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初中数学圆的知识点总结

初中数学圆的知识点总结
初中数学圆的知识点总结

知识点一、圆的定义及有关概念

1.圆的左义:平而内到泄点的距离等于左长的所有点组成的图形叫做圆。

2、有关槪念:弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.直径是最长的弦Q

在同圆或等圆中,能够重合的两条弧叫做等弧*

例P为Oo内一点,OP=3cm, OO半径为5cm,则经过P点的最短弦长为_______________ :回最长弦长为 ______ .

解题思路:圆内最长的弦是直径,最短的弦是和OP垂直的弦,答案:IOcm, 8 cm.

知识点二、平面内点和圆的位置关系

平而内点和圆的位置关系有三种:点在圆外、点在圆上.点在圆内

当点在圆外时,d>r;反过来,当d>厂时,点在圆外。

当点在圆上时,d=r;反过来,当d=厂时,点在圆上。

当点在圆内时,d<几反过来,当dV厂时,点在圆内。

例如图,在Rt C中,直角边AB = 3t BC = 4,点E , F

分别是BC, AC的中点,以点A为圆心,AB的长为半径画圆,则

点E在圆人的 _________ ?点F在圆人的__________ ?

解题思路:利用点与圆的位置关系,答案:外部,内部

练习:在直角坐标平面内,圆O的半径为5,圆心0的坐标为(-b-4)?试判断点

P(3,-l)与圆O的位置关系.

答案:点P在圆0上.

知识点三、圆的基本性质

2、垂径立理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的狐。

垂径泄理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦对的弧。

3、圆具有旋转对称性,特别的圆是中心对称图形,对称中心是圆心。

圆心角左理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组疑相等,那么它们所对应的英余各组量都分別相等。

4、圆周角立理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

圆周角左理推论1:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等。

圆周角左理推论2:直径所对的圆周角是直角:90。的圆周角所对的弦是直径。

例1如图,在半径为5cm的C)O中,圆心O到弦力B的距离为3cm,

则弦AB的长是()

A? 4cm B. 6cm C? 8cm D? IOCrn

解题思路:在一个圆中,若知圆的半径为R,弦长为Q,圆心到此弦的距离为d,回根据垂

径左理,有R2=d2+(-)2,所以三个量知道两个,就可求出第三个?答案C

2

例2.如图,4、B、C、D是OO上的三点,ZaAC=30。,则ZBOC的大小是()

A、60o

B、45。

C、30o

D、15°

解题思路:运用圆周角与圆心角的关系左理,答案:A

例3、如图1和图2, MN是OO的直径,弦AB. CD0相交于MMD上的一点P,

ΞZ APM=Z CPM.

(1)由以上条件,你认为A3和CD大小关系是什么,请说明理由.

(2)若交点P在C)O的外部,上述结论是否成立若成立,加以证明;若不成立,请说明理由?

解题思路:(1)要说明AB=CD,只要证明AB、CD所对的圆心角相等,回只要说明它们的一半相等.

上述结论仍然成立,它的证明思路与上而的题目是一模一样的?

解:(1) AB=CD

理由:过O作OE、OF分别垂宜于AB、CD,垂足分别为E、F

T Z APM=Z CPM ??? Z I=Z 2 OE=OF

连结 0D、OB 且 OB=OD ??? Rt? OFD^ Rt? OEB .?. DF=BE

根据「垂径左理可得:AB=CD

(2)作OE丄AB, OF丄CD,垂足为E、F

?.? Z APM=Z CPN 且 OP二OP, Z PEO=Z PFO=90o

??? Rt? OPE空 Rt? OPF ??? OE=OF

连接 0A、OB、0C. OD

易证 Rt? OBE空 Rt? ODF, Rt? OAE旻 Rt? OCF

??? Z 1+Z 2=Z 3+Z 4 /. AB=CD

例4?如图,是C)O的直径,BD是C)O的弦,延长3D到C,使AC=AB, BD与CD的大小有什么关系为什么

解题思路:BD=CD9因为AB=AC.所以这个AABC是等腰,要证明D是BC的中点,

回只要连结AD证明AD是高或是Z BAC的平分线即可?

解:BD=CD

理由是:如图24 — 30,连接AD

??? AB 是C)O 的直径??? Z ADB=90o即AD±BC 又??

?AC=AB???BD=CD

知识点四.圆与三角形的关系

1、不在同一条直线上的三个点确泄一个圆。

2、三角形的外接圆:经过三角形三个顶点的圆。

3、三角形的外心:三角形三边垂直平分线的交点,即三角形外接圆的圆心。

4、三角形的内切圆:与三角形的三边都相切的圆。

5、三角形的内心:三角形三条角平分线的交点,即三角形内切圆的圆心。

例1如图,通过防治“非典〃.人们增强了卫生意识,大街随地乱扔生活垃圾的人少了, 人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中,如图24-49所示,人、3、C0为市内的三个住宅小区, 环保公司要建一垃圾回收站,为方便起见,回要使得回收站建在三个小区都相等的某处,请问如果你是工程师,你将如何选址?

A?

解题思路:

B 连结BC,作线段AB. BC的中垂线,两条中垂线的交点即为垃圾回收

站所在的位垃?

例2如图,点O是ZkABC的内切圆的圆心.若ZBAC= 80。, 则 Z BOC=()

A. 130o

B. IOO 0

C. 50o D ? 650

解题思路:此题解题的关键是弄淸三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点,答案A

例3如图,Rtb ABC 9 Z C=90% AC=3cm, BC=4cm,则它的外心与顶点C 的距离为().

