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高中数学必备知识点 正弦与余弦定理和公式

高中数学必备知识点  正弦与余弦定理和公式
高中数学必备知识点  正弦与余弦定理和公式

三角函数正弦与余弦的学习,在数学中只要记住相关的公式即可。日常考试正弦和余弦的相关题目一般不会很难,是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。但对于有些同学来说还是很难拿分,那是为什么呢?

首先,我们要了解下正弦定理的应用领域

在解三角形中,有以下的应用领域:

(1)已知三角形的两角与一边,解三角形

(2)已知三角形的两边和其中一边所对的角,解三角形

(3)运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系

直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦

正弦定理

在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,则有

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径)

其次,余弦的应用领域

余弦定理

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求x边或者是已知三个边求角的问题,若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活。

正弦定理的变形公式

(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;

(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中,各边与其所对角的正弦的比相等,且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的,利用正弦定理解三角形时,其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角,由于该三角形具有不稳定性,所以其解不确定,可结合平面几何作图的方法及“大边对大角,大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题

(3)相关结论:

a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)

c/sinC=c/sinD=BD=2R(R为外接圆半径)

(4)设R为三角外接圆半径,公式可扩展为:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时,所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理,还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R

asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA

(5)a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a

正弦、余弦典型例题

1.在△ABC中,∠C=90°,a=1,c=4,则sinA 的值为

2.已知α为锐角,且,则α 的度数是() A.30° B.45° C.60° D.90°

3.在△ABC中,若,∠A,∠B为锐角,则∠C的度数是() A.75° B.90° C.105° D.x0°

4.若∠A为锐角,且,则A=() A.15° B.30° C.45° D.60°5.在△ABC中,AB=AC=2,AD⊥BC,垂足为D,且AD=,E是AC中点,

EF⊥BC,垂足为F,求sin∠EBF的值。

正弦、余弦解题诀窍

1、已知两角及一边,或两边及一边的对角(对三角形是否存在要讨论)用正弦定理

2、已知三边,或两边及其夹角用余弦定理

3、余弦定理对于确定三角形形状非常有用,只需要知道最大角的余弦值为正,为负,还是为零,就可以确定是钝角。直角还是锐角。

高考中,关注核心考点非常重要,核心考点一个是九大核心的知识点:函数、三角函数,平面向量,不等式,数列,立体几何,解析几何,概率与统计,导数。当然每章当中还有侧重,比如说拿函数来讲,函数概念必须清楚,函数图象变换是非常重要的一个核心内容。此外就是函数的一种性质问题,单调性、周期性,包括后面我们还谈到连续性问题,像这些性质问题是非常重要的。连同最值也是在函数当中重点考察的一些知识点,再比如说像解析几何直线和圆这些内容,不管理科还是文科,肯定是非常重要的一个内容。

高考试卷后面有六个大题,一般是侧重于六个重要的板块,必须把最重要的知识板块拿出来,比如说数列与函数以及不等式,这肯定是重要板块。再比如说三角函数和平面向量应该是一个,解析几何和平面几何和平面向量肯定又是一个。再比如像立体几何当中的空间图形和平面图形,这肯定是重要板块。再后面是概率统计,在解决概率统计问题当中一般和计数原理综合在一起,最后还有一个板块是导数、函数、方程和不等式,四部分内容综合在一起。

应当说我们后面六个大题基本上是围绕着这样六个板块来进行。这六个板块肯定是我们的核心内容之一。再比如说现在我们高考当中要体现对数学思想方法的考察,数学思想方法以前考察四个方面,函数和方程思想,数形结合思想,分类讨论,等价转换,现在又增加了三个,原来这四个方面当中有两类做了改造。函数和方程思想,数形结合思想,分类讨论改成了分类讨论与整合,等价转换转为划归与转化。有限和无限思想,特殊和一般的思想。很多同学说没有时间做后面的大题,为什么没有时间做大题呢?前面耗的时间太长了,数学思想能力的欠缺还是非常重要的一个方面。

还有一个重要的知识内容就是我们考试大纲里边提到的五大能力,两个意思。这说的是课程里面的提法,五个能力,两个意思。我们碰到这样说的抽象概括能力,推理论证能力,空间想象能力,运算求解能力,数据处理能力。我们在大纲里不一样,大纲版里边讲了四个能力一个意思。思维能力,运算能力,空间想象能力,实践能力,应用能力。其实这些方面基本上差不多的。我们大纲版里面的思维能力分解开,分解成两部分,一个叫做抽象概括能力,还有一个叫做推理论证能力。这两方面合在一起其实就构成一种思维能力。当然我们在课标版里面新增加了数据处理能力,这方面新增加了,别的应该和大纲版差不多了,为什么把数据处理能力放进去呢?因为我们在新的课程标准背景底下,我们对统计要求非常高。统计当中同学们可以看到很多内容都是和数据有关系,你采集了大量数据,这些数据可能有些有用,有些没用,那在解题过程当中怎么样把有效数据拿出来,需要你进行加工,进行整理。这个过程当然体现了数据处理能力了。

