八年级数学上册全册全套试卷专题练习(解析版)
八年级数学上册全册全套试卷专题练习（解析版）
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．（1）如图1，在Rt△ABC 中，AB AC
=，D、E是斜边BC上两动点，且
∠DAE=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF.
（1）试说明：△AED≌△AFD；
（2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF的度数和DE的长；
（3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D是斜边BC 所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE2的长.
【答案】（1）略（2）∠BCF=90° DE=5 （3）34或130
【解析】
试题分析：()1由ABE AFC
≌，得到AE AF
=，BAE CAF
∠=∠，
45,
EAD
∠=45,
BAE CAD
∴∠+∠=45,
CAF CAD
∴∠+∠=即
45.
DAF
∠=EAD DAF
∠=∠，从而得到.
AED AFD
≌
()2由△AED AFD
≌得到ED FD
=，再证明90
DCF
∠=?，利用勾股定理即可得出结论.
()3过点A作AH BC
⊥于H,根据等腰三角形三线合一得，
1
4.
2
AH BH BC
===
1
DH BH BD
=-=或7,
DH BH BD
=+=求出AD 的长，即可求得2
DE.
试题解析：()1ABE AFC
≌，
AE AF
=，BAE CAF
∠=∠，
45,
EAD
∠=90,
BAC
∠=
45,
BAE CAD
∴∠+∠=
45,
CAF CAD
∴∠+∠=
即45.
DAF
∠=
在AED和AFD中，{
AF AE
EAF DAE
AD AD，
=
∠=∠
=
.
AED AFD
∴≌
()2AED AFD
≌，
ED FD
∴=，
,90.AB AC BAC =∠=?
45B ACB ∴∠=∠=?， 45ACF ，
∠=? 90.BCF ∴∠=?
设.DE x =
,9.DF DE x CD x ===- 3.FC BE ==
222,FC DC DF +=
()2
2239.x x ∴+-=
解得： 5.x = 故 5.DE =
()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得，
1
4.2
AH BH BC ==
= 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+= 22217AD AH DH =+=或65. 22234DE AD ==或130.
点睛：D 是斜边BC 所在直线上一点,注意分类讨论.
2．在ABC 中，AB AC =，点D 在BC 边上，且60,ADB E ∠=?是射线DA 上一动点(不与点D 重合，且DA DB ≠)，在射线DB 上截取DF DE =，连接EF ．
()1当点E 在线段AD 上时，
①若点E 与点A 重合时，请说明线段BF DC =； ②如图2，若点E 不与点A 重合，请说明BF DC AE =+；
()2当点E 在线段DA 的延长线上()DE DB >时，用等式表示线段,,AE BF CD 之间的数
量关系(直接写出结果，不需要证明)．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）BF ＝AE-CD 【解析】 【分析】
（1）①根据等边对等角，求到B C ∠=∠，再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到ADF ?是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到
120AFB ADC ∠=∠=?，推出ABF ACD ??≌，根据全等三角形的性质即可得出结论；
②过点A 做AG ∥EF 交BC 于点G ，由△DEF 为等边三角形得到DA ＝DG ，再推出AE ＝GF ，根据线段的和差即可整理出结论；
（2）根据题意画出图形，作出AG ，由（1）可知，AE=GF ，DC=BG ，再由线段的和差和等量代换即可得到结论． 【详解】 （1）①证明：
AB AC =
B C ∴∠=∠
,60DF DE ADB =∠=?，且E 与A 重合，
ADF ∴?是等边三角形 60ADF AFD ∴∠=∠=? 120AFB ADC ∴∠=∠=? 在ABF ?和ACD ?中
AFB ADC B C
AB AC ∠=∠??
∠=∠??=?
ABF ACD ∴??≌ BF DC ∴=
②如图2，过点A 做AG ∥EF 交BC 于点
G ，
∵∠ADB＝60°DE＝DF
∴△DEF为等边三角形
∵AG∥EF
∴∠DAG＝∠DEF＝60°，∠AGD＝∠EFD＝60°
∴∠DAG＝∠AGD
∴DA＝DG
∴DA－DE＝DG－DF，即AE＝GF
由①易证△AGB≌△ADC
∴BG＝CD
∴BF＝BG＋GF＝CD＋AE
（2）如图3，和（1）中②相同，过点A做AG∥EF交BC于点G，
由（1）可知，AE=GF，DC=BG，
∴+=+==
BF CD BF BG GF AE
=-．
故BF AE CD
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
3．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，他们的运动时间为
t(s).
