上海交通大学数学分析答案
2004年上海交通大学 数学分析
一（14）设lim n n a a →∞
=，证明22lim
2
21a
n na a a n n =+++∞
→ 证 因2
n x n =∞ ，故利用Stolz 公式，11lim
lim n n n
n n n n n
y y y x x x +→∞→∞+-=-，得12112222(1)1lim lim lim lim (1)212
n n n n n n n a a na
n a n a
a n n n n ++→∞→∞→∞
→∞+++++===+-+ 二（14）证明2sin()x 在[)+∞,0上不一致连续.
证
因n x =
n y =，22
sin sin 1n
n x y -=， 0n n x y -=-=→，
故2sin()x 在[)+∞,0上不一致连续.
三（14）设)(x f 在[]a 2,0上连续，且)0(f ＝)2(a f ，证明?0x ∈[]a ,0，使
)(0x f ＝)(0a x f +
证 作()()()g x f x a f x =+-（[]0,x a ∈），则()g x 在[]0,a 上连续，因)0(f ＝)2(a f ，故(2)(0)g a g =-，
情形1 若(0)0g =，则取00x =，则)(0x f ＝)(0a x f +， 情形2 若(0)0g ≠，则因2(2)(0)(0)0g a g g =-<，故由介值定理知，存在[]00,x a ∈，使得0()0g x =，即)(0x f ＝)(0a x f +.
四（14）证明不等式x π
2
＜x sin ＜x ，??
? ?
?∈2,0πx
证 作sin ()x f x x =
，π0,2x ??
∈ ???
，则因 2
2cos sin cos ()(tan )0x x x x f x x x x x -'==-<， 故sin ()x f x x =在π0,2?? ???上严格单调减少，而0lim ()1x f x →=，π22
lim ()πx f x →=，
因此，在π0,2?? ???上，有2sin ()1πx f x x <=<，即x π2
＜x sin ＜x .
五 (14) 设()d a
f x x +∞?
收敛,且)(x f 在[)+∞,a 上一致连续，证明)(lim x f x +∞
→=
0.
证 因)(x f 在[)+∞,a 上一致连续，故0ε?>，0δ?>，使得当
[)12,,t t a ∈+∞且12t t δ-<时，有12()()2
f t f t ε
-<
，
令(1)()d a n n a n u f x x δ
δ
++-=
?
，则由积分第一中值定理得，
[](1),n x a n a n δδ?∈+-+，使得(1)()d ()a n n n a n u f x x f x δ
δ
δ++-=
=?
.
因()d a
f x x +∞?
收敛，故级数1
n n u ∞
=∑收敛，从而0n u →，即
()0n f x δ→，也即()0n f x →，故对上述的ε，存在N +
∈
，使得
当n N >时，()2
n f x ε
<.
取X a N δ=+，则当x X >时，因
[)[)0,(1),k x a a k a k δδ∞=∈∞=
+-+
故存在惟一的k +
∈
，使得[)(1),x a k a k δδ∈+-+，易见k N >，且
k x x δ-<，从而
()()()()2
2
k k f x f x f x f x ε
ε
ε≤+-<
+
=
六（14）设211
n x n -=，121d n n n x x x +=?，1,2,n =，证明级数()∑∞=--1
11n n n x 收
敛.
解. 11
211d ln |ln(1)n n n n n x x x x n ++===+?，因2121n n S S k +=+，故只要证 ()12111
11ln(1)n n
k n k k k S x k
k -==??=-=-+????∑∑22111()2n k k k =??=+????∑收敛即可.
七（14）设)(x f 在[]1,0上连续，)1(f = 0 ,n n x x f x g )()(= ，1,2,n =， 证明)}({x g n 在[]1,0上一致收敛.
八（12）设()f x 在[]1,0上连续，证明1
lim ()d n n n x f x x →∞
?＝)1(f .
证 （1）（令n t x =，则10
()d n n x f x x ?1
11
()d n n
t f t t =?，
（2）因()f x 在[]1,0上连续，故0M ?>，使得()f x M ≤，[]0,1x ∈，（3）
0ε?>，记3a M
ε
=
，不妨设01a <<，则
11
110
()d ()d d 3
a
a a
n
n
n
n
t f t t t f t t M t Ma ε
≤≤==
?
