20200929月考数学试卷
高三数学阶段性测试 2020.9.29
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合
，
，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A. 1
y x
= B. 1y x =- C. lg y x =
D. 12x
y ??= ???
3. 函数f(x)＝ln2x －x 3的图象在点(
12，f(1
2
))处的切线方程为( ) A.5344y x =- B.524y x =-+ C.1144y x =- D.14
y x =-
4.对任意x∈R，函数f(x)=ax 3+ax 2+7x 不存在极值点的充要条件是( ) A.0≤a≤21 B. 0
5.
6．函数1
()ln ||f x x x
=+
的图象大致为( ) A ．B ．C ． D ．
7.已知)cos(2)2
cos(
απαπ
+=-，且3
1
)tan(=
+βα，则βtan 的值为（ ） .A 7-
.B 7
.C 1 .D 1-
8.已知函数f(x)＝x e x －m(lnx ＋x ＋2
x
)恰有两个极值点，则实数m 的取值范围为( )
A.(－∞，
12] B.(12，＋∞) C.(12，3e )∪(3e ，＋∞) D.(－∞，12]∪(3
e
，＋∞) 二、多选题（本大题共4小题，每小题不止一个正确答案，全选对得5分，漏选得3分，共20分）
9. 下列四个函数中，最小值为2的是（ ）
A.
B.
C.
22
x 6
y=
x 5 D. 44x
x y
10.已知角的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边上的一点为
（），则下列各式一定为负值的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11．已知函数()sin()f x A x ω?=+（其中0A >，0ω>，0?π<<）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）． A ．函数()f x 的图象关于直线2
x π
=
对称
B ．B ．函数()f x 的图象关于点,012π??
-
???
对称 C ．函数()f x 在区间,36ππ??
-
???
?上单调递增 D ．函数1y =与23()12
12y f x x π
π??=-
≤≤ ?
??的图象的所有交点的横坐标之和为83π 12．已知111ln 20x x y --+=，2222ln 260x y +--=，记221212()()M x x y y =-+-，则( )
A ．M 的最小值为
16
5
B ．当M 最小时， 2145
x =
C ．M 的最小值为 4
5
D ．当M 最小时2125
x =
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
14.函数y cos x 2
2(3)1π=-的最小正周期为 ． 15.已知
，
，且
，则
的最大值为_____
16.已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(2)()0f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，
2()log f x x =-，若函数()()()sin π=-F x f x x ，在区间[]1-，m 上有10个零点，则m
的取值范围
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.已知π0π2αβ<<
<<，π1cos 43β?
?-= ??
?，()4sin 5αβ+=．
（1）求sin2β的值；（2）求πcos 4α??
+
??
?
的值． 18.已知∈a R ，函数|
|1
)(x a x f +
= （1）当1=a 时，解不等式x x f 2)(≤；
（2）若关于x 的方程02)(=-x x f 在区间[]1,2--上有解，求实数a 的取值范围.
19.（综合法求解）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，∠BAD ＝90°，AD//BC ，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成45°角，点E 是PD 的中点。 (1)求证：BE ⊥PD ；(2)求二面角P －CD －A 的余弦值。
20.设12()2x x a
f x b
+-+=+（,a b 为实常数）．
（1）当1a b ==时，证明：()f x 不是奇函数；（2）若()f x 是奇函数，求a 与b 的值；
（3）若()f x 定义域不为R 且是奇函数时，研究是否存在实数集的子集D ，对任何属于D 的
x 、c ，都有2()33f x c c <-+成立？若存在试找出所有这样的D ；若不存在，请说明理由．
21．某省 2021 年开始将全面实施新高考方案．在 6 门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这 4 门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为 A ， B ， C ， D ， E 共 5 个等级，各等级人数所占比例分别为15% 、35% 、35% 、13% 和2% ，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这 4 门科目的原始分进行了等级转换赋分．
（1）某校生物学科获得 A 等级的共有 10 名学生，其原始分及转换分如表：
现从这 10 名学生中随机抽取 3 人，设这 3 人中生物转换分不低于 95 分的人数为 X ，
求 X 的分布列和数学期望；
（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y 服从正态分布 N (75.8,36) ．若
)1,0(~,),,(~2N Y N Y ησ
μ
ησμ则令-=
，请解决下列问题：
①若以此次高一学生生物学科原始分C 等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？(结果保留整数)
②现随机抽取了该省 800 名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记ξ 为被抽到的原始分不低于 71 分的学生人数，求 P (ξ = k ) 取得最大值时 k 的值．
