2008年四川省成都市中考数学试卷及解析
成都市二00八年高中阶段教育学校统一招生考试试卷
(含成都市初三毕业会考)
数学
全卷分A卷和B卷,A卷满分100分,B卷满分50分；考试时间120分钟.A卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷,第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ为其它类型的题.
A卷(共100分)
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
注意事项:
1.第Ⅰ卷共2页.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在试卷和答题卡上.考试结束,监考人员将试卷和答题卡一并收回.
2.第Ⅰ卷全是选择题.各题均有四个选项,只有一项符合题目要求.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,选择题的答案不能答在试卷上.请注意机读答题卡的横竖格式.
一、选择题:(每小题3分,共30分)
1. 2cos45°的值等于
（A
2 2
(B)2
2
4(D)22
2.化简( - 3x2)·2x3的结果是
（A）- 6x5(B)- 3x5 (C)2x5 (D)6x5
3.北京奥运会火炬传递以“和谐之旅”为主题,以“点燃激情传递梦想”为口号进行,其传递总路程约为1370000千米,这个路程用科学计数法表示为
(A)13.7×104千米(B)13.7×105千米
(C)1.37×105千米(D)1.37×106千米
4.用若干个大小相同,棱长为1的小正方体搭成一个几何体模型,其三视图如图所示,则搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
5.下列事件是必然事件的是
（A）打开电视机,任选一个频道,屏幕上正在播放天气预报
（B）到电影院任意买一张电影票,座位号是奇数
（C）在地球上,抛出去的篮球会下落
（D）掷一枚均匀的骰子,骰子停止转动后偶数点朝上
6.在函数3
x 中,自变量x的取值范围是
（A）x≥- 3 (B)x≤- 3 (C)x≥3 (D )x≤3
7. 如图,在△ABC 与△DEF 中,已有条件AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF,不能添加的一组条件是
（A ）∠B=∠E,BC=EF (B)BC=EF,AC=DF (C)∠A=∠D,∠B=∠E (D)∠A=∠D,BC=EF
8. 一交通管理人员星期天在市中心的某十字路口,对闯红灯的人次进行统计,根据上午7∶00 ~ 12∶00中各时间段(以1小时为一个时间段)闯红灯的人次,制作了如图所示的条形统计图,则各时间段闯红灯人次的众数和中位数分别为
(A)15,15 (B)10,15 (C)15,20 (D)10,20
9. 如图,小红同学要用纸板制作一个高4cm,底面周长是6πcm 的圆锥形漏斗模型,若不计接缝和损耗,则她所需纸板的面积是
(A)12πcm 2 (B)15πcm 2 (C)18πcm 2 (D)24πcm 2
10. 有下列函数:①y = - 3x ；②y = x – 1:③y = -
x
1
(x < 0)；④y = x 2 + 2x + 1.其中当x 在各自的自变量取值范围内取值时,y 随着x 的增大而增大的函数有
(A)①② (B)①④ (C)②③ (D)③④
第Ⅱ卷(非选择题,共70分)
注意事项:
1. A 卷的第Ⅱ卷和B 卷共10页,用蓝、黑钢笔或圆珠笔直接答在试卷上.
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚. 二、填空题:(每小题4分,共16分) 将答案直接写在该题目中的横线上.
11. 现有甲、乙两支排球队,每支球队队员身高的平均数均为 1.85米,方差分别为
2甲S =0.32,2乙S =0.26,则身高较整齐的球队是 队.
12. 已知x = 1是关于x 的一元二次方程2x 2 + kx – 1 = 0的一个根,则实数k
的值是
. 13. 如图,已知PA 是⊙O 的切线,切点为A,PA = 3,∠APO = 30°,那么OP = .
14. 如图,在平面直角坐标系中,△PQR 是△ABC 经过某种变换后得到的图形,观察点A 与点P,点B 与点Q,点C 与点R 的坐标之间的关系.在这种变换下,如果△ABC 中任意一点M 的坐标为(x,y),那么它们的对应点N 的坐标是 .
三、(第15题每小题6分,第16题6分,共18分) 15. 解答下列各题:
(1)计算:231)2008(41
-+??
?
??--+- .
(2)化简:).4(2)12(22
-?-+
-x x
x x
x x 16. 解不等式组??
?