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由
（2）判断此时线段PC和线段PQ的关系，并说明理由。
（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变，设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存
在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由见解析；
（2）PC=PQ且PC⊥PQ，理由见解析；
（3）存在；
1
1
t
x
=
?
?
=
?
或
2
3
2
t
x
=
?
?
?
=
??
．
【解析】
【分析】
（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ；
（2）由（1）得出PC=PQ，∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；
（3）分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．【详解】
解：（1）如图（1），△ACP≌△BPQ，理由如下：
当t=1时，AP=BQ=1，
∴BP=AC=3，
又∵∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，
AP BQ
A B
AC BP
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
（2）PC=PQ且PC⊥PQ，理由如下：
由（1）可知△ACP≌△BPQ
∴PC=PQ，∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，
∴PC⊥PQ．
（3）如图（2），分两种情况讨论：
当AC=BP，AP=BQ时，△ACP≌△BPQ，则
34t
t xt
=-
?
?
=
?
，
解得
1
1
t
x
=
?
?
=
?
，
当AC=BQ，AP=BP时，△ACP≌△BQP，则，
3
4
xt
t t
=
?
?
=-
?
解得
2
3
2
t
x
=
?
?
?
=
??
综上所述，存在
1
1
t
x
=
?
?
=
?
或
2
3
2
t
x
=
?
?
?
=
??
使得△ACP与△BPQ全等．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，能熟练进行全等的分析判断以及运用分类讨论思想是解题关键．
4．操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．
（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；
（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；
拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．
【答案】（1）见解析；（2）70°；（3）2
【解析】
【分析】
（1）根据SAS证明△BAD≌△CAE即可．
（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）同法可证△BAD≌△CAE，推出EC=BD=4，由∠BEC=∠BAC=120°，推出∠FCE=30°即可解决问题．
【详解】
（1）证明：如图1中，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，
∴∠EAD＝∠CAB，
∴∠EAC＝∠DAB，
∵AE＝AD，AC＝AB，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）解：如图1中，设AC交BE于O．
∵∠ABC＝∠ACB＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABO＝∠ECO，
∵∠EOC＝∠AOB，
∴∠CEO＝∠BAO＝70°，
即∠BEC＝70°．
（3）解：如图2中，
∵∠CAB＝∠EAD＝120°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠BAD＝∠ACE，BD＝EC＝4，
同理可证∠BEC ＝∠BAC ＝120°， ∴∠FEC ＝60°， ∵CF ⊥EF ， ∴∠F ＝90°， ∴∠FCE ＝30°，
∴EF ＝
1
2EC ＝2. 【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．在等边ABC 中，点D 是边BC 上一点.作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为点
E .连接CE 并延长，交射线AD 于点
F . （1）如图，连接AE ，
①AE 与AC 的数量关系是__________； ②设BAF α∠=，用α表示BCF ∠的大小；
（2）如图，用等式表示线段AF ，CF ，EF 之间的数量关系，并证明.
【答案】(1) ①AB=AE ；②∠BCF=α；(2) AF-EF=CF ，理由见详解. 【解析】 【分析】
（1）①根据轴对称性，即可得到答案；
②由轴对称性，得：AE=AB ，∠BAF=∠EAF=α，由ABC 是等边三角形，得AB=AC ，∠BAC=∠ACB=60°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可求解； （2）作∠FCG=60°交AD 于点G ，连接BF ，易证?FCG 是等边三角形，得GF=FC ，再证?ACG ??BCF(SAS)，从而得AG=BF ，进而可得到结论. 【详解】
（1）①∵点B关于射线AD的对称点为点E，∴AB和AE关于射线AD的对称，
∴AB=AE.
