中考数学复习专题：新定义阅读理解问题.docx
新定义阅读理解问题
新定义学习型阅读理解题，是指题FI中首先给出一个新定义(新概念或新公式)，通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。其主要目的是通过对新定义的理解与运用来考查学生的自学能力，便于学生养成良好的学习习惯。
解决此类题的关键是(1)深刻理解“新定义”——明确“新定义'啲条件、原理、方法、步骤和结论；(2) 重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；(3)依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。
一、基础练习部分
M M V 1 (J
★例1: [2014 ------ 2015海淀期末】对于正整数办，定义F(/7)=< ' ,其中f(〃)表示〃的苴
/(/7),心10
位数字、末位数字的平方和.例如：F(6)=6?=36, F(123)=f(l23)=12+32=10.
规定Ei0)m血b阳负曰辿0))0为j￡整数2?例$n：F1(123)=F(123)=10, F2(123)=F(F I(123))=F(10)=1.
(1)求：F2(4)= ______ , F2015⑷二 ________ ；
(2)若F3
ZW(4)=89,则正整数加的最小值是_______ . 答案：(1) 37, 26；(2) 6.
练习①：【2013通州一模】定义一种对正整数?的叨运算"：①当n为奇数吋，结果为3〃 + 1 ；② 当“为偶数时，结果为斗(其中k是使得斗为奇数的正整数),并且运算重复进行.例如，取〃=6，贝施
2k 2k
6 隰〉3 愆〉10 爲)5 ......,若72 = 1,则第2次“F运算”的结果是______________________ :若/2 = 13,
则第2013次“F运算”的结果是________ ?答案：1, 4练习②：【2014门头沟二模】我们知道，一元二次方程异=?1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于?1，若我们规定一个新数“厂，使其满足只二1 (即方程，=?1有一个根为°,并.且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i]=i f Z2=-I,/3=Z2H-1)(-1)?/=-/,
f=( ,2)2=(.Q2=I,从而对任意正整数〃，则/= __________________ ；
由于严+1=严?.E；同理可得广+2=?1,产+3= 4…=1那么,+产+ 3+『+ .+严2+严3的值
为_____ 答案:?1，「
★例2： [2009宣武一模】任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=pxq〈p、q是正整数，且p Q 1 F(n) = E?例如18可以分解成1x18x2x9或3x6,这时就有F(18) = - = -.给出下列关于F(n)的说法: q6 2 13 (1)F(2) = -； (2) F(24) = ~； (3) F(27) = 3； (4)若〃是一个完全平方数，则F(?)=l.其中正 28 确说法的个数是< ) A.l B. 2 C. 3 D. 4 答案：B 练习①：【2011北京中考】在右表中，我们把第，行第j列的数记为⑷.j (其中,，j都是不大于5的正整 数)，对于表中的每个数如j,规定如下：当z>j时,如j=l；当，Vj Array时,a t, j=0.例如:当Z=2, j=l 时,a it j=a2, i=l.按此规定，a\, 3= ; 表中的25个数中，共有__________________ 个1；计算Si? 1+5, 2? 2+^1. 35 3+d 45 4+d 5仞5 的值为_______ ? 答案：0； 15； 1. 纟东习②：【2011海淀二模】某种数字化的信息传输中，先将信息转化为数学o和1组成的数字串，并对数字串进行了加密后 再传输?现采川一种简单的加密方法：将原有的毎个I 都变成10,原有的每个0变成01?我们用久表示没有经过加密的数字串.这样对 几进行一次加密就得到一个新的数字串A {.对川再进行一次加密又得到一个新的数学串依此类推 ........................................ 例如：上0：】()，则Ji ： 1()01.若 已知A 2： 100101101001 ,则Jo ： ___________________ ，若数字串乩共有4个数字，则数字串禺中相邻两个数字相等的数对至少 ? ? 答案：101 , 4 练习③：【2010燕山一模】若将代数式中的任意两个字母互相替换，代数式不变，则称这个代数式为 完全对称式.如在代数式a + b+c 中，把Q 和b 互相替换，得b + a+c ；把Q 和c 互相替换，得c+b + a ； 把b 和c ； a + b + c 就是完全对称式.下列三个代数式：①(a~b)2；②ab + bc+ca ； (3) a 2b+b 2c+c 2a.其 中为完全对称式的是 ①② ②③ C.①③ D.①②③ 答案：A 练习④：【2010西城一模】在平面直角坐标系中，对于平僧内任一点P (Q0)若规定以下两种变换： ?f(ci,b)= 如./(1,2)= (-l,-2);(2)g(a,Z>)=(加).如 g(l,3)= (3,1) 按照以上变换，那么/(g (G0))等于 A. B. (a,b) C. (b.a) D. (-? 2 3 例汝口： =2x5 — 3x4 = 10 — 12 = —2 ? 