数学中的概率分析之伯努利大数定律

三、伯努利大数定律

现在我们来介绍伯努利《推测术》的最重要部分――包含了如今我们称之为伯努利大数

定律的第4部分。回到本章开始那个缶中抽球的模型：缶中有a 白球，b 黑球，p ＝a

a b +。有放回地从缶中抽球N 次，记录得抽到白球得次数为X ，以X

N 去估计p 。这个估计法现今仍

是数理统计学中最基本的方法之一。此处的条件是，每次抽取时都要保证缶中a ＋b 个球的每一个有同等机会被抽出。这一点在实践中并不见得容易。例如，产生中奖号码时用了复杂的装置。在实际工作中，统计学家有时用一种叫做“随机数表”的工具。这时一本大书，各页按行、列排列着数字0，1，…,9,它们是用据信是“充分随机”的方法产生的。在使用时，“随机地”翻到其中一页并“随机”点到一个位置，以其处地数字决定抽出地对象。

伯努利企图证明的是：用X

N 估计p 可以达到事实上的确定性――他称为道德确定性。其

确切含义是：任意给定两个数0ε>和0η>，总可以取足够大的抽取次数N ，使事件

X p N ε???>????的概率不超过η。这意思是很显然：X

p N ε?>表明估计误差未达到指定的

接近程度ε，但这种情况发生的可能性可以随心所欲地小（代价是加大N ）

。为忠实于伯努利地表达形式，应指出两点：一是伯努利把ε限定为1

()a b ?+，虽然其证明对一般ε也有效。他作这一限定与所有缶子模型的特殊性有关：必要时把缶中的白、黑球分别改为ra 和个，

则p 不改变，rb 1

()a b ?+改为1

ra rb +，只须r 取足够大，可使此数任意小。其次，伯努利要证

的是：对任给c>0，只须抽取次数N 足够大，可使

X X P p cP p N

N εε????≤>?>????????

?. (8) 这与前面所说是一回事。因为由上式得

1

(1)X P p c N ε???

?><+????, (9)

取c 充分大可使它小于η。另外要指出的是：伯努利使用的这个缶子模型使被估计的p 值只能取有理数，因而似乎有损于其结果的普遍性，但其证明对任意的p 成立，故这一细节并不重要。

伯努利上述对事实上确定性的数学理解，即（8）式，有一个很值得赞赏之点，即他在概率论的发展刚起步的阶段，就给出了问题的一个适当的提法。因为，既然我们想要证明的是

当N 充分大时，X

N 和p 可以任意接近，则一个看来直截了当的提法是

lim

N X p N →∞

=, (10)

而这不可能实现。因为原则上不能排除“每次抽到白球”的可能性，这时X

N 总为1，不能

收敛于p<1。或者退一步：要求（10）式成立的概率为1，这个结论是对的，但直到1909年才由波莱尔证明，其难度也比伯努利的提法大得多。设想如当时伯努利就采用这个提法，他也许不一定能在有生之年完成这一工作。波莱尔得结论比伯努利强，故现今把它们得结论分别称为强大数律和弱大数律。

如今具有概率论初步知识的人都知道，伯努利大数律是契比谢夫不等式的简单推论。但在伯努利时代尚无方差概念，更不用说这一不等式了。伯努利用的是直接估计概率的方法，大意如下：令

()

0A P Np X Np N ε=<<+，

((1))A P Np kN X Np k N k εε=+<≤++，k=1,2,……

只须证明：当N 充分大时有（注3）

, (11)

()012A c A A >++???这就解决了X>Np 的一边。对X

附带指出：可以把伯努利的结论（9）引申一点点：如果我们知道缶中球的总数a+b ，或者更广一些，知道a ＋b 不超过某已知数M ，则可以把（3）式改进为：可以找到p 的一个估计

（不是?()p X X

N ），使当N 充分大时有 。 （12）

1

?(())(1)P p

X p c ?≠<+

但如不给定a+b 的界限，则找不到这样的估计量（注4）。

?()p X 伯努利当初提出的目标，比单纯证明（9）式要高：（9）式只肯定了当取N 充分大时，用X

N

估计p 可达到任意指定的精度ε，而可靠度不小于1

1(1)

c ??+。伯努利希望弄清楚到底需要

N 多大。解决了这个问题，在实用上就可以根据所需的精度和可靠度，去规划所须观测次数N 。他证明了以下的结果：定义

＝不小于1m

[]

log (1)log(1)log c b a ?+?a 的最小整数， （13）

＝不小于2m

[]

log (1)log(1)log c a b ?+?b 的最小整数， （14）

111()()(11m a b b a b m N a +++?=

+)

， （15） 222()()(11m a b a a b m N b )+++?=

+。 （16）

则取

能满足（9）式。伯努利给了若干数字例子，其一为：a ＝30，b ＝20

（p ＝max(,)

12N N N =35）

，1

50ε=

，c ＝1000。用上述结果算出所需的次数N 为25550。可以与由契比谢夫不等式计算的结果作一比较。按此不等式，有（注5）

23

113260015505055X P N N N ???????????>≤=

??????????

??????。 为使此值不超过

1

1(1)1001c ?+=

，N 至少应为600600，这比伯努利给出的值大20多倍。

这反映了一个事实：伯努利在证明（9）式中所作的概率估值，比契比谢夫不等式所作出的要精细得多。虽然如此，25550这个数仍嫌过大。美国统计史学者斯蒂格勒认为，伯努利之所以久未发布其研究成果，与他对一点的不满意有关。因为在伯努利时代，一个中等城市的规模尚不过几千人，25550简直可算时“天文数字”。不过，后世的学者所看重的不在这些地方。如今大家都公认由伯努利工作发端的大数定律已成为整个数理统计学的基础。人们也对伯努利工作的哲学意义给予很高的评价。如斯蒂格勒指出：伯努利证明了数学家不仅可以后验地认识世界，还可以用数学去估量他们的知识的限度。伯努利在结束《推测术》时就其

结果的意义作了如下的表述：如果我们能把一切事件永恒地观察下去，则我们终将发现：世间的一切事物都受到因果律的支配，而我们也注定会在种种极其纷纭杂乱的事象中认识到某种必然。