故答案是：AB=AE；
②∵点B关于射线AD的对称点为点E，
∴AE=AB，∠BAF=∠EAF=α，
∵ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠EAC=60°-2α，AE=AC，
∴∠ACE=1
180(602)60
2
αα??
--=+
??，
∴∠BCF=∠ACE-∠ACB=60α
+-60°=α.（2）AF-EF=CF，理由如下：
作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF，
∵∠BAF=∠BCF=α，∠ADB=∠CDF，
∴∠ABC=∠AFC=60°，
∴?FCG是等边三角形，
∴GF=FC，
∵ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∴∠ACG=∠BCF=α.
在?ACG和?BCF中，
∵
CA CB
ACG BCF CG CF
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴?ACG??BCF(SAS)，
∴AG=BF，
∵点B关于射线AD的对称点为点E，∴AG=BF=EF，
∵AF-AG=GF，
∴AF-EF=CF.
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.
二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）
6．（问题情境）学习《探索全等三角形条件》后，老师提出了如下问题：如图①，△ABC 中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围．同学通过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.根据SAS可证得到△ADC≌△EDB，从而根据“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
（直接运用）如图②，AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，AF是ACD的边CD上中线.求证：BE=2AF.
（灵活运用）如图③，在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥DF，DE交AC于点E，DF交AB于点F，连接EF，试判断以线段AE、BF、EF为边的三角形形状，并证明你的结论.【答案】（1）2＜AD＜10；（2）见解析（3）为直角三角形，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据△ADC≌△EDB，得到BE=AC=8，再根据三角形的构成三角形得到AE的取值，再根据D为AE中点得到AD的取值；
（2）延长AF到H，使AF=HF，故△ADF≌△HCF，AH=2AF，由AB⊥AC，AD⊥AE，得到
∠BAE+∠CAD=180°，又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，根据∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，得到∠ACH+∠CAD=180°，故∠BAE= ACH，再根据AB=AC，AD=AE即可利用SAS证明
△BAE≌△ACH，故BE=AH,故可证明BE=2AF.
（3）延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，证明△DBF≌△DAG，故得到FD=GD，BF=AG,由DE⊥DF，得到EF=EG,再求出∠EAG=90°，利用勾股定理即可求解.
【详解】
（1）∵△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=8，
∵AB=12，
∴12-8＜AE＜12+8，
即4＜AE＜20，
∵D为AE中点
∴2＜AD＜10；
（2）延长AF到H，使AF=HF，
由题意得△ADF≌△HCF，故AH=2AF，
∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAE+∠CAD=180°，
又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，
∵∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，
∴∠ACH+∠CAD=180°，
故∠BAE= ACH，
又AB=AC，AD=AE
∴△BAE≌△ACH（SAS），
故BE=AH,又AH=2AF
∴BE= 2AF.
（3）以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形，理由如下：延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，
由题意得△DBF≌△ADG，
∴FD=GD，BF=AG,
∵DE⊥DF，
∴DE垂直平分GF,
∴EF=EG,
∵∠C=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
又∠B=∠DAG，
∴∠DAG +∠CAB=90°
∴∠EAG=90°，
故EG2=AE2+AG2，
∵EF=EG, BF=AG
∴EF2=AE2+BF2，
则以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形.
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，根据垂直平分线与勾股定理进行求解.
7．（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．
【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－3
4
∠C或∠ABC＝3∠C
或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．
【解析】
试题分析：（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．
（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．
试题解析：(1)如图①②(共有2种不同的分割法)．
(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D.在△DBC中，
①若∠C是顶角，如图，则∠CBD＝∠CDB＝90°－1
2
x，∠A＝180°－x－y.
故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋1
2
x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，
即180°－x－y＝y－
1
90
2
x
??
-
???
，
∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－3
4
∠C.
②若∠C是底角，
第一种情况：如图，当DB＝DC时，∠DB C＝x.在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x.
若AB＝AD，则2x＝y－x，此时有y＝3x，
∴∠ABC＝3∠C.
若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C.
