初二数学因式分解超级经典专题讲解

因式分解的方法

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，余数定理法，求根公式法，换元法等。

注意三原则

1 分解要彻底

2 最后结果只有小括号

3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=-x(3x-1)）

1 基本方法

1.1提公因式法☆☆☆

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意：把2a2+1/2变成2(a2+1/4)不叫提公因式

1.2 公式法☆☆☆

如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；

完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2；

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

补充公式:

立方和公式：a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；

立方差公式：a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)；

完全立方公式：a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3=(a±b) 3．

公式：a 3+b 3+c 3+3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)

例如：a 2 +4ab+4b 2 =(a+2b) 2。

(注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。)

3.提公因式法基本步骤：

（1）找出公因式；

（2）提公因式并确定另一个因式：

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

1、把a ax -2分解因式的结果是 .

2、在实数范围内分解因式：a a 1623-= ．

3、把多项式2221a ab b -+-分解因式，结果是

4、分解因式：a a +34=___________．

5、因式分解：2221x x y ++-= ．

6、已知2=+b a ，求代数式b b a 422+-的值；

7、分解因式 x(x －1)－3x+4= ．

8、求证：两个奇数的平方差一定能被8整除。

9、已知：| x + y + 1| +| xy - 3 | = 0 求代数式xy 3 + x 3y 的值。

10、下列因式分解：①324(4)x x x x -=-；②232(2)(1)a a a a -+=--；③222(2)2a a a a --=--；④2211()42

x x x ++=+.

其中正确的是_______.(只填序号)

2 竞赛用到的方法

2.2分组分解法☆☆

分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。

我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．

如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．

原式=(am +an)+(bm+ bn)

＝a(m+ n)+b(m +n)

做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以

原式=(am +an)+(bm+ bn)

＝a(m+ n)+b(m+ n)

＝(m +n)?(a +b)．

这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．

又如：

ax+ay+bx+by

=a(x+y)+b(x+y)

=(a+b)(x+y)

我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

同样，这道题也可以这样做。

ax+ay+bx+by

=x(a+b)+y(a+b)

=(a+b)(x+y)

几道例题：

1. 5ax+5bx+3ay+3by

解法：=5x(a+b)+3y(a+b)

=(5x+3y)(a+b)

说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。

2. x3-x2+x-1

解法：=(x3-x2)+(x-1)

=x2(x-1)+(x-1)

=(x-1)(x2+1)

利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。

3. x2-x-y2-y

解法：=(x2-y2)-(x+y)

=(x+y)(x-y)-(x+y)

=(x+y)(x-y-1)

利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。

题目

1、4xy-3xz+8y-6z

2、x3+3x2+3x+9

3、3xy-2x-12y+18

4、ab-5bc-2a2+10ac

5、x4+64 6 、x4-7x2+1

2.2 十字相乘法☆☆

①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．

十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中

2.3 待定系数法☆☆

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例如在分解x4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

于是设x4-x4-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)

=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd

由此可得a+c=-1，

ac+b+d=-5，

ad+bc=-6，

bd=-4．

解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．

则x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)．

题目

1、已知多项式分解因式后，有一因式是

，请把多项式分解因式。

2、已知x2+3x+6是多项式x4-6x3+mx2+nx+36的一个因式，试确定m,n

的值，并求出它的其它因式。

2.4 配方法☆☆

对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

例如：

1、x4+x2y2+y4

配方和拆项、添项法有些相同之处，下面重点看看拆项、添项法

2.5 拆项、添项法☆☆

问题：因式分解x2+4

这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为

零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．现举一例：

例分解因式：x3-9x+8．

分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．

解法1 将常数项8拆成-1+9．

原式=x3-9x-1+9

=(x3-1)-9x+9

=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)

=(x-1)(x2+x-8)．

解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．

原式=x3-x-8x+8

=(x3-x)+(-8x+8)

=x(x+1)(x-1)-8(x-1)

=(x-1)(x2+x-8)．

解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．

原式=9x3-8x3-9x+8

=(9x3-9x)+(-8x3+8)

=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)

