全国初中数学竞赛模拟试题十套
全国初中数学竞赛模拟试题（一）
班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分）
1．设a 、b 、c 为实数，abc ≠0，且a ＋b ＝c ，则
bc
a c
b 22
22－＋＋
ca
b a
c 22
22－＋＋ab
c b a 22
22－＋的值
为
（
）
（A ）－1 （B ）1 （C ）2 （D ）3
2．设x ，y ，z 为实数，且有x ＞y ＞z ，那么下列式子中正确的是
（
）
（A ）x ＋y ＞y ＋z （B ）x －y ＞y －z （C ）xy ＞yz （D ）z
x ＞z
y
3．在△ABC 中，BC ＝3，内切圆半径r ＝2
3，则cot 2
B ＋cot
2
C 的值为 （
） （A ）2
3
（B ）
3
2
（C ）2
33
（D ）3
2
4
．
已知
a ＝2
13213－＋－－，则
a
a －＋11的
值
为
（ ）
（A ）3－2 （B ）3＋2 （C ）2－3 （D ）－2－3
5．已知M 、N 为平面上相异的两点，有m 条直线过M 而不过N （称为M 类直线），有n 条直线过N 而不过M （称为N 类直线）．若每条M 类直线与每条
N 类直线均相交，又每条直线被其上的交点连同M 点或N 点分成若干段，则这m ＋n 条直线被分成的总段数是
（
） （A ）2mn
（B ）(m ＋1)(n ＋1) （C ）2(mn ＋m ＋n )
（D ）2(m ＋1)(n ＋1)
6．若ab ≠1，且有5a 2＋2001a ＋9＝0及9b 2＋2001b ＋5＝0，则b
a 的值是
（
） （A ）5
9
（B ）9
5
（C ）－5
2001
（D ）－9
2001
二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 1．化简
1
111112
2
－＋－－＋
－－＋＋a a a a
a a （0＜｜a ｜＜1）的结果是____________．
2．梯形ABCD 中，AD ∥BC （AD ＜BC ），AD ＝a ，BC ＝b ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为____________． 3．如图，梯形ABCD 的对角线交于O ，过O 作两底的平行线分别交两腰于M 、N ．若AB ＝18，CD ＝6，则MN 的长为____________．
4．设m 2＋m －1＝0，则m 3＋2m 2＋1999＝__________．
5．已知整数x 、y 满足15xy ＝21x ＋20y －13，则xy ＝__________． 6．已知x ＝
2
323+-，y ＝
2
323-+，那么
2
2y x x y ＋＝__________．
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
1．某新建储油罐装满油后发现底部匀速向外漏油，为安全并减少损失，需将油抽干后进行维修．现有同样功率的小型抽油泵若干台，若5台一起抽需10小时抽干，7台一起抽需8小时抽干．需在3小时内将油罐抽干，至少需要多少台抽油泵一起抽？
2．求二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 在－3≤x ≤－1的最大值和最小值．
3．从1到n 的n 个连续自然数之积称为n 的阶乘，记为n ！（如5！＝5×4×3×2×1）．问：1999！的尾部有多少个连续的零？说明你的理由．
全国初中数学竞赛模拟试题（二）
班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分）
1．方程19＋x ＋395＋x ＝12的实数解个数为
（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 2．设a ＝
5
3
1
，b ＝
3
4
1，c ＝
4
5
1，则a ，b ，c 的大小关系是
（ ）
（A ）a ＜b ＜c （B ）a ＜c ＜b （C ）c ＜b ＜a （D ）b ＜c ＜a
3．二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象的一部分
如图．则a 的取值范围是 （ ） （A ）－1≤a ＜0 （B ）a ＞－1
（C ）－1＜a ＜0 （D ）a ≤－1
4．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120o，D 点在BC 边上，且BD ＝1，DC ＝2，则AD 的值为 （ ）