关于决定最小N 的问题，一些与伯努利同时或稍后的学者也研究过。例如伯努利的侄儿尼科拉斯在1713年给以为友人的信件中报告了他得出的一个有关结果，比伯努利的上述结果有所改善。如对伯努利的例子，用尼科拉斯的公式估出所需N 未17350。稍后到1733年，狄莫弗发展了用正态分布逼近二项分布的方法（见第二章），这是一个实质性、意义深远的改进。按此法估出的N 约为6600，这已是没有改进余地的了。6600这个数字仍然很大，它显示，虽然自然界的奥秘可通过实验观察发现，但自然界并不轻易露出自己的真面目。这个例子也提醒我们：在报章杂志等中不时可以看到的、根据一小批样本而计算出的某种特征的个体的比率，作为样本来自的大群体中该特征所占比率的估计，其准确度和可靠性，通常远小于没有受过统计学训练的公众所认为的程度。

注1：（3）、（4）两式等价的证明。

把 写为 ，（4）式化为 ()12r i ?+(1)112222r r r ?+???i

1 。

1(1)1121212(,)22121

01r r r r i r i e r r C r i ??+??+?+=?∑?=此式与（3）式比较看出：只须证明

。 （A1）

111122

12

12200r r r r r i r i

C C i i

i i ??+??+?+=∑∑==此式当 时成立。用归纳法，假定（A1）在 1

2r =2

r k

≤时成立，在(A1)左边令。

因为

1

2

r k =+ ,

11

111

1r k r k r k C C C i i i ++?+=+???有

111111000k k k r k r k r k C C C i i i i i i ++?+=+∑∑∑?===

11111

00k k r k r k C C i i

i i ?+?+?=+∑∑==

1111120k r k r k C C

k i

i ?+?+?=+∑=。 对后一和用归纳假设，由（A1）得+

1111111122000k k k r k r k r i r k k i k i

C C C C i k i i

i i i ?++??+?+++=+=∑∑∑===，

证明了（A1）在1

2r k =+也成立。

注2：（7）式地证明

以记在A 已胜i 局、B 已胜j 局的情况下，A 最终获胜的概率。则我们要求的就是。按规定，有

(,)h i j (0,0)h (,)1h i j =，当； 4,2i i j ≥?≥(,)0h i j =，当； 4,2j j i ≥?≥(2,2)(3,3)h h ==???

假定再赌一局。若A 胜（概率p ），情况变为(1,)i j +。若B 胜（概率q ），情况变为(,1)i j +。故按全概率公式，有

。

(,)(1,)(,1)h i j ph i j qh i j =+++令i ＝j ＝3，得，分别在上式中令（i,j ）=(4,3)及(3,4)，得(3,3)(4,3)(3,4)h ph qh =+(4,3)h 及(3,4)h 的表达式，代入上式得

22

(3,3)(5,3)2(4,4)(3,5)h p h pqh q h =++

。 2

2(3,3p pqh =+)于是得

22

22

2

(3,3)1p r h p q r ==++。 再在式中令(i,j)=(2,3)，得

22(2,3)(3,3)(2,4)1pr h p h qh r =+=+。注意到 1p p r q p ==?，有1r p r =+。于是

3

32

(2,3)1r h r r r =+++。 循此以往，依次得，，，，…，直至，就是（1）式。 (3,2)h (2,2)h (3,1)h (1,3)h (0,0)h 这个问题可以推广为：一方胜局达到m 且比对方得胜局多n ，则此方获胜。（1）式对应于m ＝4，n ＝2的情况。一般情况原则上也可用上述步骤求解，但对大的m 和n 公式将繁杂得难以想象。例如乒乓球相当于m ＝21和n ＝2。

注3：（11）式得证明。

我们先介绍一个证明，其思想与伯努利得原始证明一致，但形式略广一些，然后指出伯努利原始证明差异之处。我们只点明主要的步骤，一些容易的细节请读者自己补出。 1. 1. 先证明存在常熟u （与k 无关），使

,

1

A uA k <+k 0k=0,1,2,… (A2) 若此式已证，则有，故 0k A u A

k

< 1(1)1

2A A u u ?++???

。 （A3） 为证(A2)，记1k b Np kN ε=++。按A

k 的定义，有

1111()(1)(()(1)(1)k k k k k

k k k A P X b P X b P X b N A P X b P X b P X b N 1)

εε++++=+=++???+=+?=

=+=++???+=+?

11()(max ,,()(1)k k k k P X b P X b N P X b P X b N εε++??

==+≤??

==+??L 1)??。 此处有一个可以不是整数的问题。这需要在写法上作一点小的调整。以下为行文简单，

略去这一调整，这与实质无损（在伯努利的原始证明中，

k b a p a b =

+，1

a b ε=

+而他取N 为

的整倍数，故这时必为整数，不存在上述问题）。

a b +k b 容易证明：当r0时，有

()(()

()P X s P X s l P X r P r l ==≥

=+)

+。 当然这里要求r 而。上式易由二项概率公式证明之。由以上两式得

0≥s l N +≤ 1110()()

()()k k k k A P X b P X b u A P X b P X b ++==≤===≡，

而u 与k 无关。

2. 2. 证明当时，。若此已证，则由（A3）立即得到（5）。按二项概率公

式由（q ＝1－p ）：

N →∞0u →

(2)(3)(1)1()(1)(1)N Np Np Np N q

u Nq N Nq N Nq p ε

εεε??++++?=??

??+???L L (1)1111pq i q

N q Np i N N N i i Nq pq ip

p N ε

εε++??++=∏=∏??==????

(1)(1)111N i p i p N i N N i εε++??>∏+>∑??=??=

22p N

ε>→∞

，当。

N →∞于是证明了。 0u →（11）式证毕。

这个证明对p 和ε及N 无所限制。在伯努利得原始证明中

1

,a p a b a b ε=

=++， 而N 式

（a b +）的整倍数。这是不仅不存在上述1b

k +可能不为整数的困难，且在去掉公因子

()N

a b ?+之后，可以用整数N i N i

a b i ???????代替(P X i )=，处理较方便，但步骤和证明的实

质部分无所差异。

注4:满足（12）式的?()p

X 不存在的证明。

固定一个自然数N 。取整数r 充分大，使()r a b N +>。缶中有白球ra 个，黑球rb 个，对此缶，

在不知道白、黑球个数的情况下，白球个数可能取0，1，…，(r a b )+等值，故p 值????

?