4 5 —1 2 按照这种运算的规定，请解答下列问题：⑴直接写出一2 o.5的计算结果; -0x2 = -2,那么 2 ~4 =25 时，兀=(). (3-x)5 练习：①【2006北京中考(课标卷)】用“☆”定义新运算：对于任意实数°、b,都有a^b=lr+\0 例如 7^4=42+1=17,那么5^3= ______________ :当加为实数时，加☆伽^2)= ________ 。 答案：10, 26 ② ［2008东城二模】对于实数"定义一种运算⑷为：宀 = " + *.若关于x 的方程X *(Q ")二-占 有两个相等的实数根，则满足条件的实数Q 的值是_______ . 答案：0 ③ 【2008怀柔一模】现在我们定义一个数学运算符号“※”,使下列算式成立皿※8=16, 10^6=26, 6探 10=22,比※ 14=50.求(100探800)探8= ________ ； 答案：2008 ④ 【2008海淀二模】关于实数Q0,有a>b =兰$，。十h = ab-1则((-2)) > ［5 > (―4)］ + ￡十号 的值是 ________ o 答案：0.25 ⑤ 【2008西城二模】用“&”定义新运算：对于任意实数a, b 都有b=2a ?b,如果x& (1&3) =2, 那么x 等 于(). 有 _________ 对. 答案：A 我们规定一种运算: b =ad - be d 0.5x-l ⑵若8 y x -y 3=0.5 直接写『和尹的值 x 0.5-x ⑶当X 取何值时，］2x =o ; 变式练习：［2008宣武-?模】对于实数ab?d 规定一?种运算: -ad -be. 2-2 (/) 13 7 (C) 23 (D) 答案：(D) 答案：(1)3.5; (2)x=&y=2? (3) 1 0 3 1 AA B. — C. - D.2 答案：C 2 2 ? [2008丰台二模】在数学中，为了简便计算记1! = 1 , 2! = 2灯，3! = 3><2><1 , ............... , ?l ）x （”?2）x......X3X2X1.则型里?型?!= . 答案：1 2007! 2006!— ⑦ 【2008丰台一模】对于实数x,规定（x /r ） =nx n -[f 若（x 1 2 3/ = -2,则兀= __________ ⑧ 【2015大兴一模】如图，耍使输出值尹大于100,则输入的最小正整数x 是 A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 答案:⑦?1；⑧C a - 1(Q W b) Q 十 b = < 77 (6Z > /?且b 工 0) 答案：B 变式练习：[2014-2015房山期末】阅读下面的材料： 小明在数学课外小组活动中遇到这样一个'噺定义"问题: 小明是这样解决问题的：由新定义可知a=l f b=-2t 又bVO,所以1探（?2） = *? 请你参考小明的解题思路，回答下列问题: （1）计算：2探3= ____ : ⑵若厶※m=^ ,则加= ___________ ? ⑶函数尹=2探兀（X#））的图象大致是（ 2 （答案：（1） - ； （2）±6; （3） D ） ★例5：【2013丰台一模】我们把函数图象与x 轴交点的横坐标称为这个函数的零点?如函数尸2x+l 的图象与理交点的坐标为（弓，0）,所以该函数的零点是弓 2 函数尸疋+4十5的零点是 _______ ； 3 如图，将边长为1的正方形ABCD 放置在平面直角坐标系兀Oy 中，且顶点/在 x 轴上.若正方形沿x 轴正方向滚动，即先 以顶点力为屮心顺时针旋转，当顶点B 落在兀轴上时，再以顶点3为小心顺时针旋转，如此继续.顶点D 的轨迹是一函数的图象， 则该函数在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为. 答案：-5 或 1 ； 71+1 ? 练习：①【2015海淀一模】若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形, ★例4： [2011延庆二模】定义新运算 则函数尸3十x 的图彖大致是 7 @>0）； 定义运算“※”为：a^b = \b求1※（-2）的值. 一沖）. 该边所对的角称为等径角.已知△/仍C 是等径三角形，则等径角的度数为_0 答案：30。或150° ② 〕2008石景山二模】定义：平面中两条直线厶和厶相交于点O,对于平面上任意一点M,若pq 分别 是M 到直线和厶的距离，贝9称有序非负实数对(阳)是点M 的“距离坐标"，根据上述定义，“距离坐标” 是(1, 2)的点的个数是 ________________ . 答案：4 ③ 【2010宣武二模】在平面直角坐标系中，设点P 到原点O 的距囁为〃，OP 与x 轴正方向的夹角为a (0° A. (2, 2A /3 ) B. (-2, 2^3 ) C.( 2^3 ,2) D.( 2, 2) 答案：A ★例6： [2009宣武一模】对于三个数a,b,c, M{a,h,c}表示a,这三个数的平均数，〃7〃?{a0,c}表示 _1 + 2 + 3 4 a,b,c 这三个数中最小的数，如：M{—1,2,3}= ---------------------------------- =- , min{-l,2,3} = -l ； （Q —1） @>一1） 解决下列问题： (1) _______________________________ 填空：〃血{S 〃73O 。