思维训练培训八上数学：三角形中的边角关系(培优)

思维训练培训八上数学：三角形中的边角关系

【思维入门】

例1如图，AE ，AD 分别是△ABC 的高和角平分线，求∠DAE 与∠B 、∠C(∠C>∠B)之间关系。

例2如图，已知∠MON=90°，点A ，B 分别是OM ，ON 上的动点．若P 2是∠BAO 和△OBA 的外角∠OBD 的平分线的交点，则∠BP 2A 的大小是否发生变化？为什么？

【思维拓展】

例3用长度相等的120根火柴，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形各边所用火柴的根数．

例4锐角△ABC 中，AB>BC>AC ，且最大内角比最小内角大24°，求∠A 的取值范围．

【思维升华】

例5如图，在△ABC 中，已知点P ，Q 分别在AC ，BC 上，BP 与AQ 相交于点O ，若△BOQ 、△ABO 、△APO 的面积分别为1、2、3，△PQC 的面积等于____________________.

A

E C D B

【跟踪训练】

1.若△ABC 的三边整数，周长为13，一边长为5，则三角形的最大边长为______.

2.如图，BE 是∠ABD 的角平分线，CF 是∠ACD 的角平分线，BE 与CF 交于点G ，点∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A 的度数为_______________.

3、（鄂州中考）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 交AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ，7 ABC S △，DE=2，AB=4，则AC 的长是（）

A 、4

B 、3

C 、6

D 、5

（第2题图） （第3题图） （第4题图）

4、（宁波中考）如图，在△ABC 中，AB=AC ，D ，E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC ，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm ，DE=2cm ，则BC=____________cm 。

5、三角形的三个内角分别为α、β、γ，且α≥β≥γ，α=2γ，则β的取值范围是（ ）

A ．36°≤β≤45°

B ．45°≤β≤60°

C ．50°≤β≤90°

D ．45°≤β≤72°

【拓展提升】

1．在△ABC 中，∠B 和∠C 的角平分线交点是I ，则∠BIC 是( )

A ．锐角

B ．直角

C ．钝角

D ．无法确定

2．如图，在Rt △ADB 中，∠D ＝90°，C 为AD 上一点，∠ACB ＝6x ，则x 值可以是( )

A ．10°

B ．20°

C ．30°

D ．40°

① ② ③

3．如图①，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的角平分线交于点O ，则∠BOC ＝90°＋12∠A ＝12×180°＋12

∠A .如图②，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的两条角三等分线分别对应交于O 1，O 2，则∠BO 1C ＝23×180°＋13∠A ，∠BO 2C ＝13

×180°＋23

∠A .根据阅读，猜想(n 等分时，内部有n －1个点，用n 的代数式表示)∠BO n －1C ＝( ) A.2n ×180°＋1n ∠A B.1n ×180°＋2n

∠A C.n n －1×180°＋1n －1

∠A D.1n ×180°＋n －1n ∠A 4．若三角形三个内角∠A ，∠B ，∠C 满足∠A >3∠B ，∠C <2∠B ，则三角形是

( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形但不等边

D ．等边三角形

B

A

C

F E

5．已知△ABC 的三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对应的外角分别是∠1，∠2，∠3，若∠1＝3∠B ，∠2＝4∠C ，则∠A 的度数是____________．

6．如图，已知在四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠BAD ＝105°，∠ABC ＝∠ADC ＝45°，则∠CAD 的度数是____________．

7.如图，点D,C,G 在同一条直线上， BE 平分∠ABD 交AC 于点E ，CF 平分∠ACG ，BE 延长线与CF 相交于点F ，若∠BDC=160°，∠A=100°，则∠F=________________.

8.将长度为25厘米的细铁折成边长都是质数（单位：厘米）的三角形，若这样的三角形的三边的长分别是a ，b ，c ，且满足a ≤b ≤c ，则（a ，b ，c ）有______组解，所构成的三角形都是______三角形。

9．如图①，在△ABC 中，AE 平分∠BAC (∠C ＞∠B )，F 为AE 上一点，且FD ⊥BC 于D .

