3--三角函数的伸缩变换及其辅助角公式--0329
三角函数的伸缩变换
三角函数图象的作法：
1．y=Asin(ωx+φ)的图象：
①用五点法作图:五点取法由ωx +?=0、2π、π、2
π
3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图.
③A---振幅 ?
π2=T ----周期 πω21==T f ----频率 相位--+?ωx 初相--?
2、函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ?，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由?引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．
既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩
sin y x =的图象???0)或向右(0)
平移个单位长度
得sin()y x ?=+的图象()ωωω
?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)
1
到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)
为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0)
k k k >
得sin()y A x k ?=++的图象． 先伸缩后平移
sin y x =的图象(1)(01)
A A A ><
得sin y A x =的图象(01)(1)
1
()
ωωω
<<>?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象
(0)(0)
???ω
>
个单位
得sin ()y A x x ω?=+的图象(0)(0)
k k k >
得sin()y A x k ω?=++的图象．
注意以上两种变换方法的区别：______________________________________
例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ?
?=++ ??
?的图象．
例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ?
?=- ??
?的图象．
练习
1、为了得到函数)6
3sin(π
+=x y 的图象，只需把函数x y 3sin =的图象 （ ）
A 、向左平移6
π B 、向左平移18π
C 、向右平移6
π D 、向右平移18π
2、、函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象一个对称中心的坐标是 （ ）
A 、)0,83(π
B 、)1,83(π
C 、)1,8
(π D 、)1,8(--π
3、、已知函数
a x x x f -++-=1cos 4sin 4)(2，当]3
2,4[π
π-∈x 时)(x f ＝0恒有解，则a 的范围是＿
＿＿＿。 4、方程)3
sin(||lg π
+=x x 有＿＿＿个实数根。
5、把函数x x y sin cos 3-=的图象向左平移)0(>m m 个单位，所得的图象关于y 轴对称，求m 的最小值。
6、如图为)sin(?ω+=x A y
(0,0,||)2
A π
ω?<><
的图象的一段，
求其解析式。
三角函数公式大全(很详细)
高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 1.2 直角坐标系中的定义
图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 r ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 2 转化关系2.1 倒数关系 2.2 平方关系 2 和角公式 3.1 倍角公式
3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式 证明过程 首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式） 则 sin(α-β) =sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+sin(-β)cosα =sinαcosβ-sinβcosα 于是 sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式） 将正弦的和角、差角公式相加，得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 则 sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一） 同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有 cos(α+β)= sin[π/2-(α+β)] =sin(π/2-α-β) =sin[(π/2-α)+(-β)] =sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是
三角函数公式的推导及公式大全
诱导公式 目录·诱导公式 ·诱导公式记忆口诀 ·同角三角函数基本关系 ·同角三角函数关系六角形记忆法 ·两角和差公式 ·倍角公式 ·半角公式 ·万能公式 ·万能公式推导 ·三倍角公式 ·三倍角公式推导 ·三倍角公式联想记忆 ·和差化积公式 ·积化和差公式 ·和差化积公式推导 诱导公式 ★诱导公式★ 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα (以上k∈z) 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※
三角函数辅助角公式化简(1)
三角函数辅助角公式化简 一、解答题 1．已知函数()22sin cos 3f x x x π??=-+ ???， x R ∈ （1）求()f x 的对称中心； （2）讨论()f x 在区间,34π π?? -????上的单调性. 2．已知函数()4sin cos 33f x x x π? ? =++ ???. （1）将()f x 化简为()()sin f x A x ωφ=+的形式，并求()f x 最小正周期； （2）求()f x 在区间,46ππ?? -????上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 3．已知函数()4tan sin cos 323f x x x x π π???? =--- ? ?????． （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间,44π π?? -????上的单调递增区间及最大值与最小值． 4．设函数()23 3cos sin cos 2f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的最小正周期T 及最大值； （2）求函数()f x 的单调递增区间. 5．已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ?? ?? ?? =-+-+ ? ? ??????? （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ,122?? -????上的值域. 6．已知函数()21 3sin cos cos 2f x x x x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的对称中心； (Ⅱ)求()f x 在[]0,π上的单调区间. 7．已知函数()4cos sin 16f x x x π??=+- ???，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ??-????上的最大值和最小值. 8．设函数()()sin 3cos ?cos 2tan x x x f x x π??+- ???=. （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π?? ???上的单调性. 9．已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[]0,π上的单调性。 10．已知函数. (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在上有两个不同的实根，求实数 的取值范围. 11．设()2sin cos cos 4f x x x x π??=-+ ???. (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ??= ???， 1a =， 3bc =，求b c +的值. 12．已知函数.