，cos45°,t^30°}= _______ ；若 min{2,2x+2,4-2x}=2,则 x 的取值范围是 ____ ； (2) ①若 A/{2,x+l,2x}=w//7{2,x+1,2x },那么 x= __________ ； ② 根据①，你发现结论"若M{a,h,c}= min{a,h,c},那么 ______________ ”(填大小关系)； ③ 运用②，填空：若 M={2x^-y^2,x-^2y,2x-y}=min {2x+)H-2,x+2y,2x-j},WlJ __________ ； (3) 在同一直角坐标系中作出函数尸x+1,)^=(x-1 )2, y=2-x 的图象(不需列表，描点)，通过图象, 得出 min { x+1, (x-1 )2, 2-x }最大值为 ______ ? 答案：(1)0.5, 0 1： [2015东城一模】定义符号min{a,b}的含义为：当a = b Ht, min{a,b}=b ；当a (1) 求 win {x 2-1,-2}; (2) 已知加加{込2卄匕3}=?3,求实数k 的取值范围； (3) 己知当-2 答案：(1) -2； (2)3； (3) -3 变式练习2: [2011东城二模】用min {ay 耐表示a,方两数中的最小数，若函数j^=wz>?{x 2+l,l-x 2},则 尹的图象为 变式练习3：①[2012西城一模】对于实数c 、d,我们可用min{ c, 〃}表示c 、d 两数中较小的数， 如min{3, -1}=-1.若关于x 的函数尸min{2x 2f a(x-t)2 }的图象关于直线兀=3对称，则°、(的值可能是 A. 3, 6 B. 2,?6 C. 2, 6 D.?2, 6 答案：C 变式练习4：【2010东城二模】用加加{°0,c}表示a,b,c 三个数中的最小值，若y= min{x 2, x+2,10-x}(x>0) 则y 的最大值为 力?4 B. 5 C. 6 D. 7 答案：C -l + 2 + a ~~3 答案：C 练习: [2010石景山二模】规定: 用{〃?}表示大于m 的最小整数,例如{-}=3, {5}=6, {-1.3}=-1 2 (7) 等;用⑷]表不不大于m的最大整数，例如[―]=3, [4]=4, [—1.5]= —2,如果整数x满足关系式:2{x}+3[x]=12, 则⑴____________ . 答案：2 变式练习.【2014通州二模】对于实数x,我们规定[x]表示不大于工的最大整数，例如[1.2冃，[3]=3, A. 40 B. 45 C. 51 D. 56 答案：C 二、提高练习部分 ★例1： [2014—2015海淀期中】阅读下面材料： 小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：Q也羽，称为数列XJA2A3-计算I刈, 土也，卜|+兀+兀|，将这三个数的最小值称为数列xm/3的价值?例如，对于数列2,-1,3因为|2|二2 , |2 + (_1) + 3|=纟,所以数列2, 一1, 3的价值为丄. 小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值. 如数歹i 2, 3的价值为屮数列3, -1, 2的价值为一…经过研究，小丁发现，对于“2, 3右个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值时. 根据以上材料，回答下列问题： (1)数列-4, -3,2的价值为_______ : (2)将“?4,?3,2"这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为 _ , 収得价值最小值的数列为_____ (写出一个即可)； (3)将2,?9, Q(G>1)这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列.若这些数列的价值的最小 值为1,则Q的值为____ .答案：(1) - (2) —3,2,-4 或2,—3,—4. (3) 11 或4. 3 2 ★例2： [2015西城一模】给出如下规定：两个图形G和G2，点P为G上任一点，点。为G2上任 一点，如果线段P0的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G和G2之间的距离. 在平面直角坐标系兀0尹中，O为坐标原点. (1)_____________________________________________________ 点/的坐标为力(1,0),则点 3(2,3)和射线Q4之间的距离为 _____________________________________ ，点C(-2,3)和射线Q4之间的距离为________ ; (2)如果直线和双曲线y = - Z间的距离为血，那么R _____________ ； (3)点E的坐标为(1,V3),将射线OE绕原点O逆时针旋转60。，得到射线OF,在坐标平面内所有和射线OE, OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M. ①请在图2屮画出图形M,并描述图形M的组成部分；(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示) ②将射线OE, OF组成的图形记为图形W,抛物线与图形M的公共部分记为图形N,请直接写出图形W和图形N之间的距离. (答案：(1) 3, V13；(2) -1； (3) (2)4： 3) 5 4 3 2 1 5 -4 -3 -2 -10 ?1 12345； ?2 -3 ?4 Si若[晋] =5,则工的取值可以是( 变式练习1：【2013年燕山一模】定义：对于平面直角坐标系中的任意线 段及点P,任取线段上一点0,线段PQ长度的最小值称 ? ? 