(1)试推导∠EFD 与∠B ，∠C 的数量关系；

(2)如图②，当点F 在AE 的延长线上时，其余条件都不变，判断你在(1)中推导的结论是否还成立？

①

②

10.已知线段AD 是△ABC 的高，AD=5，BD=3，CD=9

，求△ABC 的面积.

B

【挑战竞赛】

1、设△ABC的三边长分别为a、b、c，其中a，b满足2

6(4)0

a b a b，则第三边长c的取值范围是（）

A、3＜c＜5

B、2＜c＜4

C、4＜c＜6

D、5＜c＜6

2.设△ABC的三边为a，b，c，三边上的高分别为ha，hb，hc，若三边满足2b=a+c，则三个高应满足（）

A.2b a c

h h h B.

211

b a c

h h h

C.b c

a b

h h

h h

D.以上关系均不对

3、若OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOB=50°，∠BOC=80°，则∠MON为________________.

4、某个三角形的三边长是三个连续的整数，若最短的边长是周长的30%，则最长的边长是________________.

5.如图所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠C=32°，∠D=28°，求∠P的度数.

6.如图，已知AD：DB=1：3，CE：AE=1：2，且△ABC的面积为60.请你计算四边形ADOE的面积．

7.已知三角形的一边是另一边的3倍,求证:三角形的最小边A在周长

6

1

与

8

1

之间.

8.不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高及三边均为整数，求当第三条高取得最大值时，△ABC周长的最小值。

新人教版八年级数学《三角形》重点、难点、培优训练习题集

三角形重难点培优突破 1、知：a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简︱a+b-c ︱+︱b-a-c ︱-︱c-a+b ︱ 2、知：a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简︱a-b-c ︱+︱b-c-a ︱-︱c+a-b ︱. 3、为△ABC 内任意一点，BP 延长线交AC 于D ，试说明： （1）AB+AC+BC>2BD （2）AB+AC>PB+PC 4、所示②③两条路线，哪一条比较近？为什么？ 5、三角形中，一腰上的中线把三角形的周长分为6cm 和15cm 的两部分，求此三角形的腰和底边的长. 6、所示，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63o， 求∠DAC 的度数． 7、图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠P 的度数. A B C D P ② ③ A B C D E 2 1C A

8、已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为50°，则∠BAC的度数为。 9如图，把△ABC的纸片沿着DE折叠． （1）若点A落在四边形BCDE的内部点A′的位置．（如图1）且∠1=40°，∠2=24°，求：∠A′的度数； （2）若点A落在四边形BCDE的外部（BE的上方）点A′的位置（如图2），则∠A′与∠1，∠2有怎样的关系？请说明你的理由； （3）若点A落在四边形BCDE的外部（CD的下方）点A′的位置（如图3），∠A′与∠1，∠2又有怎样的关系？直接写出你的结论． 10、，∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，BD是∠NBA的平分线，BD的反向延长线与∠BAO的平分线相交于点C．试猜想：∠ACB的大小是否随A、B的移动发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B的移动发生变化，请给出变化范围．

三角形培优训练100题集锦

E D F C B A 三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

(完整版)三角形边角关系培优训练经典

三角内角与外角典型题 1、①求下图各角度数之和。 ②如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________． 2、如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE、CF相交于点G，∠BDC=140°，∠BGC=110°。求∠A的 度数。 3、如图△ABC中, ∠BAD=∠CBE=∠ACF, ∠ABC=50°，∠ACB=62°,求∠DFE的大小。 4、△ABC中，AD、BE、CF是角平分线，交点是点G，GH⊥BC。求证：∠BGD=∠CGH. E D C B A F E G A B D C F M K N G A B E F

21 P C B A 5.如图，已知CE 为△ABC 的外角∠ACD 的角平分线，CE 交BA 的延长线于点E ， 求证：∠BAC > ∠B 6、△ABC 中，∠A: ∠ABC: ∠ACB=3:4:5,CE 是AB 上的高，∠BHC=135° 求证：BD ⊥AC 7、三角形的最大角与最小角之比是4：1，则最小内角的取值范围是多少？ 8．若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形的最大内角的度数是 ． 9.如图，在△ABC 中，∠ABC = ∠ACB ，∠A = 40°，P 是△ABC 内一点，且∠1 = ∠2．则∠BPC =________。 10.锐角三角形ABC 中，3条高相交于点H ，若∠BAC ＝70°，则∠BHC ＝_______ H A B C E D