=(x-1)(x2+x-8)．

解法4 添加两项-x2+x2．

原式=x3-9x+8

=x3-x2+x2-9x+8

=x2(x-1)+(x-8)(x-1)

=(x-1)(x2+x-8)．

注：由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．

例如：

1、因式分解x2+4

2、把a2 - 4ab +3 b2 + 2bc - c2因式分解。

3、因式分解x4+x2+1

2.6 其他小方法扩展（作为了解学有余力再看）

应用因式定理

对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．

例如：f(x)=x2+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x2+5x+6的一个因式。(事实上，x2+5x+6=(x+2)(x+3)．)

换元法☆

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。

题目

1、(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10

2、(x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1)

求根法

令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……xn，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．

图象法

令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点

x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)=

f(x)=k(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．

与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。

例如在分解x3 +2x2-5x-6时，可以令y=x3 +2x2 -5x-6.

作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2

则x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．

3 多项式因式分解的一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。”(简称<提十公分>)

几道例题

3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。

分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。

证明：∵-c2+a2+2ab-2bc=0，

∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．

∴(a-c)(a+2b+c)=0．

∵a、b、c是△ABC的三条边，

∴a＋2b＋c＞0．

∴a－c＝0，

即a＝c，△ABC为等腰三角形。

简单了解因式分解的应用

1、应用于多项式除法。

2、 应用于高次方程的求根。

3、 应用于分式的运算。

4 因式分解练习题

(1) ()()()()m n p q n m p q ++-+- (2) 22()()m m n n n m ---

(3) 44x y -

(4) 22(32)()m n m n +--

(5) 1132n n n x x x +--+

(6) 3221516x x y xy --

(7) 321

4y y y ---

(8) 8182x -

(9) 31

33x x -

(10) 23()6()24x y x y ----

(11) 22144b ab a ---

(12) (4)()a b a b ab --+

(13) 2412625a a -+

(14) 42()()20x y x y +++-

(15) 2222(328)(28)x x x x +----

(16) 222(2)2(2)1x x x x -+-+

(17) 2(2)(3)4x x x +++-

(18) 222(2)7(2)8x x x x +-+-

(19) 2()16()

+-

(9)36

x y x y

-+-(20) 22222 x a b b a

(21) 2

x x x x

(76)(78)45

+++-+ ---+(22) 22

(1)(21)

x x y y

(23) 22222

ab a b ab

+---

(1)2

(1)4

a b a b

+--(24) 222

25、已知：| x + y + 1| +| xy - 3 | = 0 求代数式xy3 + x3y 的值。

26、把a2 - 4ab +3 b2 + 2bc - c2因式分解。

27、己知：f(x)=x2+bx+c, g(x)=x4+6x2+25, p(x)=3x4+4x2+28x+5

且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式

求：当x=1时，f(x)的值

八年级数学

之

因式分解专题

郝志超2012年6月

初中因式分解详解及提高篇

初中因式分解详解及提高篇 因式分解作为初中代数中一门重要的内容，在因式分解之前的整式运算是因式分解的反方向，而一元二次方程则是以因式分解作为基础，因式分解起到了承上启下的作用，而且因式分解学习的好坏不仅影响到对方程的了解，同时对今后高中学习内容也会有或多或少的影响，学好因式分解十分重要。 对于目前初中教材上老师所讲的因式分解内容只能处理一些基本的问题，对于有更深层次内容的东西则是比较难以处理，为了弥补这些缺陷，让大家更好地打牢初中的学习内容，在此我将所有的因式分解方法全部列举出来并进行详细叙述，从而让各位同学能够真正地了解因式分解。由于有些方法对于初中有一定的难度，对于不同的学生，我会对每一个方法进行说明。 1.提公因式法（所有学生必须掌握） 典型形式：()ma mb mc m a b c ++=++ 注意上面的m 是一个数也可以是一个整式，再比如 ()()()()()x y a x y b x y c x y a b c -+-+-=-++ 2.平方差（所有学生必须掌握） 典型形式：22()()a b a b a b -=-+ 同样上面的a b 、既可以是数也可以是一个整式 3.配方法（所有学生必须掌握） 对于因式分解的配方法主要是搭配平方差进行应用，比如下面的两个例子 22268(+69)1(3)1(2)(4)x x x x x x x ++=+-=+-=++ 祖冲之杯奥赛题：4271x x -+（这个问题在下面的试根法中叙述会更好，所以在这里不给出具体做法） 4.十字相乘法（所有学生必须掌握） 十字相乘法是初中数学中因式分解的难点和重点，在此首先说明2x 前系数为1的处理方法，我们先观察整式运算2()()()x a x b x a b x ab ++=+++ 通过上面的式子可以看出x 的一次项是a b +，纯数的那一项是ab ，所以可以进行猜测试a b 、的值，一般是根据ab 项进行推测，要是用a b +推测会很麻烦。

