【新高考】高考数学强化训练---专题01 构造函数的通法

【新高考】高考数学强化训练

专题01 构造函数的通法

一、单选题

1．（2020·福建省高三月考）函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '

，

()

01

f x x '>+，且(1)=-y f x 为偶函数，则（ ） A ．(2)(1)f f -<

B ．(2)(1)f f -=

C ．(2)(1)f f ->

D ．|(2)||(1)|f f ->

2．（2020·河南省鹤壁高中高三）设奇函数()f x 的定义域为,22ππ??

- ???

，且()f x 的图象是连续不间断，

,02x π???∈- ???，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，若()2cos 3f m f m π??

< ???，则m 的取值范围是（ ）

A ．,23ππ??- ???

B ．0,3π?? ???

C ．,23ππ??-- ???

D ．,32ππ?? ???

3．（2020·海原县第一中学高三期末）设函数

'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0

x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1 C ．(,1)(1,0)-∞--

D ．(0,1)(1,)?+∞

4．（2020·六盘山高级中学高三期末）函数()f x 的导函数()f x '，对x ?∈R ，都有()()f x f x '>成立，若()10f =，则满足不等式()0f x >的x 的范围是（ ） A ．01x <<

B ．1x >

C ．x e >

D ．0x >

5．（2020·贵州省高三月考）已知()f x '是函数()f x 的导数，且满足()()0f x f x '+>对[]0,1x ∈恒成立，

A ，

B 是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（ ）

A ．

()()sin sin sin sin e e B A

f A f B < B ．

()()sin sin sin sin e e B A

f A f B > C ．()()sin cos cos sin e e

B A f A f B < D ．

()()sin cos cos sin e e

B A f A f B >

6．（2020·吉林省高三月考）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()1f x xf x '+>（()f x '为函数()f x 的导函数），则不等式()(

)()2

111x f x f x x +->-+的解集为（ ）

A ．()0,1

B ．[)1,+∞

C ．()

()0,11,+∞ D ．()0,∞+

7．（2020·黑龙江省大庆实验中学高三期末）已知函数()2ln ,02,0

x

x f x x x x x ?>?

=??+?，若函数()(y f x a a =-为常

数)有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ??

+∞ ???

B ．11,e ?

?- ???

C ．1{1}0,e ??-? ???

D ．1(,1),e ??-∞-?+∞ ???

8．（2020·四川省石室中学高三月考）已知函数()x

f x xe =，方程()()2

+1=0f x tf x +()t R ∈有四个实数

根，则t 的取值范围为（ ）

A ．21,e e ??

++∞ ???

B ．21,e e ??

+-∞- ???

C ．21,2e e ??

+-- ???

D ．212,e e ??

+ ???

二、填空题

9．（2020·江苏省高三期末）已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '

，且()()0xf x f x '+<，则

(1)(1)

(3)3

x f x f -->的解集为________.

10．（2020·湖南省常德市一中高三期末）设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式

()()121x e f x f x -<-的解集为__________．

11．（2020·河南省高三期末）已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若()()cos f x x f x =--，且()sin 02

x

f x '+

<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为______. 12．（2020·河南省高三）函数()f x 定义域是R ,其导函数为()f x '

,满足2

1()f x x

'>-

,且10

(3)3f =,则关于x 的不等式()1

3x

x

f e

e ->的解集是______.

13．（2020·江苏省高三期末）已知函数1

3,1

()22

ln ,1

x x f x x x ?+≤?=??>?，若存在实数,m n ()m n <满足()()f m f n =，则2n m -的取值范围为________. 三、解答题

14．（2020·河北省高三月考）已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()23

2

x g x e x x =+-. （1）讨论()f x 的单调性；

（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数

()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.

15．（2020·广西壮族自治区高三）已知函数()()1ln f x x x ax =+-，a 是实数. （1）当2a ≤时，求证：()f x 在定义域内是增函数； （2）讨论函数()f x 的零点个数.

16．（2020·山西省大同一中高三月考）已知函数22

()ln f x a x a x x

=++，实数0a >. （1）讨论函数()f x 在区间(0,10)上的单调性；

（2）若存在(0,)x ∈+∞，使得关于x 的不等式2

()2f x a x <+成立，求实数a 的取值范围.

