指数函数经典例题(标准答案)
指数函数
1．指数函数的定义： y a x
（a 0且a 1） 的图象和性质。
a>1 0 图 象 1 1 1 性 质 （1） 定义域： R （2）值域：（0，+∞） （3）过点（ 0，1），即 x=0 时，y=1 （4）在 R 上是增函（4）在 R 上是减函 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数， 有关指数函数的图象 与性质的 题目类型较多， 同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点， 本文对此 部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨． 1．比较大小 例 1 已知函数 f (x) x 2 bx c 满足 f (1 x) f (1 x)，且 f(0) 3 ，则 f(b x )与 函数 y a x （a 0且a 1）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数定义域是 R 我 们 观 察 y= 2x ， y= 2 ， y=10x ， y= 10 图 象 特 征 ， 就 可 以 得 到 f(c ) 的大小关系是． 分析：先求b，c的值再比较大小，要注意b x，c x的取值是否在同一单调区间内． 解：∵ f (1 x) f (1 x) ， ∴函数 f (x) 的对称轴是x 1 ． 故b 2，又f(0) 3，∴ c 3． ∴函数f(x)在∞，1 上递减，在1，∞ 上递增． 若x≥0，则3x≥2x≥1，∴ f(3x)≥f(2x)； 若x 0，则3x 2x 1，∴ f(3x) f(2x)． 综上可得f(3x)≥ f(2x)，即f(c x)≥ f(b x)．评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．2．求解有关指数不等式 例 2 已知(a2 2a 5)3x (a2 2a 5)1 x，则x 的取值范围是_____ ．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵ a2 2a 5 (a 1)2 4≥ 4 1 ， ∴函数y (a2 2a 5)x在( ∞，∞) 上是增函数， ∴3x 1 x，解得x 1．∴x的取值范围是1，∞ ． 44 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与 1 的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．3．求定义域及值域问题 例 3 求函数y 1 6x 2的定义域和值域． 解：由题意可得 1 6x 2≥0，即6x 2≤1， ∴x 2≤0，故x≤2．∴函数 f (x)的定义域是∞，2 ． 令t 6x 2，则y 1 t ， 又∵ x≤2 ，∴ x 2≤ 0．∴ 0 6x 2≤1，即0 t≤1． ∴ 0 ≤ 1 t 1 ，即0 ≤ y 1 ． ∴函数的值域是0，1 ．评注：利用指数函数的单调性求值域时， 要注意定义域对它的影响． 4．最值问题 例 4 函数 y a 2x 2a x 1（a 0且a 1）在区间 [ 1，1] 上有最大值 14，则 a 的值 是 ． 分析：令 t a x 可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后 t 的取值 范围． 解：令 t a x ，则 t 0，函数 y a 2x 2a x 1可化为 y （t 1）2 2 ，其对称轴 为 t 1 ． ∴当 a 1 时，∵ x 1， 1 ， ∴1 ≤ a x ≤ a ， 即 1 ≤t ≤ a ． a a ∴当t a 时， y max 2 (a 1)2 2 14 ． 解得a 3 或a 5 （舍去） 当 0 a 1 时，∵ x 1，1 ， ∴a ≤ a x ≤ 1，即 a ≤ t ≤ 1， aa 1 1 2 ∴ t 时， y max 1 2 14 ， aa 解得a 1或a 1 （舍去），∴ a 的值是 3或1． 3 5 3 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的 运用， 比如：换元法， 整体代入等． 5．解指数方程 例 5 解方程 3x 2 32 x 80 ． 解：原方程可化为 9 （3x ）2 80 3x 9 0 ，令 t 3x （t 0），上述方程可化为 9t 2 80t 9 0，解得 t 9或t 1 （舍去），∴ 3x 9，∴ x 2 ，经检验原方程 的 9 解是 x 2 ． 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要 注意验根． 6．图象变换及应用问题 例 6 为了得到函数 y 9 3x 5的图象，可以把函数 y 3x 的图象（ ）． A ．