因式分解 复习 专题 讲义 知识点 典型例题

因式分解复习 一、基础知识 1.因式分解概念： 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为 将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。 2．常用的因式分解方法： （1）提公因式法：把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是 各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因 式的方法叫做提公因式法。 ①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 ②公因式的构成：系数：各项系数的最大公约数； 字母：各项都含有的相同字母； 指数：相同字母的最低次幂。 （2）公式法： ①常用公式 平方差：)b a )(b a (b a 22-+=- 完全平方：2 22)b a (b 2ab a ±=+± ②常见的两个二项式幂的变号规律： 22()()n n a b b a -=-；2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数） （3）十字相乘法 ①二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成 ()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22 ②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a 分解成两 个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系 数b ，那么它就可以分解成： ()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。 （4）分组分解法 ①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22 a b a b -+-没有公因式， 又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。 例如22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 ②原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分 解。 ③有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多 项式正确分解即可。

因式分解经典题及解析

2013组卷 1．在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法．例如，如果要因式分解x2+2x﹣3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们可以采用下面的办法： x2+2x﹣3=x2+2×x×1+12﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣① =（x+1）2﹣22﹣﹣﹣﹣﹣﹣② =… 解决下列问题： （1）填空：在上述材料中，运用了_________ 的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法； （2）显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解x2+2x﹣3； （3）请用上述方法因式分解x2﹣4x﹣5． 2．请看下面的问题：把x4+4分解因式 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢 19世纪的法国数学家菲?热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2） 人们为了纪念菲?热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照菲?热门的做法，将下列各式因式分解． （1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab． 3．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x=y 原式=（y+2）（y+6）+4（第一步） =y2+8y+16（第二步） =（y+4）2（第三步）

经典因式分解练习题100道35461

1.）3a3b2c－12a2b2c2＋9ab2c3 2.）16x2－81 3.）xy＋6－2x－3y 4.）x2(x－y)＋y2(y－x) 5.）2x2－(a－2b)x－ab 6.）a4－9a2b2 7.）x3＋3x2－4 8.）ab(x2－y2)＋xy(a2－b2) 9.）(x＋y)(a－b－c)＋(x－y)(b＋c－a) 10.）a2－a－b2－b 11.）(3a－b)2－4(3a－b)(a＋3b)＋4(a＋3b)2 12.）(a＋3) 2－6(a＋3) 13.）(x＋1) 2(x＋2)－(x＋1)(x＋2) 214．）16x2－81 15.）9x2－30x＋25 16.）x2－7x－30 17.) x(x＋2)－x 18.) x2－4x－ax＋4a 19.) 25x2－49 20.) 36x2－60x＋25 21.) 4x2＋12x＋9 22.) x2－9x＋18

23.) 2x2－5x－3 24.) 12x2－50x＋8 25.) 3x2－6x 26.) 49x2－25 27.) 6x2－13x＋5 28.) x2＋2－3x 29.) 12x2－23x－24 30.) (x＋6)(x－6)－(x－6) 31.) 3(x＋2)(x－5)－(x＋2)(x－3) 32.) 9x2＋42x＋49 33.) x4－2x3－35x 34.) 3x6－3x2 35.）x2－25 36.）x2－20x＋100 37.）x2＋4x＋3 38.）4x2－12x＋5 39.）3ax2－6ax 40.）(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4) 41.）2ax2－3x＋2ax－3 42.）9x2－66x＋121 43.）8－2x2 44.）x2－x＋14

