的总重量，然后在他们中找到价值最大的子集。由于程序过于简单，在这里就不再给出，用实例说明求解过程。下面给出了4个物品和一个容量为10的背包，下图就是用穷举法求解0-1背包问题的过程。
背包
物品1
物品2
物品3物品4
（a ） 四个物品和一个容量为10的背包
（b ）用回溯法求解0-1背包问题的过程
递归法：
在利用递归法解决0-1背包问题时，我们可以先从第n 个物品看起。每次的递归调用都会判断两种情况：
（1） 背包可以放下第n 个物品，则x[n]=1，并继续递归调用物品重量为W-w[n],
物品数目为n-1的递归函数，并返回此递归函数值与v[n]的和作为背包问题的最优解；
（2） 背包放不下第n 个物品，则x[n]=0，并继续递归调用背包容量为W ，物品数
目为n-1的递归函数，并返回此递归函数值最为背包问题的最优解。
递归调用的终结条件是背包的容量为0或物品的数量为0.此时就得到了0-1背包问题的最优解。
用递归法解0-1背包问题可以归结为下函数：
?
?
?+---=][])[,1()
,1(),(n v n w m n KnapSack m n KnapSack m n KnapSack n n 选择了物品没有选择物品
第一个式子表示选择物品n 后得到价值][])[,1(n v n w m n KnapSack +--比不选择物品n 情况下得到的价值),1(m n KnapSack -小，所以最终还是不选择物品n;第二个式子刚好相反，选择物品n 后的价值][])[,1(n v n w m n KnapSack +--不小于不选择物品n 情况下得到了价值),1(m n KnapSack -，所以最终选择物品n 。
在递归调用的过程中可以顺便求出所选择的物品。下面是标记物品被选情况的数组x[n]求解的具体函数表示：
?
??=10
][n x
][])[,1(),(),1(),(n v n w m n KnapSack m n KnapSack m n KnapSack m n KnapSack +--=-=
在函数中，递归调用的主体函数为KnapSack ，m 表示背包的容量，n 表示物品的数量，x[n]表示是否选择了第n 个物品（1—选，0—不选）。每个物品的重量和价值信息分别存放在数组w[n]和v[n]中。具体的代码见《递归法》文件夹。
贪心法：
0-1背包问题与背包问题类似，所不同的是在选择物品)1(n i i ≤≤装入背包时，可以选择一部分，而不一定要全部装入背包。这两类问题都具有最优子结构性质，相当相似。但是背包问题可以用贪心法求解，而0-1背包问题却不能用贪心法求解。贪心法之所以得不到最优解，是由于物品不允许分割，因此，无法保证最终能将背包装满，部分闲置的背包容量使背包单位重量的价值降低了。事实上，在考虑0-1背包问题时，应比较选择物品和不选择物品所导致的方案，然后做出最优解。由此导出了许多相互重叠的子问题，所以，0-1背包问题可以用动态规划法得到最优解。在这里就不再用贪心法解0-1背包问题了。
动态规划法分析：
0-1背包问题可以看作是寻找一个序列),........,,,(321n x x x x ，对任一个变量i x 的判断是决定i x =1还是i x =0.在判断完1-i x 之后，已经确定了),........,,,(1321-i x x x x ，在判断i x 时，会有两种情况：
（1） 背包容量不足以装入物品i ，则i x =0，背包的价值不增加； （2） 背包的容量可以装下物品i ，则i x =1，背包的价值增加i v 。
这两种情况下背包的总价值的最大者应该是对i x 判断后的价值。令),(j i C 表示在前i )1(n i ≤≤个物品中能够装入容量为j )1(W j ≤≤的背包的物品的总价值，则可以得到如
下的动态规划函数：
)
2(}),1(),,1(max{),1(),()
1(0),0()0,(???>+---<-===i
i i i
w j v w j i C j i C w j j i C j i C j C i C 式（1）说明：把前面i 个物品装入容量为0的背包和把0个物品装入容量为j 的背包，
得到的价值均为0.式（2）第一个式子说明：如果第i 个物品的重量大于背包的容量，则装入第i 个物品得到的最大价值和装入第i-1个物品得到的最大价值是相同的，即物品i 不能装入背包中；第二个式子说明：如果第i 个物品的重量小于背包的容量，则会有两种情况：（1）如果把第i 个物品装入背包，则背包中物品的价值就等于把前i-1个物品装入容量为
i w j -的背包中的价值加上第i 个物品的价值i v ；（2）如果第i 个物品没有装入背包，则背
包中物品的价值就是等于把前i-1个物品装入容量为j 的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值较大者作为把前i 个物品装入容量为j 的背包中的最优解。
我们可以一步一步的解出我们所需要的解。第一步，只装入第一个物品，确定在各种情况下背包能得到的最大价值；第二步，只装入前两个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值；一次类推，到了第n 步就得到我们所需要的最优解了。最后，),(W n C 便是在容量为W 的背包中装入n 个物品时取得的最大价值。为了确定装入背包的具体物品，从),(W n C 的值向前寻找，如果),(W n C >),1(W n C -,说明第n 个物品被装入了背包中，前n-1个物品被装入容量为n w W -的背包中；否则，第n 个物品没有装入背包中，前n-1个物品被装入容量为W 的背包中。依此类推，直到确定第一个物品是否被装入背包为止。由此，我们可以得到如下的函数：??
