高二数学 3.1 空间向量及其运算学案

高二数学 3.1 空间向量及其运算学案

3、1 空间向量及其运算（习题课）学习目标

1、熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；

2、熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题、学习过程

一、课前准备：（阅读课本p115）复习：

1、具有和的量叫向量，叫向量的模；叫零向量，记着；具有叫单位向量、

2、向量的加法和减法的运算法则有法则和法则、

3、实数λ与向量a的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：

(1)|λa|＝、 (2)当λ＞0时，λa与

A、；当λ＜0时，λa与

A、；当λ＝0时，λa＝、4、向量加法和数乘向量运算律：交换律：a＋b＝结合律：(a＋b)＋c＝数乘分配律：λ(a＋

b)＝

5、① 表示空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量、②空间向量共线定理：对空间任意两个向量（），的充要条件是存在唯一实数，使得；③ 推论：

l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是

6、空间向量共面：①共面向量：

同一平面的向量、②定理：对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在，使得、③推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：⑴ 存在，使⑵ 对空间任意一点O，有

7、向量的数量积：

、8、单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用

｛i,j,k｝表示、9、空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a

的坐标，记着、

10、设A，B，则＝、1

1、向量的直角坐标运算：设a＝，b＝，则⑴a＋b＝；⑵a －b＝；⑶λa＝；⑷ab＝※ 动手试试

1、在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p ＝xa＋yb＋zc、其中正确命题的个数为（）

B、1

C、2

D、

32、在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（）

A、有相同起点的向量

B、等长向量

C、共面向量

D、不共面向量

3、已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ=（）

A、

B、

C、

D、

4、若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（）

A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

C、充分必要条件

D、既不充分又不必要条件

5、已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）

B、3

C、4

D、

56、则（）

A、－15

B、－5

C、－3

D、－1※ 典型例题例1 如图，空间四边形OABC中，，，点M在OA上，且OM=2MA,点为的中点，则、变式：如图，平行六面体中，，,点分别是的中点，点Q在上，且,用基底表示下列向量：⑴ ; ⑵ ; ⑶ ; ⑷ 、例2 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，点M是的中点，在直线上求一点N，使得学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）、

A、很好

B、较好

C、一般

D、较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1、直三棱柱ABC—A1B1C1中，若，，，则（）

A、

B、

C、

2、、（）

A、

B、与不平行也不垂直

C、，

D、以上情况都可能、3、已知++＝，||＝2，||＝3，||＝，则向量与之间的夹角为（）

A、30

B、45

C、60

D、以上都不对

4、已知且与互相垂直，则的值是（）

A、、1

B、

C、

D、

5、若A(m＋1，n－1,3)，

B、 (2m,n,m－2n)，C(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n= 课后作业

1、已知三点,点在上运动（O为坐标原点）,求当取得最小值时,点的坐标、

2、如图，在棱长为1的正方体中，点分别是的中点、⑴ 求证：；⑵ 求与所成角的余弦；⑶ 求的长、