武汉大学2005考研数学分析
武 汉 大 学
2005 年攻读硕士学位研究生入学考试试题解答 制作人：zhubin846152
一、设{}n x 满足: 11||||||n n n n n x x q x x +--=-,||1n q r ≤< ，证明{}n x 收敛。
证明：（分析：压缩映像原理）
1111
11
11
11
2121211,|12
||||||||,
||||(1...)||
||1||111ln
||
l n n n n n n n n n p p n p n i
i n n i n n p n r
m q m x x q x x m x x Cauchy x x x x
m m x x m x x m m x x m m
m x x N εε+--+--+-+=+--+=
<<-=-<-?-≤
-<+++---=-<----=∑令：则显然|(此即压缩映像原理证明)以下证明压缩映像原理利用收敛准则，对取n ||n p n n N
m
x x ε+>-≤+1,对任意的。从而知命题收敛
二、对任意δ > 0。证明级数01
n
n x +∞
=∑
在(1,1+δ)上不一致收敛。 证明：（利用反证法，Cauchy 收敛准则和定义证明。）
10,(1,1),,,1
1()11111(1,{1(1,1),M N M
n n n n N
x N n M N x x x x x x min εδεδδ-+=?>?∈+?>->=>-∈+?+∑如果级数收敛，
那么对于当时
只需令代入上式，矛盾
从而知非一致收敛
三、设1
()||sin ,"()f x x y f x =-?求
解，（本题利用莱布尼兹求导法则：）
()()
()()1
10
1
01
0()()()()()(())(())()||sin ()sin ()sin ,[0,1]
()()sin ,(1,)
()sin ,(,0)'(b x a x b a x x F x f x dx
F f x b a dx f b f a f x x y x y y x x f x x y x y x x f ααααααααααααααα
=????=+-????=-?-+-∈??=-∈+∞???-∈-∞??
??????，，，，
，10
1
01
,[0,1]
),(1,)
sin ,(,0)2sin [0,1]"()0,(1,)
0,(,0)x x x x x x x x f x x x ?-∈??=∈+∞???-∈-∞??∈?
=∈+∞??∈-∞?
????
四、判断级数2ln ln sin ln n n
n n
+∞
=∑
的绝对收敛性和相对收敛性
解：（1）绝对收敛性：（主要使用放缩法）
21,|sin ||sin(1)|2sin 2
,ln ln 1
ln ln ln ln ln ln |sin ||sin ||sin |ln ln ln ln 2n M n M n M M n n N n n A M M n n n n n n n n n A
n +∞
+∞+∞
===+∞
=
?∈++≥=>=>>∑∑∑∑首先，不难证明对于当足够大的时候。显然，该级数发散。即不绝对收敛
（2）相对收敛性：（A-D 判别法） {}0{}n n n n n n a b a a a b ∑∑∑<1>收敛于，有界
<2>有界，收敛
满足上述任意一个条件收敛
2
21cos
12sin sin ()11cos cos
22
ln ln 1lim lim 0(')ln ln Dirichlet n n n n n n n L Hospital n n
+∞
+∞
==→∞→∞=<==∑∑积化和差法则根据判别法，知该级数收敛
五、计算22()(2)()I y z dx x yz dy x y dz Γ
=-+-+-?，其中Γ为曲线
222222
,0,022x y z a
z b a x y bx
?++=?≥<
（利用奇偶性做）
22
22,4cos sin 22cos 2cos sin [,]2(12sin )2()224()(2)x y z z dx b d yd x b y b dy b d x b d by z dz d z I y z dx x yz dy θθθθθθθ
ππθθθθθθ
θθ
?=??=??=??
?