冲刺50天系列之高三数学“高人一筹”特色强化训练【2020版】 专题01 构造函数的通法

一、单选题

1．（2020·福建省高三月考）函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '

，

()

01

f x x '>+，且(1)=-y f x 为偶函数，则（ ） A ．(2)(1)f f -<

B ．(2)(1)f f -=

C ．(2)(1)f f ->

D ．|(2)||(1)|f f ->

【答案】A

【解析】由于(1)=-y f x 为偶函数，所以函数()f x 关于1x =-对称.由于

()

01

f x x '>+，所以当

1,10x x <-+<时()'0f x <，()f x 递减，当1,10x x >-+>时，()'0f x >，()f x 递增.所以(2)(1)f f -<.故选：A

2．（2020·河南省鹤壁高中高三）设奇函数()f x 的定义域为,22ππ??

- ???，且()f x 的图象是连续不间断，

,02x π??

?∈- ???，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，若()2cos 3f m f

m π??

< ???

，则m 的取值范围是（ ） A ．,23ππ??- ???

B ．0,3π?? ???

C ．,23ππ??-- ???

D ．,32ππ?? ???

【答案】D 【解析】令()()cos f x g x x

=

，定义域为,22ππ??

-

??

?， 因为函数()y f x =为奇函数，()()()

()()cos cos f x f x g x g x x x

-∴-=

=-

=--，

则函数()()cos f x g x x

=

是定义在,22ππ??

-

???

上的奇函数， ()()()2cos sin cos f x x f x x

g x x

+''=

，

因为,02x π???∈- ???

，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，

∴当,02x π??

∈- ???时，()0g x '<，则()()cos f x g x x =在,02π??- ???

上单调递减.

则函数()()cos f x g x x

=

是,22ππ??

-

??

?上的奇函数并且单调递减， 又()2cos 3f m f m π??< ???等价于

()3cos cos 3f f m m ππ??

?

??

??

，即()3g m g π??

< ???，3m π∴>， 又2

2

m π

π

-

<<

，因此，

3

2

m π

π

<<

.故选：D.

3．（2020·海原县第一中学高三期末）设函数

'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0

x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）

A ．(,1)(0,1)-∞-

B ．(1,0)(1

C ．(,1)(1,0)-∞--

D ．(0,1)(1,)?+∞

【答案】A

【解析】构造新函数()()f x g x x =

,()()()2

'xf x f x g x x

-='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()

f x

g x x

=

单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()

0f x g x x

=

>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞?+∞上的解集为：()(),10,1-∞-?.

4．（2020·六盘山高级中学高三期末）函数()f x 的导函数()f x '，对x ?∈R ，都有()()f x f x '>成立，若()10f =，则满足不等式()0f x >的x 的范围是（ ） A ．01x << B ．1x >

C ．x e >

D ．0x >

【答案】B

【解析】构造函数()()x

f x F x e =

，则()()()

x

f x f x F x e -=

''；

因为对x ?∈R ，都有()()f x f x '>成立，

故可得()0F x '>在R 上恒成立，故()F x 是R 上的单调增函数. 又因为()10f =，故可得()10F =， 又不等式()0f x >等价于()0x

e F x >，

根据()F x 的性质，容易得不等式解集为()1,+∞.故选：B.

5．（2020·贵州省高三月考）已知()f x '是函数()f x 的导数，且满足()()0f x f x '+>对[]0,1x ∈恒成立，

A ，

B 是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（ ）

A ．

()()sin sin sin sin e e

B A

f A f B < B ．

()()sin sin sin sin e e

B A

f A f B >

C ．

()()sin cos cos sin e e

B A f A f B < D ．

()()sin cos cos sin e e

B A

f A f B > 【答案】C 【解析】令()()=x

g x e

f x ，则()()()()e ''=+x

g x f x f x ，因为()()0f x f x '+>对[]0,1x ∈恒成立，所

以()0g x '>对[]0,1x ∈恒成立， ∴()()=x

g x e

f x 在区间[]0,1上单调递增；

又∵A ，B 是锐角三角形的两个内角，∴2A B π+>，∴2

A B π

>-，∴cos sin A B <， 因此(cos )(sin )

cos e sin A

B f A f B <，∴

()()sin cos cos sin e e

B A

f A f B <.故选：C. 6．（2020·吉林省高三月考）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()1f x xf x '+>（()f x '为函数()f x 的导函数），则不等式()(

)()2

111x f x f x x +->-+的解集为（ ）

A ．()0,1

B ．[)1,+∞

C ．()

()0,11,+∞ D ．()0,∞+

【答案】D

【解析】令()()g x xf x x =-，则()()()1g x f x xf x ''=+-， 定义域为R 的函数()y f x =满足()()1f x xf x '+>，

()0g x '∴>，∴函数()y g x =在R 上单调递增，

当0x =时，由()()1f x xf x '+>，知()01f >，

∴当1x =时，显然不等式()()

()2111x f x f x x +->-+成立.

