七升八暑假数学衔接学习讲义
1. 定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形.
观察右面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？
2. 由全等图形类比得出：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
比如，在图中，△ABC与△DEF能够完全重合，它们是全等的。
其中顶点A，D重合，它们是对应顶点；AB边与DE边重合，
它们是对应边；A与 D 重合，它们是对应角.
△ABC与△ DEF全等，我们把它记作“△ABC≌△DEF”.
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
A D A(D)
B C E F B(E) C(F)
一、图形的全等观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？
全等三角形的对应边
全等三角形的对应边上的中线形的周长，面积
几何语言：，对应角
。
。
，对应边上的高，对应角的角平分线；全等三角
∵△ ABC≌△ DEF （已知）
∴AB= ，AC= ，BC= （）∠A= , ∠C=，∠B= .（）
练习：
1．如图6，△ABC≌△AEC，∠B=75°, ∠ACB=55°, 求出△AEC各内角的度数。
解： A
B
E
C
( 图6)
2．如图7，△ ABD≌△ EBC，AB=3 cm，AC=8 cm，求DE的长。 D
解：
E
3. 判断：A B C
(图7)
○1 全等三角形的边相等，角相等，中线相等，角平分线相等.（）○2 全等三角形的周长相等.（）
○3 周长相等的两个三角形是全等三角形.（）
○4 全等三角形的面积相等.（）
C
B
D
5.如图 3，已知 CD ⊥ AB 于 D ， BE ⊥ AC 于 E,
△ ABE ≌△ ACD ，∠ C=20°, AB=10，AD=4， G 为 AB 延长线上的一点，求∠ ABE 的度数和 CE 的长 .
C
E
F
A
二、三角形的判定定理：边角边公理
D
B G
定理： 两个三角形的两组对应边相等且它们的夹角相等，那么这两个三角形全等，简记为 " 边角边 " ，
符号表示： "SAS"
例 1. 下列哪组三角形能完全重合（全等）？
例 2. 如图，在△ ABC 和△ A ′ B ′C ′中，已知 AB ＝ A ′ B ′，∠ B ＝∠ B ′， BC ＝ B ′ C ′．这两个三角形全
等吗 ?
○
5 面积相等的两个三角形是全等三角形 .（ ）
4. 填空：如图所示，已知△
AOB ≌△ COD ，∠ C=∠ A,AB=CD ,则另外两组对应边为
，
另外两组对应角为
。
A
O
例 3. 在△ ABC 和△ A ′ B ′ C ′中（自己画图）
(1)
AB A B B
B
BC B C
(2)
AB A B
A
A
（2） BC ＝ BD ， ∠ ABC ＝∠ ABD ．
(第 1 题)
2． 如图 2，△ AOB 和△ COD 全等吗？为什么？
3. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AD 平分∠ BAC ，求证：△ ABD ≌△ ACD ．
4. 如图 3，已知 AD ∥ BC ， AD ＝ CB ，证明：△ ABC ≌△ CDA.
∴
ABC
AC A B C A C
( SAS )
∴
ABC A B C (
)
(3)
BC B C
∴
ABC A B C (
)
练 习 1： 1．根据题目条件，判断下面的三角形是否全等？ （1） AC ＝ DF ， ∠ C ＝∠ F ， BC ＝ EF ；
5. 如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠ 1＝∠2，证明：△ ABD≌ACE.
6. 如图，已知AB=AC，AE=AD，那么图中哪两个三角形全等？并进行证明.
7. 已知：AD∥BC，AD＝CB( 如图) ．现有条件能证明△ADC≌△CBA吗？如果能请写出证明过程，若不能，那么还需添加怎样的条件才能证明？
练习 2
1. 已知：如图，AC=AD，∠CAB=∠DAB，
求证：△ACB≌△ADB
D
E
F
B
C
D
A
E C
B
C
D
B
2. 已知： AD ∥ BC ， AD=CB
求证：△ ADC ≌△ CBA
A
3. 已知： AD ∥ BC ， AD=CB ， AE=CF
求证：△ AFD ≌△ CEB
4. 已知： EA=EC ， ED=EB ，
求证：△ AED ≌△ CEB
E
5. 已知： AC=DB ， AE=DF ， EA ⊥AD ， FD ⊥AD ，
求证：△ EAB ≌△ FDC
A
F
例 3.如图，在△ ABC 中， AD ⊥ BC 于点 D ， BE ⊥ AC 于 E.AD 与 BE 交于 F ，若 BF ＝AC ，试说明：
△ADC ≌△ BDF .
