七年级上册数学- 角-讲义教案

学好语数英 就选明日星

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数学 年级 七年级 教材版本 人教版 课题名称 角 课次 上课时间 2017/1 / 7 教学目标 掌握角的两种定义及表示方法，并在图形中认识角、熟悉角的表示方法

教学重点 理解度分秒的换算，会进行简单的计算

一、情境导入

观察了下面实物，你发现这些实物给我们共同的形象是什么？

二、合作探究

探究点一：角的定义及表示方法

【类型一】 角的定义

例1 下列关于角的说法正确的个数是( )

①角是由两条射线组成的图形；

②角的边越长，角越大；

③在角一边延长线上取一点D ；

④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

解析：①角是由有公共端点的两条射线组成的图形，错误；②角的大小与开口大小有

关，角的边是射线，没有长短之分，错误；③角的边是射线，不能延长，错误；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，说法正确．所以只有④正确．故选A.

方法总结：本题主要是对角的定义的考查，正确理解角的定义是解题的关键：有公共

端点的两条射线组成的图形叫做角，需要熟练掌握．2-1-c-n-j-y

【类型二】 角的表示方法

例2 下列四个图形中，能用∠1、∠AOB、∠O 三种方法表示同一个角的图形是( )

2

A B

C D

解析：在角的顶点处有多个角时，用一个字母表示这个角，这种方法是错误的．所以

A 、C 、D 错误，故选B.

方法总结：角的两个基本元素中，边是两条射线，顶点是这两条射线的公共端点．解题时要善于排除一些似是而非的说法的干扰，选出能准确描述“角”的说法．用三个大写字母表示角，表示角顶点的字母在中间．21教育网

【类型三】 判断角的数量

例3 如图所示，在∠AOB 的内部有3条射线，则图中角的个数为( )

A ．10

B ．15

C ．5

D ．20

解析：可以根据图形依次数出组成角的个数；或者根据公式求图中角的个数是：12

×5×(5－1)＝10.故选A.【来源：21cnj*y.co*m 】

方法总结：若从一点发出n 条射线，则构成12

n(n －1)个角． 探究点二：角的度量

例4 (1)用度、分、秒表示48.26°；

(2)用度表示37°24′36″.

解析：(1)度、分、秒是常用的角的度量单位．根据1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″把大单位化成小单位乘以60即可；【版权所有：21教育】

(2)根据度分秒之间60进制的关系计算．

解：(1)48.26°＝48°＋0.26×60′＝48°15′＋0.6×60″＝48°15′36″；

(2)根据1°＝60′，1′＝60″得36″÷60＝0.6′，24.6′÷60＝0.41°，所以37°24′36″用度来表示为37.41°.21教育名师原创作品

方法总结：用度、分、秒表示的角度和用度表示的角度的相互转化的过程正好相反：大单位化小单位，乘以进率；而小单位化大单位要除以进率．

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角的比较与运算

一、情境导入

有一天聪聪和明明各带了一把折扇(状态如下)．

下面是他们的一段对话：

聪聪：“我的折扇张开大一些，所以我的折扇的角也大一些”．

明明：“我的折扇长一些，所以我的折扇的角也大一些”．

同学们有办法帮他们进行判断吗？

二、合作探究

探究点一：角的比较

例1 如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部，外部，下列各式错误的是( )

A．∠AOB<∠AOD B．∠BOC<∠AOB

C．∠COD<∠AOD D．∠AOB<∠AOC

解析：A.∠AOB与∠AO D的边OA重合，OB在∠AOD内，所以∠AOB<∠AOD，A正确；同理B、C正确；D.∠AOB和∠AOC的边AO重合，OC在∠AOB内，所以∠AOB>∠AOC.D错误，故选D.

方法总结：此题主要考查了角的比较大小，解题的关键是掌握角比较大小的方法．探究点二：角度的有关计算

【类型一】利用角平分线进行角度的计算

例2 如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.