??，
（4）11111111
1
()d (1)[()(1)]d ()(1)d n
n
n
n
n
n
a
a a
t f t t f t
f t f t t f t f t -=
-≤-???
11111()(1)(1)(1)d n
n
n
n
a
t f t t f t f f t =-+-?
111
1
()(1)d (1)1d n
n
a
a
f t f t f t t ≤-+-??
（5）因()f x 在[]1,0上连续，故()f x 在[]1,0上一致连续，故对上述的正数ε，0δ?>，当[]12,0,1x x ∈且12x x δ-<时，有
12()()3(1)
f x f x a ε
-<
-
（6）因1lim 1n
n a →∞
=，记min{,
}3(1)
M a ε
εδ*=-，则存在正整数N ，使得当
n N >时，有11n
a ε*-<，
（7）当(,1)t a ∈时，有111111n
n
n
t t a -=-≤-，从而当n N >时，有
111
1
()(1)d (1)1d 3
3
n
n
a
a
f t f t f t t ε
ε
-+-<
+
?
?
（8）由（3）和（7）知，当n N >时，有
1110()d (1)n
n
t f t t f -?1
1111
02()d ()d (1)33a
n n n n
a t f t t t f t t f ε
ε
ε≤+-<+=??
九（12）设1a >0，1+n a ＝n a ＋n a 1
，证明n 1
证 （1
）要证n ＝1 ，只要证2
lim 12n
n a n →∞=，
即只要证221lim 1(22)2n n
n a a n n
+→∞-=+-，即证221lim()2n n n a a +→∞-= （2）因1+n a ＝n a ＋n a 1
，故110n n n a a a +-=>，1211n n n
a a a +=+
22
111122
11()()112n n n n n n n n n n n
a a a a a a a a a a a +++++-=-+==++=+ 因此只要证21
lim 0n n
a →∞=，即只要证lim n n a →∞=∞
（3）由11
0n n n
a a a +-=>知，{}n a 单调增加，假如{}n a 有上界，则{}n a 必
有极限a ，由1+n a ＝n a ＋n a 1
知，a ＝a ＋1a ，因此10a
=，矛盾.
这表明{}n a 单调增加、没有上界，因此lim n n a →∞
=∞. （证完）
十（28）计算下述积分：
1
．d x y ??
，其中D 是矩形区域x 1≤，20≤≤y
解 记21{(,)|1,02,0}D x y x y y x =≤≤≤-≤
22{(,)|1,02,0}D x y x y y x =≤≤≤≤-，
2
d d d D D x y x y x y =+??
??
??
2
112
2
2
1
12
221
1
d ()d d ()d x x x x y y x y x y --=-+-????
3
3
22
1
1
2211
22()d (2)d 33x x x x --=+-?? 3
3
22
1
1
220044()d (2)d 33x x x x =+-?? π1
4
34
00
416d cos d 33x x t t =
+??
()x t =这里 π
2
4
01161cos2d 332t t +??=+ ???
?
π4
0141cos412cos2d 332t t t +??=+++ ???
? π4
0143sin 4sin 23328t t t ??=+++???? 143ππ5133823
??=++=+ ??? 2．
22d d ()d d d d S
yz y z x z y z x xy x y +++??
，其中S 是曲面
224z x y +=-上0≥y 的那部分正侧.
解 记22{(,,)|4,0}x y z x z y ∑=+≤=（取下侧），
22{(,,)|04}V x y z y x z =≤≤--，则V S ?=+∑，由高斯公式知，
2222d d ()d d d d ()d d d 0
S
S V
yz y z x z y z x xy x y x z x y z +∑
∑
+++=-=++??
??
??
???224
2222
()d d d d ()d d V
x z x z x y z y
x z x z +=+=+????4
2012π(4)d 4y y =-? 4
30
π32π(4)63
y ??=--=??
