人教版高中数学必修4 第二章 《平面向量》测试题A卷

高中数学必修4 第二章 《平面向量》测试题A 卷

考试时间：100分钟，满分：150分

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.

1．已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则向量AB →

的模等于 ( ) A ．5 B.17 C ．3 2

D.13

2．如果a 、b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是 ( ) A ．a ＝b B ．a ·b ＝1 C ．a ＝－b

D ．|a |＝|b |

3．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －3

2b ＝ ( )

A ．(－2，－1)

B ．(－1,2)

C ．(－2,1)

D ．(－1,0)

4．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b )＝ ( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 5．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于 ( ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．12

6． a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665

7．若AB →·BC →＋|AB →|2

＝0，则△ABC 为 ( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形 8．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝ ( ) A ．(－15,12) B ．0 C ．－3 D ．－11

9．设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则|b ·c |的值一定等于( )

A ．以a ，b 为两边的三角形的面积

B ．以b ，c 为两边的三角形的面积

C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积

D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积

10．已知a ，b 是非零向量，且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.56π 二、填空题（每小题6分，共计24分）. 11．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________． 12．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．

13．若向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π

3

，则|a ＋b |＝________.

14．设e 1、e 2分别是平面直角坐标系中Ox 、Oy 正方向上的单位向量，OA →＝2e 1＋m e 2，OB →

＝

n e 1－e 2，OC →

＝5e 1－e 2.若点A 、B 、C 在同一条直线上，且m ＝2n ，则实数m ，n 的值为________．

三、解答题（共76分）.

15.（本题满分12分）已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C 、D 和CD →

的

坐标．

16.（本题满分12分）向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，求|a |2＋|b |2＋|c |2的值．

17.（本题满分12分）已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b ，d ＝a －b ， (1)若c ∥d ，求k 的值，并判断c 、d 是否同向； (2)若|a |＝|b |，a 与b 夹角为60°，当k 为何值时，c ⊥d .

18.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．

(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →

＝0，求t 的值．

19.（本题满分14分）已知|F 1|＝|F 2|＝|F 3|＝a (a ＞0)，且两两向量的夹角相等，求|F 1＋F 2＋F 3|的值．

20.（本题满分14分）已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，

P 是腰DC 上的动点，求|PA →＋3PB →

|的最小值．

高中数学必修4 第二章 《平面向量》测试题A 卷参考答案

一、 选择题 1. 【答案】 A 【解析】 |AB →

|＝(7－4)2＋(－3－1)2＝5.

2. 【答案】 D

【解析】 两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A 、C 不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a ·b ＝1不成立，所以选项B 不正确；|a |＝|b |＝1，则选项D 正确． 3. 【答案】 B

【解析】 12a －32b ＝12(1,1)－32(1，－1) ＝(12－32，12＋3

2)＝(－1,2)．

4. 【答案】D.

【解析】∵a ⊥c ，∴a·c ＝0. 又∵a ∥b ，∴可设b ＝λa ，则c ·(a ＋2b )＝(1＋2λ)c·a ＝0. 5.【答案】B.

【解析】∵|a |＝2， ∴|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2 ＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12，

∴|a ＋2b |＝2 3. 6.【答案】C.

【解析】∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)，∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16.又|a |＝5，|b |＝13，

∴cos 〈a ，b 〉＝165×13＝16

65

.

7. 【答案】A

【解析】0＝AB →·BC →＋|AB →|2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →，∴AB →⊥AC →

，∴∠BAC ＝90°.故选A. 8.【答案】C.

【解析】∵b ＝(－3,4)，∴2b ＝2(－3,4)＝(－6,8)．又∵a ＝(1，－2)，∴a ＋2b ＝(1，－2)＋(－6,8)＝(－5,6)．又∵c ＝(3,2)，∴(a ＋2b )·c ＝(－5,6)·(3,2)＝－15＋12＝－3. 9. 【答案】C.

【解析】∵|b ·c |＝|b ||c ||cosθ|，如图， ∵a ⊥c ，∴|b cos θ|就是以a 、b 为邻边的平行四边形的高， 而|a |＝|c |，∴|b ·c |＝|a |(|b ||cos θ|)， ∴|b ·c |表示以a 、b 为邻边的平行四边形的面积，故选C.

10.【答案】B.

【解析】∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ， ∴(a －2b )·a ＝a·a －2a ·b ＝|a |2－2a ·b ＝0，

(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝|b |2－2a ·b ＝0，由上两式可知|a |＝|b |，a ·b ＝1

2

|a |2.