三角函数的平移、伸缩变换测试题(人教A版)(含答案)
三角函数的平移、伸缩变换（人教A版） 一、单选题(共14道，每道7分) 1.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象的解析式为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 由题意， 函数经平移，得到， 该函数横坐标再经变换，得到． 故选B 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 2.由的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则为( ) A. B. C. D. 答案：D
解题思路： 将变换的过程倒推， 函数横坐标经变换，即横坐标缩短为原来的， 得到； 再将该函数图象向右平移个单位长度，得到 ． 故选D． 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 3.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数解析式为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 由题意， 函数经平移，得到 ； 再经横坐标变换后，得到， 故选D． 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
4.将函数的图象上每点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 由题意， 函数横坐标经变换得到， 该函数再经平移，得到， 故选B． 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 5.将函数的图象上每点的横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，得到的函数解析式为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 由题意， 函数横坐标经变换，
三角函数和差公式练习题
第12课时 三角函数和差公式及辅助角公式 1.函数y=sin （2x+6π）+cos （2x+3 π）的最小正周期和最大值分别为（ ） A π，1 B π，2 C 2π，1 D 2π，2 2、)4sin(2cos παα -=-22，则cos α+sin α的值为（ ） 3.函数y=sin （x+3π）sin （x+2 π）的最小正周期T 是（ ） 4、函数的最小正周期是________ . 5.函数的最大值为 _________________-。 6.已知函数()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ -上的值域 7.已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ω??ω?ωπx x 本小题满分12分）为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为 .2π （Ⅰ）美洲f （8 π）的值； （Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移 6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间. 8.已知函数。 （Ⅰ）求 的最小正周期： （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。 2()sin(2)4f x x x π =--sin()cos()26y x x ππ=+-()4cos sin()16f x x x π=+-()f x ()f x ,64ππ??-????
9.已知函数 （1）求 的值； （2）设求的值． 10、已知函数 （1）求的最小正周期和最小值； 11.已知函数f （x ）=2cos （x+ 4π）cos （x-4 π）+3sin2x ，求它的值域和最小正周期 12．已知cos ? ???α－ π4＝14，则sin2α的值为 ( ) A.78 B ．－78 C.34 D ．－34 13．已知sin ????α－π3＝13，则cos ????π6＋α的值为 ( ) A.13 B ．－13 C.233 D ．－233 14．函数f (x )＝sin ? ???2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________． 15．y ＝sin(2x －π3 )－sin2x 的一个单调递增区间是( ) A ．[－π6，π3]B ．[π12，712π]C ．[512π，1312 π] D ．[π3，5π6 ] 16．设函数f (x )＝22cos(2x ＋π4)＋sin 2x (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期； (2)写出函数f (x )的单调递增区间． 18．已知函数 ()cos cos()3f x x x π=?-. (1)求2()3f π的值； (2) 求对称轴和对称中心； (3) 求使1()4f x <成立的x 的取值集合. 1()2sin(),.36f x x x R π=-∈5()4f π106,0,,(3),(32),22135f a f ππαββπ??∈+=+=???? cos()αβ+73()sin()cos(),44f x x x x R ππ=++-∈()f x
1.2.2同角的三角函数的基本关系 教案
1. 2.2同角的三角函数的基本关系 一、教学目标： ⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义； 2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性； 3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力． 二、教学重、难点 重点：公式1cos sin 2 2=+αα及 αα α tan cos sin =的推导及运用： （1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式. 难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式. 三、学法与教学用具 利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 1cos sin 2 2 =+αα及 αα α tan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等. 教学用具:圆规、三角板、投影 四、教学过程 【创设情境】 与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化． 【探究新知】 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从 圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗? 如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由2 2 1MP OM +=, 因此2 2 1x y +=,即22 sin cos 1αα+=. 根据三角函数的定义,当()2a k k Z π π≠+ ∈时,有 sin tan cos α αα =. 这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切. 【例题讲评】 例1化简： 440sin 12- 解：原式 80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 122 2 ==-=+-= 例2 已知α α αααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简
三角函数的平移及伸缩变换(含答案)
三角函数的平移及伸缩变换 一、单选题(共8道，每道12分) 1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整 个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数，则y ＝f(x)的表达式时( ) A. B. C. D.