??=-=-=???=∈-?=-=-????=??==??=-+-代入方程得到222
2
2
2
22
22(),(0)
(cos 21)cos 22cos
1cos 224
x y dz
xdy b
d b d b d b π
ππ
π
πππ
πθθθθθ
θ
θπ
Γ
--
--+-==+=+==?????利用奇偶性，第一第三个积分为
六、设()[0,1]f x 在上变号，且为连续函数，求证：1
[0,1]
min ()|'()|f x f t dt ≥-?
证明：（画出函数图像，分两段讨论：）
min
min
min
min
1
min min 01min min 0
[01]inf{|()0},()0(1)[0,]()'()|'()||'()|(2)[1]()'()|'()||'()|x x x x x f x f x f x f t dt f t dt f t dt x f x f t dt f t dt f t dt
ξ
ξ
ξ
ξ
ξξξξξ∈=>=∈?=-≥-≥-∈?=≥-≥-??
??
?
?利用介值定理，取，，不难证明，
七、证明含参变量反常积分0
sin [](1)
xy
dy x y δ+∞
+∞+?
在，上一致收敛，其中δ>0，但是
在(0, +∞)不一定一致收敛。 证明：
002
2sin 1sin sin (1)lim (1),0,,1sin ||M M M N xy xy
y dy dxy dy
x y x x xy x y
N M N
y dy x x y δδεε
ε+∞+∞→+∞==+++?>?=?>≤≤+≤
???根据定义。（利用了Cauchy-Schwarz 不等式）0
2sin [0](1)
,,sin sin sin ||11xM
M xM xM xN N xN xN xy
dy x y Cauchy N M N x M
y
dy xy y y M dxy dy y dy M MN x xy x y M M x x x x M
M π
εε+∞
+∞+???><
+-+++>=≤≤=
+?
????（2）在，不一致收敛
反证法：根据收敛准则，>0,当时
当足够大时，上式显然不成立，矛盾。故原命题成立
八、在底面半径为a ，高为h 的正圆锥作长方体，其一面与圆锥地面重合，对面四
个顶点在锥面上，求长方体的最大体积。 解：
2
223
A 1sin ,2
'1''2128()(2)((2))1
222222'2S d h V S h d h a d h d d h d d a V d h a d a d a a a d
h h h a θ=≤
?
==?-??==-≤++-=??-=??
顶顶首先，由于顶点所在的平面和圆锥的交线为一个圆A ，四个顶点组成在圆上。所以，易知长方体的底面中点和圆锥底面的中点重合。另外，顶面的长方形对角线为圆的直径d ，即为定值。当且仅当底面为正方形的时候取到。不妨设，高为227Lagrange Lagrange h 本题还可以用乘子法解决。但是，我觉得用初等方法也可以。我不用乘子法用意是学习了高等数学不应该把初等数学方法忘记了。
九、设(01)a ∈，，()[0,](0,)f x a a 在上连续，在,在（0，a ）可导，以及在(0,a)
取到最值，且满足f(0)=0,f(a)=a 。证明：
1）(0,),()a f a ηηη?∈=使得； 2）(0,),'()a f a ξξ?∈=使得 证明：1）命题有问题，取a=1/2,f(x)=5x-8x 2
f(0)=0,f(1/2)=1/2
f(x)在5/16取到最值，但是f(x)-ax 只在x=0,x=9/16等于0，与命题1矛盾。
()()()()[0,]()0,(0,)(0,),'()0'()()0,',(')()(0)0,(0,'),()()Rolle g x f x ax f x g x a g x x a a f g a g g g g g g ξξξξξξξξηξηξ=->∈∈=?=-=<>=∈=2）构造函数。
由于为连续函数，所以在上为连续函数，且一致连续反证法：如果命题不正确，那么根据题设，存在使得由于加上一致连续的条件，存在由于利用连续性和介值定理，存在根据中(,),'()0'()g f a
ζηξζζ?==-值定理，得到
括号里的是我的个人意见，主要是一些思路。本人水平不够，如果有错误，希望大家不吝指出，并恳请大家原谅。 希望大家继续支持bossh ！