?->-=-==)
,1(),(,1)
,1(),(0j i C j i C w j j j i C j i C x i i .
根据动态规划函数，用一个)1()1(+?+W n 的二维数组C 存放中间变量，]][[j i C 表示把前i 个物品装入容量为j 的背包中获得的最大价值。
设物品的重量存放在数组w[n]中，价值存放在数组v[n]中，背包的容量为W ，数组
]1][1[++W n C 存放迭代的结果，数组x[n]存放装入背包的物品，动态规划解0-1背包问
题的源代码在文件夹《动态规划法》中。
回溯法分析：
用回溯法解0_1背包问题时，会用到状态空间树。在搜索状态空间树时，只要其左儿子
结点是一个可行结点，搜索就进入其左子树。当右子树有可能包含最优解时才进入右子树搜索，否则将右子树剪去。设r是当前剩余物品价值总和；cp是当前价值；bestp是当前最优价值。当cp+r≤bestp时，可剪去右子树。计算右子树中解的上界可以用的方法是将剩余物品依其单位重量价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入该物品的一部分而装满背包。由此得到的价值是右子树中解的上界，用此值来剪枝。
为了便于计算上界，可先将物品依其单位重量价值从大到小排序，此后只要顺序考察各物品即可。在实现时，由MaxBoundary函数计算当前结点处的上界。它是类Knap的私有成员。Knap的其他成员记录了解空间树种的节点信息，以减少函数参数的传递以及递归调用时所需要的栈空间。在解空间树的当前扩展结点处，仅当要进入右子树时才计算上界函数MaxBoundary，以判断是否可以将右子树减去。进入左子树时不需要计算上界，因为其上界与父结点的上界相同。
在调用函数Knapsack之前，需要先将各物品依其单位重量价值从达到小排序。为此目的，我们定义了类Objiect。其中， 运算符与通常的定义相反，其目的是为了方便调用已有的排序算法。在通常情况下，排序算法将待排序元素从小到大排序。
在搜索状态空间树时，由函数Backtrack控制。在函数中是利用递归调用的方法实现了空间树的搜索。具体的代码见《回溯法》文件夹。
限界分支法：
在解0-1背包问题的优先队列式界限分支法中，活结点优先队列中结点元素N的优先级由该结点的上界函数MaxBoundary计算出的值uprofit给出。该上界函数在0-1背包问题的回溯法总已经说明过了。子集树中以结点N为根的子树中任一个结点的价值不超过N.profit。因此我们用一个最大堆来实现活结点优先队列。堆中元素类型为HeapNode,其私有成员有uprofit,profit,weight,level,和ptr。对于任意一个活结点N，N.weight是
活结点N所相应的重量；N.profit是N所相应的价值；N.uprofit是结点N的价值上界，最大堆以这个值作为优先级。子集空间树中结点类型为bbnode。
在分支限界法中用到的类Knap与0-1背包问题的回溯法中用到的类Knap很相似。他们的区别是新的类中没有了成员变量bestp，而增加了新的成员bestx。Bestx[i]=1,当且仅当最优解含有物品i。
在类Knap中有四个函数：
（1）上界函数MaxBoundary(),计算节点所对应价值的上界；
（2）函数AddLiveNode()是将一个新的活结点插入到子集树和优先队列中；
（3）函数MaxKnapsack()实施对子集树的优先队列式分支界限搜索。其中假定物品依其单位价值从大到小已经排好序。相应的排序过程会在算法的预处理部分
完成。算法中E是当前扩展结点；cw是该结点的重量；cp是该结点的价值；
up是价值上界。算法的while循环不断扩展结点，直到子集树的一个叶结点
成为扩展结点为止。此时优先队列中所有活结点的价值上界均不超过该叶结点
的价值。因此该叶结点相应的解为问题的最优解。
在while循环内部，算法首先检查当前扩展结点的左儿子结点的可行性。如果
该左儿子结点是可行结点，则将它加入到子集树和活结点优先队列中。当前扩
展结点的右儿子结点一定是可行结点，仅当右儿子结点满足上界约束时才将它
加入子集树和活结点优先队列。
（4）函数Knapsack()完成对输入数据的处理。其主要任务是将各物品依其单位重量价值从达到小排好序。然后调用函数MaxKnapsack()完成对子集树的优先
队列式分支限界搜索。
具体的实现代码在文件夹《分支限界法》中。
三、 时空效率分析
穷举法：
对于一个有n 个元素的集合，其子集数量为n
2，所以，不论生成子集的算法效率有多高，穷举法都会导致一个)2(n
O 的算法。
递归法：
在递归法的算法体中有一个if 判断中出现了两次递归调用比较大小所以它们之间的递归关系式可以大体表示为：C n T n T +-=)1(2)(，其中)(n T 表示递归法的时间复杂度，C 是常数。求解递归方程可以知道)(n T 的量级为)2(n
O 。所以递归法解0-1背包问题的
时间复杂度为)2(n
O 。递归法是耗费空间最多的算法，每次递归调用都需要压栈，导致
栈的使用很频繁。
动态规划法：
由于函数Knapsack 中有一个两重for 循环，所以时间复杂度为O[(n+1)x(m+1)].
空间复复杂度也是O[(n+1)x(m+1)]，即O （nm ）.