设a ，b 夹角为θ. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12|a |

2|a |2＝12. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π

3.

二、

填空题 11.【答案】π

3

【解析】由(a ＋2b )·(a －b )＝－6得a 2－2b 2＋a ·b ＝－6. ∵|a |＝1，|b |＝2，∴12－2×22＋

1×2×cos 〈a ，b 〉＝－6， ∴cos 〈a ，b 〉＝12.∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π

3

.

12.【答案】(0，－2)

【解析】因为四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形，∴AB →

＝DC →，

设D (x ，y )，又∵AB →＝(8,8)，DC →

＝(8－x,6－y )，∴????? 8－x ＝86－y ＝8，∴?

????

x ＝0y ＝－2，所以D 点的坐

标为(0，－2)． 13.【答案】7

【解析】∵|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝π

3，∴|a |2＝1，|b |2＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝1，∴|a

＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2＋4＝7，∴|a ＋b |＝7.

14. 【答案】m ＝10，n ＝5或m ＝－1，n ＝－1

2

【解析】易知A (2，m )，B (n ，－1)，C (5，－1)，∴AB →＝(n －2，－1－m )，BC →

＝(5－n,0)．∵A 、B 、C 三点共线，∴(n －2)×0－(－1－m )(5－n )＝0.又m ＝2n ，所以，n ＝5，m ＝10或n

＝－1

2，m ＝－1.

三、 解答题

15. 解：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由题意可得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，DA →

＝(－1－

x 2,2－y 2)，BA →

＝(－3，－6)．

∵AC →＝13AB →，DA →

＝－13

BA →，

∴(x 1＋1，y 1－2)＝1

3

(3,6)＝(1,2)，

(－1－x 2,2－y 2)＝－1

3

(－3，－6)＝(1,2)，则有

???

?? x 1＋1＝1y 1－2＝2和????? －1－x 2＝12－y 2＝2，解得????? x 1＝0y 1＝4和?????

x 2＝－2，

y 2＝0

. ∴C 、D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，因此CD →

＝(－2，－4)．

16. 解： 由(a －b )⊥c 知(a －b )·c ＝0. 又c ＝－(a ＋b )，∴(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝0.

故|a |＝|b |＝1，又c 2＝[－(a ＋b )]2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2＋b 2＝2，∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4. 17. 解：(1)c ∥d ，故c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )．

又a 、b 不共线， ∴????? k ＝λ，1＝－λ.得?????

λ＝－1，k ＝－1.

即c ＝－d ，故c 与d 反向．

(2)c ·d ＝(k a ＋b )·(a －b )＝k a 2－k a ·b ＋a ·b －b 2 ＝(k －1)a 2＋(1－k )|a |2·cos60°

又c ⊥d ，故(k －1)a 2＋1－k 2a 2＝0. 即(k －1)＋1－k

2＝0. 解得k ＝1.

18. 解：(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →

＝(－1,1)，则 AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →

＝(4,4)．

所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →

|＝4 2.

故所求的两条对角线长分别为42，210.

(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，(AB →－tOC →

)＝(3＋2t,5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，

从而5t ＝－11，所以t ＝－11

5.

19. 解：∵向量F 1，F 2，F 3两两向量的夹角相等，

①当三个向量共线且同向时，两两向量的夹角均为0，于是有F 1＝F 2＝F 3，故|F 1＋F 2＋F 3|＝3|F 1|＝3a .

②设三个向量两两的夹角为θ，则θ＋θ＋θ＝2π，∴θ＝2π

3.

又∵|F 1|＝|F 2|＝|F 3|＝a ＞0，

∴F 21＝F 22＝F 23＝a 2

，且三个向量均非零．

∴F 1·F 2＝F 2·F 3＝F 1·F 3＝a 2cos 2π3＝－1

2

a 2.

∴|F 1＋F 2＋F 3|2＝F 21＋F 22＋F 2

3＋2(F 1·F 2＋F 1·F 3＋F 2·F 3)＝3a 2＋2×3×(－12a 2)＝0. ∴|F 1＋F 2＋F 3|＝0.

综上所述，所求值为3a 或0.

20. 解：法一：以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .

∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )， PA →＝(2，－x )，PB →

＝(1，a －x )， ∴PA →＋3PB →

＝(5,3a －4x )， |PA →＋3PB →

|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|PA →＋3PB →

|的最小值为5.

法二：设DP →＝xDC →

(0

DA →，

∴PA →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，

|PA →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52

×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →

2≥25，

∴|PA →＋3PB →

|的最小值为5.