6. 已知： AB=AC ， AD=AE ，∠ 1=∠2
求证：∠ B=∠ C
A
C
2
1
B
E
D
三、三角形的判定定理：角边角定理
定理：两个三角形的两组对应角相等且它们的夹边也相等，
那么这两个三角形全等， 简记为 " 角边角 "，
符号表示： "ASA"
例 1. 如图所示， 某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块， 现在要到玻璃店去配一块完全一样
的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？
例 2.如图， AD ∥ BC ， BE ∥ DF ， AE ＝ CF ，试说明：△ ADF ≌△ CBE.
例4.在△ ABC 中，∠ BAC＝90°，AB＝AC ，直线m 经过点A，BD ⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点 D 、E.试说明：
(1)△BDA ≌△AEC；
(2)DE＝BD＋CE.
练习：
1. 如图，已知AO=DO，∠AOB 与∠DOC 是对顶角，还需补充条件= ，就可根据
“ASA ”说明△AOB ≌△DOC ；或者补充条件
A B
= ，就可根据“ SAS”，说明△ AOB
o ≌△DOC
C D
2. 已知：点 D 在AB 上，点E在AC上，BE和CD 相交于点O，AB=AC，∠B=∠C。求证：△ABE≌△ACD
A
D E
O
B C
3. 如图，∠ 1=∠2，∠ 3=∠ 4, 求证：AC=AD
4. 如图，有一块边长为 4 的正方形塑料摸板ABCD ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在 A 点，两条直角边分别与CD 交于点 F ，与CB 延长线交于点 E ．则四边形Ａ D
AECF 的面积是多少？ F
E
C B
四、三角形的判定定理：角角边定理
定理：两个三角形的两组对应角相等且其中一角的对边也相等，那么这两个三角形全等，简记为" 角角边" ，符号表示："AAS"
例1. 如图：已知D、E 分别在AB、AC 上，AB=AC，∠BDC=∠CEB，求证：BE=CD ．
例2. 如图，在△AFD 和△BEC中，点A、E、F、C 在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，
AD∥BC. 试证明AD=CB.
例3. 如图， D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，AE EC ，CF
A ∥A
B ．
求证：AD CF ． D E
F
B
C
例4. 如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD是△ABC的角平分线，∠1=∠C,
求证: △ABD≌△ AED.
练习1：
1. 如图，AB=AC，CD⊥AB 于D，BE⊥AC于E。求证：AD=AE
2. 如图，AC 和BD 交于点E，AB∥CD，BE=DE，求证：AB=CD
3. 已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF。判断AD 是△ ABC的中线还是角平分线？请说明理由
4. 如图，AB=AC，AD=AE，求证：OB=OC
5. 如图，AE⊥AB，AD⊥AC，AB=AC，∠ B=∠C，求证：BD=CE。
6. 已知∠ BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE
求证；AB=AC，AD=AE；
练习2：
1、如图，△ABC≌△BAD，点 A 点B，点C 和点 D 是对应点。如果AB=6厘米，BD=5厘米，AD=4厘米，那么BC的长是（）
A ．4 厘米
B ．5 厘米
C ．6 厘米
D ．无法确定
D C
D
C
A B
E O
第4 题D
A B A B
第 3 题
第1 题第 2 题
2、如图，△ABN≌△ACM，AB=AC，BN=CM，∠B=50°，∠ANC=120°，则∠MAC的度数等于（）
C
A．120° B.70 ° C.60 ° D.50 °.
3.如图示，AC，BD相交于点O，△AOB≌△COD，∠A=∠C，则其它对应角分别为
，对应边分别为.
4.如图示, 点 B 在AE 上, ∠CBE=∠DBE,要使ΔABC≌ΔABD, 还需添加一个条件是. （填上你
认为适当的一个条件即可）
5.如图：在△ ABC中，点D，E 在BC上，且AD=AE，BD=CE，∠ ADE=∠AED，求证：AB=AC.