??+-≤>+,232
,01x x x 并写出该不等式组的最大整数解. 四、(每小题8分,共16分)
17. 如图,某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动,他们要在某公园人工湖旁的小山AB 上,测量湖中两个小岛C 、D 间的距离.从山顶A 处测得湖中小岛C 的俯角为60°,测得湖中小岛D 的俯角为45°.已知小山AB 的高为180米,求小岛C 、D 间的距离.(计算过程和结果均不取近似值)
18. 如图,已知反比例函数y =
x
m
的图象经过点A(1,- 3),一次函数y = kx + b 的图象经过点A 与点C(0,- 4),且与反比例函数的图象相交于另一点B. (1)试确定这两个函数的表达式； (2)求点B 的坐标.
五、(每小题10分,共20分)
19. 一不透明纸箱中装有形状、大小、质地等完全相同的4个小球,分别标有数字1,2,3,4. (1)从纸箱中随机地一次取出两个小球,求这两个小球上所标的数字一个是奇数另一个是偶数的概率；
(2)先从纸箱中随机地取出一个小球,用小球上所标的数字作为十位上的数字；将取出的小球放回后,再随机地取出一个小球,用小球上所标的数字作为个位上的数字,则组成的两位数恰好能被3整除的概率是多少？试用树状图或列表法加以说明.
20. 已知:在梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB = DC,E 、F 分别是AB 和BC 边上的点.
(1)如图①,以EF 为对称轴翻折梯形ABCD,使点B 与点D 重合,且DF ⊥BC.若AD =4,BC=8,求梯形ABCD 的面积ABCD S 梯形的值；
(2)如图②,连接EF 并延长与DC 的延长线交于点G,如果FG=k ·EF(k 为正数),试猜想BE 与CG 有何数量关系？写出你的结论并证明之.
B 卷 (共50分)
一、填空题:(每小题4分,共20分) 将答案直接写在该题目中的横线上. 21. 已知y =
31x – 1,那么3
1
x 2 – 2xy + 3y 2 – 2的值是 . 22. 某农场租用播种机播种小麦,在甲播种机播种2天后,又调来乙播种机参与播种,直至完成
800亩的播种任务,播种亩数与天数之间的函数关系如图所示,那么乙播种机参与播种的天数是 .
23. 如图,已知点A 是锐角∠MON 内的一点,试分别在OM 、ON 上确定点B 、点C,使△ABC 的周长最小.写出你作图的主要步骤并标明你所确定的点 (要求画出草图,保留作图痕迹)
24. 如果m 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,n 是从0,1,2三个数中任取的一个数,那么关于
x 的一元二次方程x 2 – 2mx + n 2 = 0有实数根的概率为 .
25. 如图,已知A 、B 、C 是⊙O 上的三个点,且AB=15cm,AC=33cm,∠BOC=60°.如果D 是线段BC 上的点,且点D 到直线AC 的距离为2,那么BD= cm.
二、(共8分)
26. 金泉街道改建工程指挥部,要对某路段工程进行招标,接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知:甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的
3
2；若由甲队先做10天,剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成. (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为0.84万元,乙队每天的施工费用为0.56万元.工程预算的施工费用为50万元.为缩短工期以减少对住户的影响,拟安排甲、乙两队合作完成这项工程,则工程预算的施工费用是否够用？若不够用,需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由. 三、(共10分)
27. 如图,已知⊙O 的半径为2,以⊙O 的弦AB 为直径作⊙M,点C 是⊙O 优弧AB 上的一个动点(不与点A 、点B 重合).连结AC 、BC,分别与⊙M 相交于点D 、点E,连结DE.若AB=23. (1)求∠C 的度数； (2)求DE 的长； (3)如果记tan ∠ABC=y,AD
DC