回溯法：
由于计算上界的函数MaxBoundary 需要O(n)时间，在最坏情况下有)2(n
O 个右儿
子结点需要计算上界，所以解0-1背包问题的回溯法算法BackTrack 所需要的计算时间为)2(n
n O .
限界分支法：
在使用限界分治法时，就是使用更好的限界剪枝函数使得不必要的解被剔除，但是在最坏情况下的解仍然是和回溯法是相同的。本算法中也是用到了计算上界的函数MaxBoundary 需要O(n)的时间，而且在最坏情况下有)2(n
O 个结点需要计算上界，所
以在最坏情况下的时间复杂度仍然为)2(n
n O 。
四、运行结果
递归法输出结果：
动态规划法输出结果：
回溯法输出结果：
分枝限界法输出结果：
五、分析输出结果
上面测试的是每种算法在两种输入情况下得到的0-1背包问题的解。两种测试数据为：第一组：背包容量：18；物品数目：7；
每个物品重量为：11 2 4 8 9 6 10；
每个物品价值为：7 8 8 12 13 4 14。
第二组：背包容量：50；物品数目：10；
每个物品重量为：8 12 24 16 6 9 35 21 18 19；
每个物品价值为：34 32 56 67 54 32 45 56 46 70。
四种实现的算法中，只有回溯法没能够得到预期的最优解。（但是可能是算法设计时的问题，其实回溯法是穷举法的变形，肯定能够得到最优解的，这里是我设计函数的问题。从递归法的输出可知，它的结果就是我们想要的最优解）。从时间复杂度和空间复杂度分析可知，动态规划法的时间复杂度是最小的，但是同时它的空间复杂度又是最大的。这里就可以看出在设计算法的过程中要考虑它们的平衡问题。在时间要求比较快的情况下，我们就可以选择动态规划法；在空间要求比较高时，我们就可以使用穷举法或是分枝限界法等其他改进的穷举法。
各种算法在解背包问题时的比较如下表所示：
从计算复杂性理论看，背包问题是NP 完全问题。半个多世纪以来，该问题一直是算法与复杂性研究的热门话题。通过对0-1背包问题的算法研究可以看出，回溯法和分枝限界法等可以得到问题的最优解，可是计算时间太慢；动态规划法也可以得到最优解，当n
m 2
时，算法需要)2(n
n O 的计算时间，这与回溯法存在一样的缺点——计算速度慢；采用贪心算法，虽然耗费上优于前者，但是不一定是最优解。目前，以上几种方法中回溯法、动态规划法、贪心法都广泛地应用到不同的实际问题中，并在应用中不断地改进。
01背包问题不同算法设计、分析与对比报告
实验三01背包问题不同算法设计、分析与对比一．问题描述 给定n种物品和一背包。物品i的重量是w i ，其价值为v i ，背包的容量为c。 问题：应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。 说明：在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两个选择，装入背包或不装入背包，也不能将物品装入背包多次。 二．实验内容与要求 实验内容： 1.分析该问题适合采用哪些算法求解（包括近似解）。 ^ 动态规划、贪心、回溯和分支限界算法。 2.分别给出不同算法求解该问题的思想与算法设计，并进行算法复杂性分析。 动态规划： 递推方程： m(i,j) = max{m(i-1,j),m(i-1,j-wi)+vi} j >= wi; m(i-1,j) j < wi; 时间复杂度为O(n). 贪心法： ^ 算法思想：贪心原则为单位价值最大且重量最小，不超过背包最大承重量为约束条件。也就是说，存在单位重量价值相等的两个包，则选取重量较小的那个背包。但是，贪心法当在只有在解决物品可以分割的背包问题时是正确的。贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。 用贪心法设计算法的特点是一步一步地进行，根据某个优化测度（可能是目标函数，也可能不是目标函数），每一步上都要保证能获得局部最优解。每一步只考虑一个数据，它的选取应满足局部优化条件。若下一个数据与部分最优解连在一起不再是可行解时，就不把该数据添加到部分解中， 直到把所有数据枚举完，或者不能再添加为止。 回溯法：
回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。这种具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法。 对于有n种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成,可用子集数表示。在搜索解空间树时，只要其左儿子结点是一个可行结点，搜索就进入左子树。当右子树中有可能包含最优解时就进入右子树搜索。 时间复杂度为：O(2n) 空间复杂度为：O(n) ： 分支限界算法： 首先，要对输入数据进行预处理，将各物品依其单位重量价值从大到小进行排列。在优先队列分支限界法中，节点的优先级由已装袋的物品价值加上剩下的最大单位重量价值的物品装满剩余容量的价值和。 算法首先检查当前扩展结点的左儿子结点的可行性。如果该左儿子结点是可行结点，则将它加入到子集树和活结点优先队列中。当前扩展结点的右儿子结点一定是可行结点，仅当右儿子结点满足上界约束时才将它加入子集树和活结点优先队列。当扩展到叶节点时为问题的最优值。 3.设计并实现所设计的算法。 4.对比不同算法求解该问题的优劣。 这动态规划算法和贪心算法是用来分别解决不同类型的背包问题的，当一件背包物品可以分割的时候，使用贪心算法，按物品的单位体积的价值排序，从大到小取即可。当一件背包物品不可分割的时候，（因为不可分割，所以就算按物品的单位体积的价值大的先取也不一定是最优解）此时使用贪心是不对的，应使用动态规划。 5.需要提交不同算法的实现代码和总结报告。 动态规划方法： public class Knapsack {
回溯算法解决0-1背包问题(DOC)
《算法分析与设计》实验报告 2015-2016年第2学期 实验班级： 学生姓名： 学号： 指导老师： 信息工程学院