A
B D E C
A
6.如图：E 是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D。
C
求证：（1）OC=OD，（2）DF=CF。
F E
O
D B
五、三角形的判定定理：边边边公理
定理：三边对应相等的两个三角形全等。简称为“边边边”简写为“SSS”
例1. 如图，在△ ABC和△ DCB 中，AC和BD 相交于点O，AB=DC，AC=BD，求证：OB=OC
例2. 如图，E、C 两点在线段BF 上，BE=CF，AB=DE，AC=DF，求证：△ABC≌△DEF 例3. 如图，AB=CD，BE=DF, AF=CE求, 证：BE∥DF
练习1：
1. 如图，已知AB=AD，如果要判定△ABC≌△ADC，根据(S、S、S)全等的判定方法，还需要添加的条件是＿＿＿＿＿＿＿。
A D
B C
第1 题第 2 题
2. 已知：如图，AB=DC，AD=BC，求证：∠ A=∠C。
A
3. 已知：如图, AB=AC , AD=AE , BD=CE ．求证：∠BAC=∠DAE．
E
D
4. △ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C （自己画图）
练习2：
1.．在△ABC 和△A’B’C’中, AB=A ’B’, ∠ B=∠
B’, 补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△ A’B’C’, 则补充的这个条件是( )
A．BC=B’C’ B ．∠A=∠A’ C ．AC=A’C’ D ．∠C=∠C’
2.直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（）
A ．45°
B ．135°
C ．45°或135°
D ．都不对
3.根据下列已知条件，能惟一画出三角形ABC的是（）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝8； B. AB ＝4，BC＝3，∠A＝30°；
C. ∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4；
D. ∠C＝90°，AB＝6
4.三角形ABC中，∠A 是∠B 的2 倍，∠C 比∠A＋∠B 还大12°，则这个三角形是＿＿三角形．
5.以三条线段3、4、x －5 为这组成三角形，则x 的取值为＿＿＿＿．
6.杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是＿＿＿＿．
7.△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠A 的平分线交BC 于点D，若CD＝8cm，则点 D 到AB的距离为＿＿＿
E
＿ cm ．
8. 已知，如图， D 是△ ABC 的边 AB 上一点 , DF 交 AC 于点 E, DE=FE, FC ∥AB, A
求证： AD=CF ．
D
F
B
C
9.
如图， ABC 为等边三角形， 点求 AQN 的度数。
M , N 分别在 BC, AC 上，且 BM CN ，AM 与 BN 交于 Q 点。
9． 阅读下题及证明过程：已知：如图， D 是△ ABC 中 BC 边上一点， E 是 AD 上一点， EB=EC ，∠ ABE=
∠ACE ，求证：∠ BAE=∠ C AE ． 证明：在△ AEB 和△ AEC 中，
∵ EB=EC ，∠ ABE=∠ ACE ，AE=AE ，
∴△ AEB ≌△ AEC
第一步
∴∠ BAE=∠ CAE
第二步
问上面证明过程是否正确？若正确，
请写出每一步推理的依据； 若不正确， 请指出错在哪一步， 并
写出你认为正确的证明过程．
A
E
B
C
D
六、勾股定理
一. 观察:
【邮票赏析】1955 年希腊发行的一枚纪念邮票，邮票上的
图案是根据一个著名的数学定理设计的。观察这枚邮票上
的图案和图案中小方格的个数，你有哪些发现？
二. 体会:
1. 分别以图中的直角三角形三边为边向外作正方形，求这三个正方形的面积？
2. 这三个面积之间是否存在什么样的未知关系?如果存在，那么它们的关系是什么？
3. 是否所有的直角三角形都有这个规律呢？请写出你发现的规律.
三. 思考:
勾股定理又称毕达哥拉斯定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决
几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理约有400 种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。下面选几个图案, 你能从中说出勾股定理的推导过程吗?
1. 以a、b 为直角边， c 为斜边做四个形状大小相同的的直角三角形，拼成一个正方形．
2. 用二个形状大小相同的的直角三角形，拼成一个直角梯形形．
3. 用二种方法分割边长为a+b 的正方形.