(1)求∠EOD的度数；

(2)若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．

4

解析：

(1)

根据OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC 可知∠DOE ＝∠DOC ＋∠EOC ＝12

(∠BOC ＋∠AOC)＝12

∠AOB ，由此即可得出结论； (2)先根据∠BOC ＝90°求出∠AOC 的度数，再根据角平分线的定义即可得出结论． 解：(1)∵∠AOB＝120°，OD 平分∠BOC，OE 平分∠AOC，

∴∠EOD ＝∠DOC＋∠EOC＝12(∠BOC＋∠AOC)＝12∠AOB ＝12

×120°＝60°； (2)∵∠AOB＝120°，∠BOC ＝90°，∴∠AOC ＝120°－90°＝30°，∵OE 平分

∠AOC，∴∠AOE ＝12∠AOC ＝12

×30°＝15°. 方法总结：能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解角平分线的概念是解题的关键．

【类型二】 利用三角板叠合进行角度的计算

例3 如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O ，则∠AOC＋∠DOB ＝( )

A ．120°

B ．180°

C ．150°

D ．135°

解析：由图可得∠AOC ＋∠DOB ＝∠AOB ＋∠COD ＝90°＋90°＝180°.故选B.

方法总结：此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系．【来源：21·世纪·教育·网】

【类型三】 折叠问题中角的计算

例4 如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，C 点落在C′，D 点落在D′处．若∠EFC＝119°，则∠BFC′为( )21·cn ·jy ·com

A ．58°

B ．45°

C ．60°

D ．42°

学好语数英就选明日星解析：∵将矩形ABCD沿EF折叠，C点落在C′，D点落在D′处，∠EFC＝119°，∴∠EFC′＝∠EFC＝119°，∠EFB＝180°－∠EFC＝61°，∴∠BFC′＝∠EFC′－∠EFB＝119°－61°＝58°，故选A.【出处：21教育名师】

方法总结：掌握折叠的性质，要善于发现题中的隐含条件：折叠前后两图形是完全重合的，其角不变．

探究点三：角度的换算

例5 计算：

(1)153°29′42″＋26°40′32″；

(2)110°36′－90°37′28″；

(3)62°24′17″×4；

(4)102°43′21″÷3.

解析：(1)相同单位相加，超过60向上一位进1即可；(2)先借1°化为分和秒，然后同一单位分别相减即可得解；(3)每一个单位分别乘以4，分、秒超出60的部分向上一个单位进1即可；(4)从度开始计算，余数乘以60继续除以3进行计算即可得解．解：(1)153°29′42″＋26°40′32″＝179°69′74″＝180°10′14″；

(2)110°36′－90°37′28″＝109°95′60″－90°37′28″＝19°58′32″；

(3)62°24′17″×4＝248°96′68″＝249°37′8″；

(4)102°43′21″÷3＝102°42′81″÷3＝34°14′27″.

方法总结：角度的运算规律为：(1)加减法时将同一单位进行加减，加法够60进1，减法不够减要借1当60；(2)乘法时将数与度、分、秒分别相乘，然后从小到大逢60进1；

(3)除法时用度先除，把余数化为分，再加上原来的分，用这个数除以除数，把余数化成秒，再加上原来的秒，再用这个数除以除数，如果除不尽，就按题意要求，进行四舍五入．

余角和补角

一、情境导入

让学生观察意大利著名建筑比萨斜塔．

比萨斜塔建于1173年，工程曾间断了两次很长的时间，历经约二百年才完工．设计为垂直建造，但是在工程开始后不久便由于地基不均匀和土层松软而倾斜．

6

二、合作探究

探究点一：余角和补角及其性质

【类型一】 余角和补角的概念

例1 如果α与β互为余角，则( )

A ．α＋β＝180°

B ．α－β＝180°

C ．α－β＝90°

D ．α＋β＝90°

解析：如果α与β互为余角，则α＋β＝90°.故选D.