（A ）0.5 （B ）1 （C ）1.5 （D ）2 5．已知α、β是方程x 2－7x ＋8＝0的两根，且α＞β，则
α
2
＋3β2的值为
A
B
C D
M N
O
O y x 1
1
（
）
（A ）8
1(403－85
17
)
（B ）4
1(403－85
17
)
（C ）95 （D ）
17
6．如果a ，b ，c 是三个任意整数，那么2
b a ＋，
2
c b ＋，
2
a c ＋ （ ）
（A ）都不是整数 （B ）至少有两个整数 （C ）至少有一个整数 （D ）都是整数 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）
1．若a 、b 为整数，且x 2－x －1是ax 17＋bx 16＋1的因式，则a ＝__________． 2．我国古算经《九章算术》上有一题：有一座方形的城（见右图），城的各边的正中央有城门，出南门正好20步的地方有一棵树．如果出北门走14步，然后折向东走1775步，刚好能望见这棵树，则城的每边的长为____________．
3．设△ABC 的内切圆⊙O 切BC 于点D ，过D 作直径DE ，连
AE ，并延长交BC 于点F ．若BF ＋CD ＝1998，则BF ＋2CD ＝
__________．
4．如右图，设△ABC 为正三角形，边长为1，P ，Q ，R 分别在AB ，BC ，AC 边
上，且AR ＝BP ＝CQ ＝3
1．连AQ ，BR ，CP 两两相交得到
△MNS ，则△MNS 的面积是____________．
5．如图，正方形ABCD 的边AB ＝1， BD 和 AC 都是以1为半径的圆弧．则无阴影的两部分面积之差为____________．
6．若x 2＋xy ＋y ＝14，y 2＋xy ＋x ＝28，则x ＋y 的值为__________．
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
1．如图，矩形ABCD 中，DE ＝BG ，且∠BEC ＝90o，EFGH
ABCD S S ＝n （S ABCD 表示四边形
ABCD 的面积，下同），AB
BC ＝λ，已知n 为自然数，λ为有理数．求证：λ
也为自然数．
2．A 、B 、C 三人各有苹果若干，要求互相赠送，先由A 给B 、C ，所给的苹果数等于B 、C 原来各有的苹果数；依同法再由B 给A ，C 现有个数，后由C 给
A
B
C
F
D 20 14
E
1775
A
B
C
P
Q R
M
N
S
A
B
C
D
S
S
S 2
S 1 A
B C D
E F
G
H
A 、
B 现有个数．互送后每人恰好各有64个，问原来A 、B 、
C 三人各有多少个苹果？
3．设S 是由1，2，3，…，50中的若干个数组成的一个数集（数的集合），S 中任两数之和不能被7整除．试问S 中最多能由1，2，3，…，50中的几个数组成（S 中含数的个数的最大值）？证明你的结论．
全国初中数学竞赛模拟试题（三）
班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．若
1
)
)(())(())((＝＋＋＋＋＋＋＋＋y x z y zx
x z y x yz z y x z xy ，则x 、y 、z 的取值情况是
（
）
（A ）全为零
（B ）只有两个为零 （C ）只有一个为零
（D ）全不为零
2．若x ，y ，x －y 都是有理数，则x ，y 的值是
（
）
（A ）二者均为有理数
（B ）二者均为无理数 （C ）仅有一个为有理数 （D ）以上均有可能
3．设n 为自然数，则n 2＋n ＋2
的整除情况是
（
）
（A ）既不能被2整除，也不能被5整除 （B ）能被2整除，但
不能被5整除
（C ）不能被2整除，但能被5整除 （D ）既能被2整除，又能被5整除 4．某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用一个半小时；若往返都坐车，全部行程则只需半个小时．如果往返都步行，那么需用的时间是 （
） （A ）1小时
（B ）2小时
（C ）2.5小时
（D ）3小时
5．如图，正方形ABCD 及正方形AEFG ，连接
BE 、CF 、DG ．则BE ∶CF ∶DG 等于 （ ）
（A ）1∶1∶1 （B ）1∶
2
∶1
（C ）1∶
3∶1
（D ）1∶2∶1
6．如果a ，b 是质数，且a 2－13a ＋m ＝0，b 2－13b ＋m ＝0，那么a
b ＋b
a 的值为
（
）
A
B
C
D
E
F
G
（A ）22
123
（B ）22
125或2
（C ）22
125
（D ）22
123或2
二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 1．已知实数x 满足