A

解题思路:直角三角形外心的位置是斜边的中点,答案B

知识点五、直线和圆的位置关系:相交、相切、相离

当直线和圆相交时,d

当直线和圆相切时,d=r:反过来,当d=r 时,直线和圆相切。

当直线和圆相离时,d>r:反过来,当d>门I 寸,直线和圆相离。

切线的性质左理:圆的切线垂直于过切点的直径

切线的判定左理:经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。

切线长:在经过圆外一点的圆的切线上,这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切 线

长。

切线长左理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和圆外这点的连线 平

分两条切线的夹角。

例1、在Z ?MC 中,βC=6cm, Z B=30o , Z C=45o

,以&为圆心,当半径r 多长时所作

的OA 与直线8C 相切相交相离

解题思路:作AD 丄BC 于D

在 RtilABD 中,Z B =30O

???CD=AD

A. 5 Cm

B. C ? 3cm D ?

4cm

??? BC=6cm ??? 5Z)+CZ)≡ √3^D + ^D = (√3+ 1)^=6

??? AD=3(√3-l)(c^)

??? -Ir = 3(√3-l)c?^时,OA ? BC 相切:>3(√3-l)cw时,OA 与 BC 相交:当r < 3(羽一1) Cm时'OA I j BC 相离。

例2.如图,AB为00的直径,C是C)O上一点,D在力3的延长线上,且ADCB=^ A.

(1)C D与OO相切吗如果相切,请你加以证明,如果不相切,请说明理由.

(2)若CD与C)O相切,且Z D=30? 80=10,求OO的半径.

解题思路:(1)要说明CD是否是Oo的切线,只要说明OC是否垂直于CD,垂足为C, 回因为C点已在圆上.

由已知易得:ZA二30°,又由Z DCB=Z A=30o得:BC=BD=IO 解:(1) CD与C)O相切

理由:①C点在00± (已知)

②?.? AB是直径

??? Z ACB=90o,即Z ACO+Z OCB=90o??? Z A=Z OCA

且Z DCB=Z A

???Z OCA=Z DCB???Z OCD=90o综上:CD是OO的切线?

(2)在 Rt? OCD 中,Z D=30o

??? Z COD=60o??? Z A=30o.β. Z BCD=30o

??? BC=BD=IO

AAB=20, Ar=IO答:(1) CD是OO的切线,(2) Oo的半径是10?

知识点六、圆与圆的位置关系

重点:两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用.

难点:探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题.

外离:两圆没有公共点,一个圆上所有的点都在另一个圆的外部相离:

&

内含:两圆没有公共点,一个圆上所有的点都在另一个圆的内部

相切:

外切:两圆只有一个公共点,除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的外部

内切:两圆只有一个公共点,除公共点「外一个圆上所有的点都在另一个圆的内部 相

交:两圆只有两个公共点。

设两圆的半径分别为r 】、圆心距(两圆圆心的距离)为d,则有两圆的位世关系,d

与rι和々之间的关系.

外离U>/>%+厂2

外切 <=>d=r 1+r 2

相交 O ?r 1-r 2?

内切 Od=?r 1-r 2? 内含<=>O≤d<∣rι~Γ2∣ (其中d=0,两圆同心)

例1?两个同样大小的肥皂「泡黏在一起,其剖而如图1所示(点6 0,是圆心),分隔

两个肥皂泡的肥皂膜PQ 成一条直线.TP 、NP 分别为两圆的切线,求ATPN 的大小.

(1) (2)

解题思路:要求ZTPN,其实就是求ZOPey 的角度,很明显,ZPOO Z

是正三角形,如 图2所

示.

解:??? PO=OO z =PO Z ???? P0,0是一个等边三角形 ???Z OPoJ60。 又T TP 与NP 分别为两圆的切线,AZTPO=90% ZNPoy90。

??? Z TPN=360o - 2×90o

-

60°= 120°

例2?如图1所示,C)O的半径为7cm,点人为OO外一点,OA=ISCm.

求:(1)作0&与C)O外切,并求OA的半径是多少

(2)作CM与Oo相内切,并求岀此时04的半径.

解题思路:(1)作OA和OO外切,就是作以A为圆心的圆与00的圆心距d=ro+rA; (E2)回作OA与00相内切,就是作以A为圆心的圆与C)O的圆心距d=r A-ro.

解:如图2所示,(1)作法:以A为圆心,ΓA=15-7=8为半径作圆,则C)A≡的半径为8cm

(2)作法:以A点为圆心,rr=15+7=22为半径作圆,则C)A的半径为22Cm

例3.如图所示,点&坐标为(0, 3), OA半径为1,点B在X轴上.

(1)若点3坐标为(4, 0), C)B半径为3,试判断OA与08位宜关系:

(2)若081iM (一2, 0)且与Oq相切,求B点坐标?

(1) AB=5>l+3,外离.

(2)设B (x, 0) x≠-2,则AB=√9 + √ , OB 半径为∣×+2∣,

①设OB 与C)A 外切,则√9+X2=∣X÷2∣+1,

当x>-2时,√9 + X2=X+3,平方化简得:x=0符题意,/. B (0, 0),

当 x< —2 时? ^9 + X2 = —X—1,化简得×=4>-2 (舍),

②设 OB 与 C)A 内切,则√9 + X2=∣x÷2∣-lt

当×>-2 时,√9+7=X+1,得 X二4>一2,??? B (4, 0),

当×<-2 时,√9 + X2=-X-3,得 X==0,

知识点七、正多边形和圆

重点:讲淸正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、回边长之间的关系.

难点:使学生理解四者:正多边形半径、中心角、回弦心距、边长之间的关系.

正多边形的中心:所有对称轴的交点:

正多边形的半径:正多边形外接圆的半径。

正多边形的边心距:正多边形内切圆的半径。

正多边形的中心角:正多边形每一条边所对的圆心角。

正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形,每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。

例如图,已知正六边形ABCDEF,其外接圆的半径是回求正六边形的周长和而积.

解题思路:要求正六边形的周长,只要求AB的长,已知条件是外接圆半径,因此自然而然,边长应与半径挂上钩,很自然应连接OA,过O点作OM丄AB垂于M,在RtAAOIWE 中便可求得AM,又应用垂径立理可求得AB的长.正六边形的而积是由六块正三角形面积组成的?

360°解:如图所示,由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于------- =60%回△ OBC是

6

等边三角形,从而正六边形的边长等于它的半径??

因此,所求的正六边形的周长为6a

在 Rt? OAM 中,OA=a, AM= — AB= — a 2 2

利用勾股泄理,可得边心距

OM=J/—(如冷辰

1 I ∕β 3

.?.所求正六边形的而积=6× — ×AB×0M=6× — ×a× a= — y/3 a 2

2 2 2 2

例2.在直径为AB 的半圆内,划岀一块三角形区域,如图所示,使三角形的一边为 顶点C

在半圆圆周上,苴它两边分别为6和8,现要建造一个内接于△ A8C0的矩形水池DEFN, 其中

D 、

E 在AB 上,如图24-94的设计方案是使AC=8, BC=6.