若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．
第二种情况：如图，
当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能有AD＝
BD，∴∠A＝∠ABD＝1
2
∠BDC＝1
2
∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．
∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．
综上所述，∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－3
4
∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝
180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题．
8．在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA(如图1)．
(1)求证：∠BAD=∠EDC；
(2)若点E关于直线BC的对称点为M(如图2)，连接DM，AM．求证：DA=AM．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，得出∠BAC=∠ACB=60°，然后根据三角形的内角和和外角性质，进行计算即可.
（2）根据轴对称的性质，可得DM=DA，然后结合（1）可得∠MDC=∠BAD，然后根据三角形的内角和，求出∠ADM=60°即可.
【详解】
解：(1)如图1，
∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠BAD =60°﹣∠DAE ，∠EDC =60°﹣∠E ， 又∵DE =DA ， ∴∠E =∠DAE ， ∴∠BAD =∠EDC ．
(2)由轴对称可得，DM =DE ，∠EDC =∠MDC ， ∵DE =DA ， ∴DM =DA ，
由(1)可得，∠BAD =∠EDC ， ∴∠MDC =∠BAD ，
∵△ABD 中，∠BAD +∠ADB =180°﹣∠B =120°， ∴∠MDC +∠ADB =120°， ∴∠ADM =60°， ∴△ADM 是等边三角形， ∴AD =AM ． 【点睛】
本题主要考察了轴对称和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质.
9．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段．．．．叫做这个三角形的三分线.
（1）图①是顶角为36?的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36?的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）；
（2）图③是顶角为45?的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45?的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数.
（3）ABC 中，30B ∠=?，AD 和DE 是ABC 的三分线，点D 在BC 边上，点E 在
AC 边上，且AD BD =，DE CE =，设c x ∠=?，则x 所有可能的值为_________. 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）20或40.
【解析】 【分析】
(1)作底角的平分线，再作底边的平行线，即可得到三分线；
(2)过底角定点作对边的高，形成一个等腰直角三角形和一个直角三角形，然后再构造一个等腰直角三角形，即可.
(3)根据题意，先确定30°角然后确定一边为BA ，一边为BC ，再固定BA 的长，进而确定D 点，分别考虑AD 为等腰三角形的腰和底边，画出示意图，列出关于x 的方程，即可得到答案. 【详解】 （1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）①当AD=AE 时，如图4， ∵DE CE =，c x ∠=?， ∴∠EDB=x °， ∴∠ADE=∠AED=2x °， ∵AD BD =， ∴∠BAD=∠B=30°， ∴30+30=2x+x ， 解得：x=20；
②当AD=DE 时，如图5， ∵DE CE =，c x ∠=?， ∴∠EDB=x °， ∴∠DAE=∠AED=2x °，
∵AD BD
=，
∴∠BAD=∠B=30°，∴30+30+2x+x=180，解得：x=40.
③当AE=DE时，则∠EAD=∠EDA=1802
(90)
2
x
x
-
=-，
∴∠ADC=∠EDA+∠EDC=(90-x)+x=90°
又∵∠ADC=30+30=60°，
∴这种情况不存在.
∴x所有可能的值为20或40.
故答案是：20或40
图4 图5
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理的综合应用，分类讨论，画出图形，是解题的关键.
10．如图1，△ABD，△ACE都是等边三角形，
（1）求证：△ABE≌△ADC；
（2）若∠ACD=15°，求∠AEB的度数；
（3）如图2，当△ABD与△ACE的位置发生变化，使C、E、D三点在一条直线上，求证：AC∥BE．
【答案】(1)见解析(2) ∠AEB=15°(3) 见解析
【解析】
试题分析：（1）由等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，即可得∠DAC=∠BAE，利用SAS即可判定△ABE≌△ADC；（2）根据全等三角形的性质即可求
解；（3）由（1）的方法可证得△ABE≌△ADC，根据全等三角形的性质和等边三角形的性质可得∠AEB=∠ACD =60°，即可得∠AEB=∠EAC，从而得AC∥BE．
试题解析：
（1）证明：∵△ABD，△ACE都是等边三角形
∴AB=AD，AE=AC，
∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中，
∴，
∴△ABE≌△ADC；
（2）由（1）知△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，
∵∠ACD=15°，
∴∠AEB=15°；
（3）同上可证：△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，
又∵∠ACD=60°，
∴∠AEB=60°，
∵∠EAC=60°，
∴∠AEB=∠EAC，
∴AC∥BE．
点睛：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，证得△ABE≌△ADC 是解决本题的关键.