x
x x x －＝－132?，则x 的取值范围是____________．
2．如果对于一切实数x ，有f (x ＋1)＝x 2＋3x ＋5，则f (x －1)的解析式是
________________．
3．已知实数x 、y 满足条件2x 2－6x ＋y 2＝0，则x 2＋y 2＋2x 的最大值是
____________． 4．方程
3
32-＝
3
x －
3
y 的有理数解x ＝__________，y ＝__________．
5．如图，从直角△ABC 的直角顶点C 作斜边AB 的三等分点的连线CE 、CF ．已知CE ＝sin α，CF ＝cos α（α为锐角），则AB ＝__________．
6．用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯
形的面积等于______________．
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
1．如图，D 为等边△ABC 的BC 边上一点，已知BD ＝1，CD ＝2，CH ⊥AD 于点H ，连结BH ．试证：∠BHD ＝60o．
2．已知函数y ＝－2
1x 2＋2
13的自变量在a ≤x ≤b 时，2a ≤y ≤2b ，试求a 、b 之值．
3．一个自然数若能表示成两个自然数的平方差，则称这个自然数为“聪明数”．例如，16＝52－32就是一个“聪明数”．试问： （1）1998是不是“聪明数”？说明理由．
（2）从小到大排列，第1998个“聪明数”是哪一个自然数？
C
A
B
E
F A C
B D H
全国初中数学竞赛模拟试题（四）
班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分）
1．99个连续自然数之和等于abcd ．若a 、b 、c 、d 皆为质数，则a ＋b ＋c ＋d 的最小值等
于
（
） （A ）63 （B ）70 （C ）86 （D ）97
2．设P 、Q 分别是单位正方形BC 、CD 边上的点，且△APQ 是正三角形，那么正
三角
形
的
边
长
为
（
） （A ）
2
6－ （B ）
3
26＋ （C ）
2
5－ （D ）
3
25＋
3．实数a 、b 、c 两两不等，且三点的坐标分别为：A （a ＋b ，c ），B （b ＋c ，
a ），C （c ＋a ，
b ），则这三点的位置关系是 （
）
（A ）组成钝角三角形 （B ）组成直角三角形 （C ）组成等边三角形
（D ）三点共线
4．对任意给定的△ABC ，设它的周长为l ，外接圆半径为R ，内切圆的半径为
r ，则
（ ）
（A ）l ＞R ＋r
（B ）l ≤R ＋r
（C ）6
l ＜R ＋r ＜6l
（D ）以上均不对
5．平面上有P 、Q 两点，以P 为外心、Q 为内心的三角形的数量为 （
）
（A ）只能画出一个 （B ）可以画出2个 （C ）最多画出3
个
（D ）能画无数个
6．如图，若将正方形分成k 个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则
k 的值为
（ ）
（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）
1．如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ∶AB ＝1∶2，MN ∥
2 1
3
4
… … C
D N
BD 且平分AC ．若梯形ABCD 的面积等于ab ，S △AMN ＝ba ，则ab ＋ba ＝__________．
2．不等式｜x ＋7｜－｜x －2｜＜3的解是____________． 3．若自然数n 能使［
n
］整除n ，则n 的所有表达式为_____________．
4．小李用5000元买了一年期的某种债券，到期后从本利和中支取2000元用于购物，把剩下的钱又买了这种一年期债券，若这种债券的利率不变，到期后得本利和为3498元，那么这种债券的年利率是__________．
5．圆内接凸四边形ABCD 的边AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝1∶9∶9∶8，AC 交BD 于P ，则S △PAB ∶S △PBC ∶S △PCD ∶S △PDA ＝____________．
6．销售某种商品，如果单价上涨m %，则售出的数量就将减少
150
m ．为了使该商
品的销售总金额最大，那么m 的值应该确定为____________． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