(1) 求ZkABC 的边AB ±的高/1.

h_ DN NF

(2) ----------------- 设DN=x,且 =——,当X 取何值时,水池DMN 的而积最大

h AB

(3)实际施工时,发现在ABk 距3点1?85的M 处有一棵大树,问:这棵大树是否 位于

最大矩形水池的边上如果在,为了保护大树,请设计出列外的方案,使内接于满足条件 的三角

形中欲建的最大矩形水池能避开大树.

解题思路:要求矩形的面积最大,先要列出而积表达式,再考虑最值的求法,初中

阶段,尤其现学的知识,应用配方法求最值.(3)的设讣要有新意,回应用圆的对称性就能

圆满解决此题.

10

h — DN NF II 10(4.8-X)

(2) Th= -------- =—— 且 DN=X ??. NF= -----------

h AB 4.8

-^(X-)2≤0 25 ???一一(X-) 2+1242且当X=时,取等号

X X ???当X=时,SDEFN 最大.

(3)当SDEFN 最大时,X=,此时,F 为BC 中点,在Rt ? FEB 中,EF=, BF=3.

??? BE= √DE 2-EF 2 =√32-2.42

= 解:⑴ Fh AB CG=AC-BC W h= C 8x6

AB

贝U S 曲边,∣t; DEFN =×" 10 48 25 , 25 (―x)=———×2+10×=-—— (X 2 — 120 --- X) 25 25 1

60 3600η 25 ——)Z - ------ ]=——— (χ-) 2+12 C

V BM=, ΛBM>EB,即大树必位于欲修建的水池边上,应重新设计方案.

T 当 X 二时,DE=5 A AD=,

由圆的对称性知满足条件的另一设计方案,如图所示:

C

此时,SAC=6, BC=& AD=, BE=,这样设计既满足条件,又避开大树.

知识点八、弧长和扇形.圆锥侧面积面积

(

重点:n 。的圆心角所对的弧长L=—,扇形而积S 扇二竺空、圆锥侧面积而积及其它

180 360

们的应用.

难点:公式的应用.

1?n 。的圆心角所对的弧长L=—

180

2. 圆心角为n 。的扇形而积是S 扇形=罟?

3. 全面积是由侧面积和底面圆的而积组成的,所以全而积=兀rL+r2.

<

例1.操作与证明:如图所示,O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心,将一块半径足够 长,

圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 处,并将纸板绕O 点旋转,求证:正方形ABCD 的边被

纸板覆盖部分的总长度为定值

a.

解题思路:如图所示,不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB 、AD (Z )分別交于点M 、N,

连结OA 、OD.???四边形ABCD 是正方形

??? 0A=0D, Z AOD=90% Z MAO=Z NDO,

又Z MON=90o

, Z AOM=Z DON .?. & AMO 旻△ DNO .?. AM=DN .?. AM+AN=DN+AN=AD=a

特别地,当点M 与点A (点B )重合时,点N 必与点D (点A )重合,此时AM+AN 仍 为泄

值a.故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为泄值a.

例2.已知扇形的圆心角为120°,面积为300;TCm2.

(1) 求扇形的弧长:

(2) 若将此扇形卷成一个圆锥,则这个圆锥的轴截而而积为多少

解题思路:⑴由S 询鵠求出R ,再代入<2)若将此扇形卷成

一个圆锥,回扇形的弧长就是圆锥底而圆的周长,就可求圆的半径,英截而是一个以底是直

径,回圆锥母线为腰的等腰三角形.

解:(1)如图所示:

(2)如图所示: 1

F .,. S Wurtj = — ×BC×AD

2

=—×2×10×20 >/2 =200 ?∕2 (cm 2)

2

因此,扇形的弧长是20兀Cm 卷成圆锥的轴截而是200√2cm 2

. 120 兀

R 2

???R=30 /.弧长L= 120x∕rx30 ~^180

=20 7Γ (Cm) 20兀=20兀 r ??? r=10, R=30 AD= √900-100 =20 √2

最新考题

A

中考要求及命题趋势

1、理解圆的基本槪念与性质。

2、求线段与角和呱的度数。

3、圆与相似三角形、全等三角形、三角函数的综合题。

4、直线和圆的位豊关系。

?

5、圆的切线的性质和判泄。

6、三角形内切圆以及三角形内心的概念。

7、圆和圆的五种位置关系。

8、两圆的位置关系与两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式。两圆相切、相交的性质。

9、掌握弧长、扇形而积汁算公式。

10、理解圆柱、圆锥的侧面展开图。

11、掌握圆柱、圆锥的侧而积和全而积计算。

2015年中考将继续考查圆的有关性质,英中圆与三角形相似(全等)。三角函数的小综合题为考査重点;直线和圆的关系作为考查重点,其中直线和圆的位置关系的开放题、探究题是考查重点:继续考查圆与圆的位置五种关系。对弧长、扇形而积讣算以及圆柱、圆锥的侧而积和全面积的计算是考査的重点。

应试对策

圆的综合题,除了考切线必须的问题。一般圆主要和前而的相似三角形,和前而大的知识点接触。就是说几何所有的东西都是通的,你学后而的就自然牵扯到前而的,前而的忘掉了,简单的东西忘掉了,后而要用就不会用了,所以几何前而学到的知识、常用知识,后面随时都在用。直线和圆以前的部分是重点内容,后而扇形的而积、圆锥、圆柱的侧面积,这些都是必考的,后而都是一些填空题和选择题,对于扇形面积公式、圆锥、圆柱的侧而积的

