(完整版)立体几何知识点总结完整版

立体几何知识点

【考纲解读】

1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。

2、 空间两条直线的三种位置关系，并会判定。

3、 平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线 平行及角相等的方法。

4、 异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范 围，会求异面直线的所成角。

5?理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘

；了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概

念，掌握空间向量的坐标运算 ；掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式

.

6?了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念

?掌握棱柱,棱锥的性质，并会灵活应用，掌握球的表

面积、体积公式；能画出简单空间图形的三视图， 能识别上述的三视图所表示的立体模型， 会用斜二测法画出它们的

直观图?

7?空间平行与垂直关系的论证 ?

8.掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题 ，进一

步

掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题

9?理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：直接法、转 化法、向量法）?对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算距离。

【知识络构建】

<— 翅MJL 何体的峯构特征一袞间几何怀的表面锲和体枳 —I 吩间儿何体的三视图和吒现图 空何向話的槪念

线性运算

空间向园数呈积

理和坐标运算

【重点知识整合】

1. 空间几何体的三视图

专

间儿何体

空问点仁

n

线、平面ft

置关系

宀

VIHI

向虽与<

体儿

何

(1) 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；

(2) 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；

(3) 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图.

几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.

2. 斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤

(1) 建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox, Oy,建立直角坐标系；

(2) 画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox', Oy',使/ x Oy = 45。(或135 °，它们确定的平面表示水平平面；

(3) 画对应图形，在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x轴，且长度保持不变；在已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y轴，且长度变为原来的一半；

(4) 擦去辅助线，图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线(虚线).

3?体积与表面积公式：

1

(1) 柱体的体积公式：V柱Sh;锥体的体积公式：V锥Sh;

3

台体的体积公式：V棱台^h(s . SS S);球的体积公式：V球4 r3.

3 3

(2) 球的表面积公式：S球4 R.

【高频考点突破】

考点一空间几何体与三视图

1 .一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的

下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度

一样?即长对正、高平齐、宽相等”.

2?画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x轴、z轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度减半.

例1、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为

侧视图

【方法技巧】该类问题主要有两种类型：一是由几何体确定三视图；二是由三视图还原成几何体?解决该类问题的关键是找准投影面及三个视图之间的关系?抓住正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点作出判断考点二空间几何体的表面积和体积

常见的一些简单几何体的表面积和体积公式:

圆柱的表面积公

式：

S= 2n2+ 2n l = 2n（r + 1）（其中r为底面半径，1为圆柱的高）；

圆锥的表面积公

式：

S= n2+ n l = n（r + l）（其中r为底面半径，l为母线长）;

圆台的表面积公

式：S= n（2+ r2+ r l + rl）（其中r和r分别为圆台的上、下底面半径，l为母线长）;

柱体的体积公式：V = Sh（S为底面面积，h为咼）;

锥体的体积公式：

1

V = §Sh（S为底面面积，h为咼）;

台体的体积公式：

1

V = 3（S'+ ,SS+ S）h（S'、S分别为上、下底面面积，h为高）;

4

球的表面积和体积公式：s= 4 n R2, V = 3 n3（R为球的半径）.

例2、如图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为

【方法技巧】

1. 求三棱锥体积时，可多角度地选择方法.如体积分割、体积差、等积转化法是常用的方法.

2. 与三视图相结合考查面积或体积的计算时，解决时先还原几何体，计算时要结合平面图形，不要弄错相关数量. 3?求不规则几何体的体积常用分割或补形的思想将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.

4 ?对于组合体的表面积要注意其衔接部分的处理

考点三球与空间几何体的切”接”问题

1长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径.

Cl Bi

A . 6.3

C. 12 .'3

D. 18/3

2.正方体的内切球其棱长为球的直径.

3?正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线.

4.正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3 : 1.

例3、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为

正视图侧视图

俯视图

【方法技巧】1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题.

2.若球面上四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直，且PA = a, PB= b, PC= c,贝U 4R2= a2+ b2+ C2(R为球半径).可采用补形”法，构造长方体或正方体的外接球去处理.

考点四空间线线、线面位置关系

(1)线面平行的判定定理：a? a, b? a, a// b? a// a

⑵线面平行的性质定理：a// a, a? 3, an 3= b?a// b.

(3 )线面垂直的判定定理：

m? a, n? a, m n n = P , I丄m , I丄n? I丄a

(4) 线面垂直的性质定理：a丄a, b丄a? a // b.