11、如图，BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，AB、CD交于点O，且∠A=48?，∠D=46?，则∠BEC= 。 12.已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC一定（） A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定 13. △ABC的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形是（） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 14、若?ABC的三个内角满足3∠A>5∠B，3∠C<2∠B，则三角形是（） A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．都有可能

八年级上册数学 三角形填空选择单元培优测试卷

八年级上册数学三角形填空选择单元培优测试卷 一、八年级数学三角形填空题（难） ∠=，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线1．在ABC中，BACα ∠的度数为______.(用含α的代数式表示) 交边BC于点E，连结AD，AE，则DAE 【答案】2α﹣180°或180°﹣2α 【解析】 分两种情况进行讨论，先根据线段垂直平分线的性质，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，进而得到∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°－a，再根据角的和差关系进行计算即可． 解：有两种情况： ①如图所示,当∠BAC?90°时， ∵DM垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴∠B=∠BAD， 同理可得，∠C=∠CAE， ∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°?α， ∴∠DAE=∠BAC?(∠BAD+∠CAE)=α?(180°?α)=2α?180°； ②如图所示,当∠BAC<90°时， ∵DM垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴∠B=∠BAD， 同理可得，∠C=∠CAE， ∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°?α， ∴∠DAE=∠BAD+∠CAE?∠BAC=180°?α?α=180°?2α. 故答案为2α?180°或180°?2α. 点睛：本题主要考查垂直平分线的性质.根据题意准确画出符合题意的两种图形是解题的关键. 2．△ABC的两边长为4和3，则第三边上的中线长m的取值范围是_______．

【答案】 17 22 m << 【解析】 【分析】 作出草图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，然后根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之和小于第三边求出AE的取值范围，便不难得出m的取值范围． 【详解】 解：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， 在△ABD和△ECD中， AD DE ADB EDC BD CD = ? ? ∠=∠ ? ?= ? , ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴CE=AB， ∵AB=3，AC=4， ∴4-3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7， ∴ 17 22 m <<． 故答案为： 17 22 m <<． 【点睛】 本题主要考查倍长中线法构造全等三角形和三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握倍长中线法构造全等三角形. 3．如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上移动,点M在第二象限，且MA平分∠BAO，做射线MB，若∠1=∠2，则∠M的度数是_______。

初中几何经典培优题型(三角形)

全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换 中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思 维模式是全等变换中的“旋转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形 全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平 移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线 段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 6)特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接 起来，利用三角形面积的知识解答． 常见辅助线写法： ⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂足为D ⑶延长AB至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点

苏科版八年级上册数学 三角形解答题(培优篇)(Word版 含解析)

苏科版八年级上册数学 三角形解答题（培优篇）（Word 版 含解析） 一、八年级数学三角形解答题压轴题（难） 1．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，1∠与2∠互补. (1)试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由. (2)如图2，BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH EG ⊥，求证：//PF GH . (3)如图3，在(2)的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使PHK HPK ∠=∠，作PQ 平分 EPK ∠，求HPQ ∠的度数. 【答案】(1)AB//CD ，理由见解析；(2)证明见解析；(3)45HPQ ∠=. 【解析】 【分析】 （1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，即可证明； （2）利用（1）中平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，再结合GH ⊥EG ，即可证明; （3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠A=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=-1 2 ∠EPK=45°+∠2，最后根据角与角间的和差关系即可求解. 【详解】 (1)//AB CD ， 理由如下：如图1， 图1 ∵1∠与2∠互补， ∴12180∠+∠=?，

又∵1AEF ∠=∠，2CFE ∠=∠， ∴180AEF CFE ∠+∠=?， ∴//AB CD ； (2)如图2，由(1)知，//AB CD ， 图2 ∴180BEF EFD ∠+∠=?． 又∵BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ， ∴1 (2 )90FEP EFP BEF EFD ∠+∠= ∠+∠=?， ∴90EPF ∠=?，即EG PF ⊥． ∵GH EG ⊥， ∴//PF GH ； (3)如图3， ∵PHK HPK ∠=∠， 2PKG HPK ∴∠=∠. 又∵GH EG ⊥， ∴90902KPG PKG HPK ∠=-∠=-∠． ∴180902EPK KPG HPK ∠=-∠=+∠． ∵PQ 平分EPK ∠， ∴1 452 QPK EPK HPK ∠= ∠=+∠． ∴45HPQ QPK HPK ∠=∠-∠=．