公式记住了就可以了。圆这一章,特别是有关圆的性质这两个单元,重要的概念、左理先掌握了,你首先要掌握这些,题目就是左理的简单应用,所以概念和定理没有掌握就谈不到应用,所以你首先应该掌握。掌握之后,再掌握一些这两章的解题思路和解题方法就可以了。你说你已经把一些这个单元的基本左理都掌握了,那么我可以在这里面介绍一些掌握的解题思路,这样你把这些都掌握了,解决一些中等难题。都是哪些思路呢我暂认为你基本知识掌握了,那么,在圆的有关性质这一章,你需要掌握哪些解题思路、解题方法呢第一,这两章有三条常用辅助线,一章是圆心距,第二章是直径圆周角,第三条是切线径,就是连接圆心和切点的,或者是连接圆周角的距离,这是一条常用的辅助线。有几个分析题目的思路,在圆中有一个非常重要,就是弧、常与圆周角互相转换,那么怎么去应用,就根据题目条件而

考査目标一.主要是指圆的基础知识.包括圆的对称性,圆心角与弧.弦之间的相等

关系,圆周角与圆心角之间的关系,直径所对的圆周角是直角,以及垂径定理等内容。这

部分内容是圆的基础知识,学生要学会利用相关知识进行简单的几何推理和几何计算例1.如图,AB是OO的直径,BC是弦,OD丄BC于&交BC于D.

(2)请写出五个不同类型的正确结论:

(2)若 BC=8, ED=I9求C)O 的半径.

解题思路:运用圆的垂径上理等内容

解:(1)不同类型的正确结论有:

①BE=CE;②弧 BD二弧 CD ③Z BED=90°④Z BOD=Z A;Q)ACw OD,⑥AC丄BC;

?O£2+SE2=O82;?S A ABC=BC?OE;⑨厶 BoD 是等腰三角形,⑩厶BOE-厶BAC;

(2)?∕ OD±BC. ??? BE=CE=-BC=4?

2

设Oo的半径为/?,则0E=OD-DE=R~2.

? Rt?OEB中,由勾股泄理得

0E2÷BE2=OS2,即(R-2)2+42=R2?解得 R = 5. .?. C)O 的半径为 5 例2?已知:如图等边AABC内接于C)O,点P是劣弧PC上的一点(端点除外),延长必至使BD = AP,连结CD?

(1)若AP过圆心0,如图①,请你判断APDC是什么三角形并说明理由?

(2)若AP不过圆心0,如图②,ZkPDC又是什么三角形为什么

又TAP过圆心O, AB = AC9ZEAC = 60°

??? ABAP = ZPAC = - ZBAC= 30°.? ΛBAP = ABCP = 30o, ZPBC = ZPAC= 30°

2

??? ZCPD = ZPBC+ZBCP = 30o + 30o = 60o?'?HPDC为等边三角形.

(2) 仍为等边三角形

理由:先证AAPC^ABDC (过程同上):?PC = DC

[

?9ABAP+APAC = ωo又*ZBAP = ABCP, ZPAC=APB C

??ZCPD = ZBCP+ZPBC = ZBAP+ZPAC = 6O Q

又T PC = DC ???∕?PDC为等边三角形.

例3”⑴如图OA、OB是Oo的两条半径,且0A±0B,点C是OB延长线上任意一点:过点C 作CD切OO于点D,连结AD交DC于点E.求证:CD=GE

(2)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F,交OO于X,其他条件不变, 那么上述结论CD=CE还成立吗为什么

>

(3)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动到C)O外的CF,点E是DA的延长线与CF 的交点?其他条件不变,那么上述结论CD=CE还成立吗为什么

???AAPC m∕?BDC ???? PC = DC

解题思路:本题主要考查圆的有关知识?考查图形运动变化中的探究能力及推理能力.

解答:(l)ilE明:连结 OD 贝∣JθD±CD, /. Z CDE+Z ODA=90o

在 Rt? AOE 中,Z AEO+Z A=90o

在OO 中,OA=OD??.Z A=Z ODA, .?. Z CDE=Z AEO

又??? Z AEO=Z CED, Z CDE=Z CED /. CD=CE

(2)CE=CD仍然成立?

■/原来的半径OB所在直线向上平行移动.?? CF丄AO于F,

在 Rt? AFE 中,Z A+Z AEF=90o?

连结 OD,有Z ODA+Z CDE=90% 且 OA=OD ? Z A=Z ODA

??? Z AEF=Z CDE 又Z AEF=Z CED /. Z CED=Z CDE/. CD=CE (3)CE=CD仍然成立.

T原来的半径OB所在直线向上平行移动.AO丄CF

延长 OA 交 CF 于 G,在 Rt? AEG 中,Z AEG+Z GAE=90o

连结 OD, ■有Z CDA+Z ODA=90?且 OA=OD/. Z ADO=Z OAD=Z GAE

??? Z CDE=Z CED ??? CD=CE

考査目标二.主要是指点与圆的位置关系.直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系的相关内容。学生要学会用动态的观点理解和解决与圆有关的位置关系的问题。

例1、AB是OO的直径,Pl切Oo于A, OP交OO于C,连BC.若ZP = 30 ,

求Z3的度数. /一~

解题思路:运用切线的性质?

???PA切Oo于4 AB是00的直径,???ZPAO = 90 .

V ZP = 30 , A ZAOP = 60 ???? ZB = IZAOP = 30

2

例2.如图,四边形ABCD内接于OO, 3D是OO的直径,AE丄Cr>,垂足为£, DA 平分ZBDE.

(1)求证:4E是OO的切线;

(2)若ZDBC = 30 9 DE = ICm,求 BD的长.

解题思路:运用切线的判左r

(1)证明:连接 Q4,: DA平分ZBDE^ :.ZBDA = ZEDA.

??? OA = OD :. ZODA = ZOAD ? /. ZOAD = ZEDA ?

.?OA∕∕CE ?

???4£丄 QG A ZAED = 90 , ZOAE = ZDEA = 9(T ? .? AE丄

Q4. :. AE是OO的切线.

(2) ?.?BD是直径,ZBCD = ZBAD = 90 .

V ZDBC = 30 9 ZBDC = 60 , :. ZBDE = I 20 ?

VDA平分ZBDE, /.ZBDA = AEDA = 60 . /.ZABD = ZEAD = 30 .

在RtAAED中,ZAED = 90 , ZEAr) = 30 , A AD = IDE ?

在RtAABD中,ZBAr) = 90 , ZABD = 30 , /. BD = 2AD = 4DE ?

?.?DE的长是lcm, . .BD的长是4cm?