为点P 到线段力3的距离，记作d (P-4B). ? ? 已知O 为坐标原点，J(4, 0), 3(3, 3), eg 〃)，D (加+4,力是平面直角坐标系中四点.根据上述 定义，解答下列问题： (1) ________________________________ /到线段03的距离d(A-^OB) = ； ⑵已知点G 到线段OB 的距离d( G->OB)=石，且点G 的横坐标为1，则点G 的纵坐标为 _____________ ? ⑶当加的值变化时，点/到动线段CQ 的距离d (A->CD)始终为2,线段CQ 的中点为M. ① 在图⑵屮画出点M 随线段CD 运动所I 韦I 成的图形并求出该图形的面积. ② 点E 的坐标为(0, 2),加>0, 〃>0,作丄x 轴，垂足为是否存在加的值，使得以/、M 、H 为顶点的三角形与△/OE 相似，若存在，求出加的值；若不存在，请说明理由. __ 冷1 答案：(1) 2A /2 : (2) —2或1 + JIU ：⑶016+4兀；②加=1或加=3或加=—— ----- --------- 5 变式练习2：【2013密云二模】【2015——2016通州期末】概念：P 、Q 分别是两条线段a 和b 上任 意一点，线段PQ 长度的最小值叫做线段a 与线段〃的距离.已知O (0, 0) , A (4, 0) , B 5, n), C (〃汁4, /?)是平面直角坐标系中四点. (1) ________________________________________________________________ 根据上述概念，当w=2, n=2吋，如图1,线段BC 与线段0 4的距离是 __________________________________ ；当/n=5, n=2 时，如图2,线段3C 与线段CU 的距离(即 线段 长)为 _______________ ； (2) 如图3,若点B 落在圆心为半 径为2的 圆上，线段BC 与线段OA 的距离记 为d,求d 关于 加的函数解析式. (3) 当加的值变化时，动线段BC 与线 段OA 的距离始终为2,线段BC 的中点为M, 点D 的坐标为(0, 2)，〃茫0, ?>0,作丄x 轴，垂足为H,是否 存在加的值使以力、M 、H 为顶点的 三角形与厶/。。相似？若存在，求出加的值；若不存在 请说明理由. (答案：(1) 2^ yj~5 (2) J + 8加—12 (3)① 16+4兀；②存在，1、3 或—) ' ' 5 变式练习3：【2014门头沟一模】概念：点卩、0分别是两条线段a 和b 上任意一点，线段P0长度 的最小值叫做线段a 与线段b 的“理想距离”.已知O (0, 0) , A (石，1) , B (m, 2 , C (加，”+2) 是平面直角坐标系中四点. (1) 根据上述概念，根据上述概念，完成下血的问题(直接写答案) ① 当〃尸2的，存1时，如图13?1,线段BC 与线段0/的理想距离是 ________ ； ② 当尸2时，如图13-2,线段3C 与线段Q4的理想距离为 ________________________ ; ③ 当〃尸2石，若线段BC 与线段04的理想距离为羽，则刃的取值范闱是 _________________ ? (2) 如图13?3,若点B 落在圆心为半径为1的圆上，当0时，线段BC 与线段Q4的理想距离 记为d,则d 的最小值为 __________________ (说明理由) (3) 当加的值变化时，动线段BC 与线段％的距离始终为1,线段BC 的中点为G,求点G 随线段 【2U14址丿大一 ①求出点M 随线段3C 运动所圉成的封闭图形的周长；② 运动所走过的路径长是多少? 模】已知：在平面直角坐标系兀內中，给出如下定义：线段4B及点P,任取AB上一点Q,线段PQ长度的最小值称为点P到线段M的距离，记作MPf4B). <1)如图1,已知C点的坐标为(1, 0),。点的坐标为(3, 0),求点P <2, 1)到线段CQ的距离d (P T CD)为； (2)己知：线段EF： y=x (0 (答案：(1)1; (2) 3 或?1。) 变式练习5： [2015丰台一模】设点0到图形"上每一个点的距离的最小值称为点0到图形"的距离.例如:正方形满足4(1, 0), B(2, 0), C(2, 1), D(l, 1),那么点0(0, 0)到正方形的距离为1. (1)如果OP是以(3, 4)为圆心，1为半径的圆，那么点0(0, 0)到OP的距离为__________________________________________________ ； (2)①求点M(3,0倒直线尸2x+l的距离； ②如果点N(0Q到直线尸2x+l的距离为3,那么a的值是____________ ； (3)如果点G(0Q到抛物线尸？的距离为3,请直接写出的值. （2）①座②0 = 1±3厉（3）b = -3^b = — (答案：(1)4； 5 4 变式练习6： [2015通州一模】如图，在平面直角坐标系中，已知点力(2, 3)、3(6, 3),连结若对于平面内一点卩，线段4B上都存在点0,使得PQG,则称点P是线段力〃的“邻孑近点"?5 - (1)判断点是否线段M的“邻近点”________________ (填“忌或否'): " 4 . 5 5 3 ??-------------- 5 (2)若点H(m,町在一次函数尸x?l的图象上，且是线段加的“邻近点”，求必2 - 的取值范围. X' : ：_ (3)若一次函数y=x^b的图象上至少存在一个邻近点，直接写出b的取值范围.°1 1 2 3 4 ' 6 （答案：（1）是;（2） 3 ★例3：[2012年北京中考】在平面直角坐标系?