三角形边角关系培优训练

三角形三边关系、内角练习题一、三边关系 1．已知 ABC中，周长为12，b=1 2 (a+c)，则b为 2．一边长为5cm，另一边长为10cm的等腰三角形的周长是 3．有木条4根，长度为14厘米，10厘米，8厘米，6厘米，选其中三根组成三角形，则选择的种数有种 4．三角形两边长为2cm和7cm，第三边长为奇数，那么这个三角形的周长是 cm 5．一条线段的长为a，若要使3a—l，4a+1，12－a这三条线段组成一个三角形，求a的取值范围？ 6．设△ABC的三边a , b ,c 的长度均为自然数，且a≤b≤c ，a + b + c =13 , 则以a , b , c 为三边的三角形共有多少个。 6.在右图中，已知AD是△ABC的BC边上的高，AE是BC边上的中线，求证： AB+AE+1 2 BC>AD+AC 证明：∵AD⊥BC( )∴AB＞AD( ) 在△AEC中，AE+EC>AC( )又∵AE为中线( ) ∴EC=1 2 BC( ) 即AE+1 2 BC>AC( ) ∴AB+AE+ 1 2 BC＞AD+AC

21P C B A B 7．如图，已知D 是△AB C 内任意一点，则有AB+AC ＞DB+DC. 8．如图,已知P 是△ABC 内一点,连结AP ，PB,PC, 求证:（1）PA+PB+PC > 21 (AB+AC+BC) (2) PA+PB+PC < AB+AC+BC 二、三角关系 1．若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形的最大内角的度数是 ． 2.已知△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，则∠BOC 一定（ ） A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定 3. △ABC 的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 4.如图△ABC，∠ABC = ∠ACB，∠A = 40°，P 是△ABC 内一点，∠1 = ∠2．则∠BPC =____。

数学八年级上册 全等三角形单元培优测试卷

数学八年级上册 全等三角形单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____． 【答案】10 【解析】 利用正多边形的性质，可得点B 关于AD 对称的点为点E ，连接BE 交AD 于P 点，那么有PB=PF ，PE+PF=BE 最小，根据正六边形的性质可知三角形APB 是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF 的最小值为10. 故答案为10. 2．如图，ABC 中，ABC=45∠?，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论： BF=AC ①；A=67.5∠?②；DG=DF ③；ADGE GHCE S S =四边形四边形④，其中正确的有 __________（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】

只要证明△BDF≌△CDA，△BAC是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判断①②③正确，作GM⊥BD于M，只要证明GH＜DG即可判断④错误． 【详解】 解：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°， ∴∠A＋∠ABE=90°，∠ABE＋∠DFB=90°， ∴∠A=∠DFB， ∵∠ABC=45°，∠BDC=90°， ∴∠DCB=90°?45°=45°=∠DBC， ∴BD=DC， 在△BDF和△CDA中， ∠BDF=∠CDA，∠A=∠DFB，BD=CD， ∴△BDF≌△CDA（AAS）， ∴BF=AC，故①正确． ∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE⊥AC， ∴∠A=∠BCA=67.5°，故②正确， ∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°， ∴∠ABE=∠CBE=22.5°， ∵∠BDF=∠BHG=90°， ∴∠BGH=∠BFD=67.5°， ∴∠DGF=∠DFG=67.5°， ∴DG=DF，故③正确． 作GM⊥AB于M．如图所示： ∵∠GBM=∠GBH，GH⊥BC， ∴GH=GM＜DG， ∴S△DGB＞S△GHB， ∵S△ABE=S△BCE， ∴S四边形ADGE＜S四边形GHCE．故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】 此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．

中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)及答案

中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)及答案 一、直角三角形的边角关系 1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90°， AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ，EG ．设运动时间为 t ( s )（0＜t ＜5） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？ （2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ，求 S 与 t 的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形23 15688 t t =-++ ，(05)t <<；（3）52t =时，PEGO S 四边形取得最大值；（4）165 t = 时，OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 （1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题． （2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可． （4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出 EC GQ OC OG =，由此构建方程即可解决问题． 【详解】 （1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ， ∴22108-=6（cm ）， ∵OD 垂直平分线段AC ， ∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°， ∵CD ∥AB ，