每位同学可能都有这种愿望,希望自己多拿分,少丢分,得高分,争取得满分。得满分的可能性不是很大,因为这方面确实是个别极少数同学能够拿满分。为了实现这个目标,首先要瞄准得分点,我觉得瞄准得分点是我们提高得分的一种前提。

你希望得分,考什么东西你也不知道,所以首先应该弄清楚,高考究竟应该考哪些知识点。在这里,我想最主要应该弄明白,哪些知识内容是容易得分的,从目前来看,看看历年的高考试题:几何,一个小题5分题,你稍微注意一下,这5分题就弄上了;复数也是小题,几乎控制在复数的代数形式的运算上,这个也是容易得分的;三角函数在高考当中,最多考中档题,它几乎没有难题或者是较难题,这种知识内容也是我们容易得分的一种好题;平面向量基本上不独立考察大题,几乎都是选择题或者是填空题或者是大题当中某一步或者是某几步需要运用到平面向量,基本上也是容易得分的一些知识点;概率统计基本上也是控制在中等题,它几乎不是较难题或者是难题,从这个角度来看肯定也是容易得分的;课标部分增加了解析几何的延伸内容,参数方程,这部分内容也是比较容易拿分的;尽管立体几何每年有一个大题,但是立体几何的考法基本上都成型了,无非围绕着空

间图形的变化,空间平面化,平面空间化,考虑角和距离,考虑表面积和体积,基本上类型几乎大家都非常熟悉。

像这种知识内容都是我们容易得分的一些知识点。如果说我们在后面这一阶段里边,把这种知识点牢牢把握好的话,我想这是我们提高得分的一个前提。当然从题型角度考虑,那也有。因为填空题和选择题,一般说来还是考察基本知识比较多。可能选择题最后一道题稍微麻烦,填空题最后可能有点麻烦,毕竟前面的这些填空选择还是比较基础的。因为填空题、选择题,按照命题要求是考察双基为主,当然也有一些中等题,但整体看,考察双基的这些问题,我们肯定是容易得分的。后面的六个大题,一般说来前三个大题还是比较容易的,甚至前四道大题还是可以的,我们基本上都是拿分。稍微丢一点,可能是第四道大题,但是前面三道题几乎能够保证拿满分,甚至第四道大题也可以拿满分。最后一道大题可能有一些难,高考是一种选拔性考试,要考一些综合性试题。综合性试题在大题当中有体现,尤其是后面两道大题肯定是这样的。这两道大题里面第一问尽量拿下来,从这个意义上来讲,把握好相关题型,这也是我们提高得分率的一个特别重要的方面和前提。

“二次函数”在数学中运用的非常广泛。是数学这棵大树中,最主要的枝干。学好“二次函数”很关键,当然不应盲目学习,要讲究方法。

“二次函数”主要知识点归纳如下,希望对你有所帮助。

一、定义

一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:

y=ax^2+bx+c

(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)

则称y为x的二次函数

二、表达式

一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h,k)]

交点式:y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A(x? ,0)和 B (x?,0)的抛物线]

三、学习方法

1.结合图形的来理解. 就是一条抛物线.

2.掌握对称轴,顶点,开口方向这几个概念

3.根据曲线掌握最大最小值,单调性.离对称轴越近则函数值越大(或越小).

4.根据代数式掌握配方法,以及由此得到的顶点,极值,单调性质.

5.掌握零点的性质,根与系数的关系,零点关于对称轴对称.判别式的实质.

6.掌握区间若只有一个零点,则端点函数值符号相反.若有两个零点,则端点值同号,且极值在区间内.

勾股定理在高中有一个口诀叫“勾三股四弦五”。什么意思呢?也就是说勾股定理的学习按着3:4:5这个比例计算的。勾指的是直角三角形直角边中短的那条,股市直角边稍微长的那条,弦就不说了,那就是斜边了。这个定义具体该怎么用呢?

一、经典证明方法细讲

方法一:

作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED,

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,

∴ ∠BEG =180°―90°= 90°

又∵ AB = BE = EG = GA = c,

∴ ABEG是一个边长为c的正方形.

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°

即∠CBD= 90°

又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°,

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

同理,HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S,则

,

∴ BDPC的面积也为S,HPFG的面积也为S由此可推出:a^2+b^2=c^2

方法二

作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.

