2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题(解析版)

2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合{}

10A x x =+≤，{|}B x

x a =≥，若A B R =U ，则实数a 的值可以为（ ） A ．2 B ．1

C ．0

D ．2-

【答案】D

2．下列函数值中，在区间(0,)+∞上不是．．单调函数的是（ ） A ．y x = B ．2

y x =

C ．y x x =+

D ．1y x =-

【答案】D

3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S a =，且30a ≠，则4

3

S S =（ ） A ．1 B ．53

C ．83

D ．3

【答案】C

4．不等式1

1x >成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．1

02

x << B ．1x > C ．01x <<

D ．0x <

【答案】A

5．如图，角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35

，则sin(

)2

απ

+的值为（ ）

A ．35

-

B ．

35

C ．45

-

D ．

45

【答案】B

6．在四边形ABCD 中，//AB CD ，设(,)AC AB AD R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r .若3

2

λμ+=，

则=CD

AB

u u u r u u u r （ ） A ．

13

B ．

12

C ．1

D ．2

【答案】B

7．已知函数32

()2f x x x x k =+--.若存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则

实数k 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-

C ．[0,)+∞

D ．(,0]-∞

【答案】A

8．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ∈N ，定义1,()0,i i A

A i A

?∈?=?

??，给出下列三个

结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ∈N 都满足()0i A B ?=I 且

()1i A B ?=U ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有

()i A B ?=I ()i A ?g ()i B ?；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ?=U ()+i A ?()i B ?；其中，所有正确结论的序号是（ ）

A ．①②

B ．②③

C ．①③

D ．①②③

【答案】A

二、填空题

9．已知向量()1,2,(3,)a b t ==r r ，且//a b r r

，则t = _____ 【答案】6

10

．函数()6f x x =的零点个数是________ 【答案】1

11．已知数列{}n a 的前n 项和为2log n S n =，则1a =____，5678a a a a +++=_____ 【答案】0 1

12．如图，网格纸上小正方形的边长为1.从,,,A B C D 四点中任取两个点作为向量b r

的始点和终点，则a b ?r r

的最大值为____________

【答案】3

13．已知数列{}n a 的通项公式为ln n a n =，若存在p R ∈，使得n a pn ≤对任意*n N ∈都成立，则p 的取值范围为__________

【答案】ln 3,3??

+∞????

【解析】根据题意，利用数列的关系式，进一步进行转换，再利用函数的导数的应用求出函数的单调区间和最值，进一步利用函数的恒成立问题的应用求出结果． 【详解】

数列{}n a 的通项公式为ln n a n =，若存在p R ∈，使得n a pn ≤对任意的*n N ∈都成立， 则max

ln n p n ??

???≥， 设()ln x f x x

＝，则()2

1

ln x x

x f x x ?-'＝ ， 令()2

1ln 0x

f x x

-'＝＝，解得x e =， 所以函数的单调增区间为()0,e ，函数的减区间为(),e +∞， 所以函数在x e =时函数取最大值， 由于n N ∈，所以当3n =时函数最大值为ln 3

3

． 所以p 的取值范围是ln 3,3??

+∞??

??

． 故答案为：ln 3,3??+∞????

． 【点睛】

本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调区间和最值，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．

14．已知函数()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图像的交点，且不共线.①当1ω=时，ABC ?面积的最小值为___________；②若存在

ABC ?是等腰直角三角形，则ω的最小值为__________.

【答案】2π

2

π

【解析】①利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积；

②利用等腰直角三角形的性质的应用求出ω的最小值． 【详解】

函数()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图象的交点，

当1ω=时，()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==．

所以函数的交点间的距离为一个周期2π，高为22 22222

?+?=． 所以：()1

21122

ABC S ππ???+＝＝． 如图所示：

①当1ω=时，ABC ?面积的最小值为2π；

②若存在ABC ?是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，

则222222π

ω??＝， 解得ω的最小值为 2π

． 故答案为：2π， 2

π． 【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

三、解答题

15．已知数列{}n a 为各项均未正数的等比数列，n S 为其n 前项和，23a =，

3436a a +=.