1．如图，∠CAB ＝∠ABD ＝90o，AB ＝AC ＋BD ，AD 交BC 于P ，作⊙P 使其与AB 相切．试问：以AB 为直径作出的⊙O 与⊙P 是相交？是内切？还是内含？请作出判断并加以证明．
2．设α、β是整系数方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根，且α2＋β2＜4，试求整数对（a ，b ）的所有可能值．
3．a 、b 、c 为互不相等的数，若以下三个等式中有任意两个等式成立，求证：第三个等式也成立．
(b 2＋bc ＋c 2)x 2－bc (b ＋c )x ＋b 2c 2＝0； (c 2＋ca ＋a 2)x 2－ca (c ＋a )x ＋c 2a 2＝0；
(a 2＋ab ＋b 2)x 2－ab (a ＋b )x ＋a 2b 2＝0．
A
B
C D O P
全国初中数学竞赛模拟试题（五）
班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分）
1．边长都是质数的凸四边形ABCD ，且AB ∥CD ，AB ＋BC ＝AD ＋CD ＝20，AB ＞BC ，则BC ＋AD ＝ （ ）
（A ）6或14 （B ）6 （C ）14 （D ）10
2．直角梯形的一条对角线将它分成两个三角形，其中一个是等边三角形，如果它的中位线的长为123，那么它的下底的长为 （ ）
（A ）163 （B ）183 （C ）203 （D ）223
3．在等腰Rt △ABC 的斜边AB 所在的直线上有点P 满足S ＝AP 2＋BP 2，则 （ ）
（A ）对P 有无限多个位置，使得S ＜2CP 2 （B ）对P 有有限个位置，使得S ＜2CP 2
（C ）当且仅当P 为AB 的中点，若P 与顶点A ，B 之一重合时，才有S ＝2CP 2 （D ）对直线AB 上的所有点P ，总有S ＝2CP 2 4．若
1
4＋＋x x ＜
3
＜
x
x 3＋，则正整数x 的值是
（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
5．若方程3x ＋by ＋c ＝0与cx －2y ＋12＝0的图形重合，设n 为满足上述条件的（b ，c ）的组数，则n 等于
（
） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）有限多个但多于
2
6．如图，若PA ＝PB ，∠APB ＝2∠ACB ，AC 与
PB 交于点D ，且PB ＝4，PD ＝3，则AD ·DC 等于
（ ）
（A ）6 （B ）7 （C ）12 （D ）16
二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 1．若自然数a ，x ，y 满足62－a ＝x －y ，则a 的最大值是____________． 2．如右图，已知ABCDEF 是正六边形，M ，N 分别是边CD 和
DE 的中点，线段AM 与BN 相交于P ，则PN
BP ＝
____________．
A
B
C
D
P
A B
E F
P
N
3．关于自变量x 的二次函数y ＝x 2－4ax ＋5a 2－3a 的最小值m 是a 的函数，且
a 满足不等式0≤a 2－4a －2≤10，则m 的最大值等于________． 4．方程xy ＋3x ＋2y ＝10的正整数解为__________．
5．甲、乙二人在圆形跑道上从同一点A 同时出发，并按相反方向跑步，甲的速度为每秒5m ，乙的速度为每秒7m ，到他们第一次在A 点处再度相遇时跑步就结束，则从他们开始相遇到结束共相遇了n 次，这里n ＝__________． 6．在直角坐标系xOy 中，x 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5），Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP ＋MQ 取最小值时，点M 的横坐标x ＝__________．
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
1．在锐角三角形ABC 中，∠BAC ，∠ABC ，＜ACB 的平分线分别与△ABC 的外接圆交于D ，E ，F ．连EF ，FD ，DE 分别交AD ，BE ，CF 于A 1，B 1，C 1．求证：△ABC 的内心I 也是△A 1B 1C 1的内心．
2．设有三个相似三角形，且较小的两个三角形可以互不重合地放在大三角形的内部．试证明，两个小三角形的周长之和不超过大三角形的周长的2倍．
3．若不等式组?