方法总结：正确记忆互为余角的定义是解决问题的关键．

【类型二】 利用余角和补角计算求值

例2 已知∠A 与∠B 互余，且∠A 的度数比∠B 度数的3倍还多30°，求∠B 的度数． 解析：根据∠A 与∠B 互余，得出∠A ＋∠B ＝90°，再由∠A 的度数比∠B 度数的3倍还多30°，从而得到∠A ＝3∠B ＋30°，再把两个算式联立即可求出∠2的值．

解：∵∠A 与∠B 互余，∴∠A ＋∠B＝90°，又∵∠A 的度数比∠B 度数的3倍还多30°，∴∠A ＝3∠B ＋30°，∴3∠B ＋30°＋∠B＝90°，解得∠B＝15°.故∠B 的度数为15°.

方法总结：此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程组来解决．

【类型三】 余角、补角和角平分线的综合计算

例3 如图，已知∠AO B 在∠AOC 内部，∠BOC ＝90°，OM 、ON 分别是∠AOB，∠AOC 的平分线，∠AOB 与∠COM 互补，求∠BON 的度数．https://www.sodocs.net/doc/a317234299.html,

解析：根据补角的性质，可得∠AOB ＋∠COM ＝180°，根据角的和差，可得∠AOB ＋

∠BOM ＝90°，根据角平分线的性质，可得∠BOM ＝12

∠AOB ，根据解方程，可得∠AOB 的度数，根据角的和差，可得答案．2·1·c ·n ·j ·y

解：由∠AOB 与∠COM 互补，得∠AOB＋∠COM＝180°.

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由角的和差，得∠AOB＋∠BOM＋∠COB＝180°，∠AOB ＋∠BOM＝90°.

由OM 是∠AOB 的平分线，得∠BOM＝12

∠AOB ， 即∠AOB＋12

∠AOB ＝90°.解得∠AOB＝60°. 由角的和差，得∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°.

由ON 平分∠AOC 得∠AON＝12

∠AOC ＝×150°＝75°.由角的和差，得∠BON＝∠AON－∠AOB＝75°－60°＝15°https://www.sodocs.net/doc/a317234299.html,

方法总结：本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补角的性质，角的和差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合．

探究点二：方位角

【类型一】 利用方位角确定方向

例4 M 地是海上观测站，从M 地发现两艘船A 、B 的方位如图所示，下列说法中正确的是( )

A ．船A 在M 的南偏东30°方向

B ．船A 在M 的南偏西30°方向

C ．船B 在M 的北偏东40°方向

D ．船B 在M 的北偏东50°方向

解析：船A 在M 的南偏西90°－30°＝60°方向，故A 、B 选项错误；船B 在M 的北偏东90°－50°＝40°方向，故C 正确，D 错误．故选C.21·世纪*教育网

方法总结：用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．

【类型二】 方位角的有关计算

例5 如图所示，甲、乙、丙三艘轮船从港口O 出发，当分别行驶到A 、B 、C 处时，经测量得甲船位于港口的北偏东44°方向，乙船位于港口的北偏东76°方向，丙船

8

位于港口的北偏西45°方向．www-2-1-cnjy-com

(1)求∠BOC 的度数；

(2)求∠AOB 的度数．

解析：(1)根据方向角的表示方法，可得∠EOB ，∠EOC 的度数，根据角的和差，可得答案；

(2)根据方向角的表示方法，可得∠EOB ，∠EOA 的度数，根据角的和差，可得答案． 解：如图，(1)由乙船位于港口的北偏东76°方向，丙船位于港口的北偏西45°方向，得∠EOB＝76°，∠EOC ＝45°.由角的和差，得∠BOC＝∠EOB＋∠EOC＝76°＋45°＝121°；

(2)由甲船位于港口的北偏东44°方向，乙船位于港口的北偏东76°方向，得∠EOB ＝76°，∠EOA ＝44°.由角的和差，得∠AOB＝∠EOB－∠EOA＝76°－44°＝32°.

方法总结：解决本题主要是理解方向角的表示方法，结合图形找到相应的角，然后进行计算．

课后记 本节课知识传授完成情况：完全能接受□ 部分能接受□ 不能接受□

学生的接受程度： 很积极□ 比较积极□ 一般□ 不积极□

学生上次的作业完成情况：数量 % 完成质量：优□ 良□ 中□ 本次课所掌握的知识点：

本次课有待提高的知识点：

下节课的教学内容：

家长签名： 年 月 日