答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.已知函数，若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 4.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 6.已知函数的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值是( ) A.π B. C. D. 答案：D
任意角的三角函数及基本公式
第 18 讲 任意角的三角函数及基本公式 （第课时） 任意角的三角函数? ? ?? ? ? ? ?? ??? ????? ?? ??????? ±±--?±?+????? ????? ??的函数关系与以及的函数关系 与以及的函数关系与的函数关系与诱导公式倒数关系式 商数关系式平方关系式系式同角三角函数的基本关任意角三角函数定义 弧度制角的概念的扩充三角函数的概念ααπαπααααααα232360180360k 重点：1．任意角三角函数的定义；2．同角三角函数关系式；3．诱导公式。 难点：1．正确选用三角函数关系式和诱导公式；2．公式的理解和应用。 2．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；3．掌握同角三角函数的基本关系式；4. 掌握正弦、余弦的诱导公式。 ⑴ 角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的，射线旋转开始的位置叫做角的始边，旋转终止的位置叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点。 ⑵ 射线逆时针旋转而成的角叫正角。射线顺时针旋转而成的角叫负角。射线没有任何旋转所成的角叫零角。 2．弧度制 ⑴ 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。用“弧度” 作单位来度量角的制度叫做“弧度制”。 注意：1sin 表示1弧度角的正弦，2sin 表示2弧度角的正弦，它们与?1sin 、?2sin 不是
一回事。 ⑵ 一个圆心角所对的弧长与其半径的比就是这个角的弧度数的绝对值。正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。 ⑶ 设一个角的弧度数为α，则 r l = α （l 为这角所对的弧长，r 为半径）。 ⑷ 所有大小不同的角组成的集合与实数集是一一对应的，这个对应是利用角的弧度制建立的。 ⑸ 1π=?弧度，1弧度?=)180 ( 。 设扇形的弧长为l ，扇形面积为S ，圆心角大小为α弧度，半径为r ， 则 αr l = ，α22 1 21r lr S == 。 3．角的集合表示 ⑴ 终边相同的角 设β表示所有终边与角α终边相同的角（始边也相同），则 αβ+??=360k （也可记为 απβ+=k 2 Z k ∈） 。 ⑵ 区域角 介于某两条终边间的角叫做区域角。例如 ?+??<
同角三角函数与诱导公式
同角三角函数基本关系 1，平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； 2，商数关系：tan α＝α αcos sin 3，同角三角函数的关系式的基本用途： 根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式． 题型一，同角间的计算 利用基本关系计算，开方时注意正负 1，若sin α＝45 ，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±43 2，化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos160° B ．－cos160° C ．±cos160° D ．±|cos160°| 3，若cos α＝－817 ，则sin α＝________，tan α＝________ 4，若α是第四象限的角，tan α＝－512 ，则sin α等于( ) A.15 B ．－15 C.315 D ．－513 5，若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1 6，计算1－2sin40°·cos40°sin40°－1－sin 240° ＝________。 7，已知8 1cos sin =?αα，则ααsin cos -的值等于（ ） A ．±34 B ．±23 C ．23 D ．－2 3
8，已知 2cos sin cos sin =-+θθθθ，求θθcos sin ?的值。 9，已知sin α·cos α＝ 81，且24παπ<<，则cos α－sin α的值是多少? 10，已知sin θ +cos θ=51,θ∈(0,π)，求值： （1）tan θ； （2）sin θ-cos θ；（3）sin 3θ+cos 3θ。 11，求证： ()x x x x x x x x cos sin 1sin cos 2cos 1sin sin 1cos ++-=+-+。
三角函数的平移与伸缩变换_整理
函数)sin(A ?ω+=x y 的图像 令狐采学 （1）物理意义：sin()y A x ω?=+（A ＞0，ω＞0），x ∈[0,+ ∞）表示一个振动量时，A 称为振幅，T = ω π 2，1 f T = 称为频率，x ω? +称为相位，?称为初相。 （2）函数sin()y A x k ω?=++的图像与sin y x =图像间的关系： ① 函数sin y x =的图像纵坐标不变，横坐标向左（?>0）或向右（?<0）平移||?个单位得()sin y x ?=+的图像； ② 函数()sin y x ?=+图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 ω ，得到函数()sin y x ω?=+的图像； ③ 函数()sin y x ω?=+图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到函数sin()y A x ω?=+的图像； ④ 函数sin()y A x ω?=+图像的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ω?=++的图像。 要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图像，则向左或向右平移应平移||?ω 个单位。 ?对)sin(?+=x y 图像的影响 一般地，函数)sin(?+=x y 的图像可以看做是把正弦函数曲线上所有的点向____(当?>0时)或向______(当?<0时)平移?个单位长度得到的 注意：左右平移时可以简述成“______________” ω对x y ωsin =图像的影响
