数值分析课后题答案
数值分析
第二章
2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。
解：
0120121200102021101201220211,1,2,
()0,()3,()4;
()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3
x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--=
=-+-----=
=------==-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为
2
20()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4()
1
4(1)(2)(1)(1)23
537623
l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 6．设,0,1,,j x j n =为互异节点，求证：
（1）0
()n
k
k j j
j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =
（2）
0()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =
证明 （1） 令()k f x x =
若插值节点为,0,1,,j x j n =，则函数()f x 的n 次插值多项式为0()()n
k
n j j j L x x l x ==∑。 插值余项为(1)1()()()()()(1)!
n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+ 又,k n ≤
(1)()0()0
n n f R x ξ+∴=∴= 0
()n k
k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,
,);k n =
000(2)()()
(())()()(())n k j j j n n j i
k i k j j j i n n
i
k i
i
k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑
0i n ≤≤又 由上题结论可知
0()n
k
i
j j j x l x x ==∑ 0()()0
n
i k i i
k i k
C x x x x -=∴=-=-=∑原式
∴得证。
7设[]2
(),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21max ()()max ().8
a x
b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为
10101010()()
()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =()()x b x a f a f b a b x a
--=+-- 1()()0
()0
f a f b L x ==∴=又 插值余项为1011()()()()()()2
R x f x L x f x x x x x ''=-=-- 011()()()()2
f x f x x x x x ''∴=--
[]012012102()()
1()()21()4
1()4
x x x x x x x x x x b a --??≤-+-????=-=-又 ∴21max ()()max ().8
a x
b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 8．在44x -≤≤上给出()x
f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x e 的近似值，要使截断误差不超过6
10-，问使用函数表的步长h 应取多少？
解：若插值节点为1,i i x x -和1i x +，则分段二次插值多项式的插值余项为 2111()()()()()3!
i i i R x f x x x x x x ξ-+'''=
--- 211441()()()()max ()6i i i x R x x x x x x x f
x -+-≤≤'
''∴≤--- 设步长为h ，即11,i i i i x x h x x h -+=-=+
434321().6R x e h ∴≤= 若截断误差不超过6
10-，则 6
2436()10100.0065.R x h h --≤≤∴≤ 9．若442,.n n n n y y y δ=?求及，
解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。
2n n y =
44(1)n n y E y ?=-
4
404
40
4
40
44(1)4(1)4(1)2(21)2j j n
j j n j
j j j n
j n
n
n
E y j y j y j y y -=+-=-=??
=- ??
???
=- ?????
=-? ???=-==∑∑∑
11
4422()n n y E E y δ-=- 1
442242
2
()(1)2n
n n n E E y E y y ----=-=?==
16．74()31,f x x x x =+++求0172,2,,2F ????及0182,2,,2F ????。 解：74()31f x x x x =+++
若2,0,1,,8i
i x i ==
则[]()01()
,,,!n n f f x x x n ξ=
[](7)017()7!
,,,17!7!f f x x x ξ∴===
[](8)018()
,,,08!f f x x x ξ==
19．求一个次数不高于4次的多项式P （x ），使它满足
(0)(0)0,(1)(1)0,(2)0P P P P P ''=====
解法一：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式
0101010,1
0,10,1
x x y y m m ======
11
300
20100101
2()()()
()(12)()(12)(1)j j j j j j H x y x m x x x x x x x x x x x x αβα===+--=---=+-∑∑ 210110102
()(12
)()(32)x x x x x x x x x x x α--=---=- 2
021()(1)()(1)x x x x x x ββ=-=-
22323()(32)(1)2H x x x x x x x ∴=-+-=-+
设22301()()()()P x H x A x x x x =+--
其中，A 为待定常数
3222
(2)1
()2(1)P P x x x Ax x =∴=-++- 14
A ∴= 从而221()(3)4P x x x =
- 解法二:采用牛顿插值，作均差表：
],,[()(210101000x x x p x p =
))()()((210x x x x x x Bx A ---++ )2)(1()()2/1)(1(0--++--++=x x x Bx A x x x
又由 ,1)1(,0)0(='='p p 得
,41,43=-=B A 所以 .)3(4)(22
-=x x x p