??05)25(20222＜＋＋＋，
＞－－k x k x x x 的整数解只有
x ＝－2，求实数k 的取值范围．
全国初中数学竞赛模拟试题（六）
班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．某校初三（1）班的同学打算在星期
天去登山，他们计划上午8∶30出发，尽可能去登图中最远处的山，到
达山顶后开展1个半小时的文娱活
动，于下午3点以前必须回到驻
地．如果去时的平均速度是3.2千米
／时，返回时的平均速度是4.5千米／时，则能登上的最远的那个山顶是 （ ） （A ）A （B ）B （C ）C （D ）D
2．方程2x 2＋7x ＋21＝515722＋＋x x 的有所实根之和为 （ ）
A
B C
D E F I A 1
B
1
C 1
驻地A (7千B (8千
C (10千
D (9千
（A ）－11 （B ）－7
（C ）－2
11
（D ）－2
7
3．设a ＞0，则方程2x a －＝2－｜x ｜有不等实根，那么a 的取值范围是 （ ）
（A ）a ＞0 （B ）0＜a ＜1 （C ）a ＝1 （D ）a ≥1
4．三角形ABC 的三条边长为连续的自然数，且它的最大角是最小角的两倍，那么它的最大边与最小边的比值是 （ ） （A ）2
（B ）3
5
（C ）2
3
（D ）5
7
5．某厂一只计时钟要69分钟才能使分针与时针相遇一次．如果每小时付给工人计时工资4元，超过规定时间的加班每小时应付计时工资6元，工人按此钟做完规定的8小时工作，应付工资 （ ）
（A ）34.4元 （B ）34.6元 （C ）34.8元 （D ）35元
6．若a ，b 是正数，且满足12345＝(111＋a )(111－b )，则a 与b 之间的大小关系是 （ ）
（A ）a ＞b （B ）a ＝b （C ）a ＜b （D ）不能确定 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）
1．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＞0，且x ＝
｜｜a a
＋｜｜b b ＋｜
｜c c ，y ＝a (b
1＋c
1)＋b (c
1＋a
1)＋c (a
1＋b
1)，则代数式x 19－96xy ＋y 3＝__________． 2．如图，在长为9，宽为8的矩形纸片上紧贴三条边剪下一个圆，在剩下的纸片上如果再剪两个小圆O 1，O 2，那么这两个小圆的最大直径d ＝__________．
3．已知α，β是方程x 2＋x －1＝0的两个实根，则α4
－3β＝________．
4．如图，四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，AE 与BD 相交于F ，若DF ＝BF ，AF ＝2EF ，则S △ACD ∶S △ABC ∶S △ABD ＝__________． 5．已知抛物线y ＝x 2＋kx ＋4－k 交x 轴于整点A ，B ，与y 轴交于点C ，则S △ABC
＝__________．
6．已知实数a ，b 满足a 2＋ab ＋b 2＝1，且t ＝ab －a 2－b 2，那么t 的取值范围是____________．
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
1．四边形ABCD 中，O 是AB 的中点，以O 为圆心的半圆（其直径小于AB ）与边AD ，DC ，CB 分别相切于E ，F ，G ．求证：AB 2＝4AD ·BC ．
O
O 1
O 2 A
B
C
D
E
F
C
2．设直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边为c，且a，b，c均为自然数，a为质数．证明：2(a＋b＋1)必是一个完全平方数．
3．19支足球队举行单循环赛，已知每支球队至少和其余13支球队进行过比赛，求证：必可找到四个球队，它们之间任何两队都已赛过．
全国初中数学竞赛模拟试题（七）
班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．已知a －
a
1＝b
1－b ＝3，且a ＋b ≠0，则3
b a －3
a b 的值是
（ ）
（A ）521 （B ）1321 （C ）533 （D ）1333
2．在△ABC 中，F 分AC 为1∶2，G 是BF 的中点，E 是AG 与BC 的交点，那么E 分BC 所成的比为 （ ） （A ）8
3 （B ）5
2 （C ）4
1 （D ）3
1
3．如图，△ABC 为锐角三角形，BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，则S △AEF ∶S △ABC 的值为 （ ）
（A ）sin A （B ）cos A （C ）sin 2A （D ）cos 2
A
4．⊙O 1和⊙O 2的半径分别是R 和r ，O 1O 2＝d ，若关于x 的方程x 2－2Rx ＋r 2－2rd ＋d 2＝0有两个相等的实根，那么此两圆 （ ）