当1x >时，则10x -<，所以(

)()()()2

2

2

1111x f x x f x x x

--<--+-，

整理得(

)()()()()()2

2

2

111111x

f x x x f x x ----<----，即()()2

11g x g x -<-，

所以，211x x -<-，得20x x ->，则1x >； 当1x <时，则10x ->，所以(

)()()()2

2

2

1111x f x x f x x x

-->--+-，

整理得(

)()()()()()2

2

2

111111x

f x x x f x x ---->----，即()()2

11g x g x ->-，

所以，211x x ->-，得20x x -<，则01x <<.

综上所述，原不等式的解集为()0,∞+.故选：D ．

7．（2020·黑龙江省大庆实验中学高三期末）已知函数()2ln ,02,0

x

x f x x x x x ?>?

=??+?，若函数()(y f x a a =-为常

数)有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ??

+∞ ???

B ．11,e ?

?- ???

C ．1{1}0,e ??-? ???

D ．1(,1),e ??-∞-?+∞ ???

【答案】B

【解析】①当0x >时，ln ()x

f x x

=，21ln '()x f x x -=，

令'()0f x =，则x e =

(0,)x e ∴∈时，'()0,()f x f x >单调递增，1

()(,)f x e ∈-∞；

(,)x e ∈+∞时，'()0,()f x f x <单调递增，1

()(0,)f x e

∈

②当0x ≤时，2

()2f x x x =+，二次函数，开口向上，对称轴1x =-，且(1)1,(0)0f f -=-=

(,1)x ∴∈-∞-时，()f x 单调递减，()(1,)f x ∈-+∞；(1,0)x ∈-时，()f x 单调递增，()(1,0)f x ∈-.

因为函数()(y f x a a =-为常数)有三个零点，则曲线()y f x =与直线y a =有三个交点，则1

(1,)a e

∈-，故选：B.

8．（2020·四川省石室中学高三月考）已知函数()x

f x xe =，方程()()2

+1=0f

x tf x +()t R ∈有四个实数

根，则t 的取值范围为（ ）

A ．21,e e ??

++∞ ???

B ．21,e e ??

+-∞- ???

C ．21,2e e ??

+-- ??? D ．212,e e ??

+ ???

【答案】B

【解析】令()x

g x xe =，故()()1x

g x e

x '=+，令()0g x '=，解得1x =-，

故函数()g x 在区间(),1-∞-单调递减，在()1,-+∞单调递增，

且在1x =-处，取得最小值()11g e

-=-

. 根据()f x 与()g x 图像之间的关系，即可绘制函数()f x 的图像如下：

令()f x m =，结合图像，根据题意若要满足()()2

+1=0f

x tf x +有四个根，

只需方程210m tm ++=的两根1m 与2m 满足： 其中一个根110,?m e ??∈ ???，另一个根21

m e

>

或20m =. ①当方程210m tm ++=的一个根110,?m e ??∈ ???

，另一个根20m =， 将0m =代入，可得10=矛盾，故此种情况不可能发生；

②当方程2

10m tm ++=的一个根110,?m e ??

∈ ???

，另一个根21m e >

()2 1m m tm ?=++，

要满足题意，只需()10,00e ????

???

即可

即2110,?1?0t

e e ++，解得21,e t e ??+∈-∞- ??

?.故选：B.

二、填空题

9．（2020·江苏省高三期末）已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '

，且()()0xf x f x '+<，则

(1)(1)

(3)3

x f x f -->的解集为________.

【答案】{|14}x x <<

【解析】令()()(0)g x xf x x =>，则()()()0g x xf x f x ''=+<，

所以函数()()g x xf x =在(0,)+∞上单调递减， 因为

(1)(1)

(3)3

x f x f -->，(1)(1)3(3)x f x f -->，即(1)(3)g x g ->，

所以10

13

x x ->??