因式分解专题复习及讲解(很详细)

因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2 =(a+b)(a-b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 ； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2 )； (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2 )． 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 ； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab-bc-ca)； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

因式分解专题复习讲义

因式分解专题复习讲义 教学内容 【内容回顾】 1.计算 (1)(3－4a)(3＋4a)＋(3＋4a)2 (2)(x＋3)2＋(2＋x)(2－x)（3）204×196 （4）9982 （5）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1） 2.已知(a+b)2=7,(a-b)2=3,求: (1)a2+b2; (2)ab的值

3.指出下列各多项式的公因式： （1）8a3b2＋12ab3c （2）8m2n＋2mn （3）－6abc＋3ab2－9a2b 4.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？ （1）4a（a+2b）=4a2+8ab; （2）6ax－3ax2=3ax（2－x）; （3）a2－4=（a+2）（a－2）; （4）x2－3x+2=x（x－3）+2. 【知识精讲】 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式因式分解（或分解因式）。 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即它们互为逆运算。

（一）提公因式法 1、公因式 多项式ma ＋mb ＋mc 中，各项都有一个公共的因式m ，称为该多项式的公因式。一般地，一个多项式各项都有的公共的因式称为这个多项式的公因式。 2、提公因式法 由m （a ＋b ＋c ）＝ma ＋mb ＋mc ，得到ma ＋mb ＋mc ＋=m(a ＋b ＋c),其中，一个因式是公因式m ，另一个因式（a ＋b ＋c ）是ma ＋mb ＋mc 除以m 所得的商，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 （二）公式法 1.平方差公式 a 2－ b 2 =(a +b )(a －b ) 两数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 2.完全平方公式 a 2±2a b +b 2=（a ±b ）2 两数的平方和加上（或减去）这两数的积的 2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. （三）十字相乘法（1）首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即将上式反过来，得到了因式分解的一种方法——十字相乘法， 用这种方法来分解因式的关键在于确定上x a x b x a b x ab 2x a b x ab x a x b 2

经典的因式分解练习题有答案

因式分解练习题 一、填空题： 2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)； 12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______； 15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式． 二、选择题： 1．下列各式的因式分解结果中，正确的是( ) A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a) B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1) C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy) D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c)

A．(n－2)(m＋m2) B．(n－2)(m－m2) C．m(n－2)(m＋1) D．m(n－2)(m－1) 3．在下列等式中，属于因式分解的是( ) A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bn B．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1 C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b) D．x2－7x－8=x(x－7)－8 4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是( ) A．a2＋b2 B．－a2＋b2 C．－a2－b2 D．－(－a2)＋b2 5．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是( ) A．－12 B．±24C．12 D．±12 6．把多项式a n+4－a n+1分解得( ) A．a n(a4－a) B．a n-1(a3－1) C．a n+1(a－1)(a2－a＋1) D．a n+1(a－1)(a2＋a＋1) 7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为( ) A．8 B．7 C．10 D．12 8．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为( ) A．x=1，y=3 B．x=1，y=－3 C．x=－1，y=3 D．x=1，y=－3 9．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得( ) A．(m＋1)4(m＋2)2 B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2) C．(m＋4)2(m－1)2 D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)2 10．把x2－7x－60分解因式，得( ) A．(x－10)(x＋6) B．(x＋5)(x－12) C．(x＋3)(x－20) D．(x－5)(x＋12) 11．把3x2－2xy－8y2分解因式，得( ) A．(3x＋4)(x－2) B．(3x－4)(x＋2) C．(3x＋4y)(x－2y) D．(3x－4y)(x＋2y) 12．把a2＋8ab－33b2分解因式，得( ) A．(a＋11)(a－3) B．(a－11b)(a－3b) C．(a＋11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b) 13．把x4－3x2＋2分解因式，得( )