?白球数球总数有()r a b ++1个可能值，分别记为,,M p L 1p ， ()M r a b 1=++，取i

若满足（12），应有

?()p X ,

?[()]0P p

x p p i i =>此处P p i 表示，概率是在白球比率为 时计算的。由此式知，集合

p

i

?{:0,1,,;()}D j j N p

j p i i ===L 非空，即它至少有一元，因为 1,,M D D 1?L 这M －1个集两两无公共点，故其并至少有

元，这推出集1M N ?≥+1M D 必为空集。因而

?[()]0M M P p X p p ==与（12）式矛盾。这证明了?()p

X 的不存在性。

注5：关于伯努利的结果与用契比谢夫不等式得出的结果的比较，还应注意几点：其一是伯

努利的结果只适用于

1

a b ε=

+的情况，而契比谢夫不等式中的ε无所限制。更重要的是：

伯努利是在

a

p a b =

+已知的前提下去算的明儿p （即a ，此处假定a b +是固定且已知的）

其实未知。这样一来，当求

时，应结合（13）、（15）两式，把表为的函数（再说

一遍，已知），然后对＝0，1，…, 1N 1N a a b +a a b +)求极大值作为

，则通过类似处理

由（14）、（16）两式导出。这样一来，所定出的N 可能会有较大幅度的增加。

1N 2N

对契比谢夫不等式当然也有类似的问题，但情况简单得多，因方差在

1

2p =

时达到最大，只

须按

1

2

p=

计算方差即可。作了这样处理后，按契比谢夫不等式所算出得N由600600增为

625625。

概率论大数定律及其应用

概率论基础结课论文题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用 作者 摘要：历史上第一个定理属于，后人称之为“”。概率论中讨论的向的定律。概率论与数理的基本定律之一，又称弱大数理论。 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。 关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率 引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。偶然之中包含着必然。 从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？在什么条件下具有稳定性？这就是我们大数要研究的问题。 概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机的。大数定律给出了稳定性的确切含义，并且给出了什么条件下才具有稳定性。那么，这对于我们解决理论与实际问题有哪些实际意义呢？这就是我们在下面将要了解到的，大数定律的某些应用。即，大数定律及其在理论与实际生活中的一些应用。 一方面，在理论上，大数定律可以看作是求解极限、重积分以及级数的一种新思路，另一方面，在实际生活中，保险动机的产生、保险公司财政稳定和保费的确定，我们都将看到大数定律的重要作用。

伯努利定律

伯努利定律 在一个流体系统，比如气流、水流中，流速越快，流体产生的压力就越小，这就是被称为“流体力学之父”的丹尼尔·伯努利1738年发现的“伯努利定律”。 这个压力产生的力量是巨大的，空气能够托起沉重的飞机，就是利用了伯努利定律。飞机机翼的上表面是流畅的曲面，下表面则是平面。这样，机翼上表面的气流速度就大于下表面的气流速度，所以机翼下方气流产生的压力就大于上方气流的压力，飞机就被这巨大的压力差“托住”了。当然了，这个压力到底有多大，一个高深的流体力学公式“伯努利方程”会去计算它。 方程式 v=流动速度 伯努利定律 g=地心加速度(地球) h=流体处于的高度(从某参考点计) p=流体所受的压强 ρ=流体的密度 伯努利方程 伯努利理想正压流体在有势彻体力作用下作定常运动时，运动方程（即欧拉方程）沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。因著名的瑞士科学家D.伯努利于1738年提出而得名。对于重力场中的不可压缩均质流体，方程为p+ρgz+(1/2)*ρv^2=C式中p、ρ、v分别为流体的压强、密度和速度；z 为铅垂高度；g为重力加速度。 上式各项分别表示单位体积流体的压力能p、重力势能ρg z和动能(1/2)*ρv ^2，在沿流线运动过程中，总和保持不变，即总能量守恒。但各流线之间总能量（即上式中的常量值）可能不同。对于气体，可忽略重力，方程简化为p+(1/2)*ρv ^2=常量(p0)，各项分别称为静压、动压和总压。显然，流动中速度增大，压强就减小；速度减小，压强就增大；速度降为零，压强就达到最大(理论上应等于总压)。飞机机翼产生举力，就在于下翼面速度低而

压强大，上翼面速度高而压强小，因而合力向上。据此方程，测量流体的总压、静压即可求得速度，成为皮托管测速的原理。在无旋流动中，也可利用无旋条件积分欧拉方程而得到相同的结果但涵义不同，此时公式中的常量在全流场不变，表示各流线上流体有相同的总能量，方程适用于全流场任意两点之间。在粘性流动中，粘性摩擦力消耗机械能而产生热，机械能不守恒，推广使用伯努利方程时，应加进机械能损失项。 伯努利效应 1726年，伯努利通过无数次实验，发现了“边界层表面效应”：流体速度加快时,物体与流体接触的界面上的压力会减小，反之压力会增加。为纪念这位科学家的贡献，这一发现被称为“伯努利效应”。伯努利效应适用于包括气体在内的一切流体,是流体作稳定流动时的基本现象之一，反映出流体的压强与流速的关系，流速与压强的关系：流体的流速越大，压强越小；流体的流速越小，压强越大。 比如，管道内有一稳定流动的流体，在管道不同截面处的竖直开口细管内的液柱的高度不同，表明在稳定流动中，流速大的地方压强小，流速小的地方压强大。这一现象称为“伯努利效应”。伯努利方程：p+1/2pv^2=常量。 在列车站台上都划有安全线。这是由于列车高速驶来时，靠近列车车厢的空气将被带动而运动起来，压强就减小，站台上的旅客若离列车过近，旅客身体前后出现明显压强差，将使旅客被吸向列车而受伤害。 伯努利效应的应用举例：飞机机翼、喷雾器、汽油发动机的汽化器、球类比赛中的旋转球。 5伯努利数 伯努利数是18世纪瑞士数学家雅各布·伯努利引入的一个数。设伯努利数为B(n),它的定义为: t/(e^t-1)=∑[B(n)*(t^n)/(n!)](n:0->∞) 这里|t|<2。由计算知：B(0)=1,B(1)=-1/2, B(2)=1/6,B(3)=0, B(4)=-1/30,B(5)=0, B(6)=1/42,B(7)=0, B(8)=-1/30,B(9)=0), B(10)=5/66,B(11)=0, B(12)=-691/2730,B(13)=0, B(14)=7/6,B(15)=0, B(16)=-3617/510,B(17)=0, B(18)=43867/798,B(18)=0, B(20)=-174611/330 …… 一般地,n>=1时,有B(2n+1)=0;n>=2时,有公式B(n)=∑[C(k,n)*B(k)](k:0->n)可用来逐一计算伯努利数。伯努利数在数论中很有用。例如，对于佩尔方程-=-4（≡1(mod4)是素数），N.C.安克尼和E.阿廷曾猜想它的最小解x0+(y0)*√(p)满足,1960年，L.J.莫德尔证明了在≡ 5(mod8)时,S.乔拉证明了在≡1(mod8)时，上述猜想等价于伯努利数B((p-1)/2)的分子不被整除。伯努利数还可用于费马大定理的论证中。设>3，如果伯努利数B,B,…,B(p-3)的每一个的分子不被整除，这样的素数叫正规素数，否则就叫非正规素数。德国数学家E.E.库默尔证明了:当为正规素数时,费马大定理成立。不难计算当3<<100时，除开=37,59,67以外,其余的素数都是正规素数。因此,在费马大定理的研究中，库默尔的结果是一项突破性的工