考査目标三、主要是指圆中的计算问题,包括弧长、扇形面积,以及圆柱与圆锥的侧面积和全面积的计算,这部分内容也是历年中考的必考内容之一。学生要理解圆柱和其侧面展开图矩形、圆锥和其侧面展开图扇形之间的关系。

例如图,已知在C)O 中,AB= 4^, AC 是Oo 的直径,AC 丄BD 于 F, Z A=30o .

(1)求图中阴影部分的面积;

⑵若用阴影扇形OBD 用成一个圆锥侧而,请求出这个圆锥的底而

圆的半径.

= OB 2 ?.?.0B=4. /.S wti ;= is 3 法三:连结BC ?

??? AC 为OO 的直径,???Z ABC 二90。。

?/ AB=4λ∕3 > ?= =M = $

"cos30o ^"TΓ

T

解题思路:(1)法一:过0作OE 丄AB 于E,

则 AE=iAB=2√3 . 2

A 厂 在 Rt ?AE0 中,ZBAC=30°,

cos30°=- OA

Λ0A=^^ = ?=4.

cos30o √3

又T OA 二0B, /. Z ABO=30o ? /. Z BOC=60o

? ?/ AC 丄BD,??? BC = CD ? /. Z COD=Z BOC=60o . .β

. Z BOD=I20°. ???S 時竺竺二空佔=%?

360 360 3

法二:连结AD.

TAC 丄BD, AC 是直径,AAC 垂直平分BD 。

??? AB 二AD, BF=FD, BC = CDo /. Z BAD=2Z BAC=60% ??? Z BOD=I20°.

?.? BF=丄 AB=2 √3 , si∩60°=-—

AF=AB ?sin60o =4√3 ×-=6-

2

??? OB 2=BF 2+OF 2.即(2*y +(6 一 OB )I

_16 H = — π

中考数学圆知识点归纳

圆知识点归纳 一、圆的定义。 1、以定点为圆心,定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内,到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径:圆上一点与圆心的连线段。 2、直径:连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦:连接圆上两点线段(直径也是弦)。 4、弧:圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 (1)劣弧:小于半圆周的弧。 (2)优弧:大于半圆周的弧。 5、圆心角:以圆心为顶点,半径为角的边。 6、圆周角:顶点在圆周上,圆周角的两边是弦。 7、弦心距:圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 (1)圆是轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线。 (2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。 (3)圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 (1)垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧。 (2)推论: ? 平分弦(非直径)的直径,垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 ? 平分弧的直径,垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 (1)同弧所对的圆周角相等。 (2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角,它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中,两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等,其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ,OP=d 。 7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 (2)不在同一直线上的三点确定一个圆,圆心是三边中垂线的交点,它到三个点的距 离相等。 (直角三角形的外心就是斜边的中点。) 8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离,r 表示圆的半径。 直线与圆有两个交点,直线与圆相交;直线与圆只有一个交点,直线与圆相切; d = r 点P 在⊙O 上 d < r (r > d 点P 在⊙O 内 d > r (r

人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含答案

24.1.1 圆 知识点一圆的定义 o叫作圆圆的定义:第一种:在一个平面内,线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点 心,线段0A叫作半径。第二种:圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知:第一种定义是圆的形成进行描述的,第二种是运用集合的观点下的定义,但是都说明确定了定点与定长, 也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 (1)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫作直径。 (2)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。( 等圆:等够重合的两个圆叫做等圆。 (4)等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段,弧是曲线,判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中,只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧,而不是长度相等的弧。 24.1.2垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二垂径定理 (1)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。如图所示,直径为CD, AB是弦,且CDLAE, C ~|M A B AM=BM 垂足为M AC=BC AD=BD D 垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧如 上图所示,直径CD与非直径弦AB相交于点M CDLABAM=BMAC=BC AD=BD 注意:因为圆的两条直径必须互相平分,所以垂径定理的推论中,被平分的弦必须不是直径,否则结论不成立。 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系(1)弦、弧、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相 等,所对的弦也相等。 (2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余的各组量也相等。 (3)注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件,如果丢掉这个条件,即使圆心角相等,所对的弧、弦也不一定相等,比如两个同心 圆中,两个圆心角相同,但此时弧、弦不一定相等。 24.1.4圆周角 知识点一圆周角定理

初三数学上册圆的知识点总结—全面资料

圆 章节知识点 一、圆的概念 集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念: 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ?d r ? 点A 在圆外; 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点; 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点; 3、直线与圆相交?d r +;外切(图2)? 有一个交点?d R r =+; 相交(图3)? 有两个交点?R r d R r -<<+;内切(图4)? 有一个交点?d R r =-; 内含(图5)? 无交点 ?d R r <-; A

r R d 图3 r R d 五、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理 r R d O E D C O D A B

九年级数学圆知识点归纳

:从网络收集整理.word版本可编辑. 圆知识点归纳 一、圆的定义。 1、以定点为圆心,定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内,到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径:圆上一点与圆心的连线段。 2、直径:连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦:连接圆上两点线段(直径也是弦)。 4、弧:圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 (1)劣弧:小于半圆周的弧。 (2)优弧:大于半圆周的弧。 5、圆心角:以圆心为顶点,半径为角的边。 6、圆周角:顶点在圆周上,圆周角的两边是弦。 7、弦心距:圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 (1)圆是轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线。 (2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。 (3 )圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 (1)垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧。 (2)推论: ?平分弦(非直径)的直径,垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 ?平分弧的直径,垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。(1)同弧所对的圆周角相等。 (2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角,它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中,两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距 五对量中只要有一对量相等,其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O的半径为r,OP=d。 7、(1 (2 (直角三角形的外心就是斜边的中点。) 8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离,r表示圆的半径。 直线与圆有两个交点,直线与圆相交;直线与圆只有一个交点,直线与圆相切;直线与圆没有交点,直线与圆相离。 2 9A(x1,y1)、B(x2,y2)。 d= r 直线与圆相切。 d< r(r > d直线与圆相交。 d > r(r d点P在⊙O内 d > r(r

