高三一轮专题复习基本不等式及其应用有详细答案
§7.3 基本不等式及其应用
1.基本不等式ab ≤
a ＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ). (2)b a ＋a
b ≥2(a ，b 同号). (3)ab ≤??
??a ＋b 22
(a ，b ∈R ).
(4)a 2＋b 22≥
????a ＋b 22 (a ，b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数
设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两
个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2
4
.(简记：和定积最大)
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1
x 的最小值是2.( × )
(2)ab ≤(a ＋b 2
)2
成立的条件是ab >0.( × )
(3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π
2)的最小值等于4.( × )
(4)x >0且y >0是x y ＋y
x ≥2的充要条件.( × )
(5)若a >0，则a 3＋1
a 2的最小值为2a .( × )
(6)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R ).( √ )
2.当x >1时，关于函数f (x )＝x ＋1
x －1，下列叙述正确的是( )
A.函数f (x )有最小值2
B.函数f (x )有最大值2
C.函数f (x )有最小值3
D.函数f (x )有最大值3
答案 C
3.若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A.a 2＋b 2>2ab B.a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 答案 D
解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误. 对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误. 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a
b
≥2
b a ·a b
＝2. 4.设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1
y 的最大值为( )
A.2
B.32
C.1
D.12
答案 C
解析 由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y ＝log 3a ＋log 3b
＝log 3ab ≤log 3?
??
??a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1
y 的最大值为1. 5.(2013·天津)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |
b
取得最小值. 答案 －2
解析 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |
＋|a |
b
≥2 b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |
b
的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34
，此时?????
b 4|a |＝|a |b
，a <0，
即a ＝－2.
题型一 利用基本不等式求最值
例1 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1
y 的最小值为________；
(2)当x >0时，则f (x )＝2x
x 2＋1
的最大值为________.
思维启迪 利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第(1)问把1x ＋1
y 中的
“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式. 答案 (1)3＋22 (2)1
解析 (1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y
＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2x
y 时，取等号.
(2)∵x >0，∴f (x )＝
2x x 2＋1＝2x ＋1x
≤2
2
＝1， 当且仅当x ＝1
x
，即x ＝1时取等号.
思维升华 (1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.
(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式.
(1)已知正实数x ，y 满足xy ＝1，则(x y ＋y )·(
y
x
＋x )的最小值为________.
(2)已知x ，y ∈R ＋
，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________.
答案 (1)4 (2)3
解析 (1)依题意知，(x y ＋y )(y x ＋x )＝1＋y 2x ＋x 2
y ＋1≥2＋2
y 2x ×x 2
y
＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故(x y ＋y )·(y
x ＋x )的最小值为4.
(2)∵x >0，y >0且1＝x 3＋y
4
≥2
xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y
4
时取等号. 题型二 不等式与函数的综合问题
例2 (1)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1) C.(－1,22－1)D.(－22－1,22－1)
(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11
x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围
是________.
思维启迪 对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围. 答案 (1)B (2)[－8
3
，＋∞)
解析 (1)由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，
解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，
即x ＝log 32时，等号成立)，
∴k ＋1<22，即k <22－1.
(2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8
x )＋3.
设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝17
3.
∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝
173.∴－(x ＋8x )＋3≤－8
3
， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－8
3，＋∞).