实验项目名称：回溯算法解决0-1背包问题 实验日期：2016年5 月18 日 一、实验类型：□√验证性□设计性 二、实验目的 掌握0—1背包问题的回溯算法 三、实验内容及要求 给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 四、实验步骤 #include int cw;//当前重量 int cp;//当前价值 int bestp;//当前最优值 int *bestx;//当前最优解 int *x;//当前解 }; int Knap::Bound(int i) { //计算上界 int cleft=c-cw;//剩余容量 int b=cp; //以物品单位重量价值递减序装入物品while(i<=n&&w[i]<=cleft) { cleft-=w[i]; b+=p[i]; i++; } //装满背包 if(i<=n) b+=p[i]/w[i]*cleft; return b; } void Knap::Backtrack(int i) { if(i>n) { if(bestp 动态规划是用空间换时间的一种方法的抽象。其关键是发现子问题和记录其结果。然后利用这些结果减轻运算量。 比如01背包问题。 因为背包最大容量M未知。所以，我们的程序要从1到M一个一个的试。比如，开始任选N件物品的一个。看对应M的背包，能不能放进去，如果能放进去，并且还有多的空间，则，多出来的空间里能放N-1物品中的最大价值。怎么能保证总选择是最大价值呢？看下表。 测试数据： 10,3 3,4 4,5 5,6 c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值. 这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背包容量为 4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最价方案c为4.而背包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量5.背包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排c3的最佳方案是4.所以。 总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.) 从以上最大价值的构造过程中可以看出。 f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}这就是书本上写的动态规划方程.这回清楚了吗? 下面是实际程序: #include 包袋英文术语 第一部分 Backpack 背包 Pouch(wallet) 钱包Traveling bags 旅行包Briefcase 公文包 Tote bag 大手提袋 Lady bag 女士包 Waist bag 腰包 Pencil case 笔袋 Shoulder bags 肩包 Front panel 前片 Flap of pocket 袋盖Printing artwork 印刷图Compartment 隔层 Back panel 后片 Foam 发泡 Sponge 海棉 Inner pocket 里袋 Bottom 底部 Bottom board 底板 Trolley 拉杆 Handle 手把 Hook buckle 钩扣 Buckle 扣具 Zipper 拉链 Zip puller 拉头 Webbing 织带 Straps 肩带 Woven label 织唛 Piping 胶骨 Binding 捆边/包边Hangtag 挂牌 Barcode sticker 条形码不干胶Polybag 塑料袋 Reinforce panel 补强片Rivet 柳钉Net pocket 网袋 Bottle 水瓶 Logo 商标 Rubber 橡胶 Match color 配色 Ribbon 尼龙丝带Embroidery 刺绣 Yarn 线 Mark 唛头 Inner label 内标 Carton 纸箱 Packing 包装 Pantone 色卡 Velcro 摩术贴 Rope 绳子 Stud 角钉 Elastic 松紧带 Padded 填料 Cardboard 纸板 程度词： Thin 薄 Thick 厚 Interior/outer 内/外部Adjustable 可调节的 材料： 420D ripstop 420D格子布600D polyester 600D涤沦Nylon 尼龙 Microfiber 花瑶布Transparent PVC 透明PVC Semitransparent PVC 磨沙PVC 70D sponge 70D发泡 Mesh/net 网布 420D crinkle nylon 420D水洗布PE board PE板 01背包问题，是用来介绍动态规划算法最经典的例子，网上关于01背包问题的讲解也很多，我写这篇文章力争做到用最简单的方式，最少的公式把01背包问题讲解透彻。 01背包的状态转换方程f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] } f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为j 的背包中，可以取得的最大价值。 Pi表示第i件物品的价值。 决策：为了背包中物品总价值最大化，第i件物品应该放入背包中吗？ 题目描述： 有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最 首先要明确这张表是从右到左,至底向上生成的。 为了叙述方便，用e10单元格表示e行10列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为10的背包，那么这个背包的最大价值是6，因为e物品的重量是4，背包装的了，把e装进去后价值为6。然后是e9单元格表示背包承重9，只有物品e, e装进去后，背包价值为6，接着是e8, e7单元格，一直到e3单元格表示背包承重3，但物品e承重4，装不了，所以e3=0, 对于d10单元格，表示只有物品e，d时,承重为10的背包,所能装入的最大价值，是10，因为物品e,d这个背包都能装进去。对于承重为9的背包，d9=10,是怎么得出的呢？ 根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值， 一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是e9的值6，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi； 在这里， f[i-1,j]表示我有一个承重为9的背包，当只有物品e可选时，这个背包能装入的最大价值 f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为4的背包（等于当前背包承重减去物品d的重量），当只有物品e可选时，这个背包能装入的最大价值 f[i-1,j-Wi]就是指单元格e4值为6，Pi指的是d物品的价值，即4 由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 6 + 4 = 10 大于f[i-1,j] = 6，所以物品d应该放入承重为9的背包，所以d9=10. 兰州交通大学数理与软件工程学院 题目0-1背包问题算法实现 院系数理院 专业班级信计09 学生姓名雷雪艳 学号200905130 指导教师李秦 二Ｏ一二年六月五日 一、问题描述： 1、0—1背包问题：给定n 种物品和一个背包，背包最大容量为M ，物 品i 的重量是w i ,其价值是平P i ，问应当如何选择装入背包的物品，似的装入背包的物品的总价值最大？ 