=x(0 四、(共12分) 28. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,△OAB 的顶点Ａ的坐标为(10,0),顶点B 在第一象限内,且AB 5∠5 (1)若点C 是点B 关于x 轴的对称点,求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式； (2)在(1)中,抛物线上是否存在一点P,使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由； (3)若将点O 、点A 分别变换为点Q( -2k ,0)、点R(5k,0)(k>1的常数),设过Q 、R 两点,且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N,其顶点为M,记△QNM 的面积为 QMN S ?,△QNR 的面积QNR S ?,求QMN S ?∶QNR S ?的值. 成都市二○○八年高中阶段教育学校统一招生考试试卷 (含成都市初三毕业会考) 数学参考答案及评分意见 A 卷(共100分) 第Ⅰ卷(共30分) 一、选择题:(每小题4分,共30分) 1.B; 2.A; 3.D; 4.B; 5.C; 6.C; 7;D 8.A; 9.B; 10.C. 第Ⅱ卷(共70分) 二、填空题:(每小题4分,共16分) 11. 乙 12. -1； 13. 23 14.(-x, -y). 三、(第14题每小题6分,第16题6分,共18分) 15.(1)解:原式=2+1-3+2 ……4分 =2 ……2分 (2)解:原式=2x-1+ (2)(2)(2) x x x x x +-- ……4分 =2x-1+x+2 =3x+1 ……2分 16.解:解不等式x+1＞0,得x ＞-1 ……2分 解不等式x ≤ 2 23 x -+,得x ≤2 ……2分 ∴不等式得解集为-1＜x ≤2 ……1分 ∴该不等式组的最大整数解是2 ……1分 四、(每小题8分,共16分) 17.解:如图,由已知,可得 ∠ACB=60°, ∠ADB=45°. ……2分 ∴在Rt △ABD 中,BD=AB. 又在Rt △ABC 中,∵tan60°= AB BC , ∴ AB BC 3,即BC=33AB. ∵BD=BC+CD, ∴AB= 3 3 AB+CD. ……3分 ∴CD=AB- 33AB=180-180?33 =180-603米).……2分 答:小岛C 、D 之间得距离为180-3. ……1分 18．解:(1)∵反比例函数m y x =的图像经过点A(1,3), ∴31 m -= ,即m=-3. ∴反比例函数得表达式为3 y x =- . ……3分 ∵一次函数y=kx+b 的图像经过A(1,-3)、C(0,-4), ∴ 3,4.k b b +=-??=-?解得1, 4.k b =??=-? ∴一次函数的表达式为y=x-4 ……3分 (2)由3,4 y x y x ? =-???=-?消去y,得x 2 -4x+3=0. 即(x-1)(x-3)=0. ∴x=1或x=3. 可得y=-3或y=-1. 于是1, 3x y =?? =-? 或3,1.x y =??=-? 而点A 的坐标是(1,-3), ∴点B 的坐标为(3,-1). ……2分 五、(每小题10分,共20分) 19.解:(1)从纸箱中随机地一次取出两个小球,所标数字的所有可能结果有: (1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)、(3,4),共6种； 而所标数字一个是奇数另一个是偶数的有4种. ……3分 ∴ 42 . 63 p==……2分 (2)画树状图: 或用列表法 第二次 第一次 1 2 3 4 1 (11) (12) (13) (14) 2 (21) (22) (23) (24) 3 (31) (32) (33) (34) 4 (41) (42) (43) (44) ……3分所有可能出现的结果共有16种,其中能被3整除的有5种. ∴ 5 . 16 p=……2分 20.(1)解:由题意,有△BEF≌△DEF. ∴BF=DF. ……1分 如图,过点A作AG⊥BG于点G. 则四边形AGFD是矩形. ∴AG=DF,GF=AD=4. 在Rt△ABG和Rt△DCF种, ∵AB=DC,AG=DF, ∴Rt△ABG≌Rt△DCF.(HL) ∴BG=CF. ……2分 ∴BG= 1()2BC GF -=1 (84)2 -=2. ∴DF=BF=BG+GF=2+4=6. ……2分 ∴S 梯形ABCD = 11 ()(48)63622 AD BC DF +=?+?=. ……1分 (2)猜想:CG=k BE (或1 BE CG k =). ……1分 证明:如图,过点E 作EH ∥CG,交BC 于点H. 则∠FEH=∠FGC. 