附：若)1,0(~N ξ，则.85.0)04.1(,788.0)8.0(≈≤≈≤ηηP P
22.设函数x a bx x x f ln )(2-+=
(I) 若x=2是函数f(x)的极值点，1和0x 是函数)(x f 的两个不同零点，且
N n n n x ∈+∈),1,(0，求n 。
(II) 若对任意[]1,2--∈b , 都存在),1(e x ∈(e 为自然对数的底数)，使得0)( 9、29数学月考答案 1、C 2、B 3、A 4、A 5、D 6、A 7、B 8、C 9、AD 10、AB 11、 BCD 12、AB 13、-1 14、 1 3 15、2-3 16、[3.5,4) 17、解析】（1）πsin2cos 22ββ??=-= ???2π72cos 149β? ?--=- ?? ?．--------4分 （2）因为π0π2αβ<<<<，所以π3π22 αβ<+< ， -----------10分 18、【解】（1）当1=a 时，||11)(x x f + =，所以x x f 2)(≤x x 2| |1 1≤+ ?……（*） ①若0>x ，则（*）变为， 0)1)(12(≥-+x x x 02 1 <≤-?x 或1≥x ，所以1≥x ； ②若0 01 22≥+-x x x 0>?x ，所以φ∈x 由①②可得，（*）的解集为[)+∞,1。 -------6 （2）02)(=-x x f ?02||1=-+ x x a ，即x x a 1 2+=其中[]1,2--∈x 令)(x g =x x 1 2+ ，其中[]1,2--∈x ，对于任意的1x 、[]1,22--∈x 且21x x < 则()=??? ? ??+-???? ? ?+ =-2211211212)(x x x x x g x g ()()21212112x x x x x x -- 由于1 221-≤<≤-x x ，所以021<-x x ，021>x x ，4121< 01221>-x x 所以 ()()2 1212112x x x x x x --0<，故())(2 1 x g x g <，所以函数)(x g 在区间[]1,2--上 是增函数 所以=- 29()≤-2g )(x g ()31-=-≤g ，即??????--∈3,29)(x g ,故a ∈?? ????--3,29 --------------------------- 12 （说明)(x g =x x 1 2+的单调性可以用定义也可以求导证明，不写过程扣2分） 19（1） （2） 12 20、解：（1）证明：51 1 212)1(2-=++-= f ，4 121 21 )1(=+- =-f ，所以)1()1(f f -≠-，所以)(x f 不是奇函数..........................3分 （2）)(x f 是奇函数时，)()(x f x f -=-， 即b a b a x x x x ++--=++-++--112222对定义域内任意实数x 都成立 即0)2(2)42(2)2(2=-+?-+?-b a ab b a x x ，对定义域内任意实数x 都成立...........................................5分 所以???=-=-042,02ab b a 所以???-=-=21b a 或???==21b a ． 经检验都符合题意.......................................7分 （3）当???-=-=21b a 时，)021*******)(1≠-+-=---=+x x f x x x （， 所以当0>x 时，2 1 )(- 1)(>x f .............8分 1）因此取),0(+∞=D ，对任何x 、c 属于D ，都有33)(2+- x 得：7 5 log 2≤x ．所以取]7 5 log ,(2-∞=D ，对任何属于D 的x 、c ，都有33)(2+- 22、【解析】（Ⅰ）()2a f x x b x '=+- ，∵2x =是函数()f x 的极值点，∴(2)42 a f b '=+-. ∵1是函数()f x 的零点，得(1)10f b =+=， 由40210 a b b ? +-=???+=?解得6,1a b ==-. ………2分 ∴2 ()6ln f x x x x =--,6()21f x x x '=-- ， 令2626 ()210,02x x f x x x x x x --'=--= >>∴>， 令()0f x '<得02x <<，所以()f x 在(0,2)上单调递减； 在(2,)+∞上单调递增.……4分 故函数()f x 至多有两个零点，其中01(0,2),(2,)x ∈∈+∞， 因为(2)(1)0f f <<，(3)6(1ln 3)0f =-<,2 (4)6(2ln 4)6ln 04 e f =-=>， 所以0(3,4)x ∈，故3n =．……6分 （Ⅱ）令2 ()ln g b xb x a x =+-，[2,1]b ∈--，则()g b 为关于b 的一次函数且为增函数， 根据题意，对任意[2,1]b ∈--，都存在(1,)x e ∈，使得()0f x <成立， 则2 max ()(1)ln 0g b g x x a x =-=--<在(1,)x e ∈有解， 令2 ()ln h x x x a x =--，只需存在0(1,)x e ∈使得0()0h x <即可， 由于22()21a x x a h x x x x --'=--=， 令2 ()2,(1,)x x x a x e ?=--∈，()410x x ?'=->， ∴()x ?在(1，e )上单调递增，()(1)1x a ??>=-，………9分 ①当10a -≥，即1a ≤时，()0x ?>，即()0h x '>， ()h x 在(1，e )上单调递增，∴()(1)0h x h >=，不符合题意. ②当10a -<，即1a >时，(1)10.a ?=-<2 ()2e e e a ?=-- 若2 21a e e ≥->，则()0e ?<，所以在(1，e )上()0e ?<恒成立，即()0h x '<恒成立， ∴()h x 在(1，e )上单调递减,∴存在0(1,)x e ∈，使得0()(1)0h x h <=，符合题意. 若2 21e e a ->>，则()0e ?>，∴在(1，e )上一定存在实数m ，使得()0m ?=， ∴在(1，m )上()0x ?<恒成立，即()0h x '<恒成立， ()h x 在(1，m )上单调递减, ∴存在0(1,)x m ∈，使得0()(1)0h x h <=，符合题意. 综上所述，当1a >时，对任意[2,1]b ∈--，都存在(1,)x e ∈，使得()0f x <成立.…12分