沪科版八年级数学上册第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》章末达标测试(含答案)

章末达标测试

一、选择题(每题3分，共30分)

1．若等腰三角形的底角为40°，则它的顶角度数为()

A．40°B．50°C．60°D．100°

2．已知等腰三角形两边长是8 cm和4 cm，那么它的周长是() A．12 cm B．16 cm C．16 cm或20 cm D．20 cm

3．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设() A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c

C．a与b相交D．a⊥b

4．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是()

A．3，4， 5 B．1，2， 3 C．6，7，8 D．2，3，4 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是()

A．30°B．35°C．40°D．45°

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()

A．5 B．6 C．8 D．10

7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，且AD交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列说法错误的是()

A．∠CAD＝30°B．AD＝BD C．BE＝2CD D．CD＝ED

8．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD()

A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD

9．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于1

2AB的长为半径画弧，

两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为()

A．7 B．14 C．17 D．20

10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，则下列四个结论：

①∠DEF＝∠DFE；②AE＝AF；

③DA平分∠EDF；④EF垂直平分AD.

其中结论正确的有()

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题(每题3分，共30分)

11．如图，在△ABC中，∠C＝40°，CA＝CB，则△ABC的外角∠ABD＝________．

12．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是________．

13．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：____________________________________________，该逆命题是________(填“真”或“假”)命题．

14．如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β＝________.

15．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD，CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为________．

16．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD 于点O，连接OC，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝________．

17．等腰三角形ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BD＝1

2AC，则等腰三角形

ABC底角的度数为________．

18．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E，AD＝3，BE＝1，则DE＝________．

19．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为________．

20．如图，等边三角形ABC的边长为12，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上的一点．若AE＝4，则EM＋CM的最小值为________．

三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)

21．已知：∠ABC，射线BC上一点D(如图所示)．

求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC 的内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．(要求：请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)

22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB，CF交ED的延长线于点F.

(1)求证：△BDE≌△CDF；

(2)当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．

23．如图，锐角三角形ABC的两条高BE，CD相交于点O，且OB＝OC.

(1)求证：△ABC是等腰三角形；

(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．

24．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点在格点上，按要求画图．

(1)在图①中画出一个面积为4的等腰三角形ABC(点C在格点上)，使A，B，C

中任意两点都不在同一条网格线上；

(2)在图②中画出一个面积为5的直角三角形ABD(点D在格点上)，使A，B，D

中任意两点都不在同一条网格线上．

25．如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题：

(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由．

(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出

t；若不能，请说明理由．

26．数学课上，张老师举了下面的例题：

例1等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)

例2等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)

张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：

变式等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．

(1)请你解答以上的变式题．

(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如

果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．

答案一、1.D 2.D 3.C 4.B

5．C点拨：∵AB＝AC，∠A＝30°，

∴∠ACB＝1

2×(180°－30°)＝75°.

∵∠1＝∠A＋∠AED＝145°，

∴∠AED＝145°－30°＝115°.

∵a∥b，∴∠AED＝∠2＋∠ACB.∴∠2＝115°－75°＝40°.

6．C7.C8.D9.C

10．C点拨：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，DE＝DF.∴∠DEF＝∠DFE.∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF.∴AE＝AF，∠ADE＝∠ADF.∴AD垂直平分EF.∴①②③正确，④不正确．

二、11.110°12.3

13．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假

14．20°15.2716.70°

17．45°或15°或75°点拨：如图①，AC是底边，AB＝CB.

∵BD⊥AC，∴AD＝CD＝1

2AC.

∵BD＝1

2AC，∴AD＝BD.

∴∠A＝∠ABD＝45°.

如图②，BC是底边，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.

∵BD＝1

2AC，∴BD＝

1

2AB.

又∵BD⊥AC，∴∠BAD＝30°.

∵∠BAD＝∠ABC＋∠C＝2∠C，∴∠C＝15°. 如图③，BC是底边，同理可得∠A＝30°，

∴∠ABC＝∠C＝1

2(180°－∠A)＝75°.

若AB是底边，同理可得等腰三角形ABC底角的度数为15°或75°. 综上，等腰三角形ABC底角的度数为45°或15°或75°.

18．2点拨：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠DAC＋∠DCA ＝90°.

∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＋∠DCA＝90°.∴∠DAC＝∠ECB.

又∵AC＝CB，

∴△ACD≌△CBE.

∴AD＝CE＝3，CD＝BE＝1.

∴DE＝CE－CD＝3－1＝2.

19．3 3

20．47点拨：如图，在AB上截取AE′＝AE＝4，连接CE′，CE′与AD交于点M，连接ME，易知此时EM＋CM的值最小，即为线段CE′的长度．过点C 作CF⊥AB，垂足为F.

∵△ABC是等边三角形，

∴AF＝1

2AB＝6，∴CF＝AC

2－AF2＝63，E′F＝AF－AE′＝2，

∴CE′＝CF2＋E′F2＝47.

三、21.解：如图，△PBD为所求作的三角形．

22．(1)证明：∵CF∥AB，

∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F.

∵AD是BC边上的中线，

∴BD＝CD.

∴△BDE≌△CDF(AAS)．

(2)解：∵△BDE≌△CDF，

∴BE＝CF＝2.

∴AB＝AE＋BE＝1＋2＝3.

∵AD⊥BC，BD＝CD，

∴AC＝AB＝3.

23．(1)证明：∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB.

∵BE，CD是两条高，

∴∠BDC＝∠CEB＝90°.

又∵BC＝CB，

∴△BDC≌△CEB(AAS)．

∴∠DBC＝∠ECB.

∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．

(2)解：点O在∠BAC的平分线上．

理由：∵△BDC≌△CEB，

∴DC＝EB.

∵OB＝OC，

∴OD＝OE.

又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，

∴点O在∠BAC的平分线上．

24．解：(1)如图①所示．

(2)如图②所示．

25．解：(1)当点Q到达点C时，PQ与AB垂直．理由：∵点Q到达点C时，BQ＝BC＝6 cm，

∴t＝6

2＝3.

∴AP＝3 cm.

∴BP＝AB－AP＝3 cm＝AP.

∴点P为AB的中点．∴PQ⊥AB.

(2)能．

∵∠B ＝60°，

∴当BP ＝BQ 时，△BPQ 为等边三角形． ∴6－t ＝2t ，解得t ＝2.

∴当t ＝2时，△BPQ 是等边三角形．

26．解：(1)若∠A 为顶角，则∠B ＝(180°－80°)÷2＝50°；

若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B ＝180°－2×80°＝20°； 若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B ＝80°. 故∠B 为50°或20°或80°. (2)分两种情况：

①当90≤x ＜180时，∠A 只能为顶角， ∴∠B 的度数只有一个． ②当0＜x ＜90时，

若∠A 为顶角，则∠B ＝? ??

??

180－x 2°；

若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B ＝(180－2x )°； 若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B ＝x °. 当

180－x 2≠180－2x 且180－2x ≠x 且180－x

2≠x ，

即x ≠60时，∠B 有三个不同的度数．

综上所述，当0＜x ＜90且x ≠60时，∠B 有三个不同的度数．