背包问题的数学描述如下： 2、要求找到一个n 元向量(x1，x2…xn)，在满足约束条件： ????? ≤≤≤∑1 0i i i x M w x 情况下，使得目标函数 p x i i ∑max ，其中，1≤i ≤n ；M>0； wi>0；pi>0。满足约束条件的任何向量都是一个可行解，而使得目标函数 达到最大的那个可行解则为最优解[1]。 给定n 种物品和1个背包。物品i 的重量是wi ，其价值为pi ，背包的容量为M 。问应如何装入背包中的物品，使得装人背包中物品的总价值最大？在选择装人背包的物品时，对每种物品i 只有两种选择，即装入背包、不装入背包。不能将物品i 装人背包多次，也不能只装入部分的物品i 。该问题称为0-1背包问题。 0-1背包问题的符号化表示是，给定M>0， w i >0， pi >0，1≤i ≤n ，要求找到一个n 元0-1向量向量(x1，x2…xn)， X i =0 或1 , 1≤i ≤n, 使得 M w x i i ≤∑ ，而且 p x i i ∑达到最大[2]。 二、解决方案： 方案一：贪心算法 1、贪心算法的基本原理与分析 贪心算法总是作出在当前看来是最好的选择，即贪心算法并不从整体最优解上加以考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优解。贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，但对范围相当广的许多问题它能产生整体最优解。在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，但其最终结果却是最优解的很好近似解。 贪心算法求解的问题一般具有两个重要性质：贪心选择性质和最优子结构性质。所谓贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优解的选择，即贪心选择来达到。这是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征。 2、0-1背包问题的实现 对于0-1背包问题，设A 是能装入容量为c 的背包的具有最大价值的物品集合，则Aj=A-{j}是n-1个物品1,2,...,j-1,j+1,...,n 可装入容量为c-wj 的背包的具有最大价值的物品集合。 用贪心算法求解0-1背包问题的步骤是，首先计算每种物品单位重量的价值vi/wi ；然后，将物品进行排序，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。若将这种物品全部装入背包后，背包内的物品总量未超过c ，则选择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包。 浅谈户外背包的细节功能 背包－－-可以说是户外活动中的必备装备。无论你参加什么样形式的户外活动， 你的身上总会有一款适合你活动需要的背包。做为户外活动中最普及装备之一的背包 产品。由于它们各自不同的使用要求，因此决定了它们彼此不同的“身材”和“相貌”。那么，作为它们使用者的我们，是否真正的了解了它们真实的面貌呢？ 作为户外装备，我们在户外活动中常用的背包算是我们接触最多的户外产品了.它 们在具体的使用功能、制造工艺和材料上与我们平常生活中使用的运动背包有很大的 不同。随着设计理念和工艺水平的不断发展，当年清一色笨重的帆布军用背包早已变 为各色背负、多种面料的专项用途产品。在当前的户外市场上，背包是产品种类最多、针对性和功能性最全的产品。在特点上它们有强调轻量化的、有强调结实耐用的；容 积上的有小容量和大容量之分；功能上的有登山的、徒步的、攀冰的、探洞的,还有骑 车用的等等。现在的户外背包已经不简简单单是我们背负装备的工具，在特殊情况下 它甚至可以变身为保暖的睡袋或是救死扶伤的担架。户外产品的精髓就是满足人在户 外活动中的需要。 而这种把需要转化为设计的工作正是生产厂商门孜孜不倦去追求的。随着科技水 平的不断发展，材料和制造工艺的日新月异，背包在细节的设计上被赋予了更多的功能。厂家在有限的空间里，尽量从使用者的角度出发，对背包的细节进行了众多的处理。使背包功能更加多用途化，让使用者的操作更加方便化。 我所跟大家谈的户外背包。主要是针对大家经常使用的大容量背包为主。从整体 上看，这类背包可分为头包，背负，包体三部分。那么我就根据自己接触过的背包产 品，来按这三部分顺序来聊聊。 一、百变头包 头包可以说是背包细节应用的最平常的地方了。差不多各个厂商都会在它上面做 些文章。根据我接触过的背包产品来看，顶包的细节设计基本表现在包内零件和顶包 整体利用上。对于前者来说，工艺相对简单，多是在包配置有绳带和锁扣。方便使用者存放证件，钥匙或是眼镜盒类的小件物品，既方便又安全。这里值得一提的是GraniteGear（花岗岩）的设计，它在采用3DTEPEX背负技术的产品顶包里配置了一 个尼龙小袋，内有背包的插扣和背负零件，为使用者提供了背包易损件的备份。这在 远离后勤补给性质的户外登山里是非常有用的。对于包的整体利用来说，我个人认为 又分为头包内部功能和整体功能利用。包内功能是指厂商把头包仓内设定赋予专项功能，如OSPREY的AETHER75的顶包，其被设计为可容纳3升水袋的隔仓，并专门设 置了水袋水管出口。十分方便使用者补给需要。从整体上看，不少品牌的背包把顶包 设计成腰包款式，以用来拓展背包的使用功能。这类设计主要是以腰包的腰带设计划分；一种是将顶包直接做成腰包式样，包括腰带在内的所有配件都做齐，使用者直接 将顶包从背包主体上拆下，即可当腰包使用。这类设计多出现在老款背包上，如我用 过的一款BLACK YAK的TORNADO70背包，其顶包设计就是典型的代表，这种顶包 方式由于背包本身增加了额外的扣带，在打包时会造成一定的不便，背包的整体的重 量也有一定的增加（这类设计在现在轻量化背包潮流的产品中已很少见）。另外一种 设计是组合式，即顶包通过与背包其他部件的组合（多为背包腰带）来合并成腰包。 如DANA DESIGNE BOMB和OSPREY AETHER75的顶包，就是这种设计的典型代表，使用者只需分别将背包顶包与腰带拆下后，将腰带插入顶包内部的固定带中即可 组装成一款重装腰包。这种设计的好处在于可以减轻背包的整体重量，更可以充分利 P01: 01背包问题 题目 有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。 基本思路 这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。 用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是： f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} 这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。 