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不等式的基本性质及解法讲解学习

教学过程

一、新课导入

初中,我们学习了一元一次不等式(组);已经掌握了不等式(组)的基本性质及解法.从本节开始,我们将在过去已有知识的基础上进一步明确不等式的有关概念,学习其他几种不等式的解法.

二、复习预习

1.不等式的定义.

2.不等式的基本性质.

3.不等式的基本定理及推论.

4.一元二次不等式解法.

5.分式不等式解法.

6.高次不等式解法.

7.无理不等式解法.

8.指对数不等式解法.

三、知识讲解

考点1 不等式的定义及比较大小

1. 不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．

（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）（3）不等式研究的范围是实数集R ． 2．判断两个实数大小的充要条件

对于任意两个实数a 、b ，在a ＞b ，a= b ，a ＜b 三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：

0>-?>b a b a 0=-?=b a b a

考点2 不等式的基本性质

定理1 如果a>b，那么bb．(对称性) 即：a>b?bb

定理2 如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性)

即a>b，b>c?a>c

定理3 如果a>b，那么a+c>b+c．

即a>b?a+c>b+c

推论如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法则) 即a>b， c>d?a+c>b+d．

定理4 如果a>b，且c>0，那么ac>bc；

如果a>b，且c<0，那么ac

推论1 如果a>b >0，且c>d>0，那么ac>bd ．(相乘法则) 推论2 若0,(1)n n a b a b n N n >>>∈>则且定理5

若0,1)a b n N n >>>∈>且

考点3 一元二次不等式c bx ax ++2 >0(a ≠0)

任何一个一元二次不等式,最后都可化为: c bx ax ++2>0或c bx ax ++2<0(a >0)的形式,一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关:

(1)若判别式Δ=b 2-4ac >0,设方程c bx ax ++2=0的二根为x 1,x 2(x 10时,其解集为{x |x x 2}； ②a <0时,其解集为{x |x 1

①a >0时,其解集为{x |x ≠-a

,x ∈R }； ②a <0时,其解集为?. (3)若Δ<0,则有:

①a>0时,其解集为R；②a<0时,其解集为?.

2<0(a≠0)的解集. 类似地,可以讨论c

ax+

考点4 绝对值不等式的解法

不等式|x|a(a>0)的解集

1|x|0)的解集为:{x|-a

2|x|>a(a>0)的解集为:{x|x>a或x<-a},几何表示为:

考点5 分式不等式解法

(1)

)

()

(x g x f >0?f (x )g(x )>0； (2)

)

()

(x g x f <0?f (x )g(x )<0； (3)

)()

(x g x f ≥0????≠≥0

)(0)()(x g x g x f ； (4))()(x g x f ≤0??

??≠≤0)(0)()(x g x g x f

根轴法：奇穿偶不穿

?????>??

??≥≥?>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域

型 ??

?<≥???

??>≥≥?>0)(0)()]([)(0)(0

)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型 ??

??<>≥?<2)]([)(0

)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型

考点8 指对数不等式

指数不等式：转化为代数不等式

()()()()()(1)()();

(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b

>>?>><>>??>

对数不等式：转化为代数不等式

()0()0log ()log ()(1)()0;

log ()log ()(01)()0

()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>???

>>?>><????>

四、例题精析

考点1 不等式的定义及比较大小

例1 已知x≠0，比较（x2＋1）2与x4＋x2＋1的大小.

【规范解答】

由题意可知：

（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）

＝（x4＋2x2＋1）－（x4＋x2＋1）

＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1

＝x2

∵x≠0 ∴x2＞0

∴（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）＞0

∴（x2＋1）2＞x4＋x2＋1

【总结与反思】此题属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略.本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项.

例2 比较a4-b4与4a3(a-b)的大小．

【规范解答】 a 4-b 4 - 4a 3(a-b)

=(a-b)(a+b)(a 2+b 2) -4a 3(a-b) = (a-b)(a 3+ a 2b+ab 2+b 3-4a 3) ＝(a-b)[(a 2b-a 3)+(ab 3-a 3)+(b 3-a 3)] = - (a-b)2(3a 3+2ab+b 2)

=- (a-b)2

0323322

≤???

?????+???? ??+b b a (当且仅当d ＝b 时取等号) ∴a 4-b 4≥4a 3(a-b)

【总结与反思】“变形”是解题的关键，是最重一步因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法.

例3 已知x>y，且y≠0，比较

与1的大小．

《2.1-等式性质与不等式性质》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)

【新教材】等式性质与不等式性质教学设计（人教A版）等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫. 课程目标 1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题． 2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小． 3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。数学学科素养 1.数学抽象：不等式的基本性质； 2.逻辑推理：不等式的证明； 3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用； 4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）； 5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。重点：掌握不等式性质及其应用．

难点：不等式性质的应用．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、情景导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系. 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本37-42页，思考并完成以下问题 1.不等式的基本性质是 2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些 3.重要不等式是 4.等式的基本性质 5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究 1、两个实数比较大小的方法作差法{a?a>0?a>a a?a=0?a=a a?a<0?a

不等式解法性质与证明

第五讲不等式的解法、性质与证明一、不等式的性质： ⑴(对称性或反身性⑵(传递性)a b b c a c >>?>，; ⑶(可加性)a b a >?;(同向可相加)a b c d a c b d ?>>+>+， ⑷(可乘性)0a b c ac bc ?>>>，； 0a b c ac bc ?><<，. (正数同向可相乘)00a b c d ac bd ?>>>>>， ⑸(乘方法则)00n n a b n N a b >>∈?>>（）⑹(开方法则)0,20n n a b n N n a b >>∈>（≥） ⑺(倒数法则)11 0a b ab a b ? >><， 1、判断下列命题是否正确，并说明理由。（1）若a>b ，则ac 2>bc 2 ；（2）若 a c 2>b c 2 ，则a>b ；（3）若a>b ，且ab ≠0，则1a <1b ；（4）若a>b ，c>d ，则ac>bd ；（5）若a>b ，且k ∈N +，则a k >b k ；（6）若a>b>0，则a a >a b ；（7）若a>b>0，则b 2 +1a 2 +1 > b 2a 2 2、比较下列各组数的大小，其中x ∈R 。（1）x 2+3与3x ；（2）x 6+1与x 4+x 2 ；3）11+x 与1-x 。 3、已知a,b 为正数，试比较a b +b a 与 a +b 的大小。 4、已知a>b ，则不等式(1)a 2>b 2,(2)1a < 1b ,(3)1a -b >1 a 中不能成立的个数是（ D ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 5、已知12+x x 的解集是_____________。 3、不等式 13 1 2>+-x x 的解集为。 4、如果x x sin 2 log 3 log 2 1 2 1，那么π π ≥- 的取值范围是为_____________-。 5、），的解集是的不等式，关于且已知0(110-∞>≠>x a x a a ，则0)1 (l o g >-x x a 的解集为____。 6、不等式333 2)21 (2 2---