分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,

∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,

∴FI=a,

∴G,I,J在同一直线上,

∵CJ=CF=a,CB=CD=c,

∠CJB = ∠CFD = 90°,

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,

同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE

∴∠ABG = ∠BCJ,

∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,

∴∠ABG +∠CBJ= 90°,

∵∠ABC= 90°,

∴G,B,I,J在同一直线上,

所以a^2+b^2=c^2

二、勾股数的相关介绍

①观察3,4,5;5,x,13;7,24,25;…发现这些勾股数都是奇数,且从3起就没有间断过。计算0.5(9-1),0.5(9+1)与0.5(25-1),

0.5(25+1),并根据你发现的规律写出分别能表示7,24,25的股和弦的算式。

②根据①的规律,用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明。

③继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用上述类似的探索方法,之间用m的代数式来表示它们的股合弦。]在一个三角形中,两条边的平方和等于另一条边的平方,那么这个三角形就是直角三角形。

三、勾股定理的命题方向

命题1:以已知线段为边,求作一等边三角形。

命题2:求以已知点为端点,作一线段与已知线段相等。

命题3:已知大小两线段,求在大线段上截取一线段与小线段相等。

命题4:两三角形的两边及其夹角对应相等,则这两个三角形全等。

命题5:等腰三角形两底角相等。

各位家长、各位同学大家好。离高考还有近两个月的时间,在这段黄金时间里,从自身实际出发,增强复习的计划性、针对性、实效性显得尤其重要。在高考数学复习中,我认为要把握好十大关系,掌握好了,我想大家一定能在高考数学考试中获得满意的成绩。

关注“考纲”新增内容

高考命题的原则是有助于高校科学公正地选拔人才,有助于推广普通高中课程改革,实施素质教育。因此,在复习阶段,我们要研读《考试说明》把握好“课标”与“考纲”的关系。

在这里,我认为关注以下四个方面。首先,关注新增内容,如函数零点、全称与存在量词、三视图、算法框图、茎叶图、几何概型、统计案例、类比推理、定积分计算等。其次,要淡化与降低处理的内容,如反函数、三垂线定理、高次、分式、绝对值不等式、两直线交角、一般曲线方程的求法、椭圆、双曲线的准线等。再次,要淡化特殊技巧,强调数学思想和方法。最后,考生需强化应用意识,关注应用能力。

另外,《考纲》对知识要求依次由低到高分为“了解、理解、掌握”。其中“理解”级要求相当重要,“掌握”级内容作为考试命题的重点和难点应予以重视。当然,“文理有区别、各省有差异”,同学们在练习时也要有所区分。

回归教材查漏补缺

解题研究的一代宗师波利亚说过,“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”。数学复习的最后阶段应三个回归,即回归教材、回归基础、回归老师。

回归教材和基础,其实是对课本的基础知识和基本技能进行全面排队,把分割学习的知识点或知识片,组合成知识链、方法链、公式链,建立完善的知识方法体系。你可以问问自己,重要概念有哪些,重要定理有哪些,重要公式有哪些,这些概念、定理、公式又形成了怎样的系统。此外,在运用知识方面,对基本题型、典型问题和常见错误要整理归纳进行查漏补缺,大家可以将高三月考的试卷重新翻出来,把考试时做错的和不会做的题都重新做一遍,力求找出解题的规律和各种类型练习之间的联系。

用不同解法答同一题目

在高考复习中,常常会出现一种“高原现象”,这是指在学习过程中的一定阶段,产生学习效率低、学习进步缓慢,甚至停滞的现象。说得通俗点,就是一看就懂,一放就忘,一做就错。

在听课部分,学生要问问自己这样的问题,老师是怎样解的?为什么老师会这样解?而在做题的时候,则要做到一题多解、一题多变。

所谓“一题多解”,就是用不同的解法去解答同一个题目,这个大家很好理解。而“一题多变”却是通过改变题目的某个条件,让旧题变成新题。举个例子,“已知两函数

f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中k为实数,对任意x[-3,3],都有f(x)g(x)成立,求k的取值范围。”如果把题目里的“对任意x”改成“存在x”,题目的解答方法就是另一种。另外,我们还可以把题目改成“对任意x1、x2[-3,3],都有f(x1)g(x2)成立”题目又将有别的解法。通过这样的举一反三,对提高复习效率很有帮助。

容易题得满分中档题少丢分

在每年的高考中,都会出现会做的题目拿不到满分的情况。

首先是书写不规范的问题。比如x年数学考试第9题,“不等式x+1-x-30的解集是什么?”准确的写法是“x—x1”,但有的考生却写成“x1”或“(1,+)”等,这样就会被扣5

