2018年高考全国2卷理科数学
2 0 1 8年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学II 卷
'、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.
1 2i 1. 1 -2i
x, y x 2 y 2 - 3, x Z , y Z ,则A 中元素的个数为
-—,BC - 1, AC — 5,则 AB= 2
5
的概率是
y 2 亠1(a b 0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率
3.函数f ( x) e x -e _x
的图象大致为
4.
已知向量a,b 满足 1,a L -1,贝U a
2a-「b F
5.
双曲线x j./=1 a a 2
b 2
0, b 0的离心率为.3，则其渐近线方程为 2.已知集合A -
在 ABC 中，cos C
7.为计算S - 1-1
1 - 1川 1 - 2
3 4 99 100
1
，设计了右
在空白框中应填入 8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得 果，哥德巴赫猜想是 “每个大于2的偶数可以表示为
30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同
I~ JL
1 — L
Jjj
---- ?
1 叫咆
6. 9.在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中，AB " BC 1, AA 13：贝［
线AD i 与 DB i 所成角的余弦值为
10.若 f (x) cos x sin x 在
'"a, a 「是减函数，则a 的最大值是
11.已知
f ( x)
是定义域
的奇函数，满足f (仁x) ■ f (1 x).若f (1) 2 ,则
f (1) f (2)
f ⑶川f (50)
12.已知F 1, F 2是椭圆C : 匚* 2
侧的程序框图，则
—
的数，其和等于30
两个素数的和”，如 了世界领先的成
3
为 j 的直线上，°PF1F2为等腰三角形，￡F1F2 P=120E，则C的离心率为
6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 曲线y =2ln（ x *1）在点（0,0处的切线方程为_________________ .
x 2y 5茧0,
14. 若x, y满足约束条件妆-2y廿他0,则z = x勺的最大值为_______________ .
x 5 0,
15. 已知si n a *cos 灑=1,cos a 冷s in B = 0 侧sin （a 验B ）= __________ .
16. 已知圆锥的顶点为S,母线SA、SB所成角的余弦值为7，SA与圆锥底面所成角为45.若SAB
8 的面积为5 75^，则该圆锥的侧面积为.
三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题, 每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分
17. （12 分）
记S n为等差数列：an ：的前n项和，已知a1 - 7, S3- 15 .
（1）求J｝的通项公式；
⑵求S n ,并求S n的最小值.
18. （12 分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，（1）分别利用这两个模型，求该地区
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更
可靠？并说明理由
19. （12 分）y（单位：亿元）的折线图.
y与时间变量t的两个线性回归模型。根2，?，17）建立模型①：y 一一30.4'13.5t;根2，? ，7）建立模型②：y - 99 '17.5t .
2018年的环境基础设施投资额的预测值;
设抛物线C : y2 =4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线I与C交于A、B两点，AB 二8.
(1 )求I的方程；
(2)求过A、B且与C的准线相切的圆的方程.
20. (12 分)
如图，在三棱锥P ABC中，AB c BC二2 2, PA - PB二PC - AC - 4, O为AC的中点.
(1)证明：PO丄平面ABC ;
⑵若点M在棱BC上，且二面角M -PA - C为30：, 求PC与平面PAM所成角的正弦值.
21. (12 分)
已知函数f ( x) e x ax2.
(1)若a=1，证明：当x 0时，f (x) 1 ；”
⑵若f ( x)在Q 只有一个零点，求a.
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计
分。
22. ［选修4-4 :极坐标与参数方程］(10分)
一、x f 2cos =
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为g ( <为参数)，直线I的参数方程为
= 0
y 4si n
x "1 t cos ,
(t为参数).
y 2 t sin
(1)求C和I的直角坐标方程；
⑵若曲线C截直线I所得线段的中点坐标为(1,2 )，求I的斜率.
23. ［选修4-5 :不等式选讲］(10分)
设函数f ( x) =5 ~x +al ~x 2 I .
(1)当a 1时，求不等式f (x) -0的解集；(2)若f ( x) -1，求a的取值范围