人教版八年级数学上册等腰三角形培优专题练习.doc

等腰三角形培优专题 等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径． 练习 1．如图，已知△ A．7．5°ABC中， AB B．10° ＝AC ，AD ＝ C．12.5 ° AE ，∠ BAE D．18° ＝ 30 °，则 ∠ DEC 等于（）． 2．如图，AA′、 BB′分别是△ABC的外角∠C 在一直线上，则∠ACB的度数是多少？EAB 和∠CBD 的平分线，且AA′＝ AB ＝ B′Ｂ，A′、 B 、 3．如图，则∠ BDC 等腰三角形 ＝ ________ ABC ． 中，AB ＝AC ，∠ A ＝20 °． D 是AB 边上的点，且AD ＝ BC ，连 结 CD ， 例 2 如图， D 是等边三角形ABC 的 AB 边延长线上一点， E 是等边三角形ABC 的 AC 边延长线上一点，且EB ＝ ED ．那么CE 与 AD 相等吗？试说明理由． E

C A B D

练习 线交1．已知如图，在△ CA 的延长线于点 ABC中，AB＝CD，D是 F ，判断AD 与 AF 相等吗？ AB 上一点，DE⊥BC ， E 为垂足，ED? 的延长 2．如图，△ABC ＝ 15°，则 BD 与 A ． BD>BA 是等腰直角三角形，∠ BA 的大小关系是（ B ． BD

培优专题二：与三角形有关的角

D C B A 专题2 与三角形有关的角 一、三角形内角和定理： 二、三角形外角的性质： 如图，∠是△的外角， 则：①∠ =∠ +∠ ； 或∠ =∠ —∠ ； 或∠ =∠ —∠ 。 ② > 基本图形介绍： 1、对顶三角形： ①如图，、相交于O ，求证：∠∠∠∠D ②如图，、相交于O ，、分别平分∠、∠， 求证：∠12 （∠∠C ） A

A B C P E A B C P A C D P A B C D 2、“飞镖”形： ①如图，求证：∠∠∠∠C ②如图，、分别平分∠、∠，求证：∠12 （∠∠D ） 3、三角形内外角平分线问题： ①如图，△中，P 是△的角平分线的交点，求证：∠90°+12∠A ②如图，△中，P 是∠的角平分线和△的外角∠的角平分线的交点。 求证：∠12 ∠A

A B C E F P ③如图，△中，P 是外角∠与∠的角平分线的交点。 求证：∠90°-12 ∠A 光的反射问题可转化为角平分线问题： ①由光的反射原理：∠1=∠2 又因为∠1=∠3，所以∠2=∠3，所以平分∠。 ②作法线，则平分∠ 4、一角平分线问题： ①在△中，平分∠，∠C>∠B 求证：(1)∠ =90°-12 (∠C —∠B) (2)∠12 (∠∠B) D C A E

D E D C B A P E D C B A P E D C B A ②在△中，平分∠，⊥，求证：∠ =12 (∠C —∠B) 拓展：①在△中，平分∠，P 是延长线上一点，过P 作⊥， 求证：∠ =12 (∠C —∠B) 拓展：②在△中，平分∠，P 是延长线上一点，过P 作⊥， 求证：∠ =12 (∠C —∠B) 5、直角三角形斜边上的高的问题： ①如图，△中，∠90°，⊥于D ，求证：∠1=∠