三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
11．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
(1)上述分解因式的方法是，共应用了次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004，则需应用上述方法次，结果是 .
(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数).
【答案】（1）提公因式，两次；（2）2004次，（x＋1）2005；(3) (x＋1)1n
【解析】
【分析】
（1）根据已知材料直接回答即可；
（2）利用已知材料进而提取公因式（1+x），进而得出答案；
（3）利用已知材料提取公因式进而得出答案． 【详解】
（1）上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了2次． 故答案为提公因式法，2次；
（2）1+x+x （x+1）+x （x+1）2+…+ x (x +1)2004， =（1+x ）[1+x+x （1+x ）+…+ x (x +1)2003] ? =
22003(1)
(1)(1)(1)
(1)
x x x x x +++++个
=（1+x ）2005，
故分解1+x+x （x+1）+x （x+1）2+…+ x (x +1)2004，，则需应用上述方法2004次，结果是：（x+1）2005．
（3）分解因式：1+x+x （x+1）+x （x+1）2…+x （x+1）n （n 为正整数）的结果是：（x+1）
n+1
．
故答案为（x+1）n+1． 【点睛】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
12．探究
阅读材料：“若x 满足()()806030x x --=，求()()2
2
8060x x -+-的值”
解：设()80x a -=，()60x b -=，
则()()806030x x ab --==，()()806020a b x x +=-+-=， 所以()()2
2
228060x x a b -+-=+()2
2220230340a b ab =+-=-?=. 解决问题：
（1）若x 满足()()451520x x --=-，求()()2
2
4515x x -+-的值.
（2）若x 满足()()2
2
202020184040x x -+-=，求()()20202018x x --的值.
（3）如图，正方形ABCD 的边长为x ，20AE =，30CG =，长方形EFGD 的面积是700，四边形NGDH 和MEDQ 都是正方形，PQDH 是长方形，求图中阴影部分的面积
（结果必须是一个具体的数值）.
【答案】（1）940；（2）2018；（3）2900 【解析】 【分析】
（1）根据材料提供的方法进探究，设（45-x ）=a ，（x-15）=b ，则有
()()451520x x ab --==-，()()4515=30a b x x +=-+-，据此即可求出
()()
2
2
4515x x -+-的值；
（2）（2020-x ）=m ，（ x-2018）=n ，则
()()
22
22202020184040,2x x m n m n -+-=+=+=，则可求出()()
20202018x x --的值；
（3）根据题意知S 四EFGD =（x-20）（x-30）=700，知S 正MEDQ =（x-20）2，S 正DHNG =（x-30）
2
，S 四PQDN =（x-20）（x-30）=700,设x-20=a ，30-x=b ，则有-ab=700，据此即可求出阴影部
分的面积. 【详解】
解：（1）设（45-x ）=a ，（x-15）=b ，
则有()()451520x x ab --==-，()()4515=30a b x x +=-+- ∴()()()()2
2
2
2224515=230220940x x a b a b ab -+-+=+-=-?-=； （2）（2020-x ）=m ，（ x-2018）=n ，则
()()
22
22202020184040,2x x m n m n -+-=+=+=
∴()()20202018x x --=-()()20202018x x --
()
()2
22+-44040
-20182
2
m n m n mn +-=
=
= ∴()()20202018x x --=-mn=2018； （3）根据题意知
S 四EFGD =（x-20）（x-30）=700，S 正MEDQ =（x-20）2，S 正DHNG =（x-30）2，S 四PQDN =（x-20）（x-30）=700 设x-20=a ，30-x=b ， ∴-ab=700，
∴()()()()2
2
2
222302021027001500x x a b a b ab -+-=+=+-=-?-= ∴S 阴影=1500+700+700=2900
故答案为：（1）940；（2）2018；（3）2900 【点睛】
本题考查完全平方公式，换元法等知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，熟练掌握完全平方公式．