优化空间复杂度 以上方法的时间和空间复杂度均为O(VN)，其中时间复杂度应该已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O。 先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下： for i=1..N for v=V..0 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}; 其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程 f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么 算法实验报告 ---背包问题 实验目的 1．掌握动态规划算法的基本思想，包括最优子结构性质和基于表格的最优 值计算方法。 2．熟练掌握分阶段的和递推的最优子结构分析方法。 3．学会利用动态规划算法解决实际问题。 问题描述： 给定n种物品和一个背包。物品i的重量是wi，体积是bi，其价值为vi， 背包的容量为c，容积为d。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中 物品的总价值最大? 在选择装入背包的物品时，对每种物品只有两个选择：装入 或不装入，且不能重复装入。输入数据的第一行分别为：背包的容量c，背包的 容积d，物品的个数n。接下来的n行表示n个物品的重量、体积和价值。输出 为最大的总价值。 问题分析: 标准0-1背包问题，MaxV表示前i个物品装入容量为j的背包中时所能产生的最大价值，结构体objec表示每一个可装入物品，其中w表示物品的重量，v表示物品的价值。如果某物品超过了背包的容量，则该物品一定不能放入背包，问题就变成了剩余i-1个物品装入容量为j的背包中所能产生的最大价值；如果该物品能装入背包，问题就变成i-1个物品装入容量为j-objec[i].w的背包所能产生的最大价值加上物品i的价值objec[i].v. 复杂性分析 时间复杂度，最好情况下为0，最坏情况下为：（abc） 源程序 #include 常用背包辅料介绍 1. 线（Thread） 一般包括Nylon线和Poly线。尼龙线一般以下面形式表示全称“NYLON 210D THREAD 3PLY BONDED 69”。其中Nylon就是说质地，尼龙的，看超来比较光滑，有明亮感。210D 代表纤维强度。3PLY代表一根线是由三条线纺成的，称为三合线。一般尼龙线用在合缝时用。Poly线看起来有许多小毛毛，和棉线差不多。一般以下面形式表示全称“POLY SPUN 30'S 4PLY”。一般用于打结。 2. 沿子（亦为包边带）（Tape） Tape一般有两种质地，即Nylon和Poly。Ｎylon的沿子看起来比较细腻，手感也比较软，成本也比Poly的高。一般很高档的包上才用Ｎylon的沿子。Ｐoly的纹比较粗一些，手感不是很软。另外还有一种ＰＰ的沿子，这种沿子在背包上用得最广，因为它手感很像Nylon。用Poly的料可以达到Nylon的效果，降低成本。一般沿子的强度用“210x210”来表示，它的宽度由10MM到40MM不一，还有更宽的，但不多见。另外还有一种"V" BIAS的沿子，它的纹路像V型的，一般是折叠着用的。沿子一般用在背包的包边上。例如背包合缝的地方，合缝之后用沿子包上，可以防止把合缝线弄断。一般好的背包除了明线，其他的暗线是不可以露出来的，全部由沿子盖住了。 3. 拉链（Zipper）、拉链头（Slider） 比较有名的拉链商有YKK和YBS，我个人认为YKK的拉链为上品。极品包一般全用YKK的拉链。户外背包不用塑料的拉链，全都是金属的。一般登山包上用的拉链全都是5号和8号的。如果是YKK的拉链，可以把拉链反过来看它是多大的拉链。另外还有一些特殊的拉链，比如防雨的（Rain Guard）、反用的（Reversed）。一个包的好与坏与拉链的关系非常大，如果拉链的承重能力不行，它还能装东西吗？ 4. 牛津带、织带（Webbing） 织带一般也有Nylon和Poly两种。Nylon的织带质量好，手感软。考虑到成本，只有极品包才用它。大部分包上都用Poly的织带。织带和沿子一样用“600x400”表示强度。还有一些特殊的织带，比如有一种宽度不一的织带，一般用作竖列。织带的承重力非常好，所以一般用来连接背带的下飞子，用作侧拉带，腰带等位置。织带一般与挡扣或插扣配合着用。 5. 塔扣（亦叫么术贴、粘扣）（Velcro） 所谓的塔扣就是一面是毛毛一面是钩的那种料，两种料可以粘在一起。它一 数学与物理科学学院 《算法分析与设计》课程考查论文 题目0-1背包问题研究及算法策略比较分析 专业 班级 学号 姓名 任课教师 完成日期2011/5/24 背包问题是一个在运筹学领域里常见的典型NP-C难题，也是算法设计分析中的经典问题，对该问题的求解方法的研究无论是在理论上,还是在实践中都具有重要意义。对这个问题的求解已经研究出了不少的经典方法，对该问题的探索和应用研究一直在进行。在先进理论指导下，求解0-1背包问题具有科学、高效、经济、灵活、方便等显著特点。 那么要解决背包问题，首要的前提就是设计出好的算法，想求得背包问题的解，就要先设计出算法,本文采用回溯法对背包问题、0-1背包问题及简单0-1背包问题进行算法设计和时间复杂度分析，给出具体算法设计和实现过程。并以具体实例详细描述不同方法求解问题解时算法基本思想，然后就解决0-1背包问题对这四种算法进行详细的比较，总结这种方法实现的优缺点并得出结论。如何将背包问题应用于实际问题中，有针对性地设计适合求解实际0-1背包问题的算法，并很好地解决实际问题，是计算机工作者不断思索、研究的一个领域。 摘要 (2) 一、绪论 (4) 1.1问题的研究及意义 (4) 1.20-1背包问题的算法研究与分析 (4) 1.3课题的主要研究内容 (4) 二、0-1背包问题在动态规划中的实现 (5) 2.1动态规划的基本原理与分析 (5) 2.20-1背包问题的实现 (5) 三、0-1背包问题在分枝-限界法中的实现 (7) 3.1分枝-限界法的基本原理与分析 (7) 3.20-1背包问题的实现 (7) 四、0-1背包问题在遗传算法中的实现 (9) 4.1遗传算法的基本原理与分析 (9) 4.20-1背包问题的实现 (10) 五、0-1背包问题在回溯法中的实现 (11) 5.1回溯法的基本原理与分析 (11) 5.20-1背包问题的实现 (11) 5.30-1背包问题在回溯法中的算法描述 (12) 5.4算法效率 (14) 5.5运行结果 (15) 六、四种算法的比较与分析 (15) 七、附录 (17) 背包 它是在1978年由Merkel和He llman提出的。它的主要思路是假定某人拥有大量物品，重量各不同。此人通过秘密地选择一部分物品并将它们放到背包中来加密消息。背包中的物品中重量是公开的，所有可能的物品也是公开的，但背包中的物品是保密的。附加一定的限制条件，给出重量，而要列出可能的物品，在计算上是不可实现的。背包问题是熟知的不可计算问题，背包体制以其加密，解密速度快而其人注目。