（A ）相交 （B ）内切 （C ）外切 （D ）内切或外切 5．P 为△ABC 内一点，连结PA ，PB ，PC ，把三角形的面积三等分，则P 点是△ABC 的 （ ）
（A ）内心 （B ）外心 （C ）垂心 （D ）重心 6．某商场对顾客实行优惠，规定：
①如一次购物不超过200元，则不予折扣；
②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；
③如一次购物超过500元，则其中500元按第②条给予优惠，超过500元部分则给予八折优惠．
某人两次去购物，分别付款168元与423元．如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是 （ ）
（A ）522.8元 （B ）510.4元 （C ）560.4元 （D ）472.8元 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）
1．已知四个实数的乘积为1，其中任意一个数与其余三个数的积的和都等于1000．则此四数的和是__________．
2．某学校新造5个教室后，每个班级的平均人数减少6人，再造5个教室后，每个班级的平均人数又减少4人．在这个变化过程中，学校人数保持不变，这个学校有__________名学生．
A
B C E
F
3．如果xy ＝a ，xz ＝b ，yz ＝c ，而且它们都不等于0，那么x 2＋y 2＋z 2＝__________．
4．已知二次函数y ＝2x 2－4mx ＋m 2的图像与x 轴有两个交点
A ，
B ，顶点为
C ．若△ABC 的面积为42
，那么m ＝
__________．
5．如图，圆与正三角形ABC 的三边交于六个点，如果AG ＝2，GF ＝13，FC ＝1，HI ＝7，则DE ＝__________． 6．一个正整数，若分别加上100与168，则可得到两个完
全平方数．这个正整数为__________． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
1．如图，已知AB ，CD 是半径为5的⊙O 中互相垂直的弦，垂足为P ，E 为AB 的中点，PD ＝AB ，且OE ＝3，试求CP ＋CE 的值．
2．试问周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？请说出你的理由． 3．证明：在任意11个整数中必有6个整数的和能被6整除，但任意10个整数
未必有此性质．
A B
C
D
E F G
H I
A B C
D
E O P
全国初中数学竞赛模拟试题（八）
班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1
．
若
x ＝
5
469
23＋，则25x 4－1996x 2＋144＝
（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）469 （D ）1996
2．作两条直线将正方形分成四个全等的图形的作法有 （ ）
（A ）1种 （B ）2种 （C ）3种 （D ）无穷多种 3．已知
c
b a abc
c b a ＋＋－＋＋3333＝3，则(a －b )2＋(b －c )2＋(a －b )(b －c )的值为
（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
4．凸五边形ABCDE 中，有∠A ＝∠B ＝120o，EA ＝AB ＝BC ＝2，CD ＝DE ＝4，则五边形的面积为 （ ） （A ）10
（B ）7
3
（C ）15
（D ）93
5．梯形ABCD 的对角线相交于O ，OA ＞OC ，OB ＞OD ．在AO 上取点E ，使AE ＝OC ，又在BO 上取点F ，使BF ＝OD ，则
△AFC 的面积S 1与△BED 的面积S 2的关系为
（ ）
（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2
（D ）不能确定
6．①在实数范围内，一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0的根为x ＝
a
ac b b 242－－ ；
②在△ABC 中，若AC 2＋BC 2＞AB 2，则△ABC 是锐角三角形；
③在△ABC 和△A 1B 1C 1中，a 、b 、c 分别为△ABC 的三边，a 1、b 1、c 1分别为△A 1B 1C 1的三边．若a ＞a 1、b ＞b 1、c ＞c 1，则△ABC 的面积S 大于△A 1B 1C 1的面积S 1．
以上三个命题中，假命题的个数是 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）
1．n （n ≥3）边形的内角中，锐角最多有__________个．
2．在凸四边形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝1，∠ABC ＝30o，∠BCD ＝60o．如果四边形ABCD 的面积是2
313
，那么AB ＝________．
A
B
C D
O
E
F
3．正数a ，b ，c 满足??