数值分析公式、定理等

第一章 绪论 1. *x ＝ n 21k a a a .010?±，如果｜*x －x|≤0.5n k 10-?（这里n 是使此式成立的最大正整数），则称*x 为x 的具有n 位有效数字的近似值。 2．定理：设x 的近似值*x 有（1-1）的表示式： （１）如果*x 有n 位有效数字，则 n 11 10a 21|x ||x x |-**?≤ - （２）如果n 1110) 1a (21 | x ||x x |-* *?+≤ -，则*x 至少有n 位有效数字。 第二章 非线性方程根求解 1. （零点存在定理）如果f(x)在[a,b]上连续，使f(a)?f(b)<0，则必存在α∈(a,b)，使f(α)=0。 2.二分法的误差： |1 k 1k k k 2a b |x x ||x x +-*-=-≤- 3. 局部收敛性：设α是f(x)=0的根，若存在α的一个邻域?，当迭代初值属于?时，迭代法得到的序列{k x }收敛到α，则称该迭代法关于根α具有局部收敛性。 4. 收敛速度：设i x 为第i 次迭代值，α是f(x)=0的根，令α-=εi i x ，且假设迭代收敛，即α=∞ →i i x lim 。若存在实数P ≥1，使 c | |||lim p i 1i i =εε+∞ →≠0 ，则称此方法关于根α具有P 阶收敛速度。C 称为渐近误差常数，渐近误差常数C 与f(x)有关。C ≠0保证了P 的唯一性。对于特殊的函数，C 可能为零，此时，由这个函数针对此方法迭代产生的序列收敛得更快。一般情况下，P 越大，收敛就越快。当P=1时，我们称为线性收敛。P>1，称为超线性收敛。P=2，称为平方收敛。 5.牛顿迭代法：) x (f ) x (f x x k k k 1k '- =+ 定理3：如果方程f(x)=0的根α是单根，且在α的某领域内f(x)具有二阶的连续导数,则Newton 迭代法必是局部收敛的 且 ) (f 2)(f lim 2i 1 i i α'α''- =εε+∞ →（即具有二阶收敛速度） 定理4：如果α是方程f(x)=0的r 重根（r>1），且f(x)在α的某邻域内具有r 阶连续导数，则Newton 法具有局部收敛性，且具有线性收敛速度。 定理5：如果α是方程f(x)=0的r 重根（r>1），且f(x)在α的某邻域内具有r+2阶连续导数，则修正Newton 迭代公式：)x ()x (f r x x i i i 1i '?-=+，具有局部收敛性，且具有二阶收敛速度。

伯努利原理

伯努利原理 伯努利的流体动力学原理，伯努利的原则，无粘流，在流体速度增加，同时发生在压力或流体中的潜在能量的减小而减小。[ 1 ] [ 2 ] 有不同类型的流伯努利方程的不同形式。伯努利原理的简单形式是有效的可压缩流（例如大多数液体流动）和可压缩流动（如气体）在低马赫数流动。更先进的形式，在某些情况下可能是在较高的马赫数可压缩流动（见伯努利方程的推导）。 伯努利的原则，可根据能量守恒原理。这表明，在一个稳定的流动，各种形式的机械能等于流体沿流线的流线各点在相同的总和。这就要求的动能和势能的总和保持不变。因此，流体的速度成比例的增加发生在它的动态压力和动能的增加，和在它的静态压力和潜在的能量降低。 空气流进入文丘里管。在流体动能随着压力增加而增加，如图所示，两个水柱高度差。流体粒子只承受压力和自己的体重。如果一个流体水平流动或沿着一条流线流动，如果速度增加，这可能仅仅是因为这部分流体已经从较高的压力区域流到压力较低的区域；如果它的速度下降，它只能是因为它已经从对低压力区域流动到压力较高的区域。因此，水平的流体流动的时候，最高的流速发生在压力最低的区域，与最低的流速发生在压力是最高的区域。 可压缩流方程 在大多数流动液体，和gasesat低马赫数，可以认为是恒定的流体的包裹的密度，无论压力流量的变化。因此在这样的流动的流体可以被认为是这些流可以被描述为可压缩流动。 一个常见的伯努利方程的形式，有效的在任意点沿流线在重力常数，是： (A) 其中：V，是在一个精简一点的流体流动速度， Z，是一个参考平面上点的高程，用积分的Z方向朝上–所以在相反方向的重力加速度， P，是在选定的点的压力 ρ，在流体中的所有点的流体密度

数学分析·下定义及定理

第十二章 数项级数 1、级数的收敛性 定义1 给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 ???++???++n u u u 21 （1） 称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中n u 称为数项级数（1）的通项. 数项级数（1）也常写作: ∑∞ =1 n n u 或简单写作 ∑n u . 数项级数（1）的前n 项之和，记为 n n k k n u u u u S +???++==∑=211 ， （2） 称它为数项级数（1）的第n 个部分和，也简称部分和. 定义 2 若数项级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞ →lim ），则称数项级 数（1）收敛，称S 为数项级数（1）的和，记作 ???++???++=n u u u S 21或∑=n u S . 若{}n S 是发散数列，则称数项级数（1）发散. 定理12.1（级数收敛的柯西准则）级数（1）收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N ，使得当m >N 以及对任意的正整数，都有 p m m m u u u ++++???++21<ε. （6） 定理12.2 若级数∑n u 与 ∑n υ 都收敛，则对任意常数,,d c 级数 ()∑+n n d cu υ亦收 敛，且 ()∑∑∑+=+. n n n n d u c d cu υυ 定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的收敛性.