分。

除了书写问题外,还存在省略了关键步骤而扣分和逻辑混乱而扣分的情况,比如“有果无因”、“有因无果”。总的来说,高考做题不怕不会,就怕不对。考场上“准”字则尤为重要,而“快”是平时训练的结果。

对于高考,我们的原则是容易题得满分,中档题少丢分,高档题争取多拿分。除了以上的细节外,答题随意不规范,姓名、考号不写在规定的地方,客观题不按要求涂答题卡,选做题不涂信息点等问题也要避免

正余弦转换公式

诱导公式(口诀:奇变偶不变,符号看象限。)sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα

cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tanα-tanβ tan(α-β)=—————— 1+tanα·tanβ 2tan(α/2) sinα=—————— 1+tan2(α/2) 1-tan^2(α/2) cosα=—————— 1+tan^2(α/2) 2tan(α/2) tanα=—————— 1-tan^2(α/2) 半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α=2sinαcosα cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α 2tanα tan2α=————— 1-tan^2α sin3α=3sinα-4sin^3α

正弦定理和余弦定理的所有公式

正弦定理和余弦定理的所有公式 正弦定理和余弦定理的公式有哪些?在数学学习中,正弦定理和余弦 定理的应用是很频繁的,正余弦定理指定是正弦定理、余弦定理,是揭示三角 形边角关系的重要定理,下面是小编为大家整理的正弦定理和余弦定理的所有 公式,供参考。 数学不好的人五大特征高中数学最无耻的得分技巧高考考场上数学拿高分 的技巧如何判断函数的对称性与周期性 1正弦定理、三角形面积公式正弦定理:在一个三角形中,各边和它 所对角的正弦的比相等,并且都等于该三角形外接圆的直径,即: a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.面积公式:S△=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2acsinB.1.正弦定理的变形及应用变形:(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2) sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c(3)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R.应用(1)利用正弦 定理和三角形内角和定理,可以解决以下两类解斜三角形问题:a.已知两角 和任一边,求其他两边和一角.b.已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角.一般地,已知两边和其中一边的对角解三角形,有两解、一解.(2)正弦定 理,可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如:在判断三角形形状时,经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC 来代替.2.余弦定理在△ABC中,有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2- 2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;变形公式:cosA=b2+c2-a2/2bc,cosB=c2+a2- b2/2ac,cosC=a2+b2-c2/2ab在三角形中,我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素,只要已知其中的三个元素(至少一个是边),便

正弦余弦公式总结

正弦余弦公式总结 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(2π-a)=cos(a) cos(2π-a)=sin(a) sin(2π+a)=cos(a) cos(2π+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinAcosA 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)tan(b)] tan(a-b)=[tan(a)-tan(b)]/[1+tan(a)tan(b)] 3.和差化积公式 sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a)sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)

cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2) 4.积化和差公式 (上面公式反过来就得到了) sin(a)sin(b)=-1/2* [cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2* [cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2* [sin(a+b)+sin(a-b)] cos(a)sin(b)=1/2* [sin(a+b)-sin(a-b)] 5.二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(a) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a) 6.半角公式 2sin2(a/2)=1-cos(a) 2cos2(a/2)=1+cos(a) tan(a/2)=[1-cos(a)]/sin(a)=sina/[1+cos(a)] tan2(a/2)= [1-cos(a)]/[1+cos(a)] 7.万能公式 sin(a)=2tan(a/2)/[1+tan2(a/2)] cos(a)=[1-tan2(a/2)]/[1+tan2(a/2)] tan(a)=2tan(a/2)/[1-tan2(a/2)] 8.其它公式(推导出来的) a*sin(a)+b*cos(a)=2+b2其中 tan(c)=b/a a*sin(a)-b*cos(a)= √a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=a/b

正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导;2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形;3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查. 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用;2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换,和三角函数性质相结合. 1. 正弦定理:a sin A =b sin B =c sin C =2R ,其中R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形:(1)a ∶b ∶c =sin_A ∶sin_B ∶sin_C ;(2)a =2R sin_A ,b =2R sin_B ,c =2R sin_C ;(3)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C = c 2R 等形式,解决不同的三角形问题. 2. 余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc cos_A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos_B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos_C .余弦定理可以变形: cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac ,cos C =a 2+b 2-c 2 2ab . 3. S △ABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =abc 4R =1 2 (a +b +c )·r (r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算R 、 r . 4. 在△ABC 中,已知a 、b 和A 时,解的情况如下: [1.在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A >B ?a >b ?sin A >sin B ;tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ;在锐角三角形中,cos A