又∠EFH=∠GFC, ∴△EFH ∽△GFC. ∴ ,EF EH GF GC = 而FG=k EF,即GF k EF =. ∴1EH GC k = 即.CG k EH = ……1分 ∵EH ∥CG, ∴∠EHB=∠DCB. 而ABCD 是等腰梯形,∴∠B=∠DCB. ∴∠B=∠EHB.∴BE=EH. ∴CG=k BE ……1分 B 卷(共50分) 一、 填空题:(每小题4分,共20分) 21．1； 22. 4天； 23. 分别作点A 关于OM 、ON 的对称点A ’、A ’’;连接A ’ A ’’,分别交OM 、ON 于点B 、点C,则点B 、点C 即为所求.(2分)如图所示(2分)； 24. 3 4 ；1113. 二、(共8分) 26.解:(1)设乙队单独完成这项工程需要x 天,则甲队单独完成这项工程需要2 3 x 天. 根据题意,得 10 1130 1.2233x x x ?? ?++= ? ??? 解得x=90. 经检验,x=90是原方程的根. ……3分 ∴ 22 9060.33 x =?= 答:甲、乙两队单独完成这项工程需要60天和90天. ……1分 (2)设甲、乙两队合作完成这项工程需要y 天,则有 1 116090y ??+= ??? 解得y=36. ……2分 需要施工费用:36×(0.84+0.56)=50.4(万元). ……1分 ∵50.4＞50, ∴工程预算的施工费用不够用,需追加预算0.4万元. ……1分 三、(共10分) 27.解:(1)连结OB 、OM. 则在Rt △OMB 中, ∵3 ∴OM=1. ∵OM= 1 2 OB , ∴∠OBM=30°. ∴∠MOB=60°. 连结OA.则∠AOB=120°. ∴ ∠C= 1 2 ∠AOB=60°. [或:延长BO 与⊙O 相交与点F,连结AF.则有∠ACB=∠AFB,且 ∠FAB=90°.在Rt △ABF 中,∵BO=2, ∴BF=2BO=2×2=4. 又sin ∠AFB= 233 ,42 AB BF ==∴∠AFB=60°. ∵∠AFB=∠ACB, ∴∠C=60°.] (2)在△CDE 和△CBA 中, ∵∠CDE=∠CBA, ∠ECD=∠ACB,∴△CDE ∽△CBA , ∴ DE DC AB BC = , 连结BD.则∠BDC=∠ADB=90°. 在Rt △BCD 中, ∵∠BCD=60°, ∴∠CBD=30°. ∴BC=2DC. ∴ 1.2DC BC =即1 .2DE AB = ∴DE=12AB =1 23 3.2 ?= ……3分 [或:∵点C 在AB 上移动,∴∠C 恒为60°,DE 长始终不变.当点C 移动到BO 延长线与⊙O 交点处时,可求得DE=AB ·sin30°=1 23 3.2 =] (3)连结AE. ∵AB 是⊙M 的直径,∴∠AEB=∠AEC=90°. 由 ,AD x DC =可得AD=x ·DC,AC=AD+DC=(x+1)·DC. 在Rt △ACE 中,∵cos ∠ACE=,CE AE sin ∠ACE=,AE AC ∴CE=AC ·cos ∠ACE=(x+1)·DC ·cos60°=1 (1);2 x DC + AE=AC ·sin ∠ACE=(x+1)·DC ·sin60° 1).x DC + 又由(2),知BC=2DC. ∴BE=BC-CE=11 2(1)(3).22 DC x DC x DC -+=- ……3分 在Rt △ABE 中,tan ∠ABC=(1)3(21(3)2 x DC AE BE x DC +==- ∴y = (0＜x ＜3). ……1分 【或:由(2),知△CDE ～△CBA,∴ .DC CE DE BC AC AB == 又由(2),知 1,2DE AB = ∴BC=2DC,CE=1 .2 AC 连结AE.在Rt △ ACE 中,由勾股定理,得 .AE AC === 又 ,AD x DC =即 1 .11 AC x AC x DC DC +=?= 而2tan 122 AC AE AE y ABE BE BC CE DC AC =∠===-- 3 33(1)3(1)2124121 x x DC AC x ++==== --+＜x ＜3). 】 四、(共12分) 28.解:(1)如图,过点B 作BD ⊥OA 于点D. 在Rt △ABD 中, ∵∣AB ∣=35,sin ∠5 ∴∣BD ∣=∣AB ∣·sin ∠OAB =35× 5 5 =3. 又由勾股定理,得 2 2 AD AB B D = - 2 2 (35)36=-= ∴∣OD ∣=∣OA ∣-∣AD ∣=10-6=4. ∵点B 在第一象限,∴点B 的坐标为(4,3). ……3分 设经过O(0,0)、C(4,-3)、A(10,0)三点的抛物线的函数表达式为 y=ax 2 +bx(a ≠0). 由1,164381001005. 4 a a b a b b ?=?