-

10．（2020·湖南省常德市一中高三期末）设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式

()()121x e f x f x -<-的解集为__________．

【答案】(1,)+∞ 【解析】设F （x ）()x

f x e

=

，则F ′（x ）()()

'x

f x f x e

-=

，

∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()1

21x e

f x f x -<-∴

()()21

21x

x f x f x e

e

--＜

，即F （x ）＜F （2x 1-）

∴x 2x 1-＜，即x ＞1∴不等式()()1

21x e

f x f x -<-的解为()1,+∞

11．（2020·河南省高三期末）已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若()()cos f x x f x =--，且()sin 02

x

f x '+

<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为______. 【答案】,2π??

-

+∞????

【解析】依题意，()()()cos cos 22

x x

f x f x --=--+

， 令()()cos 2

x

g x f x =-

，则()()g x g x =--，故函数()g x 为奇函数 ()()()cos sin 022x x g x f x f x '??''=-=+

?，故函数()g x 在R 上单调递减， 则()()()()()cos cos 0022

x x

f x f x f x f x πππ+++≤?+-

+-≤ ()()()()()0g x g x g x g x g x ππ?++≤?+≤-=-，即x x π+≥-，故2

x π

≥-

，则x 的取值范围为

,2π??-+∞????.故答案为：

,2π??-+∞????

12．（2020·河南省高三）函数()f x 定义域是R ,其导函数为()f x ',满足2

1()f x x

'>-

,且10

(3)3f =,则关于x 的不等式(

)1

3x

x f e

e

-

>的解集是______. 【答案】(ln3,)+∞ 【解析】令1()()g x f x x =-,21()f x x

'>-, 则21

()()0g x f x x ''=+

>即()g x 单调递增, 1(3)(3)33g f =-=,则由()1

3x x f e e

->可得()(3)x g e g >,

3x e ∴>,3x ln ∴>.故答案为:(ln3,)+∞

13．（2020·江苏省高三期末）已知函数1

3,1

()22

ln ,1

x x f x x x ?+≤?=??>?，若存在实数,m n ()m n <满足()()f m f n =，则2n m -的取值范围为________. 【答案】(

2

5,21e ?-?

【解析】作出函数1

3,1()2

2ln ,1

x x f x x x ?+≤?

=??>?的图像如下图所示：

若存在实数,m n ()m n <满足()()f m f n =，

根据图像可得2

31,1m n e -<≤<≤，

所以

13

ln 22

m n +=，即2ln 3m n =-，则222ln 3n m n n -=-+，

令2

()22ln 3((1,])g x x x x e =-+∈，22(1)()2x g x x x

-'=-

= 当2

(1,]x e ∈时，()0g x '>，()g x 在区间2

(1,]e 上单调递增，

(1)22ln135g =-+=，222()24321g e e e =-+=-，

所以(

2

5,2(1)g x e ∈?-?，即(

2

5,221n m e -∈?-?. 三、解答题

14．（2020·河北省高三月考）已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()23

2

x g x e x x =+-. （1）讨论()f x 的单调性；

（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数

()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.

【答案】(1)见解析；(2) [

)1

e ++∞， 【解析】(1)()

f x 的定义域为()()()21

0,0x ax f x x x

，+++∞=>'，

对于函数2

10y x ax =++≥，

①当240a ?=-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立.

()21

0x ax f x x

++∴=≥'在()0,+∞恒成立.

()f x ∴在()0,+∞为增函数；

②当0?>，即2a <-或2a >时，

当2a <-时，由()0f x '>，得x <或x >，0<<

，

()f x ∴在? ??为增函数，??减函数.

2a ??

-++∞

? ???

为增函数， 当2a >时，由()210x ax f x x

++=>'在()0,+∞恒成立，

()f x ∴在()0,+∞为增函数。

综上，当2a <-时，()f x 在? ??为增函数，??减函数，

2a ??

-+∞ ? ???

为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,+∞为增函数。 （2）()()()()22213

ln ln 022

x x F x f x g x x x ax e x x x x ax x e x =-=+

+--+=-++->， ()F x 存在不动点，∴方程()F x x =有实数根，即2

ln x e x x a x

-+=有解，

令()()2ln 0x e x x h x x x +-=>，()()()()()

()2211ln 1ln 11x x

e x x x e x x x x h x x x

++-+='-+++-=， 令()0h x '=，得1x =，

当()0,1x ∈时，()()0h x h x <，单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()()0h x h x '>，单调递增；

()()11h x h e ∴≥=+，

当1a e ≥+时，()F x 有不动点，

a ∴的范围为[)1,e ++∞.

