高考文科数学模拟试题
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2014年泰安一中高考文科数学模拟试题（三）
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分)
1. 复数
i
-12
化简的结果为（ ） A.1i + B.1i -+ C. 1i - D.1i -- 2．已知向量(1,)x =a ，(1,)x =-b ，若2-a b 与b 垂直，则||=a （ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．4
3．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（ ）
A ．1
B ．5
3
C ．2
D ．3
4．如图是一个算法的程序框图，当输入的值为5时，则其输出的结果是（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2设a ,b 是两条直线，,αβ是两个
平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A ．,//,a b αβαβ⊥⊥ B ．,,//a b αβαβ⊥⊥
C ．,,//a b αβαβ?⊥
D ．,//,a b αβαβ?⊥
6．函数)1,0(23≠>-=+a a a y x 且的图象恒过定点A ，且点A 在直线01=++ny mx 上
)0,0(>>n m ，则
n
m 3
1+的最小值为（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．14
7．函数),2
||,0,0()sin(R x A B x A y ∈<>>++=π
?ω?ω的部分图象如图所示，则函数表达式
为（ ）
A ．1)63sin(2+-=ππx y
B ．1)3
6sin(2+-=π
πx y
C ．1)63sin(2-+=ππ
x y D
．1)3
6sin(2++=π
π
x y 8．若函数f(x)＝x x a ka --(a ＞0且a≠1)在()+∞∞-,上既是奇函数又是增函数，则)(log )(k x x g a +=的图象是（ ）
9．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．8
B ．
20
3
C ．173
D ．143
10．已知抛物线22y px =的焦点F 到其准线的距离是8，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且||2|AK AF =，则AFK ?的面积为（ ） A ．32 B ．16 C ．8 D ．4
第Ⅱ卷 非选择题部分（共100分）
二、填空题（共有5个小题，每小题5分，共25分）
11．已知ABC ?的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，3b =，4
cos 5
B =，则sin A 的值为__________．
12．点(,)P x y 在不等式组2010220x y x y -≤??
-≤??+-≥?表示的平面区域上运动，则z x y =-的最大值为
___________.
13．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，'()0f x >，且1
()02
f -=，则不等式
()0f x <的解集为__________．
14．已知△ABC 中，AD BC ⊥于D ，2AD BD ==，1CD =，则AC AB ?=___ ． 15．已知函数()()1||
x
f x x R x =
∈+ 时，则下列结论正确的是 . ①x R ?∈，等式()()0f x f x -+=恒成立；②(0,1)m ?∈，使得方程|()|f x m =有两个不等实数根
③12,x x R ?∈，若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠
④(1,)k ?∈+∞，使得函数()()g x f x kx =-在R 上有三个零点
三、解答题：（本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）
已知,,a b c 分别是ABC ?的三个内角,,A B C 的对边，2cos cos b c C
a A
-=
. （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）求函数3sin sin()6
y B C π
=+-的值域.
17. （本小题满分12分）
某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少%75的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区” ．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区. （Ⅰ）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；
（Ⅱ）假定选择的“非低碳小区”为小区A ，调查显示其“低碳族”的比例为
2
1
，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区
A 是否达到“低碳小区”的标准
18. (本小题满分12分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面
ABC ,
,AB BC D ⊥为AC 的中点,12AA AB ==.
(1) 求证：1//AB 平面1BC D ；
(2) 若3BC =，求三棱锥1D BC C -的体积.
19. (本小题满分13分）
已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S 1
4
与2(1)n a +的等比中项. （Ⅰ）求证：数列{}n a 是等差数列；
（Ⅱ）若11b a =，且123n n b b -=+，求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若3
n
n n a c b =
+，求数列{}n c 的前n 项和n T . (本小题满分13分）
已知函数1()x f x x e -=的定义域为(0,)+∞.
（I ）求函数()f x 在[]1,+m m （0>m ）上的最小值；
（Ⅱ）对(0,)x ?∈+∞，不等式2()1xf x x x λ>-+-恒成立，求λ的取值范围.