冲，对于任意两点P心心)与卩2(畑力) 的“非常距离”，给出如下定义： 若|xi-x2|>[yi^2h则点Pi与点P2的“非常距离”为|"对； 若|xi-x2|<|yrj2b则点P】与点P2的“非常距离”为切“|? 例如:点Pi(l,2),点P2(3,5),因为|1?3|<|2?5|,所以点Pi与点P2的“非常距离”为|2? 5|=3, 也就是图1中线段HQ与线段P?Q长度的较大值(点Q为垂直于歹轴的直线PiQ与垂直 于x轴的直线P?Q的交点)。 (I)L：知点禺-￡，0), 3为y轴上的一个动点, ①若点A与点B的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B的坐标; ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值； (2)L1知C是直线尹=2兀+ 3上的一个动点， 4 ①如图2,点D的坐标是(0, 1),求点C与点D 的“非 常距离”的最小值及相应的点C的坐标； ②如图3, E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的- 个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的 点E和点C的坐标。 1x 9 3 4 （答案：（1）①（0, 2）或（0,?2）；②一；（2） C （一一, -）, E（―,-） 2 5 5 5 5 时.1?) 变式练习：【2014密云一模】对于平面直角坐标系中的任意两点 P2(32)我们把|兀]?也|+|刃?乃|叫做Pl,P2两点间的直角距离,记作d(P],P2)? (1)已知O为坐标原点，动点p(x,y)满足d(O,P)=l,请写出兀与尹之间满足的关系 式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形； (2 )设P o (x o ,yo)是一定点，Q(x,>)是直线y=ax+b 上的动点,我们把d(P°,Q)的最小值叫做Po 到直线尸or" 的直角距离.试求点 M(2,l) 至IJ 直线 y=x+2 的直角距 离. 答案：(2)3. ★例4：【2013年北京中考】对于平面直角坐标系xOp 中的点J 和OC,给出如下定义：若0C±存 在两个点加，B,使得ZAPB=60°f 则称P 为OC 的关联点。 已知点 D ,丄)，E (0,?2) , F ( 2A /3 , 0) 2 2 (1)当OO 的半径为1吋， ① 在点D, E, F 中，OO 的关联点是 ____________ : ② 过点F 作直线交y 轴正半轴于点G,使ZGFO=30°,若直线上的点P (曲?)是OO 的关联点，求加 的取值范围； (2) 若线段EF±的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径厂的取值范围。 答案：⑴①D,E;?0 变式练习1： [2014西城二模】在平面直角坐标系xoy 中，对于QA±一点B 及?4外一点P,给出 如下定义：若直线M 与x 轴有公共点(记作M),则称直线皿为0/的“x 关联直线”，记作/pDM (1) 已知OO 是以原点为圆心，1为半径的圆，?点P (0,2), ① 直线 /|：y=2,直线 /2： y=x+2,直线厶：y = V3x + 2 ,直线 /4： y=- 2x+2 都经过点P,在直线仃，/2, b b 中，是OO 的恢关联直线"的是 ____________ ; ② 若直线/P 妣是的“x 关联直线”，则点M 的横坐标兀诃的最大值 是 __ ; (2) 点/ (2,0) ,0J 的半径为1, ① 若P (-1,2) ,0J 的“x 关联直线”也加 尸后+知2,点M 的横坐标为 X.M ， 当X M 最大时,求力的值； ② 若P 是7轴上一个动点，且点P 的纵坐标儿>2, QA 的两条“X 关联 直线 Tpg I PDN 是04的两条切线，切点分别为CQ,作直线CD 与x 轴点 于点E,当点P 的位置发生变化时，/E 的长度是否发生改变？并说明理由. 昇3上存在点P,使得点P 关于G>C 的反称点P'在OC 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围。 (答案：⑴①M(2,l)不存在；N(2o )存在反对称点N 为(丄,0) : 7(1, V3)存在反对称点F 为 2 (0,0);倉0 < 兀 <2;(2)2仝三8) 变式练习：【2015—2016燕山期末】在平而直角坐标系xOy 屮，0C 的半径为厂，点卩是与圆心C 不 重合的点，给出如下定义：若点P 为射线CP 上一点，满足CPCP=/ ,则称点严为点尸关于OC 的反演 ? ? 2x 答案: (1)①M ；②x 严迟 (2)①幺= <4；②的长度不发生改变。 4 ★例5： [2015年北京中考】在平面直角坐标系xoy 中，OC 的半径为r, P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于OC 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在 一 点P',满足CP+CP f =2r,则称P 为点P 关于(DC 的反称点，下图为点户及其关于 OC 的 反称点卩的示意图。 (1) 当OO 的半径为1时。 ① 分别判断点M(2,l), 7V(-,0), TQ 疋)关于OO 的反称点是否存在，若 2 存在？求其坐标； ② 点P 在直线尸讥+2上，若点P 关于OO 的反称点P ，存在，且点P 不在x 轴 上，求点P 的横坐标的取值范围； (2)当?C 的圆心在x 轴上，半径为1,直线y = 二兀+ 2的与JV 轴，y 轴分别交于点B,若线段 点.