()1求数列{}n a 的通项公式； ()2若121n

S

<，求n 的最大值.

【答案】()113-=n n a ；()2 4

【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由2343,36a a a =+=，可得

123

1

13,

36.a q a q a q =??+=?，即可求出结果． （2）3112131

n n S -=<- ，即可得出结论．

【详解】

解:()1在等比数列{}n a 中，设{}n a 公比为q . 因为2343,36a a a =+=

所以123

1

13,36.a q a q a q =??+=? 所以23336q q +=.即2

120q q +-=. 则3q =或4q =-. 因为0n a >， 所以0q >， 所以3q =. 因为213a a q ==， 所以11a =.

所以数列{}n a 的通项公式11

13n n n a a q --==

()2在等比数列{}n a 中，

因为(

)()1111n

n a q S q q

-=

?-

所以()13131132

n n

n S -==--

因为121n S <， 所以()1311212

n

n S =

-<. 所以3243n <. 所以5n <. 因为*n N ∈.

所以4n ≤.即n 的最大值为4. 【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

16．已知函数π()=2sin cos()3f x x x ++.

()1求函数()f x 的最小正周期；

()

2若()0f x m +≤对π

[0,]2

x ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】()1π；()2(,1]-∞-

【解析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式的变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．

（2）利用函数的恒成立问题的应用和函数的最值的应用求出结果． 【详解】

解:()1因为()2sin cos 32

f x x x π?

?

=+

+ ?

?

?

2sin cos cos sin sin 332x x x ππ?

?=-+

??

?

12sin cos 2x x x ??=-+ ? ???

2sin cos x x x =

1sin 222x x =+

sin 23x π?

?=+ ??

?

所以()f x 的最小正周期为22

T π

π=

= ()2“()0f x m +≤对0,2x π

??∈???

?

恒成立”等价于“()max 0f x m +≤”

因为0,

2x π??

∈????

所以42,333x π

ππ??+

∈????

当23

2

x π

π

+

=

，即12

x π

=

时

()f x 的最大值为112f π??

= ???

.

所以10m +≤，

所以实数m 的取值范围为(,1]-∞-. 【点睛】

本题考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 17．已知函数3

21()3

f x ax x bx c =+++，曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为1y x =+

()1求,b c 的值；

()2若函数()f x 存在极大值，求a 的取值范围.

【答案】()11

1

b c =??

=?；()2()(),00,1-∞? 【解析】（1）求出函数的导数，结合切线方程得到关于,b c 的方程组，解出即可； （2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，结合二次函数，求出函数的单调区间，结合函数的存在极大值，确定a 的范围即可． 【详解】

解：()1()2

'2f x ax x b =++

因为()f x 在点()()

0,0f 处的切线方程为1y x =+，

所以()()

0101f f ?=??='??

解得11b c =??=?

()2()32113

f x ax x x =+++，

①当0a =时，()2

1f x x x =++不存在极大值，不符合题意.

②当0a >时，()2

21f x ax x =++.

令2210ax x ++=.

(i )当440a =-≤V ，即1a ≥时，不符合题意.

(ii )当440a =->V ，即01a <<时，方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根. 设方程两个根为12,x x ，且12x x <.

()(),,x f x f x '的变化如表所示:

所以()1f x 为极大值.

③当0a <时，440a =->V 恒成立.设方程两个根为12,x x ，且12x x <.

()(),,x f x f x '的变化如表所示:

所以，()2f x 为极大值.

综上，若函数()f x 存在极大值，a 的取值范围为()(),00,1-∞?. 【点睛】

本题考查了切线方程问题，导数在函数的单调性和极值问题中的应用，考查分类讨论思想，转化思想等数学思想，是一道综合题． 18．在ABC ?中，7,5,8a b c ===.