15．（2020·广西壮族自治区高三）已知函数()()1ln f x x x ax =+-，a 是实数. （1）当2a ≤时，求证：()f x 在定义域内是增函数； （2）讨论函数()f x 的零点个数.

【答案】（1）证明见解析；（2）只有一个零点.

【解析】（1）函数()()1ln f x x x ax =+-的定义域为()0,+∞，且()1

ln 1f x x a x

+'=+-， 令()()g x f x ='，则()22111

x g x x x x

='-=

-，令()01g x x ='?=. 当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>.

所以，函数()y g x =的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞，

所以，函数()y g x =在1x =处取得极小值，亦即最小值，即()()()min min 120f x g x g a =='=-≥，即

()0f x '≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立.

因此，函数()y f x =在定义域上为增函数； （2）由()()1ln 0f x x x ax =+-=，可得()1ln x x a x

+=

，

设()()1ln x x h x x

+=

，其中0x >，则()2

1ln x x h x x +-'=，

令()1ln x x x ?=+-，0x >，则()111x x x x

?'-=-

=，令()01x x ?='?=. 当01x <<时，()0x ?'<；当1x >时，()0x ?'>.

所以，函数()y x ?=的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞，

所以，函数()y x ?=在1x =处取得极小值，亦即最小值，即()()min 120x ??==>， 对任意的0x >，()0h x '>，即函数()()1ln x x h x x

+=

在()0,+∞上单调递增，

当0x →时，()h x →-∞，当x →+∞时，()h x →+∞.

对任意的a R ∈，直线y a =与函数()y h x =的图象有且只有一个交点. 因此，函数()y f x =有且只有一个零点.

16．（2020·山西省大同一中高三月考）已知函数22

()ln f x a x a x x

=++，实数0a >. （1）讨论函数()f x 在区间(0,10)上的单调性；

（2）若存在(0,)x ∈+∞，使得关于x 的不等式2

()2f x a x <+成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）()0,2(2,)?+∞ 【解析】（1）由题知()f x 的定义域为(0,)+∞，

2

22

2(2)(1)()a ax ax f x a x x x

'+-=-

++=. ∵0a >，20ax +>，∴由()0f x '=可得1

x a

=

.

（i ）当10,

10a ??

∈ ???

时， 1

10a

，当(0,10)x ∈时，()0,()f x f x '<单递减； （ii ）当1,10a ??

∈+∞

???

时，110a <，

当10,

x a ?

?

∈ ???

时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1,10x a ??

∈

???

时，()0f x '>，()f x 单调递增. 综上所述，10,

10a ??

∈ ???

时，()f x 在区间(0,10)上单调递减； 当1,10a ??∈+∞

???时，()f x 在区间10,a ??

???上单调递减， 在区间1,10a ??

???

上单调递增. （2）由题意：不等式2

()2f x a x <+在(0,)x ∈+∞成立

即2

ln 20a x x

+-<在(0,)x ∈+∞时有解. 设2

()ln 2g x a x x

=+-，(0,)x ∈+∞，只需min ()0g x <.

则2

2()ax g x x

'

-=，因为0a >， 所以在20,

a ??

???

上，()0g x '<， 在2,a ??

+∞

???

上，()0g x '>. 所以()g x 在20,

a ?

? ??

?上单调递减，在2,a ??

+∞ ???上单调递增.

因此min 22()ln 2g x g a a a a ??

==+-

???

.

不等式2

()2f x a x <+在(0,)x ∈+∞成立，

则2

ln

20a a a

+-<恒成立. 又0a >，所以22

ln 10a a

+-<恒成立.

令()ln 1(0)h x x x x =+->，则'

11()1x

h x x x

-=

-=

. 在(0,1)上，'

()0h x >，()h x 单调递增； 在(1,)+∞上，'

()0h x <，()h x 单调递减. 所以()(1)0h x h =.因此解22

ln

10a a +-<可得20a

>且21a ≠， 即0a >且2a ≠.所以实数a 的取值范围是()0,2(2,)?+∞.