?2
2210c
b a
c b a ＝＋＝
＋＋，则ab 的最大值为__________．
4．正三角形ABC 内接于圆O ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，延长MN 交圆O 于点
D ，连结BD 交AC 于点P ，则PA
PC ＝__________．
5．有两条公路OM ，ON 相交成30o角，沿公路OM 方向80米A 处有一所小学，当拖拉机沿ON 方向行驶时，路两
旁50米以内会受到噪音的影响．已知拖拉机的速度为18千米／小时，那么拖拉机沿ON 方向行驶将给小学带来噪音影响时间为__________秒．
6．已知x ，y 是正整数，并且xy ＋x ＋y ＝23，x 2y ＋xy 2＝120，则x 2＋y 2＝__________．
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
1．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝125，CD ＝DA ＝80．问对角线BD 能否把梯形分成两个相似的三角形？若不能，给出证明；若能，求出BC ，BD 的长．
2．已知关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0有两个不相等的实根，证明：当k ≠0时，方程x 2＋px ＋q ＋k (2x ＋p )＝0也有两个不等实根，且有一根在x 2＋px ＋q ＝0的两根之间．
3．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点，而顶点均为整点的多边形称为整点多边形．求证：整点凸五边形上必可找到一个四边形至少覆盖5个整点．
A
O
M N
A
B C
D 125 80 80
全国初中数学竞赛模拟试题（九）
班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．19961996的十位上的数字是 （ ） （A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9
2．如果凸n 边形F （n ≥4）的所有对角线都相等，那么 （ ）
（A ）F 是四边形 （B ）F 是五边形 （C ）F 是四边形或五边形 （D ）F 是边相等或内角相等的多边形
3．已知a ，b ，c 为不全相等的实数，那么关于x 的方程x 2＋(a ＋b ＋c )x ＋(a 2
＋b 2＋c 2)＝0 （ ）
（A ）有两个负根 （B ）有两个正根 （C ）有两个同号实根 （D ）无实根 4．使得正n 边形的每个内角都是整数度数的n 的个数是 （ ）
（A ）16 （B ）18 （C ）20 （D ）22
5．在｛1，2，…，100｝这100个整数中，任取k 个数，使得在这k 个数中，总有两个数字之和等于另两个不同的数字之和．那么，满足条件的最小的k 的取值是 （ ）
（A ）21 （B ）24 （C ）27 （D ）30
6．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上一点．下面
四种情况中，△ABD ∽△ACB 不一定成立的情
况是 （ ） （A ）AD ·BC ＝AB ·BD （B ）AB 2＝AD ·AC
（C ）∠ABD ＝∠ACB （D ）AB ·BC ＝AC ·BD
二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 1．若360x
＝3，360y
＝5，则)1(32172y y
x －－－＝__________．
2．如图所示，□ABCD ，A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥A 4B 4∥BC ，
C 1
D 1∥C 2D 2∥AB ，把□ABCD 共划分成15个小平行四边形，若四边形C 2A 4D 1B 1面积为S 1，S □MNPQ ＝S 0，则
S □ABCD ＝__________． 3．若x ＝2
1－
x
41，1－2x ＋22x 2－23x 3＋24x 4－…－21995x 1995的值为____________．
4．在Rt △ABC 中，∠B ＝90o，AB ＝4，BC ＝2，D 为Rt △ABC 内任意一点，过D
A B
C D E F
A A 1 A 2 A 3 A 4
B
D B 1 B 2 B 3 B 4
C 2
C 1
D 2 D 1 M
N
P
Q
分别作三角形三边的平行线EF 、MN 、PT ，设S 为△DEP 、△DMF 和△DNT 的面积之和，则S 的最小值是__________．