正余弦定理及面积公式

正余弦定理及面积公式 一,,知识点回顾: 正弦定理:R C c B b A a 2sin sin sin === 余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc cos A ;b 2=c 2+a 2-2ca cos B ;c 2=a 2+b 2-2ab cos C 。 面积公式:B ac A bc C ab S ABC sin 21 sin 21sin 21 ===? 三角形内角和 π=++C B A ) tan(tan )sin(sin ) cos()cos(cos C B A C B A C B C B A +-=+=+-=--=π 二,基础训练: 1,在?ABC 中,已知23=a ,62=+c , 45=∠B ,求b 及A ; 2,在?ABC 中,已知134.6=a cm ,87.8=b cm ,161.7=c cm ,解三角形 3,在?ABC 中,53 cos ,135 cos =-=B A , (1)求C sin 的值;(2)设BC=5,求?ABC 的面积 4,设锐角?ABC 的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c, 且A b a sin 2= (1)求B ∠的大小 (2)若b c a 求,5,33== 5,在?ABC 中,已知54 cos ,3,2-===A a b (1)求B sin 的值 (2)求)62sin(π +B 的值 6,在?ABC 中,53 tan ,41 tan ==B A (1)求C ∠的大小 (2)若AB 的边长为17,求BC 边的长 7,设?ABC 的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c,若 3,3,1π =∠==c c a ,则A ∠ 的值 8,设?ABC 的周长为12+,且C B A sin 2sin sin =+ (1)求边长AB 的长 (2)若?ABC 的面积为C sin 61 ,求角C 9,在?ABC 中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若 55 22cos ,4,2==∠=B C a π,求?ABC 的面积。

正余弦公式

1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(2π-a)=cos(a) cos(2π-a)=sin(a) sin(2π+a)=cos(a) cos(2π+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinAcosA 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b) tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b) 3.和差化积公式 sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2) sin(a)?sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2)

cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2) cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2) 4.积化和差公式(上面公式反过来就得到了) sin(a)sin(b)=-12?[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=12?[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=12?[sin(a+b)+sin(a-b)] 5.二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(a) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1 -2sin2(a) 6.半角公式 sin2(a2)=1-cos(a)2 cos2(a2)=1+cos(a)2 tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a) 7.万能公式 sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2) cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2) tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2) 8.其它公式(推导出来的) a?sin(a)+b?cos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中tan(c)=ba

1.1.1正弦定理公式及练习题

一、引入 我们知道,在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系,我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢?这就是我们今天要学习的内容:正弦定理,故此,正弦定理是刻画任意三角形中各个角与其对边之间的关系。 二、新授

1、正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即R C c B b A a 2sin sin sin ===(注:为△ABC 外接圆半径) 2、正弦定理常见变形: (1)边化角公式:A R a sin 2=,B R b sin 2=,C R c sin 2= (2)角化边公式:R a A 2sin =,R b B 2sin =,R c C 2sin = (3)C B A c b a sin :sin :sin ::= (4)R C B A c b a C c B b A a 2sin sin sin sin sin sin =++++=== (5) C c B b C c A a B b A a sin sin sin sin sin sin ===,, (6)B c C b A c C a A b B a sin sin ,sin sin ,sin sin === 3、三角形中的隐含条件: (1)在△ABC 中,c b a >+,c b a <-(两边之和大于第三边,两边只差小于第三边) (2)在△ABC 中,B A b a B A B A B A B A >?>>?>;;cos cos sin sin (3)在△ABC 中,,cos )cos(sin )sin(C B A C B A C B A -=+=+?=++,π 2 cos 2sin C B A =+ 考试·题型与方法 题型一:解三角形 例1:(1)在△ABC 中,已知A=45°,B=30°,c=10,解三角形; (2)在△ABC 中,B=30°,C=45°,c=1,求b 的值及三角形外接圆的半径。 变式训练:在△ABC 中,已知下列条件,解三角形: (1);,,?===602010A b a (2);,,?===606510C c b (3);,,?===4532A b a 例2:下列条件判断三角形解得情况,正确的是( ) A.有两解?===30,16,8A b a B. 有一解?===60,20,18B c b C. 无解?===90,2,15A b a