因式分解拔高题专项练习

因式分解的“八个注意”事项及“课本未拓展的五 个的方法” 在因式分解这一章中，教材总结了因式分解的四个步骤，可概括为四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”然而在初学因式分解时，许多同学在解题中还是会出现一些这样或那样的错误，或者都学透了，但是试卷上给出的题目却还是不会分解，本文提出以下“八个注意”事项及“五大课本未总结的方法”，以供同学们学习时参考。 一、“八个注意”事项 （一）首项有负常提负 例1把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。 解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2） 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止出现诸如－a2－b2=（－a+b）（－a－b）的错误。 （二）各项有公先提公 例2因式分解8a4－2a2 解:8a4－2a2=2a2(4a2－1)=2a2(2a+1)(2a－1) 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式。防止出现诸如4a4-a2=（2a2+a）(2a2-a）而又不进一步分解的错误. （三）某项提出莫漏1

例3因式分解a3-2a2+a 解：a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2 这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如a3-2a2+a=a(a2-2a) 的错误。 （四）括号里面分到“底”。 例4因式分解x4－3x2－4 解：x4+3x2－4＝（x2＋4）（x2－1）＝（x2＋4）（x＋1）（x－1） 这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。如上例中许多同学易犯分解到x4+3x2－4＝（x2＋4）（x2－1）而不进一步分解的错误。 因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤是一脉相承的。 （五）各式之间必须是连乘积的形式 例5 分解因式x2－9+8x= 解：x2－9+8x=x2+8x－9=(x－1)(x+9) 这里的“连乘积”，是指因式分解的结果必须是几个整式的连乘积的形式，否则不是因式分解。 有些同学只注意到前两项运用平方差公式，得（x+3）(x－3)+8x。结果从形式上看右式不是乘积形式，显然是错误的。正解应是：原式= x2+8x－9=(x－1)(x+9)

因式分解易错题汇编含答案解析

因式分解易错题汇编含答案解析 一、选择题 1．下列各式分解因式正确的是（ ） A ．2112(12)(12)22a a a -=+- B ．2224(2)x y x y +=+ C ．2239(3)x x x -+=- D ．222()x y x y -=- 【答案】A 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义以及平方差公式，完全平方公式的结构就可以求解． 【详解】 A. 2112(12)(12)22 a a a -=+-，故本选项正确； B. 2222224(2)(2)=+44x y x y x y x xy y +≠+++，，故本选项错误； C. 222239(3)(3)=69x x x x x x -+≠---+，，故本选项错误； D. ()22 ()x y x y x y -=-+，故本选项错误. 故选A. 【点睛】 此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握平方差公式，完全平方公式. 2．已知实数a 、b 满足等式x=a 2+b 2+20，y =a(2b －a )，则x 、y 的大小关系是（ ）． A ．x ≤ y B ．x ≥ y C ．x < y D ．x > y 【答案】D 【解析】 【分析】 判断x 、y 的大小关系，把x y -进行整理，判断结果的符号可得x 、y 的大小关系． 【详解】 解：22222202()x y a b ab a a b a -=++-+=-++20， 2()0a b -≥Q ，20a ≥，200>, 0x y ∴->， x y ∴>， 故选:D ． 【点睛】 本题考查了作差法比较大小、配方法的应用；进行计算比较式子的大小；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大.

因式分解专题复习及讲解(很详细)

因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

因式分解难题经典题(1)

因式分解难题经典题 1、若实数满足，则． 2、已知，则的值为 3、分解因式： a3＋a2－a－1＝______________. 4、已知a＋b＝2，则a2－b2＋4b的值． 5、因式分解： 6、已知实数满足，则的平方根等于． 7、若，则的值是_______________． 8、，则___________。 9、如果是一个完全平方式，则= . 10、已知实数x 满足x+=3，则x2+的值为_________. 11、若a2+ma+36是一个完全平方式，则m= ． 12、已知，则 . 13、－a4÷(－a)＝； 15、把下列各式分解因式：