()1求sin A 的值；

()2若点P 为射线AB 上的一个动点（与点A 不重合）

，设AP

k PC

=. ①求k 的取值范围；

②直接写出一个k 的值，满足：存在两个不同位置的点P ，使得AP

k PC

=.

【答案】()

1()2①? ??；②答案不唯一，取值在区间? ?

?上均正确 【解析】（1）利用余弦定理的应用求出A 的余弦值，进一步求出正弦值； （2）①直接利用正弦定理和关系式的变换的应用求出k 的取值范围；

②根据共线的条件求出在区间1,3??

? ???

上即可

【详解】

解:()1在ABC V 中，7,5,8,a b c ===

根据余弦定理222

2b c a cosA bc +-=

所以2225871

cos 2582

A +-==??

因为()0,A π∈，

所以sinA =

2

=

()2①在ABC V 中，

根据正弦定理，得

sin sin CP AP

A ACP

=∠

sin sin sin sin

3

AP ACP ACP k ACP

PC A π∠∠=

===∠ 因为点P 为射线AB 上一动点， 所以20,

3

ACR π??∠∈ ??

?

所以k

的取值范围为? ??

②答案不唯一.

取值在区间1,3? ??

上均正确.

【点睛】

本题主要考查了正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 19．已知函数ln ()x

x f x e =

. ()1判断函数()f x 在区间(0)1，

上的单调性，并说明理由； ()2求证：1()2

f x <.

【答案】()1单调递增，理由见解析；()2证明见解析

【解析】（1）因为()0,1x ∈，对()f x 求导，可证()0f x '>恒成立，即可证明结果； （2）证明“()12f x <”等价于证明“()max 12

f x <”．求()f x 的最大值即可证明． 【详解】

()1函数()f x 在区间()0,1上是单调递增函数.

理由如下:

由()x lnx f x e

=，得()1

x lnx

x f x e

-'=

因为()0,1x ∈，

所以

1

1,ln 0x x ><. 因此1

0lnx x

->.

又因为0x e >， 所以()0f x '>恒成立.

所以()f x 在区间()0,1上是单调递增函数.

()2证明“()12

f x <”等价于证明“()max 12

f x <”

由题意可得，(0,)x ∈+∞.

因为()1

x

lnx

x f x e

-'=

令()1

lnx x

g x -=，则()2110g x x x '=--<.

所以()g x 在()0,∞+上单调递减 因为()()1

110,10g g e e

=>=

-<， 所以存在唯一实数0x ，使得()00g x =，其中()01,x e ∈.

()(),, x f x f x '的变化如表所示:

所以()0f x 为函数()f x 的极大值. 因为函数()f x 在(0,)+∞有唯一的极大值. 所以()()0

0max ln o

x x f x f x e == 因为

00

1

lnx x =， 所以()()0

00max 0ln 1

o x x x f x f x e x e === 因为()01,x e ∈

所以()0max 0111

2

x f x x e e =<< 所以()12

f x < 【点睛】

本题主要考查了导数在函数单调性中的应用，以及利用导数求函数极值与最值，熟练掌握导数的相关性质是解题的关键，本题属于综合题．

20．已知集合*M N ?，且M 中的元素个数n 大于等于5.若集合M 中存在四个不同

的元素a b c d ,,,，使得a b c d +=+，则称集合M 是“关联的”，并称集合{}

,,,a b c d 是集合M 的“关联子集”；若集合M 不存在“关联子集”，则称集合M 是“独立的”.

()1分别判断集合{}2,4,6,8,10和集合{}12,3,5,8，

是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有．．

的关联子集； ()2已知集合{}12345,,,,a a a a a 是“关联的”

，且任取集合{},i j a a M ?，总存在M 的关联子集A ，使得{}

,i j a a A ?.若12345a a a a a <<<<，求证：12345,,,,a a a a a 是等差数列；

()3集合M 是“独立的”

，求证：存在x M ∈，使得29

4

n n x -+>. 【答案】()1{}2,4,6,8,10是关联的，关联子集有{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，；

{}1,2,3,5,8是独立的；

()2证明见解析； ()3证明见解析

【解析】（1）根据题中所给的新定义，即可求解；

（2）根据题意，{}12345,,,A a a a a =，{}21345 ,,,A a a a a =，{}31245 ,,,A a a a a =，{}41235 ,,,A a a a a =， {}51234 ,,,A a a a a =，进而利用反证法求解；

（3）不妨设集合{}12,,(),5n M a a a n =???≥，*

,1,2,...,i a N i n ∈=，且

12...n a a a <<<.