函数x y ωsin =)10(≠>∈ωω且R x ，的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的横坐标______)1(>ω或_______)10(<<ω到原来的ω 1 倍（纵坐标不变）。 A 对x y sin A =的影响 函数x y sin A =， )1A 0A (≠>∈且R x 的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的纵坐标_______)1A (>或_______)1A 0(<<到原来的A 倍得到的 由x y sin =到)sin(A ?ω+=x y 的图像变换 先平移后伸缩： 先伸缩后平移： 【典型例题】 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ?? =++ ?? ? 的图象． 练习：将x y cos =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ?? =- ?? ? 的图象． 例2、把)3 42cos(3π + =x y 作如下变换： （1）向右平移2 π 个单位长度； （2）纵坐标不变，横坐标变为原来的31； （3）横坐标不变，纵坐标变为原来的4 3 ； （4）向上平移1.5个单位长度，则所得函数解析式为________. 练习：将2)5 42sin(2++ =π x y 做下列变换： （1）向右平移2 π个单位长度； （2）横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变； （3）纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变；
三角函数公式及记忆方法
三角函数公式 诱导公式的本质 所谓三角函数诱导公式，就是将角απ ±?)2 (n 的三角函数转化为角α的三角函数。 常用的诱导公式Z k ∈ 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ααπs i n )2s i n (=+k ααπcos )2cos(=+k ααπt a n )2t a n (=+k ααπcot )2cot(=+k ααπs e c )2s e c (=+k ααπcsc )2csc(=+k 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ααπs i n )s i n (-=+ ααπcos )cos(-=+ ααπt a n )t a n (=+ ααπcot )cot(=+ ααπs e c )s e c (-=+ ααπcsc )csc(-=+ 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ααs i n )s i n (-=- ααcos )cos(=- ααt a n )t a n (-=- ααcot )cot(-=- ααs e c )s e c (=- ααcsc )csc(-=- 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ααπs i n )s i n (=- ααπcos )cos(-=- ααπt a n )t a n (-=- ααπcot )cot(-=- ααπs e c )s e c (-=- ααπcsc )csc( =- 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ααπs i n )2 s i n (-=- ααπcos )2cos(=- ααπt a n )2 t a n (-=- ααπcot )2cot(-=- ααπs e c )2s e c (=- ααπcsc )2csc(-=-
同角三角函数公式的转化
同角三角函数公式的转化 同角三角函数的基本关系式十分重要，主要运用于三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化．在解答时，若能根据函数式的结构特点，适时灵活地选用公式，往往能获得简捷、迅速的解答． 一、“１”的代换 例１ 证明：66441sin cos 31sin cos 2 x x x x --=--． 证明：∵22sin cos 1x x +=， ∴2231(sin cos )x x =+，2221(sin cos )x x =+， ∴662236644222441sin cos (sin cos )sin cos 1sin cos (sin cos )sin cos x x x x x x x x x x x x --+--=--+-- 424222223sin cos 3cos sin 3(sin cos )32sin cos 22 x x x x x x x x ++===··． 评注：本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解．同学们要注意掌握和灵活运用“1”的代换． 二、化切为弦 例2 化简：tan (cos sin )sin (tan cot )θ θθθθθ-++··． 解：原式sin sin cos (cos sin )sin cos cos sin θθθθθθθθθ??=-++ ??? ·· 22sin sin sin cos sin cos cos cos θθθθθθθθ =-++=+ 例３ 求证：2212sin 2cos21tan 2cos 2sin 21tan 2x x x x x x --=-+． 证明：右边sin 211tan 2cos 2sin 2cos 2sin 21tan 2cos 2sin 2cos 2x x x x x x x x x x - --===++ 2 (cos 2sin 2)(cos 2sin 2)(cos 2sin 2) x x x x x x -=+- 2222cos 2sin 22cos sin cos 2sin 2x x x x x x +-=- 2212sin cos2cos 2sin 2x x x x -==-左边．故原式成立． 评注：三角中的化简及三角恒等式的证明问题常常采用“化切为弦”，即利用商数关系把切函数化为弦函数，以达到统一名称之目的． 三、化弦为切 例3 已知tan 2α=，求下列各式的值： （1）sin 3cos sin cos αααα -+； （2）222sin sin cos cos αααα-+． 解：由已知tan 2α=．