18、如果，求的值． 19、已知a+b=﹣5，ab=7，求a2b+ab2﹣a﹣b的值． 20、（x﹣1）（x﹣3）﹣8． 22、 23、（1）已知a m=2，a n=3，求①a m+n的值；②a3m﹣2n的值 （2）已知（a+b）2=17，（a﹣b）2=13，求a2+b2与ab的值． 24、先化简，再求值：已知：a2+b2+2a一4b+5=0求：3a2+4b-3的值。 三、选择题 25、若的值为（） A.0 B.-6 C.6 D.以上都不对 26、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）。 A、x2＋4y2 B、x2－2y＋1 C、－x2＋4y2 D、－x2－4y2

27、不论为什么实数，代数式的值（） A.总不小于2 B.总不小于7 C.可为任何实数 D.可能为负数 28、若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m的值为（） A．24 B．﹣12 C．±12D．±24 29、下列各式中与2nm﹣m2﹣n2相等的是（） A．（m﹣n）2B．﹣（m﹣n）2C．﹣（m+n）2D．（m+n）2 30、.若+(m－3)a+4是一个完全平方式，则m的值应是( ) A.1或5 B.1 C.7或－1 D.－1 31、下列计算中，①x(2x2－x＋1)＝2x3－x2＋1；②(a＋b)2＝a2＋b2；③(x－4)2＝x2－4x＋16；④(5a－1)(－5a－1)＝25a2－1；⑤(－a－b)2＝a2＋2ab＋b2；其中准确的个数有…（） A.1个 B.2个 C.3 个 D.4个 四、计算题 32、因式分解：； 33、已知a+b=3，ab=2，试求(1)a2+b2；(2)(a b)2。

讲义一：《因式分解》专题辅导讲义

因式分解专题辅导讲义 一个多项式进行因式分解，从方法上说，一般要比作乘法运算更有灵活性和多样性。提公因式法和公式法是因式分解的两种最基本的方法。现行初中数学教科书主要涉及这两种因式分解的方法。 提公因式法和公式法本身不难掌握，但要灵活机动地运用它们，还需要认真思考。请看下面几道例题。 例题精选1：把4224b a b a -因式分解。 解法1：)b a )(b a (b a )b a (b a b a b a 2222224224-+=-=- 解法2：)b a )(b a (b a )b a (ab )b a (ab )ab b a )(ab b a (b a b a 2222224224-+=-+=-+=- 评注：解法1先用提公因式法，再用公式法；解法2先用公式法，再用提公因式法。虽然两种解法得到同样的结果，但是解法1更简单。通常情况下，先考虑提公因式可以使解法简化。 有些多项式不能直接使用提公因式法或公式法，这时就需要先把多项式适当整理变形，然后再使用提公因式法或公式法。 例题精选2： 把c b b ab 2a c a 2222-+++因式分解。 解：222222222)b a ()b a )(b a (c )b ab 2a ()c b c a (c b b ab 2a c a ++-+=+++-=-+++ )b a bc ac )(b a ()]b a ()b a (c )[b a (++-+=++-+= 评注：这样先将多项式的各项进行分组，然后再分解因式的方法叫做分组分解法。 例题精选3： 把44b 4a +因式分解。 解：222222422444)ab 2()b 2a (b a 4)b 4b a 4a (b 4a -+=-++=+ )b 2ab 2a )(b 2ab 2a (2222+-++=。 评注：多项式44b 4a +中只有两项，既不能提公因式，也不能直接用公式。但由于这两项再加上22b a 4就是222)b 2a (+，所以先对44b 4a +加、减22b a 4，再适当分组，然后使用公式法，最终就能因式分解。上面的解法中，把44b 4a +变形为224224b a 4)b 4b a 4a (-++，形式上是由简单变复杂了，但变化后的形式为使用公式法创造了条件。 因式分解要进行到什么程度，对于单纯的因式分解题目，一般要求最终结果中每个因式都不能再继续分解，例如，把44b a -因式分解时，得到)b a )(b a (2222-+，并未完全达到