定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号，即不改变级数的收敛性，也不改变级数的和。 正向级数 定理12.5 正项级数 ∑n u 收敛的充要条件：部分和数列{}n S 有界，即存在某个正数M ， 对一切正整数n 有n S N 都有，n n u υ≤，则 （i ）若级数 ∑n υ 收敛，则级数 ∑n u 也收敛； （ii ）若级数∑n υ 发散，则级数 ∑n υ 也发散. 推论 设 ???++???++???++???++n n u u u υυυ2121, ()()43 是两个正项级数，若 , lim l u n n n =∞ →υ 则 （i ）当+∞<

数学分析求极限的方法

求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .0 x g x f x g x f x x x x x →→→±=± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?=? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) () (x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()() (lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、00 等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 " 例1：求24 22 lim ---→x x x 解：原式=()()()022 22lim lim 22 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim 0 =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有

()()1sin lim 0=→x g x g x x 或()()1sin lim =∞ →x g x g x 例2：x x x -→ππ sin lim 解：令t=x -π.则sinx=sin(-π t)=sint, 且当π→x 时0→t 故 1sin sin lim lim 0 ==-→→t t x x t x ππ ~ 例3：求() 11 sin 21 lim --→x x x 解：原式=()()()()()()()211sin 1111sin 1221 21lim lim =--?+=-+-+→→x x x x x x x x x ②利用e x x =+∞→)1 1(lim 来求极限 e x x =+∞ →)1 1(lim 的另一种形式为e =+→α α α1 )1(lim .事实上，令 .1 x =α∞→x .0→?α所以=+=∞ →x x x e )11(lim e =+→ααα1 0)1(lim 例4: 求x x x 1 )21(lim +→的极限 解：原式=221 210)21()21(lim e x x x x x =?? ?+????+→ 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 ⒊利用等价无穷小量代换来求极限 所谓等价无穷小量即.1) () (lim =→x g x f x x 称)(x f 与)(x g 是0x x →时的等价无穷小量，记作)(x f )(~x g .)(0x x →.

概率论与数理统计概率历史介绍

概率论与数理统计概率历史介绍

一、概率定义的发展与分析 1.古典定义的历史脉络 古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古老，它源于赌博．博弈的形式多种多样，但是它们的前提是“公平”，即“机会均等”，而这正是古典定义适用的重要条件：同等可能．16世纪意大利数学家和赌博家卡尔丹（1501—1576）所说的“诚实的骰子”，即道明了这一点．在卡尔丹以后约三百年的时间里，帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作．直到1812年，法国数学家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的分析理论》中给出概率的古典定义：事件A的概率等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该事件中所有可能结果数之比． 2.古典定义的简单分析 古典定义通过简单明了的方式定义了事件的概率，并给出了简单可行的算法．它适用的条件有二：（1）可能结果总数有限；（2）每个结果的出现有同等可能．其中第（2）条尤其重要，它是古典概率思想产生的前提． 如何在更多和更复杂的情况下，体现出“同等可能”？伯努利家族成员做了这项工作，他们将排列组合的理论运用到了古典概率中．用排列（组合）体现同等可能的要求，就是将总数为P(n,r)的各种排列（或总数为C(n,r)的各种组合）看成是等可能的，通常用“随意取”来表达这个意思．即使如此，古典定义的方法能应用的范围仍然很窄，而且还有数学上的问题． “应用性的狭窄性”促使雅各布?伯努利（1654—1705）“寻找另一条途径找到所期待的结果”，这就是他在研究古典概率时的另一重要成果：伯努利大数定律．这条定律告诉我们“频率具有稳定性”，所以可以“用频率估计概率”，而这也为以后概率的统计定义奠定了思想基础．“古典定义数学上的问题”在贝特朗（1822—1900）悖论中表现得淋漓尽致，它揭示出定义存在的矛盾与含糊之处，这导致了拉普拉斯的古典定义受到猛烈批评． 3.统计定义的历史脉络 概率的古典定义虽然简单直观，但是适用范围有限．正如雅各布?伯努利所说：“……这种方法仅适用于极罕见的现象．”因此，他通过观察来确定结果数目的比例，并且认为“即使是没受过教育和训练的人，凭天生的直觉，也会清楚地知道，可利用的有关观测的次数越多，发生错误的风险就越小”．虽然原理简单，但是其科学证明并不简单，在古典概型下，伯努利证实了这一点，即“当试验次数愈来愈大时，频率接近概率”． 事实上，这不仅对于古典概型适用，人们确信“从现实中观察的频率稳定性”的事实是一个普遍规律．1919年，德国数学家冯?米塞斯（1883—1953）在《概率论基础研究》一书中提出了概率的统计定义：在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，某个事件出现的频率总是在一个固定数值的附近摆动，显示出一定的稳定性，把这个固定的数值定义为这一事件的概率．

伯努利方程的原理及其应用

伯努利方程的原理及其应用 摘要：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，是流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。 关键词：伯努利方程发展和原理应用 1.伯努利方程的发展及其原理： 伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。伯努利方程的原理，要用到无黏性流体的运动微分方程。 无黏性流体的运动微分方程： 无黏性元流的伯努利方程： 实际恒定总流的伯努利方程： z1++=z2+++h w

总流伯努利方程的物理意义和几何意义： Z----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的位能，位置高度或高度水头； ----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的压能，测压管高度或压强水头； ----总流过流断面上单位重量流体的平均动能，平均流速高度或速度水头； hw----总流两端面间单位重量流体平均的机械能损失。 总流伯努利方程的应用条件：（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。（5）总流的流量沿程不变。（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。（7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以ρgQ。 2.伯努利方程的应用: 伯努利方程在工程中的应用极其广泛，下面介绍几个典型的例子：