正余弦定理、三角形的一些公式

正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 R c C R b B R a A C R c B R b A R a R R C c B b A a 2sin 2sin 2sin sin 2sin 2sin 2)(2sin sin sin = = = ======变形有:为外接圆的半径 三角形的面积公式: A bc B ac C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21=== ? 余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 ab c b a C ac b c a B bc a c b A C ab b a c B ac c a b A bc c b a 2cos 2cos 2cos cos 2cos 2cos 22222 222 22222222222-+= -+= -+= -+=-+=-+=变形有: 判断三角形的形状: 为锐角三角形 ,为直角角三角形 为钝角三角形 ABC b a c c a b c b a ABC c b a ABC c b a ?+<+<+2222222222 222 22,, 三角形中有: 形为正三角形 成等比数列,则该三角、、成等差数列,、、)若()(中c b a C B A C B A C B A C B A ABC 2tan )tan(cos )cos(sin )sin(1-=+-=+=+? 两角和差的正余弦公式及两角和差正切公式 ()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- ()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ()c o s c o s c o s s i n s i n αβα βαβ+=- ()βαβαβαt a n t a n 1t a n t a n t a n +-=- ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- 二倍角公式: α α ααβ β ααααα2 22 2 2t a n 1t a n 22t a n 1 c o s 2s i n 21s i n c o s 2c o s c o s s i n 22s i n -= -=-=-== 半角公式:

正余弦转换公式

正余弦转换公式文件编码(GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968)

诱导公式(口诀:奇变偶不变,符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα

tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tanα-tanβ tan(α-β)=——————

正弦定理公式

【正弦定理公式】; ;公式;】弦【余定理 如果将公式、正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”的话,那么解三角形的实质就是把题目中所给的已知条件按方程的思想进行处理,解题时根据已知量与所求量,合理选择一个比较容易解的方程(公式、正弦定理、余弦定理),从而使同学们入手容易,解题简洁。 一、直接运用公式、正弦定理、余弦定理 (1)三角公式 ①在中,已知两角的三角函数值,求第三个角;存

。在 解有解:明证有 是否有解,只需即,要判断 。 (2)正弦定理 ①在中,已知两角和任意一边,解三角形; ②在中,已知两边和其中一边对角,解三角形;

(3)余弦定理 中,已知三边,解三角形;①在 ②在中,已知两边和他们的夹角,解三角形。 直接运用正弦定理、余弦定理的上述情况,是我们常见、常讲、常练的,因此,在这里就不加赘述,同学们可以自己从教材中找一些题目看一看! 二、间接运用公式、正弦定理、余弦定理 1()齐次式条件(边或角的正弦) 若题目条件中出现关于角的齐次式或关于边的齐次式,可以根据角的异同选用公式弦切互化或正弦定理边角互化;有些题中没有明显的齐次式,但经过变形得到齐次式的依然适用。 1.相同角齐次式条件的弦切互化 【例】在中,若,, 求。

是还,的条】【解析无论是件中 是都是关于一个角的齐次式。 是关于关于的二次齐次的一次齐次式; 式。因此,我们将弦化切,再利用三角公式求解。 由; 由

或; 。代中,,且在 值可得: 时,;①当, (舍去)。时,②当,

不同角(正弦)齐次式条件的边角互化2. ,,且【例】在中,若 是关于求的面积。【解析】条件 不同角正弦的二次齐次式。因此,我们利用正弦定理将角化为边,然后根据边的关系利用余弦定理求解。 由; 得可此,公理弦合式个然显这形符余定的式因, 。. ,所以。又因为

正弦余弦换算公式

三角函数诱导公式常用的诱导公式有以下几组: 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三: 任意角α与-α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六: π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为:

对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值, ①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变; ②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即 sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. (奇变偶不变) 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 (符号看象限) 例如: sin(2π-α)=sin(4·π/2-α),k=4为偶数,所以取sinα。 当α是锐角时,2π-α∈(270°,360°),sin(2π-α)<0,符号为“-”。 所以sin(2π-α)=-sinα 上述的记忆口诀是: 奇变偶不变,符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时,角k·360°+α(k∈Z),-α、180°±α,360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变;符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦;三为切;四余弦”. 这十二字口诀的意思就是说: 第一象限任何一个角的四种三角函数值都是“+”; 第二象限只有正弦是“+”,其余全部是“-”; 第三象限只有正切是“+”,其余全部是“-”; 第四象限只有余弦是“+”,其余全部是“-”. 上述记忆口诀,一全正,二正弦,三正切,四余弦 1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(2π-a)=cos(a) cos(2π-a)=sin(a) sin(2π+a)=cos(a) cos(2π+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinAcosA 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)