记{

}

*

,1,i j T t t a a i j j N ==+<<∈，进而利用反证法求解；

【详解】

解:()1{}2,4,6,8,10是“关联的”关联子集有{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，;

{}1,2,3,5,8是“独立的”

()2记集合M 的含有四个元素的集合分别为:

{}12345,,,A a a a a =，{}21345 ,,,A a a a a =，{}31245 ,,,A a a a a =，{}41235 ,,,A a a a a =， {}51234 ,,,A a a a a =.

所以，M 至多有5个“关联子集”.

若{}21345 ,,,A a a a a =为“关联子集”，则{}12345,,,A a a a a =不是 “关联子集”

，否则12a a =

同理可得若{}21345 ,,,A a a a a =为“关联子集”，则34,A A 不是 “关联子集”.

所以集合M 没有同时含有元素25,a a 的“关联子集”，与已知矛盾.

所以{}21345

,,,A a a a a =一定不是“关联子集” 同理{}41235

,,,A a a a a =一定不是“关联子集”. 所以集合M 的“关联子集”至多为135,,A A A .

若1A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素35,a a 的“关联子集”，与已知矛盾；

若3A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素15,a a 的“关联子集”，与已知矛盾；

若5A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素13,a a 的“关联子集”，与已知矛盾；

所以135,,A A A 都是“关联子集”

所以有2534a a a a +=+，即5432a a a a -=-

1524a a a a +=+，即5421a a a a -=-. 1423a a a a +=+，即4321=a a a a --，

所以54433221a a a a a a a a -=-=-=-. 所以12345,,,,a a a a a 是等差数列.

()3不妨设集合{}12,,(),5n M a a a n =???≥，*,1,2,...,i a N i n ∈=，且12...n a a a <<<. 记{

}

*

,1,i j T t t a a i j j N

==+<<∈.

因为集合M 是“独立的”的，所以容易知道T 中恰好有()2

12

n n n C -=

个元素.

假设结论错误，即不存在x M ∈，使得294

n n x -+>

所以任取x M ∈，294n n x -+≤，因为*x ∈N ，所以2

8

4

n n x -+≤

所以22228881134422i j n n n n n n n n

a a -+-+-+-+≤+-=-=+

所以任取t T ∈，232

n n

t -≤+

任取,123t T t ∈≥+=，

所以23,4,,32n n T ??-????+????

，且T 中含有()2

12n n n C -=个元素. (i )若3T ∈，则必有121,2a a ==成立.

因为5n ≥，所以一定有121n n a a a a -->-成立.所以12n n a a --≥.

所以22218822442

n n n n n n n n

a a --+-+-+≤+-=+

*232,2n n T t t t N ??-??=≤≤+∈??????

，284n n a n -+=，218

24n n a n --+-=

所以4T ∈，所以33a =，113n a a a a -+=+n 有矛盾，

(ii )若3T ?，23,4,,32n n T ??

-????+????

而T 中含有()2

12n n n C -=个元素，所以*243,2n n T t t t N ??-??=≤≤+∈??????

所以284n n a n -+=，218

14

n n a n --+-=

因为4T ∈，所以121,3a a ==.

因为222n n T -+∈，所以2222

n n n n a a --+=+

所以22

824

n n a n --+-=

所以123n a a a a -+=+n ，矛盾. 所以命题成立. 【点睛】

本题属于新定义题，考查接受新知识，理解新知识，运用新知识的能力，反证法，等差数列，不等式缩放法，排列组合，本题属于难题.