初中数学因式分解经典测试题含解析

初中数学因式分解经典测试题含解析 一、选择题 1．下列因式分解中：①32(2)x xy x x x y ++=+；②2244(2)x x x ++=+；③22()()x y x y y x -+=+-；④329(3)x x x x -=-，正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】B 【解析】 【分析】 将各项分解得到结果，即可作出判断． 【详解】 ①322(2+1)x xy x x x y ++=+，故①错误； ②2244(2)x x x ++=+，故②正确； ③2222()()x y y x x y y x -+=-=+-，故③正确； ④39(+3)(3)x x x x x -=-故④错误. 则正确的有2个. 故选：B. 【点睛】 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 2．下列分解因式正确的是（ ） A ．x 3﹣x=x （x 2﹣1） B ．x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1） C ．x 2﹣x+2=x （x ﹣1）+2 D ．x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2 【答案】B 【解析】 试题分析：根据提公因式法分解因式，公式法分解因式对各选项分析判断利用排除法求解． 解：A 、x 3﹣x=x （x 2﹣1）=x （x+1）（x ﹣1），故本选项错误； B 、x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1），故本选项正确； C 、x 2﹣x+2=x （x ﹣1）+2右边不是整式积的形式，故本选项错误； D 、应为x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2，故本选项错误． 故选B ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 3．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A ．a 2﹣2a +1＝（a ﹣1）2 B ．a （a +1）（a ﹣1）＝a 3﹣a

因式分解练习题(超经典)

因式分解习题 一、填空： 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是__________. 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有___________________________ ，其结果是 _______________________________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_________。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ________。 15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（8分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6 B 、m=2，k=12 C 、m=—4，k=—12 D m=4，k=12 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 三、分解因式： 1、234352x x x -- 2、2633x x - 3、22)2(4)2(25x y y x --- 4、x x -5 5、24369y x - 6、811824+-x x 四、代数式求值

(完整)初中因式分解的常用方法—特色专题详解

初中因式分解的常用方法—特色专题详解 一、提公因式法. 如多项式),(c b a m cm bm am ++=++ 其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用 ) )((, )(2), )((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-μ 写出结果． 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102

对应练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-22 例4、分解因式：2222c b ab a -+-

对应练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222--- 综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22 （3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++- （5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--

（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a （9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+ （11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++ （12）abc c b a 3333-++ 四、十字相乘法. （一）二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。 例5、分解因式：652++x x

专题研究因式分解总结归纳及典型例题

分解因式专题突破 第一部分：专题介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本专题在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 第二部分：知识总结 1．定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式分解因式． 2、注意事项 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 （1）因式分解的对象是多项式：如把25a bc 分解成5a abc 就不是分解因式，因为25a bc 不是多项式；再如：把211x -分解为11(1)(1)x x +-也不是分解因式，因为21 1x -是分式，不是整式； （2）分解因式的结果必须是积的形式：如21(1)1x x x x +-=+-就不是分解因式，因为 结果(1)1x x +-不是积的形式； （3）分解因式结果中每个因式都必须是整式，如：2 2 1 (1)x x x x -=-就不是分解因式，因为2 1(1)x x -是分式，不是整式； （4）分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； （5）公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； （6） 结果如有相同因式，应写成幂的形式； （7）题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

经典因式分解练习题(附答案)

> 因式分解练习题 一、填空题： 2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)； 、 12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______； 15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．三、因式分解：

1．m2(p－q)－p＋q； 2．a(ab＋bc＋ac)－abc； 3．x4－2y4－2x3y＋xy3； 4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2； 5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)； 6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1； — 7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2； 8．x2－4ax＋8ab－4b2； 9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)； 10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2； 11．(x＋1)2－9(x－1)2； 12．4a2b2－(a2＋b2－c2)2； : 13．ab2－ac2＋4ac－4a； 14．x3n＋y3n； 15．(x＋y)3＋125； 16．(3m－2n)3＋(3m＋2n)3；

17．x6(x2－y2)＋y6(y2－x2)； 18．8(x＋y)3＋1； 19．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3； 20．x2＋4xy＋3y2； 21．x2＋18x－144； 22．x4＋2x2－8； > 23．－m4＋18m2－17； 24．x5－2x3－8x； 25．x8＋19x5－216x2； 26．(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24；27．5＋7(a＋1)－6(a＋1)2； 28．(x2＋x)(x2＋x－1)－2； 29．x2＋y2－x2y2－4xy－1； 30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)－48；/ 四、证明(求值)： 1．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．