八年级上册数学 三角形填空选择单元培优测试卷

八年级上册数学 三角形填空选择单元培优测试卷 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，点,E F 分别在线段BD 、CD 上，点G 在EF 的延长线上，EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称，若60,84,A BEH HFG n ???∠=∠=∠=，则n =__________. 【答案】78. 【解析】 【分析】 利用ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D 得到 ∠DBC= 12∠ABC ，∠ACD=12(∠A+∠ABC)，根据三角形的内角和得到∠D=12 ∠A=30?，利用外角定理得到∠DEH=96?，由EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称得到∠DEG=∠HEG=48?，根据外角定理即可得到∠DFG=∠D+∠DEG=78?. 【详解】 ∵ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ∴∠DBC=12∠ABC ，∠ACD=12 (∠A+∠ABC)， ∵∠DBC+∠BCD+∠D=180?，∠A+∠ABC+∠ACB=180?， ∴∠D=12 ∠A=30?， ∵84BEH ?∠=, ∴∠DEH=96?, ∵EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称， ∴∠DEG=∠HEG=48?，∠DFG=∠HFG n ?=, ∵∠DFG=∠D+∠DEG=78?， ∴n=78. 故答案为：78. 【点睛】 此题考查三角形的内角和定理、外角定理，角平分线性质，轴对称图形的性质，此题中求出∠D=12 ∠A=30?是解题的关键.

2．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。 【答案】45? 【解析】 【分析】 根据三角形内角与外角的关系可得2M MAB ∠∠∠=+ 由角平分线的性质可得MAB MAO ∠∠= 根据三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=? 易得∠M 的度数。 【详解】 在ABM 中，2∠是ABM 的外角 ∴2M MAB ∠∠∠=+ 由三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=? ∵BOA 90∠=? ∴OBA OAB 90∠∠+=? ∵MA 平分BAO ∠ ∴BAO 2MAB ∠∠= 由三角形内角与外角的关系可得12BAO BOA 90BAO ∠∠∠∠∠+=+=?+ ∵12∠∠= ∴2290BAO ∠∠=?+ 又∵2M MAB ∠∠∠=+ ∴222M 2MAB 2M BAO ∠∠∠∠∠=+=+ ∴90BAO 2M BAO ∠∠∠?+=+ 2M 90∠=? M 45∠=? 【点睛】 本题考查三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和。 3．某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是__________． 【答案】6 【解析】 ∵多边形内角和与外角和共1080°，

11.2与三角形有关的角能力培优训练含答案

11.2与三角形有关的角 专题一利用三角形的内角和求角度 1.如图，在厶ABC中，/ ABC的平分线与/ 线相 交于D点，/ A=50°则/ D=( A. 15 ° B. 20 ° C. 25° 2.如 图，已知：在直角△ ABC中，/ C=90 °, BD平 分/ ABC且交AC于D.若AP平分/ BAC 且交BD于P,求/ BFA的度数. 3.已知：如图1 ,线段AB、CD相交于点0,连接AD、CB,如图2,在图1的条件下，/ DAB 和/ BCD的 平分线AF和CF相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N .试解答下列问题： (1)__________________________________________________________________ 在图1中，请直接写出/ A、/ B、/ C、/ D之间的数量关系： _______________________________ ; (2)在图2中，若/ D=40° / B=30°，试求/ F的度数；(写出解答过程) (3)如果图2中/ D和/B为任意角，其他条件不变，试写出/ F与/ D、/ B之间的数量关系.(直接写出结论即可)

6.如图： (1 )求证：/ BDC = / A+/ B+/C ; (2)如果点D 与点A 分别在线段 BC 的两侧，猜想/ BDC 、/ A 、/ ABD 、/ ACD 这4个 专题二利用三角形外角的性质解决问题 4. 如图，/ ABD ，/ ACD 的角平分线交于点 P ,若/ A=50 ° / D=10°，则/ P 的度数为( ) A . 15 ° B . 20 ° C . 25 ° D . 30 ° 5. 如图，△ ABC 中，CD 是/ ACB 的角平分线，CE 是AB 边上 的高，若/ A=40° , / B=72° . (1) 求/ DCE 的度数； (2) 试写出/ DCE 与/ A 、/ B 的之间的关系式. (不必证明 ) 角之间有怎样的关系，并证明你的结论.