向左平移 9 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度 B ．向右平移 9个单位长度，再向下平移 5 个单位长度 C ．向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度 D ．向右平移 2 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度 分析：注 意先将函数 y 9 3x 5转化为t 3x 2 5 ，再利用图象的平移规律进 行判 断． 解：∵ y 9 3x 5 3x 2 5 ，∴把函数 y 3x 的图象向左平移 2 个单位长 度， 再向上平移 5 个单位长度，可得到函数 y 9 3x 5的图象，故选 （ C ）． 评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法， 利用其直观性实现数形 结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、 伸缩、对称等． 习题 1、比较下列各组数的大小： 1）若 ，比 较 与 2） 3） 4若 ，比较 与 ； 若 ，比较 与 ； 若 ，且 ， 若 ，且 ，故 解：（1）由 ，此时函数 比较 a 与 b ； ，比较 a 与 b ． 为减函数． 由 ， ．又 ，故 （3）由 ，因 ，故 ．又 而． 2）由 ，故 ．从而 ，故 ．从 （4）应有 ．因若 ，则 ．又 ．又因 ，故 ．从而 ， （5）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 这与已知 ，故 这样 矛，这样有 ．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾． 小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解． 2，曲线分别是指数函数, 和的图象, 则与1 的大小关系是( ). ( 分析:首先可以根据指数函数单调性, 确 定 , 在轴右侧令, 由 小到大依次为, 故应选. 小结: 这种类型题目是比较典型的数形结合的题目由数到形的转化,第(2) 题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提 高学生识图,用图的意识. 求最值 3，求下列函数的定义域与值域 1 (1)y ＝2 x 3; (2)y ＝4x+2x+1+1. 5、设 ，求函数 的最大值和最小值． 分析：注意到 ，设 ，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值． 解： 设 ，由 知， ，函数成为 ， ，对称轴 ，因端点 较 距对称 ． 6．（9 分）已知函数 y a 2x 2a x 1（a 1） 在区间［－1,1］上的最大值 是 14，求 a 的值. 1 ．解： y a 2x 2a x 1（a 1）， 换元为 y t 2 2t 1（ t a ） ，对称轴为 t 1. a 当a 1，t a ，即 x=1 时取最大值，略 解得 a=3 （a= －5舍去 ） 7．已知函数 （ 且 （1）求 的最小值； （2）若 求 的取值范围． ．解：（ 1） 时， 有最小值为 （ 2） ，解得 当 时， ； 当 时， ． 2 8（10分）（1）已知 f （x ） x 2 m 是奇函数，求常数 m 的值； 3x 1 2）画出函数 y |3x 1|的图象，并利用图象回答： k 为何值时，方 程 |3Ｘ k 无 解？有一解？有两解？ ，则原来的函数成为 ，故函数最小值为 轴 远，故函数的最大值为 ） 解： （1）常数 m=1 （2）当k<0时，直线y=k 与函数 y |3x 1|的图象无交点 ,即方程无解; 当k=0或k 1时, 直线y=k 与函数 y |3 1| 的图象有唯一的交点，所以 方程 有一解; 当 0 9．若函数 是奇函数，求 的值． ．解： 为奇函数， ， 即， 则， 10. 已知 9x -10.3x +9≤0，求函数 y=（ 1 ）x-1-4·（ 1 ）x +2 的最大值和最小值 42 解：由已知得（ 3x ） 2-10·3x +9≤0 得（3x -9）（ 3x -1）≤0 ∴1≤3x ≤9 故 0≤ x ≤ 2 而 y=（ 1 ）x-1-4·（ 1 ）x +2= 4·（ 1 ）2x -4·（ 1 ）x +2 4 2 2 2 1x 1 令 t=（ 1 ） x （ 1 t 1） 24 2 1 2 则 y=f （t ） =4t 2-4t+2=4（ t- ）2 +1 2 1 当 t=1 即 x=1 时， y min =1 2 当 t=1 即 x=0 时， y max =2 11．已知 ，求函数 的值域． 解：由 得 ，即 ，解之得 ， 于是 ，即 ，故所求函数的值域为 x 2 2x 2 12. （9 分） 求函数 y 2 的定义域，值域和单调区间 定义域为 R 值域（ 0，8〕。（3）在（-∞， 1〕上是增函数 在〔 1，+∞）上是减函数。 