中考圆知识点经典总结

圆知识点学案 考点一、圆的相关概念 1、圆的定义 在一个平面,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。 2、圆的几何表示 以点O为圆心的圆记作“⊙O”,读作“圆O” 考点二、弦、弧等与圆有关的定义 (1)弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。(如图中的AB) (2)直径 经过圆心的弦叫做直径。(如途中的CD) 直径等于半径的2倍。 (3)半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。 (4)弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。 弧用符号“⌒”表示,以A,B为端点的弧记作“”,读作“圆弧AB”或“弧AB”。 大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示) 考点三、垂径定理及其推论 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。 (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为: 过圆心 垂直于弦 直径平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 考点四、圆的对称性 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦想等,所对的弦的弦心距相等。 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 考点六、圆周角定理及其推论 1、圆周角 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 考点七、点和圆的位置关系 设⊙O的半径是r,点P到圆心O的距离为d,则有: dr?点P在⊙O外。 考点八、过三点的圆 1、过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心。 4、圆接四边形性质(四点共圆的判定条件) 圆接四边形对角互补。 考点九、直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系,具体如下: (1)相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点; (2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,

圆的知识点总结及典型例题.

圆的知识点总结 (一)圆的有关性质 [知识归纳] 1. 圆的有关概念: 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆; 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高; 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆;圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴; 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形; 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧; 推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个,就 可推出另外三个:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦(不是直径); ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。 1

推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等;所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中,满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个:①两个圆心角相等;②两个圆心角所对的弧相等;③两个圆 心角或两条弧所对的弦相等;④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半; 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等; 推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径; 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹。 (1)平面内,到一定点的距离等于定长的点的轨迹,是以这个定点为圆心,定长为半径的圆; (2)平面内,和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线; (3)平面内,到已知角两边的距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线。 [例题分析] 例1. 已知:如图1,在⊙O中,半径OM⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB =,ON=1,求MN的长; ②若半径OM=R,∠AOB=120°,求MN的长。 解:①∵AB =,半径OM⊥AB,∴AN=BN = ∵ON=1,由勾股定理得OA=2 ∴MN=OM-ON=OA-ON=1 ②∵半径OM⊥AB,且∠AOB=120°∴∠AOM=60° 2

初三数学圆的知识点整理

1.在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另 一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。 2.连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径。 3.圆上任意两点间的部分叫作圆弧,简称弧。圆的任意一条直 径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。能够重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。 4.P108圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称 轴,圆心是它的对称中心(p110) 5.垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。(逆定理: 经过弦中点的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧) 6.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所 对的两条弧。 7.我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。 8.定理1:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对 的弦也相等。 9.在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等,所对的弦相 等。 10.定理3:在同圆或等圆中,相等的弦所对的两条劣弧(优弧) 相等,相等的劣弧(优弧)所对的圆心角相等。相等的圆心角所对的弦相等的优劣弧之间的关系 11.不在同一条直线上的三个点确定一个圆(P117) 12.顶点在圆上,并且两边都与圆相交(弦)的角叫做圆周角。 13.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这 条弧所对的圆心角的一半。(p122)4-23 14.定理:(p119-120)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90° 的圆周角所对的弦是直径。 15.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫 做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆。 16.P123推论:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,他们所 对的弧一定相等。 17.圆内接四边形的对角互补,圆内接四边形的一个外角等于互 补角的内对角;对角互补的四边形内接于圆 下接PPT 18.点P在圆外——d > r 点P在圆上——d = r 点P在圆内— —d < r

中考数学圆的知识点总结

2019年中考数学圆的知识点总结 一、圆及圆的相关量的定义(28个) 1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。 2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。 5.直线与圆有3种位置关系:无公共点为相离;有2个公共点为相交;圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。 6.两圆之间有5种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切;有2个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。 7.在圆上,由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。 二、有关圆的字母表示方法(7个)

圆--⊙半径—r 弧--⌒直径—d 扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—S三、有关圆的基本性质与定理(27个) 1.点P与圆O的位置关系(设P是一点,则PO是点到圆心的距离): P在⊙O外,POP在⊙O上,PO=r;P在⊙O内,PO 2.圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。 3.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。 4.在同圆或等圆中,如果2个圆心角,2个圆周角,2条弧,2条弦中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 6.直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 7.不在同一直线上的3个点确定一个圆。 8.一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形3个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形3边距离相等。 9.直线AB与圆O的位置关系(设OP⊥AB于P,则PO是AB

初三数学二次函数与圆知识点总结材料

初三数学知识点总结 1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时,ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ; 其中a 、 b,、c 可能是具体数,也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用, 其中直接开平方法虽然简单,但是适用围较小;公式法虽然适用围大,但计算较繁,易发生计算错误;因式分解法适用围较大,且计算简便,是首选方法;配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时,Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题: Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根; Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等). 4. 一元二次方程的根系关系: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时,如Δ≥0,有下列公式: .a c x x a b x x )2(a 2ac 4b b x ) 1(212122,1= -=+-±-=, ; ※ 5.当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时,有以下等价命题: (以下等价关系要求会用公式 a c x x a b x x 2121=-=+,;Δ=b 2-4ac 分析,不要求背记) (1)两根互为相反数 ? a b -= 0且Δ≥0 ? b = 0且Δ≥0; (2)两根互为倒数 ? a c =1且Δ≥0 ? a = c 且Δ≥0; (3)只有一个零根 ? a c = 0且a b -≠0 ? c = 0且b ≠0; (4)有两个零根 ? a c = 0且a b -= 0 ? c = 0且b=0; (5)至少有一个零根 ? a c =0 ? c=0; (6)两根异号 ? a c <0 ? a 、c 异号; (7)两根异号,正根绝对值大于负根绝对值? a c <0且a b ->0? a 、c 异号且a 、b 异号; (8)两根异号,负根绝对值大于正根绝对值? a c <0且a b -<0? a 、c 异号且a 、b 同号;

(完整版)初中数学圆知识点总结

A 图5 圆的总结 一 集合: 圆:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹: 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是:以定点为圆心,定长为半径的圆; 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是:线段的中垂线; 3、到角两边距离相等的点的轨迹是:角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 三 位置关系: 1点与圆的位置关系: 点在圆内 dr 点A 在圆外 2 直线与圆的位置关系: 直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 d