(完整版)三角函数特殊角值表
角度 函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a 的弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π sin 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 0 1 tan √3/3 1 √3 -√3 -1 -√3/3 1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=2 1 ，sin45°=cos45°=22， tan30°=cot60°=33， tan 45°=cot45°=1 正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y 2、列表法： 说明：正弦值随角度变化，即0? 30? 45? 60? 90?变化；值从0 2 1 22 23 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七． 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3
三角函数与倍角公式
二倍角公式 sin2A=2sinA?cosA cos2A=cos^2A-sin^2A=1-2sin^2A=2cos^2A-1 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2A） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina
=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin^2a) =4sina[(√3/2)^2-sin^2a] =4sina(sin^260°-sin^2a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/ 2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos^2a-3/4) =4cosa[cos^2a-(√3/2)^2] =4cosa(cos^2a-cos^230°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-3 0°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
同角三角函数基本关系式与诱导公式
第2节同角三角函数基本关系式与诱导公式 最新考纲 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sin α cos α ＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π 2± α，π±α的正弦、余弦、正 切的诱导公式. 知识梳理1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)sin α cos α ＝tan__α. 2.三角函数的诱导公式 [常用结论与微点提醒] 1.诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 2.同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.( ) (3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π 2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.( ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝1 3.( ) 解析 (1)对于α∈R ，sin(π＋α)＝－sin α都成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝1 3， 当k 为偶数时，sin α＝－1 3. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.(2018·成都诊断)已知α为锐角，且sin α＝4 5，则cos (π＋α)＝( ) A.－35 B.35 C.－45 D.45 解析 因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝3 5，所以cos(π＋α)＝－cos α ＝－3 5，故选A. 答案 A 3.已知sin ? ????5π2＋α ＝1 5，那么cos α＝( ) A.－25 B.－15 C.15 D.25 解析 ∵sin ? ????5π2＋α＝sin ? ???? π2＋α＝cos α，∴cos α＝15.故选C. 答案 C 4.(必修4P22B3改编)已知tan α＝2，则 sin α＋cos α sin α－cos α 的值为________. 解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋1 2－1 ＝3. 答案 3 5.已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈? ? ???0，π4，则sin θ－cos θ的值为________. 解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝7 18.