《数学分析III》期中考试试题及参考答案
数学分析下册期末试题（模拟） 一、填空题（每小题3分，共24分） 1 、重极限 22(,)lim x y →=___________________ 2、设(,,)x yz u x y z e +=，则全微分du =_______________________ 3、设(sin ,)x z f x y y e =+，则 z x ?=?___________________ 4、设L 是以原点为中心，a 为半径的上半圆周，则 2 2()L x y ds +=?________. 5、曲面222 239x y z ++=和2 2 2 3z x y =+所截出的曲线在点(1,1,2)-处的 法平面方程是___________________________. 6 、已知12??Γ= ???32?? Γ-= ??? _____________. 7、改变累次积分的顺序，2 1 20 (,)x dx f x y dy =?? ______________________. 8、第二型曲面积分 S xdydz ydzdx zdxdy ++=??______________，其中S 为 球面2 2 2 1x y z ++=，取外侧. 二、单项选择题（每小题2分，共16分） 1、下列平面点集，不是区域的是（ ） （A ）2 2 {(,)14}D x y x y =<+≤ （B ）{(,)01,22}D x y x y =<≤-≤≤ （C ）{(,)01,1}D x y x y x =≤≤≤+ （D ）{(,)0}D x y xy => 2、下列论断，正确的是（ ） （A ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个累次极限都不存在，则该函数在 00(,)x y 处重极限必定不存在.
数学分析三试卷及答案
《数学分析》(三）――参考答案及评分标准 一． 计算题（共8题,每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限． 解: 11 (,)f x y y x = +=， 因此二重极限为0．……(4分) 因为011x y x →+ 与011 y y x →+均不存在, 故二次极限均不存 在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(),(,,)0 z xf x y F x y z =+??=?所确定的隐函数，其中f 和F 分别 具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解： 对两方程分别关于x 求偏导: , ……(4分) 。?解此方程组并整理得 ()()() ()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-= '++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数,变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。 设,,22 y x y x y w ze μν+-=== (假设出现的导数皆连续). 解:z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-====。 ……(4 分） 代人原方程,并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得: 222 2w w w μμν??+=???。 ……（9分） 4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省？ ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=??
上海大学数学研究分析历年考研真题
上海大学数学分析历年考研真题
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
上海大学2000年度研究生入学考试试题 数学分析 1、 设 122(1)n n x x nx y n n +++= +L ，若lim n n x a →∞=，证明：（1）当a 为有限数时，lim 2 n n a y →∞=； （2）当a =+∞时，lim n n y →∞ =+∞. 2、设()f x 在[]0,1上有二阶导数（端点分别指左、右导数），(0)(1)0f f ==，且 [] 0,1min ()1f x =- 证明：[] 0,1max ()8f x ''≥ 3、 证明：黎曼函数[]1 , x= (0,,)()0,10,p q p q q q R x ?>? =??? 当为互质整数在上可积当x 为无理数. 4、 证明：1 2210 () lim (0),t tf x dx f t x π+ -→=+?其中()f x 在[]1,1-上连续. 5、 设()1ln 11n n p a n ? ?=+- ???，讨论级数2 n n a +∞ =∑的收敛性. 6、 设 ()f x dx +∞ ? 收敛且()f x 在[]0,+∞上单调，证明：0 1 lim ()()h n h f nh f x dx + +∞ +∞ →==∑?. 7、 计算曲面2 2 2 2 x y z a ++=包含在曲面22 221(0)x y b a a b +=<≤内的那部分的面积. 8、 将函数()f x x =在[]0,2π上展成Fourier 级数,并计算级数 1 sin k k k +∞ =∑的值. 上海大学2001年度研究生入学考试试题 数学分析 1、 计算下列极限、导数和积分: (1) 计算极限1 lim ();x x x + → (2) 计算 2 ()()x x f t dt ?=?的导数()x ?',其中()f x 2 ,(1) .1,(1)t t t t ≤?=? +>? (3) 已知( ) 21 1arctan 2tan 1sin 2 x x ' ??=??+??,求积分2011sin I dx x π=+?.