D B B A B A 四 垂径定理: 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙O 中,∵AB ∥CD 五 圆心角定理 六 圆周角定理 圆周角定理:同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即:∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论: 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧 即:在⊙O 中,∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径 即:在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴ AB 是直径 推论3:三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 ??BC BD =??AC AD =

初三数学圆知识点总结

初三数学圆知识点总结 一、本章知识框架 二、本章重点 1.圆的定义: (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线,叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2.判定一个点P是否在⊙O上. 设⊙O的半径为R,OP=d,则有 d>r点P在⊙O 外; d=r点P在⊙O 上; d

(1)旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形,对称中心是圆心. 在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等. (2)轴对称:圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 垂径定理及推论: (1)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (3)弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧. (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦. (5)平行弦夹的弧相等. 5.三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心:是三角形三个角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“I”表示. (2)三角形的外心:是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心,锐角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用O表示.(3)三角形重心:是三角形三边中线的交点,在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍,通常用G表示. (4)垂心:是三角形三边高线的交点. 6.切线的判定、性质: (1)切线的判定: ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质: ①圆的切线垂直于过切点的半径. ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心. (3)切线长:从圆外一点作圆的切线,这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. (4)切线长定理:从圆外一点作圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 7.圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形,圆内接四边形对角互补,外角等于内对角. (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形,圆外切四边形对边之和相等.8.直线和圆的位置关系: 设⊙O 半径为R,点O到直线l的距离为d. (1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R. (2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d=R. (3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交dr),圆心距.

中考圆知识点总结复习(经典推荐)打印版

初中数学——《圆》 【知识结构】 ????? ??????? ? ? ? ?? ? ? ????? ??????? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ???????????????????????????? ???????????????????????????????????????????? ???????? ?? ????????? ?? ??侧面积、全面积计算侧面展开图定义圆柱和圆锥形面积计算圆面积、扇形、组合图形周长计算圆周长、弧长、组合图画法应用边长、面积的计算计算半径、边心距、中心角计算概念正多边形正多边形与圆内含 内切相交外切外离圆和圆的位置关系切割线定理及推论相交弦定理及推论相交性质判定相切相离直线和圆的位置关系反证法点的轨迹圆内接四边形圆周角定理距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心垂径定理及推论基本性质三点定圆定理点与圆的位置关系定义圆的有关性质圆

一、圆及与圆相关的概念 二、圆的对称性 (1)圆既是轴对称图形,又是中心对称图形。 (2)对称轴——直径所在的直线,对称中心——圆心。 三、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; 知2推3定理:①AB是直径②AB CD ⊥③CE DE =④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 四、圆心角定理 圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。 知1推3定理: ①AOB DOE ∠=∠;②AB DE =;③OC OF =;④弧BA=弧BD 五、圆周角定理 1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 2、推论: 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角 所对的弧是等弧; 2 对的弦是直径。 3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角 三角形。 六、圆内接四边形 圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内 对角。 七、点与圆的位置关系 1、点在圆内? d r ?点A在圆外; 八、三点定圆定理——三角形外接圆 1、三点定圆:不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆:经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外 接圆。 3、三角形的外心:三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心。 九、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点; 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点; 3、直线与圆相交?d r

中考复习圆专题所有知识点和题型汇总全

《圆》题型分类资料 一.圆的有关概念: 1.下列说法:①直径是弦②弦是直径③半圆是弧,但弧不一定是半圆④长度相等的两条弧是等弧,正确的命题有() A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列命题是假命题的是() A.直径是圆最长的弦B.长度相等的弧是等弧 C.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧也相等 D.如果三角形一边的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 3.下列命题正确的是() A.三点确定一个圆B.长度相等的两条弧是等弧 C.一个三角形有且只有一个外接圆D.一个圆只有一个外接三角形 4.下列说法正确的是( ) A.相等的圆周角所对的弧相等B.圆周角等于圆心角的一半 C.长度相等的弧所对的圆周角相等D.直径所对的圆周角等于90° 5.下面四个图中的角,为圆心角的是( ) A.B.C.D. 二.和圆有关的角: 1. 如图1,点O是△ABC的内心,∠A=50 ,则∠BOC=_________ 图1 图2 2.如图2,若AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°,则∠BCD的度数为( ) A.116° B.64° C. 58° D.32° 3. 如图3,点O为优弧AB所在圆的圆心,∠AOC=108°,点D在AB的延长线上,BD=BC,则∠D的度数为

A 图3 图4 4. 如图4,AB、AC是⊙O的两条切线,切点分别为B、C,D是优弧BC上的一点,已知∠BAC=80°, 那么∠BDC=_________度. 5. 如图5,在⊙O中,BC是直径,弦BA,CD的延长线相交于点P,若∠P=50°,则∠AOD=. A 图5 图6 6. 如图6,A,B,C,是⊙O上的三个点,若∠AOC=110°,则∠ABC=°. 7.圆的内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:7,则∠D的度数为。 8. 若⊙O的弦AB所对的劣弧是优弧的 1 3 ,则∠AOB= . 9.如图7,AB是⊙O的直径,C、D、E都是⊙O上的点,则∠1+∠2=________ A 图7 图8 10.如图8,△ABC是O的内接三角形,点C是优弧AB上一点(点C不与A,B重合),设OABα ∠=,Cβ ∠=(1)当35 α=时,求β的度数; (2)猜想α与β之间的关系为 11.已知:如图1,四边形ABCD内接于⊙O,延长BC至E,求证:∠A+∠B C D=180°,∠DCE=∠A; 如图2,若点C在⊙O外,且A、C两点分别在直线BD的两侧,试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系;

《圆》中考数学知识点_中考数学知识点总结

《圆》中考数学知识点_中考数学知识点总结 一、圆的基本性质 1.圆的定义(两种) 2.有关概念:弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 3.“三点定圆”定理 4.垂径定理及其推论 5.“等对等”定理及其推论 5.与圆有关的角:⑴圆心角定义(等对等定理) ⑵圆周角定义(圆周角定理,与圆心角的关系) ⑶弦切角定义(弦切角定理) 二、直线和圆的位置关系 1.三种位置及判定与性质: 2.切线的性质(重点) 3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴…⑵… 4.切线长定理 三、圆换圆的位置关系 1.五种位置关系及判定与性质:(重点:相切) 2.相切(交)两圆连心线的性质定理