但是，大多数一次背包体制均被破译了，因此现在很少有人使用它。 DD牛的背包九讲 P01: 01背包问题 题目 有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c，价值是w。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。 基本思路 这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。 用子问题定义状态：即f[v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：f[v]=max{f[v],f[v-c]+w}。 这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i 件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c的背包中”，此时能获得的最大价值就是f [v-c]再加上通过放入第i件物品获得的价值w。 注意f[v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其费用总和为v。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并不一定是f[N] [V]，而是f[N][0..V]的最大值。如果将状态的定义中的“恰”字去掉，在转移方程中就要再加入一项f[v-1]，这样就可以保证f[N] [V]就是最后的答案。至于为什么这样就可以，由你自己来体会了。 优化空间复杂度 以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。 先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f [0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[v]呢？f[v]是由f[v]和f [v-c]两个子问题递推而来，能否保证在推f[v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[v]和f[v -c]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c]保存的是状态f[v-c]的值。伪代码如下： for i=1..N for v=V..0 f[v]=max{f[v],f[v-c]+w}; 其中的f[v]=max{f[v],f[v-c]}一句恰就相当于我们的转移方程f[v]=max{f[v],f[v-c]}，因为现在的f[v-c]就相当于原来的f[v-c]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[v]由f[v-c]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。 总结 01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想， 一、实验目的与要求 掌握回溯法、分支限界法的原理，并能够按其原理编程实现解决0-1背包问题，以加深对回溯法、分支限界法的理解。 1．要求分别用回溯法和分支限界法求解0-1背包问题； 2．要求交互输入背包容量，物品重量数组，物品价值数组； 3．要求显示结果。 二、实验方案 在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有2种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。 三、实验结果和数据处理 1．用回溯法解决0-1背包问题： 代码： import java.util.*; public class Knapsack { private double[] p,w;//分别代表价值和重量 private int n; private double c,bestp,cp,cw; private int x[]; //记录可选的物品 private int[] cx; public Knapsack (double pp[],double ww[],double cc) { this.p=pp;this.w=ww;this.n=pp.length-1; this.c=cc;this.cp=0;this.cw=0; this.bestp=0; x=new int[ww.length]; cx=new int[pp.length]; } void Knapsack() { backtrack(0); } void backtrack(int i) { if(i>n) { //判断是否到达了叶子节点 if(cp>bestp) { for(int j=0;j 实验五：贪心算法求解背包问题 实验内容 应用贪心算法求解离散背包问题，分析时间复杂度。 有一个承重为W的背包和n个物品，它们各自的重量和价值分别是wi和vi（1<=i<=n），设求这些物品中最有价值的一个子集。如果每次选择某一个物品的时候，只能全部拿走，则这一问题称为离散（0-1）背包问题；如果每次可以拿走某一物品的任意一部分，则这一问题称为连续背包问题。 算法思想 ?动态规划的思想： –对较小的子问题进行一次求解，并把结果记录下来，然后利用较小问题的解，求解出较大问题的解，直到求解出最大问题的解。 – 引进一个二维数组ch[MAX][MAX]，用ch[i][j]记录CH1与CH2的LCS 的长度，b[i][j]记录ch[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。 我们是自底向上进行递推计算，那么在计算ch[i,j]之前，ch[i-1][j-1]， ch[i-1][j]与ch[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据CH1 [i] = CH2[j]还是CH1[i] != CH2[j]，就可以计算出ch[i][j]。 