高中数学必备知识点正弦与余弦定理和公式

三角函数正弦与余弦的学习,在数学中只要记住相关的公式即可。日常考试正弦和余弦的相关题目一般不会很难,是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。但对于有些同学来说还是很难拿分,那是为什么呢? 首先,我们要了解下正弦定理的应用领域 在解三角形中,有以下的应用领域: (1)已知三角形的两角与一边,解三角形 (2)已知三角形的两边和其中一边所对的角,解三角形 (3)运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦 正弦定理 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径) 其次,余弦的应用领域 余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求x边或者是已知三个边求角的问题,若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活。 正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中,各边与其所对角的正弦的比相等,且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的,利用正弦定理解三角形时,其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角,由于该三角形具有不稳定性,所以其解不确定,可结合平面几何作图的方法及“大边对大角,大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论: a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R(R为外接圆半径) (4)设R为三角外接圆半径,公式可扩展为:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时,所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理,还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA (5)a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a

二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础)

二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础) 【学习目标】 1.能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并了解它们之间的内在联系. 2.能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式.但不要求记忆),能灵活地将公式变形并运用. 3.通过运用公式进行简单的恒等变换,进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性,体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用. 【要点梳理】 要点一:二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sin 22sin cos ()S αααα=? 22222cos 2cos sin () 2cos 112sin C αααααα =-=-=- 22 2tan tan 2()1tan T αα αα = - 要点诠释: (1)公式成立的条件是:在公式22,S C αα中,角α可以为任意角,但公式2T α中,只有当 2 k π απ≠ +及()4 2 k k Z π π α≠ + ∈时才成立; (2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式,其它如4α是2α的二倍、 2α是4 α 的二倍、3α是 32 α 的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系,才能熟练地应用好二倍角公式,这是灵活运用公式的关键. 如:2 cos 2 sin 2sin α α α=; 1 1 sin 2sin cos ()2 2 2 n n n n Z α α α ++=∈ 2.和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中,当T C S ,,时,就可得到二倍角的三角函数公式,它们的内在联系如下:

正余弦公式

倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式. 现列出公式如下: sin2α=2sinαcosα tan2α=2tanα/(1-tan^2(α)) cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用. 号外: tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·倍角公式:sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 其他一些公式·三倍角公式:sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα tan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2) ·半角公式:sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·万能公式:sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ·积化和差公式:sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式:sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] ·其他:sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式:sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4) 五倍角公式:sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4) 六倍角公式:sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2)) cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1)) tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6) 七倍角公式:sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6)) cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7)) tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6) 八倍角公式:sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1)) cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2) tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tan A^8) 九倍角公式:sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3)) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3)) tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84 *tanA^6+9*tanA^8) 十倍角公式:sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^ 4)) cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1)) tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tan A^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)

正弦定理公式

【正弦定理公式】; 【余弦定理公式】;; 如果将公式、正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”的话,那么解三角形的实质就是把题目中所给的已知条件按方程的思想进行处理,解题时根据已知量与所求量,合理选择一个比较容易解的方程(公式、正弦定理、余弦定理),从而使同学们入手容易,解题简洁。 一、直接运用公式、正弦定理、余弦定理 (1)三角公式 ①在中,已知两角的三角函数值,求第三个角;存在。 证明:有解有解 即,要判断是否有解,只需 。

(2)正弦定理 ①在中,已知两角和任意一边,解三角形; ②在中,已知两边和其中一边对角,解三角形; (3)余弦定理 ①在中,已知三边,解三角形; ②在中,已知两边和他们的夹角,解三角形。 直接运用正弦定理、余弦定理的上述情况,是我们常见、常讲、常练的,因此,在这里就不加赘述,同学们可以自己从教材中找一些题目看一看! 二、间接运用公式、正弦定理、余弦定理 (1)齐次式条件(边或角的正弦)

若题目条件中出现关于角的齐次式或关于边的齐次式,可以根据角的异同选用公式弦切互化或正弦定理边角互化;有些题中没有明显的齐次式,但经过变形得到齐次式的依然适用。 1.相同角齐次式条件的弦切互化 【例】在中,若,,求。 【解析】无论是条件中的,还是 都是关于一个角的齐次式。是 关于的一次齐次式;是关于的二次齐次式。因此,我们将弦化切,再利用三角公式求解。 由; 由

或; 在中,,且。代值可得: ①当,时,; ②当,时,(舍去)。 2.不同角(正弦)齐次式条件的边角互化 【例】在中,若,且, 求的面积。【解析】条件是关于 不同角正弦的二次齐次式。因此,我们利用正弦定理将角化为边,然后根据边的关系利用余弦定理求解。 由; 显然这个形式符合余弦定理的公式,因此,可得 。