例4、如图，在四面体PABC中，PC丄AB , PA丄BC ,点D , E , F , G分别是

棱AP , AC , BC , PB的中点.

(1)求证：DE //平面BCP ;

⑵求证：四边形DEFG为矩形；

(3) 是否存在点Q,至U四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.

【方法技巧】

1?证明线线平行常用的两种方法：

(1)构造平行四边形；

(2)构造三角形的中位线.

2?证明线面平行常用的两种方法：

(1) 转化为线线平行；

(2) 转化为面面平行.

3 .证明直线与平面垂直往往转化为证明直线与直线垂直.而证明直线与直线垂直又需要转化为证明直线与平

面垂直.

考点五空间面面位置关系

1. 面面垂直的判定定理：a? a丄a? a丄3

2. 面面垂直的性质定理：

a丄B aCl 3= I, a? a, a丄l? a丄B

3. 面面平行的判定定理：

a? B, b? B, a Ab = A, a / a, b / a? all B

4. 面面平行的性质定理：

all B , aA Y= a, BA Y= b? a// b.

5. 面面平行的证明还有其它方法：

1 a、b? a且a A b = A

c、d? B且c A d = B ? all B,

a/c , b l d

(2)a丄a a丄B? all B

例5、如图，在四棱锥P —ABCD中，平面PAD丄平面ABCD, AB = AD , / BAD = 60° E , F分别是AP , AD 的中点.求证:

(1)直线EF //平面PCD ;

⑵平面BEF丄平面PAD.

【方法技巧】

1. 垂直问题的转化方向

面面垂直？线面垂直？线线垂直?主要依据有关定义及判定定理和性质定理证明?具体如下：

(1) 证明线线垂直：①线线垂直的定义；②线面垂直的定义；③勾股定理等平面几何中的有关定理.

(2) 证明线面垂直：①线面垂直的判定定理；②线面垂直的性质定理；③面面垂直的性质定理.

(3 )证明面面垂直：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理.

2. 证明面面平行的常用的方法是利用判定定理，其关键是结合图形与条件在平面内寻找两相交直线分别平行于另一平面?

考点六利用空丽皇证明位置关系

设直娃「的肓向向量为就=L.Q 加门)?平而如月的进向壘分别为产? 如Cs)* 1

=(CL.I 弘Ci)

(1)线而平行匕

正匕口丄110$*=:］u>7］口?十引去十°门=；［

(2)线面垂直’

■■丄贯口4"(10戊=切0口］= 也尹,=肪耳C］—tc：

(引面面平行1

gur也疗"=汽0色=辿9旣=辻豪C;=>Ti

(4)面面垂亘

卫丄￡口圧丄TU>mY=Clo上丢十粘乩-I■务￡=：】.

例6、如图，平面 PAC 丄平面ABC ,△ ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形， E , F , O 分别为PA , PB , AC 的

中点，AC = 16 , FA = PC = 10.

(2)证明：在厶ABO 内存在一点 M ，使FM 丄平面BOE. 【方法技巧】

1 ?用向量法来证明平行与垂直，避免了繁杂的推理论证而直接计算就行了?把几何问题代数化?尤其是正方 体、长方体、直四棱柱中相关问题证明用向量法更简捷?但是向量法要求计算必须准确无误.

2.利用向量法的关键是正确求平面的法向量.赋值时注意其灵活性.注意 考点七利用空间向量求角 1 ?向量法求异面直线所成的角: 若异面直线a , b 的方向向量分别为 a , b ，异面直线所成的角为

0则cos 0=|cos 〈a ,

2.向量法求线面所成的角:

3. 向量法求二面角: B 的两个半平面 a 与B 的法向量n 1, n 2,若二面角 a — l — B 所成的角

|n 1 n 2|

n2> |

= |n 1||n 2|； 若二面角a — l — B 所成的角0为钝角, 则 cos 0=—

|COS 〈n1, n2> =—

黑.

例7、如图，在四棱锥

P — ABCD 中，PA 丄平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形， AB = 2,Z BAD = 60°

(1)求证：BD 丄平面PAC ;

⑵若PA = AB ,求PB 与AC 所成角的余弦值；

⑶当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求 PA 的长.

(0,0,0)不能作为法向量.

b > |=器.

求出平面的法向量 n ,直线的方向向量

a ,设线面所成的角为 0,则sin 0= |cos

=￡?「

求出二面角 a —I —

贝U cos 0= |cos 〈 n 1.