中考数学 直角三角形的边角关系 培优 易错 难题练习(含答案)及答案

中考数学直角三角形的边角关系培优易错难题练习(含答案)及答案 一、直角三角形的边角关系 1．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数 值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【答案】6.4米 【解析】 解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°． ∴DC=BC?cos30°=3 ==米， 639 ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF中， BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：树高约为6.4米 首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高 2．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm． （1）求∠CAO＇的度数． （2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？ （3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？

八年级数学全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

八年级数学全等三角形（培优篇）（Word版含解析） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm． - 【答案】10310 【解析】 解：连接BD，在菱形ABCD中， ∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，分三种情况讨论： ①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10； ②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP -； 最小，最小值为10310 ③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在； -（cm）． 综上所述，PA的最小值为10310 -． 故答案为：10310 点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

2．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=1 2 BC，则△ABC的顶角的度数为 _____． 【答案】30°或150°或90° 【解析】 试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可． 解：①BC为腰， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴∠ACD=30°， 如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°， 如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°， ②BC为底，如图3， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴AD=BD=CD， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，

(完整word版)三角形提高题 培优卷

1 、如图，三角形ABC 内任一点P ，连接PA 、PB 、PC ， 求证：1/2（AB+BC+AC ）∠CAD 4、1}一个等腰三角形的一个外角等于110?，则这个三角形的三个角应该为 。 2}在⊿ABC 中，AB = AC ，周长为20cm ，D 是AC 上一点，⊿ABD 与⊿BCD 面积相等且周长差为3cm ，⊿ABC 各边的长为 。 5、如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=1.5BC ，在AC 上取点D ，使得AD=0.5BC ，量得BD=1cm ，求△ABD 的面积。 6、如图，在七星形ABCDEFG 中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数。 7、如图，△ABC 中，∠C ＞∠B ，AE 为角平分线，AD ⊥BC 于D 。 （1）求证：∠EAD =2 1(∠C －∠B) ； （2）当垂足D 点在直线BC 上运动时（不与点E 重全），垂线交直线AE 于A ’，其它条件不变，画出相应的图形，并指出与(1)相应的结论是 什么？是否仍成立？ A B C P B E C A D

8、如图，△ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠CAB ＝50°，∠ C ＝60°，求∠DAC 及∠BOA ． 9．观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由。 （1）如图①，△ABC 中，P 为边BC 上一点，试观察比较BP + PC 与AB + AC 的大小，并 说明理由。 C B A P 图① （2）将（1）中点P 移至△ABC 内，得图②，试观察比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 C B A P 图② （3）将（2）中点P 变为两个点P 1、P 2得图③，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 C B A P 1P 2 图③ （4）将（3）中的点P 1、P 2移至△ABC 外，并使点P 1、P 2与点A 在边BC 的异侧，且∠P 1BC ＜∠ABC ，∠P 2CB ＜∠ACB ，得图④，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 图④ C B A P 1P 2

2020-2021九年级数学直角三角形的边角关系的专项培优易错试卷练习题(含答案)及详细答案

2020-2021九年级数学直角三角形的边角关系的专项培优易错试卷练习题(含答 案)及详细答案 一、直角三角形的边角关系 1．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（3＝1．7）． 【答案】32．4米． 【解析】 试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解． 试题解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E， 根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°． ∵AB⊥AC，CD⊥AC， ∴四边形ABEC为矩形， ∴CE=AB=12m， 在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE CE ， ∴BE=CE?cot30°=12×3=123， 在Rt△BDE中，由∠DBE=45°， 得DE=BE=123． ∴CD=CE+DE=12（3+1）≈32.4． 答：楼房CD的高度约为32.4m． 考点：解直角三角形的应用——仰角俯角问题．

2．在Rt △ACB 和△AEF 中，∠ACB ＝∠AEF ＝90°，若点P 是BF 的中点，连接PC ，PE. 特殊发现： 如图1，若点E 、F 分别落在边AB ，AC 上，则结论：PC ＝PE 成立（不要求证明）． 问题探究： 把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转． (1)如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (2)如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)记 AC BC ＝k ，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说） 【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ，PC PE =成立 ()3当k 3 CPE V 总是等边三角形 【解析】 【分析】 （1）过点P 作PM ⊥CE 于点M ，由EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，得到EF ∥MP ∥CB ，从而有 EM FP MC PB =，再根据点P 是BF 的中点，可得EM=MC ，据此得到PC=PE ． （2）过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，先证△DAF ≌△EAF ，即可得出AD=AE ；再证△DAP ≌△EAP ，即可得出PD=PE ；最后根据FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，可得FD ∥BC ∥PM ，再根据点P 是BF 的中点，推得PC=PD ，再根据PD=PE ，即可得到结论． （3）因为△CPE 总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据AC k BC =，AC BC =tan30°，求出当△CPE 总是等边三角形时，k 的值是多少即可． 【详解】 解：（1）PC=PE 成立，理由如下： 如图2，过点P 作PM ⊥CE 于点M ，∵EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，∴EF ∥MP ∥CB ，∴ EM FP MC PB =，∵点P 是BF 的中点，∴EM=MC ，又∵PM ⊥CE ，∴PC=PE ；