（百千克/户
图2 （百千克/户
图1 D
C 1
A 1
B 1
C
B
A
第18题图
21. (本小题满分13分）
已知命题“若点00(,)M x y 是圆222x y r +=上一点，则过点M 的圆的切线方程为
200x x y y r +=”．
（Ⅰ）根据上述命题类比：“若点00(,)M x y 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点，则过点M 的
切线方程为 ．”（写出直线的方程，不必证明）．
（Ⅱ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为1(1,0)F -，且经过点（1，3
2
）．
（ⅰ）求椭圆C 的方程；
（ⅱ）过1F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，过点A 、B 分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．
年泰安一中高考文科数学模拟试题（三）
一、选择题
1、A
2、C
3、C
4、D
5、C
6、A
7、A
8、C
9、C 10、A 二、填空题 11、
2
5
12、2 13、11(,)(0,)22-∞- 14、2 15、①②③
三、解答题： 16、解：（I ）
3,21cos ,0sin ,
sin )sin(cos sin 2,cos sin cos sin cos sin 2,cos cos sin sin sin 2π
=
∴=∴≠=+=+==-A A B B C A A B A
C C A B A A
C
A C
B 故即由正弦定理，得： …………………………………………………………………………………………………6分 （II ）
22
(0,)333
A B C B π
ππ=
∴+=∈且……………………………………………8分
3sin sin()3sin sin()3sin cos 2sin()626
y B C B B B
B B πππ
=+-=+-=+=+ …………………………………………………………………………………………………10分
251
(0,),(,),sin()(,1]366662
B B B πππππ∈+∈∴+∈
所以所求函数值域为(1,2]……………………………………………………………………12分
17、解：（Ⅰ）设三个“非低碳小区”为C B A ,,，两个“低碳小区”为,,m n 用),(y x 表示选定的两个小区，{},,,,,x y A B C m n ∈，
则从5个小区中任选两个小区,所有可能的结果有10个，它们是(,)A B ，(,)A C ，(,)A m ，
(,)A n ,(,)B C ,(,)B m ,(,)B n ,(,)C m ,(,)C n ,(,)m n . …………2分
用D 表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则D 中的结果有6个，它们是：(,)A m ,(,)A n ,(,)B m ,(,)B n ,(,)C m ,(,)C n . …………4分 故所求概率为63
()105
P D =
=. …………6分 （II ）由图1可知月碳排放量不超过300千克的成为“低碳族”. …………8分 由图2可知，三个月后的低碳族的比例为0.070.230.460.760.75++=>，…………10分 所以三个月后小区A 达到了“低碳小区”标准. …………12分 、证明:（1）连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD . …………1分 ∵ 四边形11BCC B 是平行四边形,∴点O 为1B C 的中点. ∵D 为AC 的中点，∴OD 为△1AB C 的中位线,
A
∴ 1//OD AB . …………4分 ∵OD ?平面1BC D ,1?AB 平面1BC D , ∴1//AB 平面1BC D . ………… 6分
解:（2）∵三棱柱111-ABC A B C ，∴侧棱11//AA CC ， 又∵1AA ⊥底面ABC ，∴侧棱1CC ABC ⊥面，
故1CC 为三棱锥1C BCD -的高，112A A CC ==， …………8分
2
3
)21(2121=?==
??AB BC S S ABC BCD …………10分 12
3
23131111=??=?==?--BCD BCD C BCC D S CC V V …………12分
19、解：（Ⅰ）221()(1)4n n S a =+即21
(1)4n n S a =+
…………1分
当1n =时，2111
(1)4a a =+，∴11a = …………2分
当2n ≥时，2111
(1)4n n S a --=+
∴22
1111(22)4n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+-
即11()(2)0n n n n a a a a --+--= …………3分 ∵0n a > ∴ 12n n a a --=
∴数列{}n a 是等差数列 …………4分
（Ⅱ）由123n n b b -=+得132(3)n n b b -+=+ …………6分 ∴数列{3}n b +是以2为公比的等比数列
∴ 111113(3)2(3)22n n n n b b a --++=+=+= …………8分 ∴ 123n n b +=- …………9分 （Ⅲ）121
32
n n n n a n c b +-==+ …………10分 ∴2
341
13521
222
2
n n n T +-=
++++
①
两边同乘以
12得345211352122222n n n T +-=++++ ② ①-②得23451211222221
2222222n n n n T ++-=+++++-
23411111111212222222n n n n T -+-=++++++-
1111121323
(1)22222n n n n n -++-+=+--=- …………13分
20、解：2
()x x
xe e f x x
-'=， …………1分 令()0f x '>得1x >；令()0f x '<得1x < 所以，函数()f x 在（0，1）上是减函数；在(1,)+∞上是增函数 …………2分 （I ）当1m ≥时，函数()f x 在[m,m+1]（m>0）上是增函数，
所以， min ()()m
e f x f m m ==
…………4分
当01m <<时，函数()f x 在[m,1]上是减函数；在[1,m+1] 上是增函数 所以， min ()(1)f x f e ==。 …………6分
（Ⅱ）由题意，对(0,)x ?∈+∞，不等式21x e x x λ++>恒成立
即 1
x e x x x
λ++>恒成立 …………8分
令1()x e g x x x x =++，则2(1)(1)
()x e x x g x x ++-'=
…………10分
由()01;()01g x x g x x ''>><<得，由得， …………12分
所以，min ()(1)2g x g e ==+。 所以，2e λ<+. …………13分
21、解：（Ⅰ）00221x x y y
a b +=；……………………………………………………………3分
（Ⅱ）（ⅰ）22
143
x y +
=；…………………………………………………………………7分 （ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设为k ，直线l 的方程为(1)y k x =+， 设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，
则椭圆在点A 处的切线方程为：
11143x x y y
+= ① 椭圆在点B 的切线方程为：22143
x x y y
+= ②
联解方程① ②得：2121122112214()4()
4(1)(1)
y y k x x x x y x y x k x x k x --=
==--+-+，
即此时交点的轨迹方程：4x =-． ……………………………… 11分 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =-，
此时A
3
(1,)
2
-
3
(1,)
2
B--，经过AB两点的切线交点为(4,0)
-
综上所述，切线的交点的轨迹方程为：4
x=-．…………………………… 13分