算法 length(string CH1,string CH2,int b[MAX][MAX]) //用于构建动态数组 //输入：两字符窜 //输出：最长公共子序列 for(i=1;i<=ch1Len;i++)//二重循环求解 for(int j=1;j<=ch2Len;j++) { if(CH1[i-1]==CH2[j-1])//相等字符 { ch[i][j]=ch[i-1][j-1]+1; b[i][j]=0; } else if(ch[i-1][j]>=ch[i][j-1])//上比较大 { ch[i][j]=ch[i-1][j]; b[i][j]=1; } else//左比较大 { ch[i][j]=ch[i][j-1]; b[i][j]=-1; } } printCS(int b[MAX][MAX],string x,int i,int j) //回溯求出最长子序列输出 //输入：标记数组 //输出：最长子序列 if(i == 0 || j == 0)//边界，返回 return; if(b[i][j] == 0) { printCS(b, x, i-1, j-1);//左上 cout< 算法分析与设计实验报告 第 4 次实验 } 附录：完整代码 #include 算法设计与分析大作业 班级：电子154 姓名：吴志勇 学号： 1049731503279 任课老师：李瑞芳 日期： 2015.12.25 算法设计与分析课程论文 0-1背包问题的算法设计策略对比与分析 0 引言 对于计算机科学来说，算法的概念是至关重要的。在一个大型软件系统的开发中，设计出有效的算法将起到决定性的作用。通俗的讲，算法是解决问题的一种方法。也因此，《算法分析与设计》成为计算科学的核心问题之一，也是计算机科学与技术专业本科及研究生的一门重要的专业基础课。算法分析与设计是计算机软件开发人员必修课，软件的效率和稳定性取决于软件中所采用的算法；对于一般程序员和计算机专业学生，学习算法设计与分析课程，可以开阔编程思路，编写出优质程序。通过老师的解析，培养我们怎样分析算法的“好”于“坏”，怎样设计算法，并以广泛用于计算机科学中的算法为例，对种类不同难度的算法设计进行系统的介绍与比较。本课程将培养学生严格的设计与分析算法的思维方式，改变随意拼凑算法的习惯。本课程要求具备离散数学、程序设计语言、数据结构等先行课课程的知识。 1 算法复杂性分析的方法介绍 算法复杂性的高低体现在运行该算法所需要的计算机资源的多少上，所需的资源越多，该算法的复杂性越高；反之，所需资源越少，该算法的复杂性越低。对计算机资源，最重要的是时间与空间（即存储器）资源。因此，算法的复杂性有时间复杂性T(n)与空间复杂性S(n)之分。 算法复杂性是算法运行所需要的计算机资源的量，这个量应集中反映算法的效率，并从运行该算法的实际计算机中抽象出来，换句话说，这个量应该只依赖要解决的问题规模‘算法的输入和算法本身的函数。用C表示复杂性，N,I和A表示问题的规模、算法的输入和算法本身规模，则有如下表达式： C=F(N,I,A) T=F(N，I,A) S=F(N，I,A) 其中F(N,I,A)是一个三元函数。通常A隐含在复杂性函数名当中，因此表达式中一般不写A。 即：C=F(N,I) T=F(N,I) S=F(N,I) 算法复杂性中时间与空间复杂性算法相似，所以以下算法复杂性主要以时间复杂性为例： 算法的时间复杂性一般分为三种情况：最坏情况、最好情况和平均情况。下面描述算法复杂性时都是用的简化的复杂性算法分析，引入了渐近意义的记号O,Ω，θ，和o。 O表示渐近上界Ω表示渐近下界： θ表示同阶即：f(n)= O(g(n))且 f(n)= Ω（g(n)） 2 常见的算法分析设计策略介绍 2.1 递归与分治策略 分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。 直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。 由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。 分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。 递归算法举例： 共11页第1页 f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]} 第一讲 01背包问题 题目 有N 件物品和一个容量为V 的背包。第i 件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价 值总和最大。 基本思路 这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。 用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i 件物品恰放入一个容量为v 的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是： 这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i 件物品放入容量为v 的背包中”这个子问题，若只考虑第i 件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i 件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v 的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i 件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i 件物品获得的价值 w[i]。 优化空间复杂度 以上方法的时间和空间复杂度均为O(VN)，其中时间复杂度应该已经不能再优化了，但空间复杂度却可以 优化到O 。 先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N ，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有 值。那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i 次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v] 呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i 次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推 f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下： 其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程 因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v 的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。 f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} for i=1..N for v=V..0 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};01背包问题动态规划详解
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