【精选】人教版八年级数学上册 三角形解答题(培优篇)(Word版 含解析)

【精选】人教版八年级数学上册 三角形解答题（培优篇）（Word 版 含解析） 一、八年级数学三角形解答题压轴题（难） 1．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，1∠与2∠互补. (1)试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由. (2)如图2，BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH EG ⊥，求证：//PF GH . (3)如图3，在(2)的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使PHK HPK ∠=∠，作PQ 平分 EPK ∠，求HPQ ∠的度数. 【答案】(1)AB//CD ，理由见解析；(2)证明见解析；(3)45HPQ ∠=. 【解析】 【分析】 （1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，即可证明； （2）利用（1）中平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，再结合GH ⊥EG ，即可证明; （3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠A=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=-1 2 ∠EPK=45°+∠2，最后根据角与角间的和差关系即可求解. 【详解】 (1)//AB CD ， 理由如下：如图1， 图1 ∵1∠与2∠互补， ∴12180∠+∠=?，

又∵1AEF ∠=∠，2CFE ∠=∠， ∴180AEF CFE ∠+∠=?， ∴//AB CD ； (2)如图2，由(1)知，//AB CD ， 图2 ∴180BEF EFD ∠+∠=?． 又∵BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ， ∴1 (2 )90FEP EFP BEF EFD ∠+∠= ∠+∠=?， ∴90EPF ∠=?，即EG PF ⊥． ∵GH EG ⊥， ∴//PF GH ； (3)如图3， ∵PHK HPK ∠=∠， 2PKG HPK ∴∠=∠. 又∵GH EG ⊥， ∴90902KPG PKG HPK ∠=-∠=-∠． ∴180902EPK KPG HPK ∠=-∠=+∠． ∵PQ 平分EPK ∠， ∴1 452 QPK EPK HPK ∠= ∠=+∠． ∴45HPQ QPK HPK ∠=∠-∠=．

数学八年级上册 三角形填空选择单元培优测试卷

数学八年级上册 三角形填空选择单元培优测试卷 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，在ABC ?中，A α∠=．ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠： 1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠；；2019A BC ∠与2019A CD ∠的平分线相交于点2020A ，得2020A ∠，则2020A ∠=________________． 【答案】 20202α 【解析】 【分析】 根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知 21211112222 a A A A A a ∠=∠=∠=∠=，，…，依此类推可知2020A ∠的度数． 【详解】 解：∵∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1， ∴11118022 A ACD AC B AB C ∠=?-∠-∠-∠ 1118018022 ABC A A ABC ABC =?-∠+∠-?-∠-∠-∠（）（） 1122 a A =∠=， 同理可得221122a A A ∠= ∠=， … ∴2020A ∠= 20202α． 故答案为： 2020 2α. 【点睛】 本题是找规律的题目，主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时也考查了角平分线的定义． 2．如图，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 改变位置，但始终满足经过B 、C 两点．如果△ABC 中，∠A＝52°，则∠ABX＋ ∠ACX=_________________．

【答案】38° 【解析】 ∠A ＝52°， ∴∠ABC +∠ACB =128°， ∠XBC +∠XCB =90°， ∴∠ABX ＋∠ACX =128°-90°=38°. 3．如图，1BA 和1CA 分别是ABC ?的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的角平分线， 2CA 是1A CD ∠的角平分线，3BA 是2A BD ∠的角平分线，3CA 是2A CD ∠的角平分线，若1A α∠=，则2018A ∠=_____________ 【答案】 20172α 【解析】 【分析】 根据角平分线的定义可得∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12 ∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，整理即可得解，同理求出∠A 2，可以发现后一个角等于前一个角的 12，根据此规律即可得解． 【详解】 ∵A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线， ∴∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12 ∠ACD ， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，