右图为点P及其关于OC的反演点CF的示意图. (1)如图1,当OO的半径为1时，分别求出点M(l, 0), N (0, 2) , 7(-,丄)关于OO的反演 2 2 点、M, N, F的坐标； (2)如图2,已知点J(l, 4), 3(3, 0),以为直径的0G 与尹轴交于点C, Q(点C位于点Q下方)，E为CQ的中点. ①若点O, E关于OG的反演点分别为CT, E,求ZE f O f G 的大 小； ②若点P在OG上，且ZBAP=ZOBC,设直线/P与兀轴的交点为 Q，点0关于OG的反演点为Q,请直接写出线段GQ' 的长度. 答案：(l)M'(l, 0), M(0, *), F(l, 1)；⑵ ZE'O'G=90。;或^^ 变式练习2： [2015—2016石景山期末】在平面直角坐标系x(”中，的半径为1, P是坐标系内 任意一点，点尸到OO的距离Sp的定义如下：若点P与圆心O重合，则Sp为的半径 长；若点P与圆心O不重合，作射线O尸交<90于点儿则Sp为线段力尸的长度. 图1为点P在OO外的情形示意图. 1、 (1)若点S(l,0), C(l,l), D 0-，则片二_；—；S D = \ 3丿 (2)若直线y=x+b上存在点M,使得S,w=2,求b的取值范围； (3)已知点P, Q在x轴上，R为线段PQ上任意一点.若线段PQ上存在一点T,满足T在OO内 ? ? ? 且S T>S R,直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值. 答案：(1) S B=0；S C=V2-1；S r)=- ;(2) -3^2 <3^2 ；(3)4. ★例6：【2015西城二模】对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G,给出如下定义：在图形G 上若存在两点M, N,使为正三角形，则称图形G为点P的T型线，点P为图形G的工型点，/\PMN 为图形G关于点P的T型三角形. (1)如图1,已知点力(0,-希)，5(3,0),以原点O为圆 心的<30的半径为1.在力，B两点中，?O的工型点是_______ , 画出并回答(DO关于该T型点的T型三角形；(画出一个即可) (2)如图2,已知点E(0,2),点F伽,0)(其中加>0).若线段EF为 原点0的T型线，且线段EF关于原点0的T型三角形的面积为 也，求加的值； 9 (3)若H(0,?2)是抛物线尸/+〃的T型点，直接写出“的取值范闱. (答案：⑴点川⑵心血；⑶"一扌) 练习1： [2015—2016丰台期末】在平面直角坐标系xOy中，定义点P (砂)的变换点为P'(x+”x?y). 个 E 1- 0^ 图1 图2 X (1) 如图1,如果OO 的半径为2迥, ① 请你判断M(2,0), M-2,-1)两个点的变换点与(DO 的位置关系； ② 若点P 在直线y=x+2上，点P 的变换点P 在OO 的内，求点P 横坐标的取值范围. (2) 如图2,如果OO 的半径为1,且P 的变换点P 在直线尸?2x+6上，求点P 与OO 上任意一点距离 的最小值. 2 答案：(1)①1\4亿2),2(?3,?1),\1，在圆上；N ，在圆外；②?2 5 练习2：【2015延庆一模】对于平而直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB,给出如 下定 义：在线段外有一点P,如果在线段上存在两点C 、D,使得ZCPD=90。, 那么就把点P 叫做线段 力3的悬垂点. (1) 己知点力(2, 0) , O (0, 0) ① 若C(l,丄)，D (1, 1) , E (1, 2),在点C, D, E 中，线段力0的悬垂点是_； ② 如果点P 5, 〃)在直线y = x-1上，且是线段/O 的悬垂点，求加的取值范围； (2) 如下图是帽形M (半圆与一条直径组成，点M 是半圆的圆心),且圆M 的半径是1,若帽形内 部的所有点是某一条线段的悬垂点，求此线段长的取值范围. (答案：(1)①C, D ；;② 1 ------------ 5 加 W 1H --- H.zn 主 1 ;(2) Q n 2) 2 2 练习3：【2015海淀二模】如图1,在平面直角坐标系xo 尹内，己知点力(?1,0), 5(-1,1), C(l,0), D(l,l), 记线段为T|,线段CD 为T2，点P 是坐标系内一点.给出如下定义：若存在过点P 的直线/与T 】，T 2 都有公共点，则称点P 是T 】?T2联络点.例如，点P (0,-)是TiT 联络点. 2 B 2 (1) 以下各点中， _______ 是T|?T2联络点(填出所有正确的序号)； f 1 ①(0,2)；②(-4,2): ③(3,2) . 2 斗 ： (2) 直接在图1中画出所有T 「T2联络点所组成的区域，用阴影部分表示； ‘ ■ (3 )已知点M 在y 轴上，以M 为圆心，厂为半径画圆，G>M 上只有一个点为T]?T2联络点, ① 若r=l,求点M 的纵坐标； ② 求r 的取值范围. (答案：(1)②，③;(3)①点M 的纵坐标为-1或2.