幂函数的图像与性质之欧阳光明创编
2.3幂函数
欧阳光明（2021.03.07）
学习目标
1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质；
2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用. 学习重点
幂函数的图像与性质 学习难点
幂函数性质的应用 学习过程
问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？
（1）边长为a 的正方形面积2
S a =，S 是a 的函数；
（2）面积为S 的正方形边长12
a S =，a 是S 的函数；
（3）边长为a 的立方体体积3
V a =，V 是a 的函数；
（4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度1
/v t km s -=，这里v 是t 的函数；
（5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付p w =元，这里p 是w 的函数.
1.幂函数的概念：一般地，形如
y x α
=()a R ∈的函数称为幂函数，其中α为常数.
判断下列函数哪些是幂函数. ①
1
y x =
；②22y x =；③3
y x x =-；④1y =.
2.幂函数的图象与性质
作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）12
y x =；（3）2
y x =；（4）1y x -=；（5）3y x =．
从图象分析出幂函数所具有的性质.
x y =
2x y =
3x y =
2
1x y = 1-=x y
定义域 值域 奇偶性 单调性
定点
1.
2.幂函数图象变化规律：．
练习：下列关于幂函数的命题中不正确的是( )
A 幂函数的图象都经过点(1,1)
B 幂函数的图象不可能在第四象限内
C 当n x y =的图象经过原点时,一定有n>0
D 若n x y =是奇函数,则n x y =在其定义域内一定是减函数
例1讨论()f x x =在[0,)+∞的单调性.
解析：证明函数的单调性一般用定义法。 证明：任取),0[,21+∞∈x x ，且21x x <，则
2
1212
121212121)
)(()()(x x x x x x x x x x x x x f x f +-=
++-=
-=-，
因为21x x <，021>+x x ，所以
02
121<+-x x x x ，
所以)()(21x f x f <，即()f x x =在[0,)+∞为增函数。
点评：证明函数的单调性要严格按照步骤和格式写。 例2利用单调性比较大小： （1）215与3
15 ； （2）223
(2)
a -+与23
2-
； （3）1.19.0与8.02.1.
关于指数式值的比较，主要有：①同底异指，用指数函数单调性比较；
②异底同指，用幂函数单调性比
较；
③异底异指，构造中间量（同底或
同指）进行比较。
例3：求下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性。 （1）2
3
-=x
y （2）3
2-
=x
y
[达标训练]
1. 若幂函数()f x x α
=在(0,)+∞上是增函数，则（ ）.
A ．α>0
B ．α<0
C ．α=0
D ．不能确定
2. 函数43
y x =的图象是（ ）. A. B. C. D.
3. 若112
2
1.1,0.9a b -
==，那么下列不等式成立的是（ ）. A ．a ，则它的解析式为. [巩固提高] 1.在下列函数中，定义域为R 的是（） A 2 3 x y = B 2 1- =x y C x y 2= D 1-=x y 2.下面给出了5个函数○112+=x y ○221 -=x y ○322x y =○43 2-=x y ○5 131 +=x y ，其中是幂函数的是（） A ○1○5 B ○1○2○3 C ○2④ D ○2○3○5 3. 下列函数中,既是奇函数，又在),0(+∞上是减函数的是（） A x y = B x y -=2 C 3 x y = D 3x y -= 4.函数3 x y =与函数3 1 x y =的图象（） A 关于原点对称 B 关于y 轴对称 C 关于x 轴对称 D 关于直线y=x 对称 5.函数3 2x y =图象的大致形状是（） A B C D 7.如图,函数m x y =和n x y =在第一象限的图象分别是实线和虚线的图象,那么一定有 A n B m C m>n>0 D n>m>0 8 .已知幂函数的图象过点( 2 , 41) ,则该函数的图象( ) A 关于原点对称 B 关于y轴对称 C 关于x轴对称 D 关于直线y=x对称 9.函数43- y在区间上是减函数 =x 10.已知31 2x x>，求x的取值范围。