统计概率知识点梳理总结
统计概率知识点梳理总结
第一章随机事件与概率
一、教学要求
1．理解随机事件的概念，了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算．
2．了解概率的各种定义，掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算．
3．理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能运用这些公式进行概率计算．
4．理解事件的独立性概念，掌握运用事件独立性进行概率计算．
5．掌握贝努里概型及其计算，能够将实际问题归结为贝努里概型，然后用二项概率计算有关事件的概率．
本章重点：随机事件的概率计算．
二、知识要点
1．随机试验与样本空间
具有下列三个特性的试验称为随机试验：
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行；·
(2) 每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果；
(3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现．
试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用Ω表示，其中的每一个结果用e
Ω=．
表示，e称为样本空间中的样本点，记作{}e
.
.
2．随机事件
在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某 种规律性的事情称为随机事件(简称事件)．通常把必然事件(记作Ω)与不可能事件(记作φ)
看作特殊的随机事件．
3．**事件的关系及运算
(1) 包含：若事件A 发生，一定导致事件B 发生，那么，称事件B 包含事件A ，记作A B ?(或B A ?)．
(2) 相等：若两事件A 与B 相互包含，即A B ?且B A ?，那么，称事件A 与B 相等，记作A B =．
(3) 和事件：“事件A 与事件B 中至少有一个发生”这一事件称为A 与B 的和事件，记作A B ?；“n 个事件
1,2,
,
n
A A A 中至少有一事件发生”这一事件称为
1,2,
,
n
A A A 的和，记作12n A A A ???（简记为1
n
i
i A =）．
(4) 积事件：“事件A 与事件B 同时发生”这一事件称为A 与B 的积事件，记作
A B ?(简记为AB )；“n 个事件1,2,
,
n
A A A 同时发生”这一事件称为
1,
2,
,n
A A A 的积事件，记作12n A A A ???（简记为12n A A A 或1
n
i
i A =)．
(5) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生，即AB φ=，那么称事件A 与B 互不相容(或互斥)，若n 个事件
1,2,
,
n
A A A 中任意两个事件不能同时发生，即
i j A A φ
=(1≤i 1,2, , n A A A 互不相容． (6) 对立事件：若事件A和B互不相容、且它们中必有一事件发生，即ABφ =且A B ?=Ω，那么，称A与B是对立的．事件A的对立事件(或逆事件)记作A． (7) 差事件：若事件A发生且事件B不发生，那么，称这个事件为事件A与B的差事件，记作A B -(或AB) ． (8) 交换律：对任意两个事件Ａ和B有 A B B A ?=?，AB BA =． (9) 结合律：对任意事件A，B，C有 ()() A B C A B C ??=??，()() A B C A B C ??=??． (10) 分配律：对任意事件A，B，C有 ()()() A B C A B A C ??=???，()()() A B C A B A C ??=???． (11) 德摩根（De Morgan）法则：对任意事件A和B有 A B A B ?=?, A B A B ?=?. 4．频率与概率的定义 (1) 频率的定义 设随机事件A在n次重复试验中发生了A n次，则比值A n／n称为随机事件A发生 的频率，记作 () n f A，即()A n n f A n = . (2) 概率的统计定义 . . 在进行大量重复试验中，随机事件A 发生的频率具有稳定性，即当试验次数n 很大时，频率()n f A 在一个稳定的值p (0 p 为概率，即()P A p =． (3) **古典概率的定义 具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型： (i) 试验的样本空间Ω是个有限集，不妨记作12{,,,}n e e e Ω=; (ii) 在每次试验中，每个样本点i e (1,2, ,i n =）出现的概率相同，即 12({})({})({})n P e P e P e == =． 在古典概型中，规定事件A 的概率为 ()A n A P A n = = Ω中所含样本点的个数中所含样本点的个数． (4) 几何概率的定义 如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件Ａ的概率为 ()A P A = 的长度（或面积、体积） 样本空间的的长度（或面积、体积）· (5) 概率的公理化定义 设随机试验的样本空间为Ω，随机事件A 是Ω的子集，()P A 是实值函数，若满足下列三条公理： 公理1 (非负性) 对于任一随机事件Ａ，有()P A ≥0； 公理2 (规范性) 对于必然事件Ω，有()1P Ω=； . 公理3 (可列可加性) 对于两两互不相容的事件 1,2,,, n A A A ，有 1 1 ( )() i i i i P A P A ∞ ∞ ===∑， 则称()P A 为随机事件Ａ的概率． 5．**概率的性质 由概率的三条公理可导出下面概率的一些重要性质 (1) ()0P φ=． (2) (有限可加性) 设n 个事件 1,2,,n A A A 两两互不相容，则有 121 ()() n n i i P A A A P A =?? ?=∑． (3) 对于任意一个事件A ： ()1()P A P A =-． (4) 若事件A ，B 满足A B ?，则有 ()()()P B A P B P A -=-, ()()P A P B ≤． (5) 对于任意一个事件A ，有()1P A ≤． (6) (加法公式) 对于任意两个事件A ，B ，有 ()()()()P A B P A P B P AB ?=+-. 对于任意n 个事件 1,2,,n A A A ，有 . 11 1 111 ( )()()()(1)() n n n i i i j i j k n i i j n i j k n i P A P A P A A P A A A P A A -=≤<≤≤<<≤==- + - +-∑∑ ∑ . 6．**条件概率与乘法公式 设A 与B 是两个事件．在事件B 发生的条件下事件A 发生的概率称为条件概率，记作(|)P A B ．当()0P B >，规定 ()(|)()P AB P A B P B = . 在同一条件下，条件概率具有概率的一切性质． 乘法公式：对于任意两个事件A 与B ，当()0P A >,()0P B >时，有 ()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==. 7．*随机事件的相互独立性 如果事件A 与B 满足 ()()()P AB P A P B =， 那么，称事件A 与B 相互独立． 关于事件A ，月的独立性有下列两条性质： (1) 如果()0P A >，那么，事件A 与B 相互独立的充分必要条件是(|)()P B A P B =；如果()0P B >，那么，事件A 与B 相互独立的充分必要条件是(|)()P A B P A =． 这条性质的直观意义是“事件A 与B 发生与否互不影响”． (2) 下列四个命题是等价的： (i) 事件A 与B 相互独立； (ii) 事件A 与B 相互独立； . (iii) 事件A 与B 相互独立； (iv) 事件A 与B 相互独立． 对于任意n 个事件 1,2,,n A A A 相互独立性定义如下：对任意一个2,,k n =，任意的 11k i i n ≤< <≤，若事件1,2, ,n A A A 总满足 1 1()()() k k i i i i P A A P A P A =， 则称事件 1,2,,n A A A 相互独立．这里实际上包含了21n n --个等式． 8．*贝努里概型与二项概率 设在每次试验中，随机事件Ａ发生的概率()(01)P A p p =<<，则在n 次重复独立试验中．，事件Ａ恰发生k 次的概率为 ()(1),0,1, ,k n k n n P k p p k n k -?? =-= ??? ， 称这组概率为二项概率． 9．**全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式：如果事件 1,2,,n A A A 两两互不相容，且1 n i i A ==Ω ，()0i P A >， 1,2, ,i n =，则 1 ()(|) (|),1,2,,()(|) k k k n i i i P A P B A P A B k n P A P B A == =∑．