思维升华 (1)a >f (x )恒成立?a >(f (x ))max ， a (2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性. 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，1 2 ) 成立，则a 的最小值是( ) A.0B.－2C.－5 2D.－3 答案 C 解析 方法一 设f (x )＝x 2＋ax ＋1， 则对称轴为x ＝－a 2. 当－a 2≥1 2 ，即a ≤－1时， f (x )在(0，12)上是减函数，应有f (12)≥0?a ≥－5 2 ， ∴－5 2 ≤a ≤－1. 当－a 2≤0，即a ≥0时，f (x )在(0，1 2)上是增函数， 应有f (0)＝1>0恒成立，故a ≥0. 当0<－a 2<1 2 ，即－1 应有f (－a 2)＝a 24－a 22＋1＝1－a 2 4≥0恒成立， 故－1 综上，a ≥－5 2 ，故选C. 方法二 当x ∈(0，12)时，不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立转化为a ≥－(x ＋1 x )恒成立. 又φ(x )＝x ＋1x 在(0，1 2)上是减函数， ∴φ(x )min ＝φ(12)＝5 2， ∴[－(x ＋1x )]max ＝－5 2， ∴a ≥－5 2 . 题型三 基本不等式的实际应用 例3 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 思维启迪 把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3 200元列等式，利用基本不等式即可求解. 解 设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故0 思维升华 对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值. (1)某车间分批生产某种产品，每批的生产 准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用 为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件B.80件C.100件D.120件 (2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q 2%，若p >q >0，则提价多的方案是________. 答案 (1)B (2)乙 解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8 ≥2 800x ·x 8 ＝20. 当且仅当800x ＝x 8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B. (2)设原价为1，则提价后的价格为 方案甲：(1＋p %)(1＋q %)， 方案乙：(1＋p ＋q 2%)2， 因为 (1＋p %)(1＋q %)≤1＋p %2＋1＋q %2＝1＋p ＋q 2 %， 且p >q >0，所以 (1＋p %)(1＋q %)<1＋p ＋q 2 %， 即(1＋p %)(1＋q %)<(1＋p ＋q 2%)2， 所以提价多的方案是乙. 忽视基本不等式等号成立的条件致误 典例：(10分)(1)(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.28 5 C.5 D.6 (2)函数y ＝1－2x －3 x (x <0)的最小值为________. 易错分析 (1)对x ＋3y 运用基本不等式得xy 的范围，再对3x ＋4y 运用基本不等式，利用不等式的传递性得最值； (2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3 x ≥2 6. 解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋3 5x ＝1， 所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋3 5x ) ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135 ＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋12 5 ＝5， 当且仅当x ＝1，y ＝1 2时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5. (2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3 x )≥1＋2 (－2x )·3 －x ＝1＋26，当且仅当x ＝－ 6 2 时取等号，故y 有最小值1＋2 6. 答案 (1)C (2)1＋2 6 温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件； (2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致. 方法与技巧 1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点. 2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等， 例如：ab≤(a＋b 2) 2≤ a2＋b2 2 ，ab≤ a＋b 2≤ a2＋b2 2(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式 成立的条件和等号成立的条件. 失误与防范 1.使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可. 2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. A 组 专项基础训练 (时间：40分钟) 一、选择题 1.已知0 解析 ∵0 ????x ＋1－x 22＝3 4 . 当且仅当x ＝1－x ，即x ＝1 2 时取等号. 2.若函数f (x )＝x ＋1 x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A.1＋2 B.1＋ 3 C.3 D.4 答案 C 解析 f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1 x －2＋2. ∵x >2，∴x －2>0. ∴f (x )＝x －2＋ 1 x －2 ＋2≥2 (x －2)·1 x －2 ＋2＝4， 当且仅当x －2＝1 x －2 ，即x ＝3时，“＝”成立. 又f (x )在x ＝a 处取最小值.∴a ＝3. 3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a 2 答案 A 解析 设甲、乙两地相距s ，则小王往返两地用时为s a ＋s b ， 从而v ＝ 2s s a ＋s b ＝2ab a ＋b . ∵02ab 2b ＝a ， ∴2a ＋b <1ab ，即2ab a ＋b b 的最小值是( ) A.1 4B.1C.4D.8 答案 C 解析 由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0得???? ? a ＋ b ＝1a >0 b >0 . 故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1(a ＋b 2)2＝1 (12)2 ＝4. 当且仅当a ＝b ＝1 2时上式取“＝”. 5.(2012·福建)下列不等式一定成立的是( ) A.lg ????x 2＋1 4>lg x (x >0) B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1 x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C 解析 应用基本不等式：x ，y ∈R ＋， x ＋y 2 ≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件. 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·1 2 ＝x ， 所以lg ????x 2＋1 4≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证一正二定三相等， 而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确； 由基本不等式可知，选项C 正确； 当x ＝0时，有1 x 2＋1 ＝1，故选项D 不正确. 