三角函数辅助角公式化简
精选文库 7．已知函数()4cos sin 16f x x x π?? =+- ?? ? ，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ?? -??? ?上的最大值和最小值. 8．设函数()() sin 3cos ?cos 2tan x x x f x x π?? +- ? ??= . （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π?? ?? ? 上的单调性. 9．已知函数()2 23sin cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[] 0,π上的单调性。 10．已知函数. (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在 上有两个不同的实根，求实数 的取值范围. 11．设()2 sin cos cos 4f x x x x π?? =-+ ?? ? . (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ?? = ??? ， 1a =， 3bc =，求b c +的值. 12．已知函数. （1）求函数 的单调增区间；
精选文库 （2）的内角，，所对的边分别是，，，若，，且的面积为，求的值. 13．设函数. （1）求的最大值，并写出使 取最大值时的集合； （2）已知中,角 的边分别为 ，若 ，求的最小值. 14．已知()( ) 1 3sin cos cos 2 f x x x x ωωω= +-，其中0ω>，若()f x 的最小正周期为4π. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）锐角三角形ABC 中， ()2cos cos a c B b C -=，求()f A 的取值范围. 15．已知a r =（sinx ，cosx ），b r =（cos φ，sin φ）（|φ|＜）．函数 f （x ）=a r ?b r 且f （3 π －x ）=f （x ）． （Ⅰ）求f （x ）的解析式及单调递增区间； （Ⅱ）将f （x ）的图象向右平移3π单位得g （x ）的图象，若g （x ）+1≤ax +cosx 在x ∈[0， 4 π ] 上恒成立，求实数a 的取值范围． 16．已知向量a v =（2cos 2 x ω， 3sin 2x ω），b v =（cos 2x ω，2cos 2 x ω），（ω＞0），设函数f （x ）=a v ?b v ，且f （x ）的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）的表达式； （2）求f （x ）的单调递增区间． 17．已知函数()()sin (0,0,)2 f x A x A π ω?ω?=+>><的部分图象如图所示. （1） 求函数()f x 的解析式； （2） 如何由函数2sin y x =的通过适当图象的变换得到函数()f x 的图象， 写出变换过程; （3） 若142f α??= ???，求sin 6πα?? - ??? 的值. 18．已知函数 （1）求函数在上的单调递增区间； （2）若 且 ，求 的值。
三角函数的平移、伸缩变换(一)(人教A版)(含答案)
三角函数的平移、伸缩变换（一）（人教A版） 一、单选题(共15道，每道6分) 1.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有 的点( ) A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 2.为了得到函数的图象，只需把的图象上所有 的点( ) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 3.把函数图象所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，则新的函数为( )
A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 4.把函数图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则新的函数为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 5.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象的解析式为( )
A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 6.由的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 7.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数解析式为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 8.将函数的图象上每点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为( )
角函数的概念同角三角函数的基本关系式诱导公式重难点分析与出题角度归纳
Xx 学校学科教师辅导讲义 一）一、定义：角可以看作成平面内一条射线绕着端点从一个位置到另一个位置所称的图形。旋转开始时的射线、终止时 的射线分别叫作_______、_______,射线的端点O 叫做_________.按逆时针方向旋转形成的角叫做_______,顺时针方向旋转形成的角叫做_______,若一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个_______。 二、在直角坐标系内讨论角： （1）角的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边（除端点外）在第几项先，就说这个角是第几象限角（或 者说这个角属于第几象限）； 例如：30°、390°、-330°等都是第一象限角；120°、480°、-240°等都是第二象限角；240°、600°、-120°等 都是第三象限角；-30°、-390°、330°等都是第四象限角。 注意：锐角_____第一象限角，但第一象限角_______锐角；钝角______第二象限角，但第二象限角________钝角。（填 “都是”或者“不都是”） （2）若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任一象限。 例如：直角、周角、平角都不属于任一象限。 三、终边相同的角（重点） 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={Z k k ∈?+=?,360/αββ }，即任一与角α终 边相同的角都可以表示为角α与整个周角的和。 四、1弧度角的定义：我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。单位符号是 rad,读作弧度。2、弧度 数：在单位圆中，当圆心角为周角时，它所对的弧长为2π，所以周角的弧度数为2π，周角是2πrad 的角. 任意一个0°~360°的角的弧度数必然适合不等式 0≤x<2π. 任一正角的弧度数都是一个正实数；,任一负角的弧度数都是一个负实数； 零角的弧度数是0. 五、弧度制与角度制的换算 360°=2πrad ；180°=πrad ；1°= 180πrad ≈；1rad=π 180 ≈°≈57°18′。