数学分析三试卷及答案
《数学分析》(三)――参考答案及评分标准 一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =+在点(0,0)处的二次极限与二重极限. 解： 11 (,)f x y y x ==+ ，因此二重极限为0.……(4 分) 因为011x y x →+ 与011 y y x →+均不存在， 故二次极限均不存在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(), (,,)0 z xf x y F x y z =+??=?所确定的隐函数,其中f 和F 分别具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解： 对两方程分别关于x 求偏导: ， ……(4分) 。 解此方程组并整理得 ()()() ()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-= '++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。 设,,22 y x y x y w ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）. 解：z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-====。 ……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得： 2222w w w μμν ??+ =???。 ……(9分) ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=??
数学分析试题及答案解析
2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?（ ）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????= dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛，()?+∞a dx x g 条件收敛，则()()?+∞ -a dx x g x f ][必然条件收敛（ ）. 4. 若()?+∞ 1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1 n n f 收敛（ ） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散 于正无穷大（ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到 的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（ ） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相 等，则（ ）
A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞=--+12111n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1<=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散； 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；
上海大学历年考研真题
2003年传播学理论考研试题 一、解释（3*10=30分） 1.劝服论 2.舆论 3.传播媒介 4.内向传播 5.维模原理 6.知晓权 7.近体 8.沉默的螺旋 9.文化规范论 10.多视觉新闻学 二、简答（5*12=60） 1.传播学包括哪些基本内容？ 2.简介传播学4位奠基人的主要理论贡献与论著 3.冷媒介与热媒介 4.简述梁启超的新闻传播思想 5.提高宣传效果应注意的问题 三、论述（60分） 1.联系实际，辨证分析传播的功能（40分） 2.多网络传播的特点及与传统媒体的关系（20分）
2003年传播学研究方法考研试题 一、名词解释（4*10） 1.定量研究 2.经验社会学 3.连续变量 4.抽样 5.名目尺度 6.多因素设计 7.个案研究 8.抽样误差 9.信度 10.相关分析 二、简答题（60分） 1.实地访问的重要类型 2.内容分析的方**原则 3.实验的控制主要应把握的两个方面 三、论述题（50分） 问卷的结构分析 2004年试题 R检验 描述性统计分析 定量
简单随机抽样 内容分析 经济传播 信息污染 文化分层 议程设置 铅版 定量与定性的区别和联系（论述）上大05年传播学理论试题 一、名词解释 1.莱温 2.传播者 3.媒介情景非真实化 4.内向传播 5.新闻 6.文化传播的“维模”原理 7.知晓权 8.集权主义理论 9.申报 二、简答题 1.结构功能理论 2.宣伟伯模式
3.议程设计理论 三、论述题 1.麦克鲁汉的媒介理论 2.陈独秀的新闻思想 2005年传播学研究方法 一、名词解释（8*5） 1.信度、效度 2.内容分析 3.分层抽样 4.个案研究 5.控制实验 6.R检验 7.假设 8.答案的穷尽性 二、简答题（4*15） 1.问卷设计中常见的错误有哪些？ 2.定量研究方法的具体步骤并图示 3.科学的研究设计包括哪几项？ 4.问题设计的原则 三、论传播学研究的交叉性（50）
数学分析试卷及答案6套(新)
数学分析-1样题(一) 一. (8分)用数列极限的N ε- 定义证明1n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ?∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) 用ε三 (n x n n = ++ ?+四()f x x = 在五六七八九. )b ,使 (f ''数学分析-1样题(二) 一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a =, 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的正常 数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=.
三. (10分)设0n a >,且1 lim 1n n n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞ =. 四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续?()f x 在(,)a b 连续,且 lim ()x a f x + →,lim ()x b f x - →存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理. 六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2 [()]f x 在a 可导,则函数()f x 在a 可导. 七. 八. ,都有 f 九. 一.(各1. x ?3. ln 0 ? 二.(10三. (10四. (15分)证明函数级数 (1)n x x =-在不一致收敛, 在[0,](其中)一致收敛. 五. (10分)将函数,0 (),0x x f x x x ππππ + ≤≤?=? - <≤?展成傅立叶级数. 六. (10分)设22 22 0(,)0,0 xy x y f x y x y ? +≠?=?? +=?
(最新整理)上海交通大学年数学分析考研试题
(完整)上海交通大学2005年数学分析考研试题 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)上海交通大学2005年数学分析考研试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)上海交通大学2005年数学分析考研试题的全部内容。