13 求函数 y ＝ 的单调区 分析 这是复合函数求单调区间的问题 ∴u ＝x 2-3x+2 的减区间就是原函数的增区间 (即减减→增 ) u ＝x 2 -3x+2 的增区间就是原函数的减区间 ( 即减、增→减 ) u 解：设 y ＝ 1 ,u ＝ x 2-3x+2,y 关于 u 递减， 3 当 x ∈(- ∞， 3 )时，u 为减函数， 2 ∴y 关于 x 为增函数；当x ∈[ 3 ，+∞)时，u 为增函数， y 关于 x 为减函数. 2 14 ，已知函数 f(x) ＝ a x 1 (a>0 且 a ≠1). a x 1 (1) 求 f(x) 的定义域和值域； (2) 讨论 f(x) 的奇偶性； (3) 讨论 f(x) 的单调 性. 解：(1) 易得f(x) 的定义域为{ x ｜x ∈R }. x 设 y ＝a x 1,解得 a x ＝- y 1 ①∵a x >0当且仅当- y 1 >0时，方程①有解 . a x 1 y 1 y 1 y1 解- >0 得-1 y1 ∴f(x) 的值域为{y ｜-1 2 15、已知函数 f (x )=a － x ( a ∈ R )， 2x 1 ( 1) 求证：对任何 a ∈R ， f (x )为增函数． (2) 若 f (x )为奇函数时，求 a 的值。 可设 y ＝ 12 3 ,u ＝x -3x+2 ，其中 ＝ 3 为减函数 (2) ∵f(-x) x 1a 1a ＝-f(x) 且定义域为 R ，∴ f(x) 是奇函数 . (3)f(x) x (a x 1) 2 ＝1- 2 x ＝ x 1°当 a>1时，∵ a x +1为增函数，且 a x +1>0. 2 a x 2 1为减函 数，从而f(x) ＝1- 2 a x 1 a a x 1 1为增函数.2 °当0 似地可得f(x) a a x 11为减函数. 1)证明：设 x 1< x 2 f (x 2)－f (x 1)= 2(2x x 12 2x1)x2 >0 (1 2x1 )(1 2x2 ) 故对任何 a ∈R ， f (x )为增函数． (2) x R ，又 f (x )为奇函数 f (0) 0 得到 a 1 0 。即 a 1 2 x 16、定义在 R 上的奇函数 f (x)有最小正周期为 2，且 x (0,1)时， f (x) 4 2x 1 ∴ f (x) x 2x 4 x 1 ∴在( 0，1)上为减函数。 3)∵ f(x) 在(0，1)上为减函数。 21 ∴ f (1) f (x) f(0) 即 f(x) (2,1) 52 同理 f(x) 在(－ 1，0)时， f(x) ( 1, 2) 25 又 f ( 1) f (0) f (1) 0 ∴当 ( 12 , 5 2) (52 ,12 ) 或 0时 f (x) 在［ －1，1］内有实数解。 1)求 f(x) 在［－1，1］上的解析式；(2)判断 f (x)在(0， 1) 上的单调性； 3)当 为何值时，方程 f (x)= 在 x [ 1,1] 上有实数解 . 解(1)∵x ∈R 上的奇函数 f (0) 0 又∵2 为最小正周期 f(1) f (2 1) f ( 1) f (1) 0 设 x ∈(－ 1，0)，则－ x ∈( 0， 1)， 2 x 2x f( x) 4 x 1 4x 1 f (x) 2x ( 2 )4x 1设 f (x) 0 2x x 0( < -1x ,01<) x 2<1 x {-1,0,1} x 1 x 2 x x 2x 2 x 2 2x 1 f(x 1) f(x 2) (2 2 ) (2 2 ) (4x1 1)(4x2 1) = 4x 1 x (2 x (10,1)2 x2 )(1 2 x1 x2 ) (4 x1 1)( 4 x2 1) 分析 本题主要考查指数函数的图像和性质、 函数奇偶性的函数图像， 以及 数形结合思想和分类讨论思想 . 解法 1：（分类讨论 ）： 又 a>1，由指数函数图像易知，应选 B. 解法 2：因为 y ＝a ｜x ｜是偶函数，又 a>1，所以当 x ≥0 时，y ＝a x 是增函数； x <0时，y ＝a -x 是减函数 . ∴应选 B. 1 1 解：(1)∵x-3≠0，∴y ＝2x3 的定义域为{ x ｜x ∈R 且x ≠3}.又∵ 1 ≠ x3 1 0，∴2x 3 ≠1， 1 ∴y ＝2x3 的值域为{ y ｜y>0且y ≠1}. (2)y ＝4x +2x+1+1 的定义域为 R. ∵ 2x >0, ∴y ＝4x +2x+1+1＝(2x )2+2·2x +1＝ x2 (2 x +1)2 >1. ∴y ＝4x +2x+1 +1 的值域为{ y ｜ y>1} . 4，已知-1≤x ≤2, 求函数 f(x)=3+2 ·3x+1 -9 x 的最大值和最小值 解： 设 t=3x ,因为-1≤x ≤2，所以 1 t 9，且 f(x)=g(t)=-(t-3) 2+12,故当 t=3 即 x=1时， f(x) 取最大值 12，当 t=9 即 x=2时 f(x) 取最小值 -24 去绝对值，可得 y ＝ (1a )x (x 0), (x