二、填空题 6.设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1 x 2＋4y 2)的最小值为________. 答案 9 解析 (x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝5＋1 x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋2 1x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2 ＝12 时“＝”成立. 7.已知函数f (x )＝x ＋p x －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________. 答案 94 解析 由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋p x －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号， 因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝9 4 . 8.某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是__________________. 答案 20 解析 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400 x ，一 年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400 x ＋x ≥2 400x ·x ＝40，当且仅当400 x ＝x ，即x ＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购 买该种货物20吨. 三、解答题 9.(1)已知0 5，求y ＝2x －5x 2的最大值； (2)已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x ＋2 y 的最小值. 解 (1)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝1 5·5x ·(2－5x ). ∵0 5，∴5x <2,2－5x >0， ∴5x (2－5x )≤(5x ＋2－5x 2 )2＝1， ∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15. (2)∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1， ∴8x ＋2y ＝(8x ＋2 y )(x ＋y ) ＝10＋8y x ＋2x y ≥10＋2 8y x ·2x y ＝18， 当且仅当8y x ＝2x y ，即x ＝23，y ＝1 3时等号成立， ∴8x ＋2 y 的最小值是18. 10.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计. (1) (2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价. 解 (1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x 米. 总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162 x )＋248×2x ＋80×162 ＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296(x ＋100 x )＋12 960 ≥1 296×2 x ·100 x ＋12 960＝38 880(元)， 当且仅当x ＝100 x (x >0)，即x ＝10时取等号. ∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元. (2)由限制条件知????? 0 8 ≤x ≤16. 设g (x )＝x ＋100x (81 8≤x ≤16)， g (x )在[81 8，16]上是增函数， ∴当x ＝818时(此时162 x ＝16)， g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即为 1 296×(818＋800 81 )＋12 960＝38 882(元). ∴当污水处理池的长为16米，宽为81 8 米时总造价最低，总造价最低为38 882元. B 组 专项能力提升 (时间：30分钟) 1.已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1 b ≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A.4B.16C.9 D.3 答案 B 解析 因为a >0，b >0，所以由m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒 成立. 因为3b a ＋3a b ≥2 3b a ·3a b ＝6， 当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3a b ≥16， 所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B. 2.(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2 z 的最 大值为( ) A.0B.1C.9 4D.3 答案 B 解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*) 则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1 y 2＝－????1y －12＋1≤1. 3.定义“*”是一种运算，对于任意的x ，y ，都满足x *y ＝axy ＋b (x ＋y )，其中a ，b 为正实数，已知1]. 答案 1 解析 ∵1]6ab )，∴ab ≤23 . 当且仅当2a ＝3b ，即a ＝1时等号成立， 所以当a ＝1时，ab 取最大值2 3 . 4.(1)若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求xy 的最小值. (2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10 x ＋1(x >－1)的最小值. 解 (1)xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，令xy ＝t 2， 可得t 2－22t －6≥0，注意到t >0，解得t ≥32， 故xy 的最小值为18. (2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1(t >0)， ∴y ＝(t －1)2＋7(t －1)＋10t ＝t ＋4 t ＋5≥2 t ·4 t ＋5＝9. 当且仅当t ＝4 t ，即t ＝2，且此时x ＝1时，取等号， ∴y min ＝9. 5.经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N ＋)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1 t ，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|. (1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N ＋)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值. 解 (1)W (t )＝f (t )g (t ) ＝(4＋1 t )(120－|t －20|) ＝??? 401＋4t ＋100 t ， 1≤t ≤20，559＋140 t －4t ， 20 (2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋ 100 t ≥401＋24t ·100 t ＝441(t ＝5时取最小值). 当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140 t －4t 递减， 所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝4432 3 ， 所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元.