数学分析学习方法与心得体会

数学分析学习方法 数学分析是基础课、基础课学不好，不可能学好其他专业课。工欲善其事，必先利其器。这门课就是器。学好它对计算科学专业的学生都是极为重要的。这里，就学好这门课的学习方法提一点建议供同学们参考。 1.提高学习数学的兴趣 首先要有学习数学的兴趣。两千多年前的孔子就说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”这里的“好”与“乐”就是愿意学、喜欢学，就是学习兴趣，世界知名的伟大科学家、相对论学说的创立者爱因斯坦也说过：“在学校里和生活中，工作的最重要动机是工作中的乐趣。”学习的乐趣是学习的主动性和积极性，我们经常看到一些同学，为了弄清一个数学概念长时间埋头阅读和思考；为了解答一道数学习题而废寝忘食。这首先是因为他们对数学学习和研究感兴趣，很难想象，对数学毫无兴趣，见了数学题就头痛的人能够学好数学，要培养学习数学的兴趣首先要认识学习数学的重要性，数学被称为科学的皇后，它是学习科学知识和应用科学知识必须的工具。可以说，没有数学，也就不可能学好其他学科；其次必须有钻研的精神，有非学好不可的韧劲，在深入钻研的过程中，就可以领略到数学的奥妙，体会到学习数学获取成功的喜悦。长久下去，自然会对数学产生浓厚的兴趣，并激发出学好数学的高度自觉性和积极性。用兴趣推动学习，而不是用任务观点强迫自己被动地学习数学。 2.知难而进，迂回式学习 首先要培养学习数学分析的兴趣和积极性，还要不怕挫折，有勇气面对遇到的困难，有毅力坚持继续学习，这一点在刚开始进入大学学习数学分析时尤为重要。 中学数学和大学数学，由于理论体系的截然不同，使得同学们会在学习该课程开始阶段遇到不小的麻烦，这时就一定得坚持住，能够知难而进，继续跟随老师学习。

概率论与数理统计第五章 大数定律及中心极限定理

概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第五章 大数定律及中心极限定理 教学要求： 一、了解大数定律的直观意义； 二、掌握Chebyshev 不等式； 三、了解Chebyshev 大数定理和贝努里大数定理； 四、会用中心极限定理估算有关事件的概率． 重点：中心极限定理． 难点：切比雪夫不等式、大数定律、中心极限定理． 综合练习题 一、选择题 1.设12,,,n X X X 是独立同分布的随机变量序列，且 1,2,,i n = .令∑==n i i n X Y 1 ，1,2,,i n = ，()x Φ为标准正态分布函数，则 ()=?? ????????≤--∞ →11lim p np np Y P n n （B ）. （A ）0 ； （B ）()1Φ； （C ）()11Φ-； （D ）1.6 . 2.设()x Φ为标准正态分布函数，0,1,i A X A ?=? ?事件不发生， 事件发生， ()100,,2,1 =i ，且 ()8.0=A P ，10021,,,X X X 相互独立.令∑==100 1 i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函 数()y F 近似于（B ）. （A ）()y Φ； （B ）?? ? ??-Φ480y ； （C ）()8016+Φy ； （D ）()804+Φy . 3.设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立，且i X () ,,,2,1n i =都服从参数为 2 1

的指数分布，则当n 充分大时，随机变量∑==n i i n X n Z 1 1的概率分布近似服从（B ）. （A ）()4,2N ； （B ）??? ??n N 4,2； （C ）?? ? ??n N 41,21； （D ）()n n N 4,2. 二、填空题 1.设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立且同分布，它们的期望为μ，方差为2 σ， 令∑==n i i n X n Z 1 1，则对任意正数ε，有{}=≤-∞→εμn n Z P lim 1 . 2.设 ,,,,21n X X X 是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差 ()μ=i X E ，()02>=σi X D ，() ,2,1=i ， 则对任意实数x ， =??? ? ??? ???????≤-∑=∞ →x n n X P n i i n σμ1lim ()x Φ. 3.设()1-=X E ，()4=X D ，则由切比雪夫不等式估计概率{}42P X -<<≥ 9 5 . 4.设随机变量[]1,0~U X ，由切比雪夫不等式可得≤??????≥- 3121X P 4 1. 5.设随机变量() 2.0,100~B X ，应用中心极限定理可得{}≈≥30X P 0062.0.（其中 ()()9938.05.2=Φ） 三、应用题 1. 100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%， 求任一时刻有70至86台车床在工作的概率. 解：设?? ?=台车床没有工作 第台车床正在工作 第i i X i .0.1（100,,2,1 =i ），且()8.0,1~B X i ， 则100台车床中在任一时刻正在工作的机床台数为10021X X X X +++= ，且()80=X E ，()16=X D ，（其中10021,,,X X X 独立同分布），于是由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理近似可得 ()???? ??-≤-≤-=≤≤168086168016 80708670X P X P

概率论中的大数定律及中心极限定理

概率论中的大数定律及中心极限定理 唐南南 摘要 概率论是从数量上研究随机现象的规律的学科，概率论的特点是先提出数学模型，然后去研究它的性质，特点和规律。它在自然科学，技术科学和社会科学等科学中有广泛的应用。而大数定律和中心极限定理的内容是概率论中极限理论极为重要的一部分内容。在这篇文章中，我们从贝努力试验中的频率出发，讨论了独立随机变量和分布的极限问题。在一定条件下，这些分布弱收敛于退化分布，这就是大数定律。在另一些条件下，这些分布弱收敛于N(0,1)分布,这一类收敛于N(0,1)分布的定理统称为中心极限定理.大数定律说明了随机现象都具有稳定性而中心极限定理是研究相互独立随机变量序列{}i x 的部分和∑== n i i n x S 1 的分布，在适当条件下向正态分布收放的问题。在这篇文章 里，我们只介绍了一些定理的提出，内容以证明以及在其他学科上的应用，而大数定律和中心极限定理还有许多更深入，更广泛的内容，限于篇幅这里就不再介绍了。掌握定理的结论是重要的，这些结论一方面使频率稳定于概率，n 次观察的算术平均值稳定于数学期望都有了明确的含义和理论依据；另一方面，又将给数理统计中大样本的统计推断等提供理论依据。 关键词 大数定律 中心极限定理 随机现象 随机变量 引言 大数定律和中心极限定理是概率论中重要的一部分内容，但对读者来说，多数人对于这部分内容感到很难掌握，这篇文章就是对这部分内容进行浅入的分析，但对其内容进行详细的说明，而且进行了归纳性的总结，指出了各定律之间的联系及其差别，希望通过本篇文章内容的介绍，能使读者对于这部分知识有一个清晰的印象，能整体地把握这部分内容。 一 、大数定律 （一）、问题的提法（大数定律的提法） 重复实验中事件的频率的稳定性，是大量随机现象的统计规律性的典型表现。人们在实践中认识到频率具有稳定性，进而由频率的稳定性预见概率的存在；由频率的性质推断概率的性质，并在实际应用中（当n