两角和与差的正弦余弦公式

《两角和与差的正弦、余弦函数》教学设计 商州区中学秦明伟 一、学情分析 本课时面对的学生是高一年级的学生,数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期,学生对探索未知世界有主动意识,对新知识充满探求的渴望。在学习本节课之前,学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示,这为他们探究两角和与差的正弦、余弦公式建立了良好的知识基础。 二、教学内容分析 本节内容是北师大版教材必修4第三章《三角恒等变换》第二节,推导得到两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。 由于向量工具的引入,教材选择了两角差的余弦公式作为基础,这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算,大大地降低了思考的难度,也更易于学生接受。 从知识产生的角度来看,在学习了《三角函数》及《平面向量》后再学习由这些知识推导出的新知识也更符合知识产生的规律,符合人们认知的规律。从知识的应用价值来看,重视数学知识的应用,是新教材的显著特点,课本中丰富的生活实例为学生用数学的眼光看待生活、体验生活即数学理念,体验用数学知识解决实际问题,有助于增强学生的数学应用意识。 基于上述分析,本节课的教学重点是引导学生通过合作、交流,探索两角差的余弦公式,进而推导得到其余的和差公式,为后续简单的恒等变换的学习打好基础。

三、教学三维目标 1、知识目标 通过两角差的余弦公式的探究,让学生探索、发现并推导其他和(差)角公式,了解它们之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对公式的理解,在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式,并用之解决简单的数学问题。 2、能力目标 通过利用向量推导两角和与差的正弦、余弦公式及公式的具体运用,使学生深刻体会联系变化的观点,让学生自觉的利用联系的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力及学生逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标 使学生经历数学知识的发现、创造的过程,体验成功探索新知的乐趣,获得对数学应用价值的认识,激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。 四、教学重点、难点 重点:探索得到两角差的余弦公式,理解两角和与差的正弦、余弦公式的推导。 难点:探索过程的组织和适当引导,并能灵活运用公式。 五、教学过程 导入新课

正弦定理和余弦定理详细讲解教学内容

高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导;2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形;3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查. 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用;2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换,和三角函数性质相结合. 基础知识梳理 1. 正弦定理:a sin A =b sin B =c sin C =2R ,其中R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以 变形:(1)a ∶b ∶c =sin_A ∶sin_B ∶sin_C ;(2)a =2R sin_A ,b =2R sin_B ,c =2R sin_C ; (3)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c 2R 等形式,解决不同的三角形问题. 2. 余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc cos_A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos_B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos_C .余弦定理可以变形:cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac ,cos C =a 2+b 2-c 2 2ab . 3. S △ABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =abc 4R =1 2 (a +b +c )·r (r 是三角形内切圆的半径),并 可由此计算R 、r . 4. 在△ABC 中,已知a 、b 和A 时,解的情况如下: A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a =b sin A b sin A b 解的个数 一解 两解 一解 一解 [难点正本 疑点清源] 1.在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A >B ?a >b ?sin A >sin B ;tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ;在锐角三角形中,cos A

正弦定理的变形及应用

正弦定理的变形及应用 正弦定理的原定理同学们较熟悉.正弦定理的变形形式有:(1)C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===;(2)R a A 2sin =,R c C R b B 2sin ,2sin ==;(3)c b a C B A ::sin :sin :sin =;(3)A c C a B c C b A b B a sin sin ,sin sin ,sin sin ===,下面结合学习正弦定理的实际,分类例析它的应用。 一、证明三角等式 例1.在△ABC 中,a、b、c依次是A 、B 、C 的底边,且a+c=2b ,求证:3 12tan 2tan =?C A 证明:由a=2RsinA , b=2RsinB , c=2RsinC 及a+c=2b 得 ()C A B C A +==+s i n 2s i n 2s i n s i n ∴02 C A sin ,2cos 2sin 42cos 2sin 2≠+++=-+又C A C A C A C A ∴2C sin 2A 2sin 2C cos 2A cos 22C sin 2A sin 2C cos 2A cos 2C A 2cos 2C A cos -=++=- ∴2C cos 2A cos 2C sin 2A 3sin = ∴3 12tan 2tan =?C A 点评:己知中的关系是边,而所求证中的关系是角,正弦定理恰是桥梁作用。 二、判断三角形的形状 例2.在ABC ?中,cos cos b A a B =,判断ABC ?的形状. 解:设(0)s i n a k k A =≠,由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得sin a k A =,sin b k B =,代入已知条件得sin cos sin cos .B A A B =即sin cos cos sin 0B A B A -=,即sin()0B A -=. 又,A B 为ABC ?的内角,所以A B =,故ABC ?为等腰三角形. 点评:判断三角形的形状,要么是从角入手,要么是从边入手。 三、确定三角形内边和角的大小 例3.在△ABC 中,已知00120,30,14===B A b 中,求a ,c 及△ABC 的面积S 解:依正弦定理:A a sin =B b sin ,∴B A b a s i n s i n =,代入已知条件,

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