3.两圆的公切线:⑴定义⑵性质 四、与圆有关的比例线段 1.相交弦定理 2.切割线定理 五、与和正多边形 1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形) 2.三角形的外接圆、内切圆及性质 3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 4.正多边形及计算 中心角: 内角的一半:(右图) (解Rt△OAM可求出相关元素,、等) 六、一组计算公式 1.圆周长公式 2.圆面积公式 3.扇形面积公式 4.弧长公式 5.弓形面积的计算方法 6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算 七、点的轨迹 六条基本轨迹 八、有关作图

1.作三角形的外接圆、内切圆 2.平分已知弧 3.作已知两线段的比例中项 4.等分圆周:4、8;6、3等分 九、基本图形 十、重要辅助线 1.作半径 2.见弦往往作弦心距 3.见直径往往作直径上的圆周角 4.切点圆心莫忘连 5.两圆相切公切线(连心线) 6.两圆相交公共弦 感谢您的阅读!

初中圆的知识点归纳

初中圆的知识点归纳 Prepared on 24 November 2020

《圆》章节知识点复习 一、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ? d r < ? 点C 在圆内; 2、点在圆上 ? d r = ? 点B 在圆上; 3、点在圆外 ? d r > ? 点A 在圆外; 二、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d r > ? 无交点; 2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点; 3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点; 三、圆与圆的位置关系 外离(图1)? 无交点 ? d R r >+; 外切(图2)? 有一个交点 ? d R r =+; 相交(图3)? 有两个交点 ? R r d R r -<<+; 内切(图4)? 有一个交点 ? d R r =-; 内含(图5)? 无交点 ? d R r <-; 四、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ① AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相 B A D

等。 即:在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 五、圆心角定理 圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中, 只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论, 即:①AOB DOE ∠=∠;②AB DE =; ③OC OF =;④ 弧BA =弧BD 六、圆周角定理 1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即:∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论: 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧; 即:在⊙O 中,∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠ 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。 即:在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵90C ∠=? ∴90C ∠=? ∴AB 是直径 推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 即:在△ABC 中,∵OC OA OB == ∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=? B A B A O

初中数学圆知识梳理 题型归纳附答案-(详细知识点归纳 中考真题)

圆 【知识点梳理】 一、圆的概念 集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念: 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; (补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线); 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ? d r < ? 点C 在圆内; 2、点在圆上 ? d r = ? 点B 在圆上; 3、点在圆外 ? d r > ? 点A 在圆外; 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d r > ? 无交点; 2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点; 3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点; 四、圆与圆的位置关系 外离(图1)? 无交点 ? d R r >+; 外切(图2)? 有一个交点 ? d R r =+; 相交(图3)? 有两个交点 ? R r d R r -<<+; 内切(图4)? 有一个交点 ? d R r =-; 内含(图5)? 无交点 ? d R r <-; A

五、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理 圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中, 只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论, 即:①AOB DOE ∠=∠;②AB DE =; ③OC OF =;④ 弧BA =弧BD 图4 图5 B D

2017年中考数学圆知识点总结

2017年中考数学圆知识点总结 1.不在同一直线上的三点确定一个圆。 2.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 4.圆是定点的距离等于定长的点的集合 5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 7.同圆或等圆的半径相等 8.到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆 9.定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等 10.推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。 11定理圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角 12.①直线L和⊙O相交 d

②直线L和⊙O相切 d=r ③直线L和⊙O相离 dr 13.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 14.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径 15.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 16.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 17.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 18.圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角 19.如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上 20.①两圆外离dR+r ②两圆外切 d=R+r ③.两圆相交 R-rr) ④.两圆内切 d=R-r(Rr) ⑤两圆内含dr) 21.定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 22.定理把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 23.定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆 24.正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n 25.定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

九年级数学圆知识点总结

初三圆的知识点总结 如图:有五个元素,“知二可推三”;需记忆其中四个定理,即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”. 几何表达式举例:∵ CD 过圆心∵CD ⊥AB 2.平行线夹弧定理: 圆的两条平行弦所夹的弧相等 . 几何表达式举例: 3.“角、弦、弧、距”定理:(同圆或等圆中) “等角对等弦”;“等弦对等角”;“等角对等弧”;“等弧对等角”;“等弧对等弦”;“等弦对等(优,劣)弧”;“等弦对等弦心距”;“等弦心距对等弦” . 几何表达式举例:(1) ∵∠AOB=∠COD ∴ AB = CD (2) ∵ AB = CD ∴∠AOB=∠COD 4.圆周角定理及推论: (1)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半;(2)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;(如图) (3)“等弧对等角”“等角对等弧”;(4)“直径对直角”“直角对直径”;(如图) (5)如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 .(如 图) (1)(2)(3) (4) 几何表达式举例: (1)∵∠ACB=2 1∠AOB ∴ …………… (2)∵ AB 是直径 ∴∠ACB=90° (3)∵∠ACB=90° ∴ AB 是直径 (4)∵ CD=AD=BD ∴ΔABC 是Rt Δ 5.圆内接四边形性质定理: 圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外 角都等于它的内对角 . 几何表达式举例:∵ ABCD 是圆内接四边形∴ ∠CDE =∠ABC ∠C+∠A =180° 6.切线的判定与性质定理: 如图:有三个元素,“知二可推一”;需记忆其中四个定理. (1)经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线; (2)圆的切线垂直于经过切点的半径; ※(3)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;※(4)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 几何表达式举例: (1)∵OC 是半径∵OC ⊥AB ∴AB 是切线 (2)∵OC 是半径 ∵AB 是切线∴OC ⊥AB (3) …………… 7.切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等;圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 几何表达式举例: ∵ PA 、PB 是切线∴ PA=PB ∵PO 过圆心∴∠APO =∠BPO 8.弦切角定理及其推论 : 几何表达式举例: A B C D O A B C D E O 平分优弧 过圆心 垂直于弦平分弦平分劣弧 ∴ AC BC AD BD == AE=BE A B C D E F O A B C O P A B O A B C D E A B C O A B C D ∵∴ ∥=AB CD AC BD A B C O 是半径垂直是切线

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