数学分析定义、定理、推理一览表

定义1 给定两个非负实数 其中00,a b 为非负整数，(),1,2,k k a b k =L 为整数，若有 则称x 与y 相等，记为x y =. 定义2 定义3 绝对值得一些性质 定义4 区间和邻域 定义5 有界的定义 定义6 确界的定义 定理1 定理一 确界原理 定理2 推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）. 函数的概念 定义1 函数的四则运算 初等函数 定义2 几个重要的等式（不等式） 数列极限 定义1 收敛数列的性质 定义1 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集N +的无限子集，且12k n n n <<<

无穷小量阶的比较（定义见下页末） 函数极限存在的条件 两个重要极限 常见的几个等价无穷小量 函数的连续 区间上的连续函数 连续函数的性质 导数和微分 定义2单侧导数 导函数 导数的几何意义 求导法则 反函数的导数 复合函数的导数 基本求导法则 基本初等函数导数公式 参变量函数的导数

高阶导数 定义略 微分 定义1 定理5.10 可微函数 若函数在定义区间上每一点都可微，则称函 数为可微函数. 微分的运算法则 高阶微分

大数定律

第五章 大数定律与中心极限定理 在数学中大家都注意到过这样的现象：有时候一个有限项的和很难求，而一经取极限让有限过渡到无限，则问题反而好办。例如计算和 ! 1!31!212n s n ++++= 对于固定的但很大的n ，这个和很难求，但考虑∞→n 取极限时，则 有十分简单的结果：e s n n =∞ →lim 。利用此结果，当n 很大时就可以把e 作为n s 的近似值。 在概率论中，也经常会出现求与很多个随机变量和有关的事件的概率。比如)(21b X X X a P n <+++< ，除少数情况外，这样的概率计算都会十分复杂。因而自然会提出问题：可否利用极限来近似计算呢？即考虑∞→n 时，n 个随机变量之和是否有某种极限分布。概率论中不仅证明了这是可能的，而且还证明了在很一般的情况下，和的标准化随机变量的极限分布就是标准正态分布。这一事实既可以解决近似计算概率的问题，同时也强化了正态分布的重要性，以及也解释了现实世界中许多随机现象中的变量的分布密度曲线会呈现钟形曲线的原因。在概率论中把这类结果的有关定理叫做“中心极限定理”. 中心极限定理就是研究在什么条件下，大量随机变量之和的分布会接近于正态分布。 概率论中，另一类极限定理是所谓的“大数定理”.它是由“频率的稳定性”引申和发展而来的。考虑n 次独立重复试验，每次试验观察事件A 是否发生，令

???=否则 0,发生A 次试试 i 若第,1i X ，n i ,,2,1 = 那么事件A 发生的频数为n n X X X S +++= 21，频率为n S X n n /=。若p A P =)(，则“频率的稳定性”就是说，在n 很大时，频率n X 会接近于概率p 。而p X E i =)(，p X E n =)(。故也可说成是：在n 很大时，n 个随机变量的算术平均n X 会接近于其期望)(n X E 。按后一种说法，就可不必局限于i X 只取0，1两个值的情况。概率论中讨论的大数定理就是研究在何种条件下，n 个随机变量的算术平均n X ，当∞→n 时会在某种意义下收敛于其期望)(n X E 。 上面提到的问题都属随机变量序列的收敛性问题，随机变量序列的收敛性有多种，其中常用的是两种：依概率收敛和按分布收敛。 §5.1 大数定律 一． 依概率收敛的定义 定义 设}{n X 为一随机变量序列，X 为一随机变量，若对任意的0>ε，有 0)|(|lim =ε≥-∞ →X X P n n 或 1)|(|lim =ε<-∞ →X X P n n 则称随机变量序列}{n X 依概率收敛于X ，记作X X P n →。 依概率收敛的含义是：n X 与X 的绝对偏差不小于任意给定的正数的可能性会随n 的无限增大而无限变小。或者说，绝对偏差||X X n - 小于任意给定的正数的可能性的会随n 的无限增大而无限地接近于1。

伯努利原理

“伯努利原理”的误解 伯努利是一位数学家和物理学家，他在1738年发现，当流体的流速提高，表面的静压力会降低。这个现象称为“伯努利原理”，而几乎所有的物理学教材和科普文章，都使用这个原理，讨论机翼升力的产生。为了解释这个原理，通常，他们首先会让你拿出两片纸，并用力在纸的中间吹气，瞧，两张纸像粘在一起了！ 记忆的上表面是拱起的，而下表面是平坦甚至凹进去。当气流通过机翼表面，机翼上方空气流速较快，而下面空气流速较慢。根据“伯努利原理”，下面气流造成的静压力大于上方气流的压力，于是，机翼受到一个向上的作用力，飞机就飞了起来。 遗憾的是，这是完全错误的。而使用“伯努利原理”解释飞机的升空也是“白努力”。 伯努利效应可以解释一部分升力的来源，但这是非常小的一部分。如果飞机仅仅根据“伯努利原理”飞行，机翼形状必须非常“拱起”，或者，必须要飞得非常快才行。 飞机的升力主要由另外两个效应提供。一个是康达效应；另一个是气流冲击效应。 康达效应指的是，气流流经机翼曲面时，气流会紧贴机翼表面（这当然也有一点伯努利效应的含义）。这样，机翼的形状有效地改变了气流的方向，使离开机翼的气流相对飞机作向下的高速运动。机翼推开气流，但这个运动受力的反作用力作用于机翼上，相当于气流也在推开机翼，这个力使得机翼向上举起。 另一个重要的效应是气流冲击效应。当一块平板的方向不是与气流运动方向严格垂直，那么，平板会受到气流的冲击。飞机的机翼与其自身有一定倾角4°左右，特别是，当飞机起飞时，要把机头高高抬起，形成更大的倾角，这样在低速时，也可以获得较大的气流冲击效应，以便使几十吨的飞机起飞。但是，机翼的倾角并不是完全用于提供升力，更多的是为了维持飞机本身的气动布局，以保证飞机在飞行时候的气动平衡。 飞机是一个非常复杂的气动力学系统，设计师必须保证飞机载x,y,z几个方向上受力平衡。这就是飞机为什么需要机翼、尾翼、垂直尾翼的原因（那种像飞碟一样的无尾翼飞机设计起来是非常麻烦的）；此外，为了操控飞机，机翼上都开有活动襟翼，因此要仔细分析飞机的受力很不容易。这也是飞机设计原型为什么要进行风洞试验的原因。 1、根据谐音的方法，写出几组谐音而意思不同的词语 例如：伯努利——白努力 （）——（）（）——（）（）——（）（）——（）2、根据上文所讲述的内容看，“伯努利原理”会造成（）。