②0 边上的高为2时，称M 为P0的“等高点”，称此时MP^MQ 为PQ 的“等高距 离〕 (1) 若 P(1, 2), 0(4, 2). ① 在点力(1, 0), B(丄,4), C (0, 3)中，P0的“等高点”是 __________ ； 2 ② 若M(/, 0)为PQ 的“等高点”，求P0的“等高距离”的最小值及此时 /的 值. (2) 若P(0, 0), PQ=2,当P0的“等高点”在y 轴正半轴上且“等高距离” 最小时，直接写出点0的坐标. (答案:⑴①⑴"②嗨时，最小值为5;⑵Q (琴，攀或Q (竿，琴)) 练习5： [2015石景山一模】在平面直角坐标系x (罗中，点昇在直线/上，以/为圆心，CM 为半径 5 4 ■ 3 ■ 2 ■ 1 ■ — - - - - - 5 -4 -3 -2 -10 -1 1 2 3 4 5 x ? ?2 ■ ■ -4 ■ -5 ■ 练习4： [2015朝阳一模】定义:对于平面直角坐标系X 。屮的线段PQ 和点M, 在△MP0小，当PQ 的圆与尹轴的另一个交点为E.给出如下定义：若线段OE,和直线/上分别存在点〃，点C 和点D,使得四边形MCD是矩形(点//,CD顺时针排列)，贝9称矩形 ABCD为直线/的“理想矩形【例如，下图屮的矩形ABCD为直线I的“理想矩形”. (1)若点J(-l,2),四边形MCD为直线戸?1的“理想矩形”，则点D的坐标为_______ : (2)若点/(3,4),求直线尸也+1(絆0)的“理想矩形”的而积； (3)若点力(1,?3),直线/的“理想矩形”面积的最大值为_____ ,此时点D的坐标为_______ . (答案：(1) D(—1,0)；(2) ABxBC = 3皿 (3)最大值是工Z)(-l,-2)或(3,—2).) 例7： [2015—2016西城期末】在平面直角坐标系xOy中，过OC上一点P作OC的切线/,当入射光线照射在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线/的夹角和入射光线与切线/的夹角相等，点P 称为反射点。规定：光线不能“穿过”OC,即当入射光线在OC外时，只在圆外进行反射；当入射光线在OC内时，只在圆内进行反射。特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线。 光线在OC外反射的示意图如图1所示，其中Z1=Z2. (1)自OC内一点出发的入射光线经OC第一次反射后的示意图如图2所示，Pi是第1个反射点，请在图2中作出光线经OC第二次反射后的反射光线； (2)当OO的半径为1时，如图3, ①第一象限内的一条入射光线平行于兀轴，且自OO的外部照射在其上点P处?，此光线经OO反射后，反射光线与y轴平行，则反射光线与切线I的夹角为_______ °; ②自点/(—1,0)出发的入射光线，在OO内不断地反射，若第1个反射点比在第二彖限，且第12个 反射点P|2与点A重合，则第一个反射点P|的坐标为_________________ ； (3)如图4,点M的坐标为(0, 2) , G>M的半径为1,第一象限内自点O出发的入射光线经OM 反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P的纵坐标的取值范围。 ★例& [2014海淀二模】对于半径为厂的OP及一个正方形给出如下定 义：若OP±存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称OP是该正方形的 “等距圆”.如图1,在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点/的坐标 为(2, 4 .),顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧. (1)当r=4y[2时， ①在Pi (0, -3) , A(4, 6) , A(40，2)中可以成为正方形MCD的“等距圆”的圆心的是; ②若点P在直线尸一兀+2上，且OP是正方形MCD的“等距圆”，则点P的坐标为； (2)如图2,在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为(6, 2), 顶点E、〃在尹轴上，且点H在点E的上方. ①若OP同时为上述两个正方形的“等距圆"，且与所在直线柞切，求OP在y轴上截得的弦长； ②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段上没有一个点能成为它的“等距圆” 的圆心，则尸的取值范围是? (答案：(1)①A，尸3；P(-4, 6)或尸(4, -2) . (2)①475±4,② 练习1： [2015人大附中初三月考】对于两个已知图形G、G2,在G I上 任取一点P,在G2上任収一点Q,当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小的长度为Gi、G2的“密距”；当线段PQ的长度取最大值时，我们称这个最大的长度为图形Gi、G2的“疏距寫 请你在学习、理解上述定义的基础上，解决下面的问题： 在平面直角坐标系xOp中，点/的坐标为(-3,4 )，点B的坐标为(3, 4),矩形ABCD的对称中心为点0。 (1)线段/D和BC的“密距”是____________ ；“疏距”是 ________ : 3 (2)设直线y = —x + b(b>0)与x轴、y轴分别交于点E、F,若线段EF与矩形MCD的“密距”是1, 4 求它们的“疏距”; (3)在平面直角坐标系xOp中有一个四边形KLMN,将矩形ABCD绕点0旋转一周，在旋转过程中，它与四边形KLMN的“疏距”的最大值为7, ①旋转过程中，它与四边形KLMN的“密距”的取值范围是____ ; ②求四边形ATMN的面积的最大值。 ___ __ 7 —r7 (答案：(1) 6, 10； (2)或歯7； (3)①IV'密距上一；②8) 2 练习2：[2014-2015海淀第一学期期末】在平面直角坐标系xOy中，设点Pg加)，Q(x2,y2)是图形“ 上的任意两点. 