因式分解经典题目

精心整理 第一讲：因式分解一提公因式法 【知识要点】 1、分解因式的概念 把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式。 2、分解因式与整式乘法的关系 分解因式与整式乘法是的恒等变形。 3 （1（345.,这种 6.(1)(2)【1.(1)2x x +(3)(n m +(5)32x -2．把下列各式分解因式 （1）a ab a 3692+- （2）4324264xy y x y x +-- 例1、把下列各式分解因式 （1）)2(3)2(2y x b y x a --- （2）)2(4)2(3)2(2y x c x y b y x a ----- （3）32)2()2(2x y b y x a -+- （4）32)3(25)3(15a b b a b -+- （5）432)(2)(3)(x y x y y x -+--- （6）n m n m x b x a x b x a )()()()(11++-++-+ 例2．利用分解因式计算

（1）5.12346.45.12347.115.12349.2?-?+?（2）9910098 992 222-- 例3．已知2,3 2==+ab b a ，求代数式22222ab b a b a ++的值。 例4、利用因式分解说明：127636-能被140整除。 【随堂练习】 1．下列各式从左到右的变形中是因式分解的是（） A 、1(2-a 1121 C 、y x -2A 、,3=b 3A 、+ax 4．将(3a A 、a -35A 、2(a -)1+ 678．已知：1000,133==+ab b a 。22ab b a +的值为。 9．把下列各式分解因式 （1）2222262ab b a b a +- （2）32223229123bc a c b a bc a ++- （3）)()(y x b y x a --- （4）)()(22y x x x y --- 【课后强化】 1．432-+mx x 分解因式为)1)(43(-+x x ，则m 的值为。 2．xy nxy mxy xy 3963-=+--（）=---+-)()()(a x c x a b a x a 。

最详细因式分解专题

三人行教育陈老师教案—— 因式分解习题精选 一、填空题（每题2分）1、若是完全平方式，则的值等于_____。 2、若=，则m=_______，n=_________。 3、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 4、若则___。 5、计算的值是_______ 6、因式分解：9x2－y2－4y－4＝__________． 二、选择题（每题2分）7、有一个因式是，另一个因式是（ ） A． B． C． D． 8、把a4－2a2b2＋b4分解因式，结果是（ ） A、a2(a2－2b2)＋b4 B、(a2－b2)2 C、(a－b)4 D、 (a＋b)2(a－b)2 9、若a2-3ab-4b2=0,则的值为（ ）A、1 B、-1 C、4或-1 D、- 4或1 10、已知为任意整数，且的值总可以被整除，则的值为（ ）A．13 B．26 C．13或26 D．13的倍数 11、把代数式 分解因式，结果正确的是 A． B． C． D． 12、把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（ ）。 A．（x＋y＋1）(x－y－1) B．（x＋y－1）(x－y－1) C．（x＋y－1）(x＋y＋1) D．（x－y＋1）(x＋y＋1) 13、把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（ ）。 A．（x＋y＋1）(x－y－1) B．（x＋y－1）(x－y －1) C．（x＋y－1）(x＋y＋1) D．（x－y＋1）(x＋y＋1) 14、分解因式：的结果是（ ） Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ． 三、分解因式（满分31分，本题实行倒扣分错一道3分）☆本题不允许错，错一道抽三下，扣3分 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、9、 10、 11、 12、 13、 14、； 15、 16、； 17、． 18、 四、代数式求值（每题4分，共32分） 1、已知，，求的值。 2、若x、y互为相反数，且，求x、y的值 3、已知，求的值

初二数学因式分解专题讲解

因式分解的方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，余数定理法，求根公式法，换元法等。 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=-x(3x-1)） 1 基本方法 1.1提公因式法☆☆☆ 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项都是时，公因式的系数应取各项系数的；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 注意：把2a2+1/2变成2(a2+1/4)不叫提公因式 1.2 公式法☆☆☆ 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫。 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)； ：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2； 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 补充公式: 立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；