+=-?????+=??=-?? ∴经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式为215 .84 y x x = - ……2分 (2)假设在(1)中的抛物线上存在点P,使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形 ①∵点C(4,-3)不是抛物线215 84 y x x = -的顶点, ∴过点C 做直线OA 的平行线与抛物线交于点P 1 . 则直线CP 1的函数表达式为y=-3. 对于215 84 y x x = -,令y=-3?x=4或x=6. ∴1212 4,6, 3; 3.x x y y ==???? =-=-?? 而点C(4,-3),∴P 1(6,-3). 在四边形P 1AOC 中,CP 1∥OA,显然∣CP 1∣≠∣OA ∣. ∴点P 1(6,-3)是符合要求的点. ……1分 ②若AP 2∥CO.设直线CO 的函数表达式为1.y k x = 将点C(4,-3)代入,得1134 3..4 k k =-∴=- ∴直线CO 的函数表达式为3.4 y x =- 于是可设直线AP 2的函数表达式为13 .4 y x b =-+ 将点A(10,0)代入,得315.42 x - + ∴直线AP 2的函数表达式为315 .42 y x =-+ 由22315.42 46001584y x x x y x x ? =-+???--=? ?=-?? ,即(x-10)(x+6)=0. ∴121210,6 0;12; x x y y ==-??? ? ==?? 而点A(10,0),∴P 2(-6,12). 过点P 2作P 2E ⊥x 轴于点E,则∣P 2E ∣=12. 在Rt △AP 2E 中,由勾股定理,得 220.AP = == 而∣CO ∣=∣OB ∣=5. ∴在四边形P 2OCA 中,AP 2∥CO,但∣AP 2∣≠∣CO ∣. ∴点P 2(-6,12)是符合要求的点. ……1分 ③若OP 3∥CA,设直线CA 的函数表达式为y=k 2x+b 2 将点A(10,0)、C(4,-3)代入,得 222222 1100,243 5. k b k k b b ?+==???? +=-??=-? ∴直线CA 的函数表达式为1 5.2y x = - ∴直线OP 3的函数表达式为1 2 y x = 由2212 140,1584y x x x y x x ?=???-=? ?=-?? 即x(x-14)=0. ∴12120,14, 0;7. x x y y ==??? ? ==?? 而点O(0,0),∴P 3(14,7). 过点P 3作P 3E ⊥x 轴于点E,则∣P 3E ∣=7. 在Rt △OP 3E 中,由勾股定理,得 22 22337147 5.OP P F OF = +=+= 而∣CA ∣=∣AB ∣=35. ∴在四边形P 3OCA 中,OP 3∥CA,但∣OP 3∣≠∣CA ∣. ∴点P 3(14,7)是符合要求的点. ……1分 综上可知,在(1)中的抛物线上存在点P 1(6,-3)、P 2(-6,12)、P 3(14,7), 使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形. ……1分 (3)由题知,抛物线的开口可能向上,也可能向下. ①当抛物线开口向上时,则此抛物线与y 轴的副半轴交与点N. 可设抛物线的函数表达式为 (2)(5)y a x k x k =+-(a ＞0). 即2 2 310y ax akx ak =-- 22349 ().24 a x k ak =-- 如图,过点M 作MG ⊥x 轴于点G. ∵Q(-2k,0)、R(5k,0)、G(3,02k ?? ??? 、N(0,-10ak 2)、M 2349,,24k ak ?? - ??? ∴32,7,,2QO k QR k OG k === 22749 ,10,.24 QG k ON ak MG ak === 2311 71035.22 QNR S QR ON k ak ak ∴= =??= 111 ()222QO ON ON GM OG QG GM = ++-2222114931749 210(10)2242224k ak ak ak k k ak =??+?+?-?? 314949 (291537).288 ak =++? -? ∴33 21:():(35)3:20.4 QNM QNR S S ak ak == ……2分 ②当抛物线开口向下时,则此抛物线与y 轴的正半轴交于点N, 同理,可得:3:20.QNM QNR S S = ……1分 综上所知,:QNM QNR S S 的值为3:20. ……1分