5．如图，B 是半径为3的⊙O 的直径AC 上的一点，BC ＝2，以AB ，BC 为直径作⊙O 1，⊙O 2，⊙P 分别与⊙O 1，⊙O 2，⊙O 相切，则⊙P 的半径r 的长为__________．
6．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P ．则点P 到两圆外公切线的距离为__________．
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
1．如图，O 是△ABC 内任意一点，直线AO ，BO ，CO 分别与三边相交于P ，Q ，R ．若a ＞b ＞c ，求证：OP ＋OQ ＋OR ＜a ．
2．设方程x 2＋ax ＋1＝b 的两个根均是自然数，证明：a 2＋b 2是合数． 3．在一个8×8棋盘中，定义一种“跳棋”的规则如下： 走子之前：
1
23
A B
走子之后：
123
A
即棋子A 则1号位，隔过一棋子B ，跳入3号位，同时吃掉棋子B ．所有棋子只有这一种走法，但可以向上，向左，向右跳动棋子．按以下要求设计一种初始状态：
（1）走棋之前，前4行无棋子；
（2）经过一系列走步后，只有第一行剩一枚棋子； （3）初始状态所用的棋子数最少．
请画出初始状态所用的棋子分布图，并做简要的走步说明．
A B
C
P
Q R
O
全国初中数学竞赛模拟试题（十）
班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分）
1．在△ABC 中，∠C ＝90o，∠A 的平分线交BC 于D ，则CD
AC AB －等于
（
）
（A ）sin A （B ）cos A
（C ）tan A
（D ）cot A
2．若x 0是方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根，则△＝b 2－4ac 与Q ＝(2ax 0＋b )2
的关
系
是
（
） （A ）△＜Q （B ）△＝Q
（C ）△＞Q
（D ）不确定
3．若x －y ＝2，x 2＋y 2＝4，则x 2000＋y 2000的值是
（
） （A ）4 （B ）20002
（C ）22000
（D ）42000
4．若⊙O 内切于△ABC 的三边，切点为X ，Y ，Z ，则△XYZ 满足
（
）
（A ）每个角都等于60o （B ）有一个角是钝角
（C ）与△ABC 相似
（D ）每个角等于△
ABC 中另两个角和的一半
5．将从19到96的两位数依次写下组成一个自然数N ，N ＝19202122…949596．如果N 的质因数分解式中3的最高次幂是3k ，那么k ＝ （
） （A ）0 （B ）1
（C ）2
（D ）3
6．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90o，∠ABC ＝15o，BC ＝1，则AC 的长为
（
） （A ）2＋
3
（B ）－3 （C ）0.3 （D ）3－2
二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 1．
16
2001199919971995＋???＝__________．
2．正△ABC 的边长为1，P 是AB 边上的一点，PQ ⊥BC ，QR ⊥AC ，RS ⊥AB （Q 、
R 、S 为垂足），若SP ＝4
1，则AP ＝__________．
3．如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝∠ADC ＝120o，则BD ＝__________． 4．设t 是与
33
2
1
21
＋－最接近的整数，则
t
23－等于__________．
5．在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝20o，在AB 边上取一点M ，使得BM ＝AC ，则∠AMC 的度数等于__________．
6．已知点P 在直角坐标系中的坐标为（0，1），O 为坐标原点，∠QPO ＝150o，且P 到Q 的距离为2，则Q 的坐标为__________．
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
1．已知正整数p ，q 都是质数，并且7p ＋q 与pq ＋11也都是质数，计算(p 2＋q p )(q 2＋p q )之值．
2．如图，设H 是等腰△ABC 之垂心，在底边BC 保持不变的情况下让点A 到底边BC 的距离变小，这里乘积S △ABC ·S △BHC 的值怎样变化（变大？变小？不变？），试说明理由．
3．将平面上每一点都以红蓝两色之一着色．证明：存在着斜边长为2000、一个锐角为30o的直角三角形，三个顶点同色．
A B C H