定义图形艸的测度面枳：若"品的最太值为如」必如的最太值为Q则为图形四的测度面积.例如，若图形"是半径为1的。O?当P，0分别是OO与x轴的交点时，如图1, | x r x2|取得最大值，且最大值w=2；当P, 0分别是OO与y轴的交点时，如图2, |必少|取得最人值，II最大值尸2.则图形"的测度面积S=rnn=4. (1)若图形0是等腰直角三角形MBO, OA=OB=\. ①如图3,当点儿〃在坐标轴上时，它的测度面积S= ______________ ； ②如图4,当力3丄x轴时，它的测度而积沪___________ ； (2)若图形W是一个边长为1的正方形ABCD,则此图形测度面积S的最大值为____________ ; (3)若图形"是一个边长分别为3和4的矩形ABCD,求它的测度面积S的取值范围. 答案：(1)①1 ；②1? 49 (2) 2. 12WSW 丄) 2 练习3：【2014石景山一模】在平面直角坐标系xoy中，对于任意三点B, C的“矩面积”，给出如 下定义: “水平底S 任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高％任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”Swh. 例如：三点坐标分别为M(l,2), B(?3,l), C(2,?2),贝胖水平底匕=5, “铅垂高5=4, “矩面积=20. (1)已知点力(1,2), B(?3,l), P(O,t)? ①若B, P三点的“矩面积”为12,求点P的坐标； ②直接写出儿B, P三点的“矩面积”的最小值. (2)已知点E(4,0), F(0,2), “仇西)，其屮加>0, n>0. n ①若E,FM三点的“矩面秋'为8,求加的取值范围； ②直接写出E,F0三点的“矩面积”的最小值及对 ② 16, 4 < A2 < 8 ) 应n的取值范围. (答案：(1)①(0,4)；②4； (2)①0<〃江0.5； ★例9：[2014怀柔一模】在平面直角坐标系 xOy 中，已知A(-2f 0), 3(2, 0), 丄SB 于点儿 AC=2, BD 丄4B于点B, 3D=6,以M 为直径的半圆O上有一动点 P(不与A、B两点重合)，连接PD、 Si S2S3 PC,我们把rfl 五条线段加3、BD 、DP 、PC 、C4所组成的封闭图形ABDPC 叫做点P 的关联图形，如图1 所示. (1) 如图2,当P 运动到半圆0与y 轴的交点位置时，求点P 的关联图形的面积. (2) 如图3,连接CD 、OC 、0D,判断△OCD 的形状，并加以证明. (3) 当点P 运动到什么位置时，点P 的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值. (答案：(1) 12； (2) (2)判断△OCD 是直角三角形.(3) 8+4^2 ) ★例10： ［2015平谷一模】【2015—2016延庆期末】设a,b 是任意两个不等实数，我们规定：满足 不等式QSxWb 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为［a0］.对于一个函数，如果它的自变量x 与 函数值尹满足：当m (1) 反比例函数尸巴？是闭区间［1,2015］上的“闭函数"吗？请判断并说明理由； (2) 若二次函数y=x 2-2x-k=是闭区间［1,2］上的“闭函数”，求k 的值； (3) 若一次函数尸总+"絆0)是闭区I'可［〃/］上的“闭函数”，求此函数的解析式(用含加，〃的代数式 表示).(答案：(1)是；(2)R —2； (3 )尸x 或 y=-x+w+/?) 变式练习1： ［2014顺义一模】设p,q 都是实数，且p (1) 反比例函数y = ^^-是闭区间［1,2014］上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； X (2) 若一次函数尸kx+bgO)是闭区间［〃诃上的“闭函数,，求此函数的解析式； (3) 若实数c, 〃满足c d 的值. 1 9 4 7 (4) ［2014通州二模】若二次函数y = -x 2— — x 一一是闭区间［必］上的“闭函数”，直接写出实数a, h 的值. 、 a = —2 答案：(1)是；(2) y = x^y = —x + m + n . (3) c=-2，d=6; (4) < \ b = \ ★例11： ［2014北京中考】对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0,对于 任意的函数值-匕…都满足二於曲禺…则称这个函?数是有界函数,在所有满足条件的M ....................................................... f 屮，其最小值称为这个函数的边界值.例如，下图中的函数是有界函数，英边界值是1. (1) 分别判断函数尸丄(x>0)和JPX + 1(-4vxW2)是不是有界函数？若是有界 X 函数，求其边界值； (2) 若函数尹二x+l(a 孟必》0的边界值是2,且这个函数的最大值也是2,求/>的取值范围； (3) 将函数y=x 2(-l 4 (答案：(1) y =—不是；y = x +1(-4< x< 2)是；(2) -l (3) 0 变式练习1：【2015清华附中初三月考】若尹是关于x 的函数，H 是 常 数(//>0),若对于此函数图象上的任一两点(xi ，y\) , (x 2，力)， 都有 ［)V^2| 称为该函数的界高。 11 a = ------- 5 ,9 + V109 b = ----------------- 2