数学分析公式定理111章

第一章 变量与函数 §1 函数的概念 一 变量 变量、常量、实数性质、区间表示 二 函数 １．定义１ 设,X Y R ?，如果存在对应法则f ，使对x X ?∈，存在唯一的一个数y Y ∈与之对应，则称f 是定义在数集X 上的函数，记作:f X Y →(|x y →).也记作|()x f x →。习惯上称x 自变量， y 为因变量。函数f 在点x 的函数值，记为()f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f X . {}()|(),f X y y f x x X ==∈。 ２．注 （1） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。 例：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同） 2）()||,,x x x R ?=∈ ().x x R ψ= ∈（相同，对应法则的表达形式不同） 。 （2）函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数。即“函 数()y f x =”或“函数f ”。 （3）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的 象。a 称为()f a 的原象。 3. 函数的表示方法 1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。 2 可用“特殊方法”来表示的函数。 分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。 例： 1,0sgn 0,01,0x x x x >?? ==??-，则称f 为X 上的严格减函数。

概率论大数定律及其应用

概率论大数定律及其应 用 Revised as of 23 November 2020

概率论基础结课论文 题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用 作者 摘要：历史上第一个定理属于，后人称之为“”。概率论中讨论的向的定律。概率论与数理的基本定律之一，又称弱大数理论。 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。 关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率 引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。偶然之中包含着必然。 从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么在什么条件下具有稳定性这就是我们大数要研究的问题。

伯努利原理讲解

伯努利原理讲解 对我们搞流体机械的很重要，此文好懂又有趣！
光德流控
伯努利（Daniel Bernouli,1700～1782） 伯努利，瑞士物理学家、数学家、医学家。 他是伯努利这个数学家族（4 代 10 人）中最杰出的代表， 16 岁时就在巴塞尔大学攻读哲学与逻辑，后获得哲学硕士学位， 17～20 岁又学习医学，于 1721 年获医学硕士学位，成为外科名 医并担任过解剖学教授。但在父兄熏陶下最后仍转到数理科学。
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伯努利成功的领域很广，除流体动力学这一主要领域外，还 有天文测量、引力、行星的不规则轨道、磁学、海洋、潮汐等。
实例篇——伯努利原理 丹尼尔·伯努利在 1726 年首先提出：“在水流或气流里， 如 果 速 度 小 ，压 强 就 大 ；如 果 速 度 大 ，压 强 就 小 ” 。我 们 称 之 为 “伯努利原理”。 我们拿着两张纸，往两张纸中间吹气，会发现纸不但不会向 外飘去，反而会被一种力挤压在了一起。因为两张纸中间的空气 被我们吹得流动的速度快，压力就小，而两张纸外面的空气没有 流动，压力就大，所以外面力量大的空气就把两张纸“压”在了 一起。 这就是“伯努利原理”原理的简单示范。
1 列车(地铁)站台的安全线 在列车（地铁）站台上都划有黄色安全线。
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这是因为列车高速驶来时，靠近列车车厢的空气被带动而快 速运动起来，压强就减小，站台上的旅客若离列车过近，旅客身 体前后会出现明显的压强差，身体后面较大的压力将把旅客推向 列车而受到伤害。
所以，在火车（或者是大货车、大巴士）飞速而来时，你绝 对不可以站在离路轨（道路）很近的地方，因为疾驶而过的火车 （汽车）对站在它旁边的人有一股很大的吸引力。
有人测定过，在火车以每小时 50 公里的速度前进时，竟有 8 公斤左右的力从身后把人推向火车。
看懂“伯努利”原理后，等地铁再也不敢跨过那条黄线了吧 （分享给身边的人哦~~）
2 船吸现象
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浅谈大数定律的发展历程与应用

概率论论文 浅谈大数定律的发展历程与实际应用 学院： 专业： 班级： 姓名： 学号：

浅谈大数定律的发展历程与实际应用 摘要：本文主要分为两部分内容，第一部分介绍了大数定律的发展历程，详细介绍了伯努利大数定律等五个大数定律的内容；第二部分则通过介绍大数定律在抛硬币实验与保险行业的应用简单介绍了大数定律在实际生产生活中的应用。 关键词：大数定律、伯努利、切比雪夫、抛硬币、保险业 正文： 一、大数定律的发展历程 大数定律(law of large numbers)，是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。大数定律并不是经验规律，而是在一些附加条件上经严格证明了的定理。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。 1、伯努利大数定律——大数定律的创立 雅各布·伯努利（1654~1705，瑞士）在其著作《猜度术》第四卷中提出了一个定律，此定律的现代表述为：设在n 重伯努利试验中，成功的次数为Y n ，而在每次试验中成功的概率为p （00，有0lim =??? ? ??≥-=∞→εP n Y P n n 。[1]当时伯努利对大数定理叙述为“所要探讨的是：是否随着观测次数的增大，

记录下来的赞成与不赞成例数的比值接近真实比值的概率也随之不断增加，使得这个概率最终将超过任意确信度!” 2、泊松大数定律 泊松（1781~1840，法）研究了法国1817~1826年新生婴儿性别比，指出稳定性，并首次给出大数定律的描述：观察大量具有相时以另一种方式变化）而发生的事件，将会发现这些时间数目间的比值几乎是恒定值，且随着观察次数的增加，其波动幅度也愈来愈小！泊松认为大数定律适用于解释各种现象，只要有足够的耐心观察就能发现频率的稳定性[2]。 3、切比雪夫大数定律 切比雪夫（1821~1894，俄）是历史上第一个给出了伯努利大数定律和泊松大数定律的数学家，1844年，他在硕士论文《试论概率论的基础分析》中严格证明了伯努利大数定律并将其推广到了泊松大数定律。1866年，切比雪夫在其论文《论均值》中给出了切比雪夫大数定律：设X 1，X 2，…，X n ，…是相互独立的随机变量序列；若存在常数C ，使得D(X i )≦C(i=1,2…），则对任意ε>0，有()011lim =??????≥∑-∑∞→εi i X E n X n P n 或 ()111lim =?? ????<∑-∑∞→εi i X E n X n P n 。[1]