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【人教A版】高中数学：必修2课本例题习题改编(含答案)

版人教A 版必修2课本例题习题改编

湖北省安陆市第一高级中学伍海军 597917478@https://www.sodocs.net/doc/b113557727.html,

1.原题（必修2第15页练习第4题）如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．

改编如图是一个几何体的三视图（单位：cm ）（Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；

（Ⅲ）设异面直线AA '与BC '所成的角为θ，求cos θ．

解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图23－2所示．（Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．

由于底面ABC ?的高为1，所以2

112AB =+=．

故所求全面积22ABC BB C C ABB A S S S S ''''?=++

2(cm )．

22132232862

=???+?+??=+这个几何体的体积121332

ABC V S BB ?'=?=???=3

(cm )

（Ⅲ）因为//AA BB ''，所以AA '与BC '所成的角是B BC ''∠．

在Rt BB C ''?中，22223213BC BB B C ''''=

+=+=，故3

cos 131313

BB BC θ'=

=='．正视图侧视图

俯视图

A 正视图

侧视图

A '

B '

A B

A '

B '

C '

A '

C '

O O

O '

22.原题（必修2第28页例3）如图，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．改编1 如图，已知几何体的三视图（单位：cm ）．（Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）；（Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积．解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示．（Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱（底面半径为1cm ，高为2cm ），它的上部

是一个圆锥（底面半径为1cm ，母线长为2cm ，高为

cm ）．

所以所求表面积21212127S ππππ=?+??+?

?=2

(cm )，

所求体积2

112123V πππ=??+??=+

3(cm )．

3.原题（必修2第30页习题1.3B 组第三题其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，并探讨它们体积之间的关系。

改编已知直角三角形ABC ，其三边分为c b a ,,,（c b a >>）.在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为321和

321,,V V V ,则它们的关系为 ( )

A .321S S S >>, 321V V V >>

B .321S S S <<, 321V V V <<

C .321S S S >>, 321V V V ==

D .321S S S <<, 321V V V == 解：a a bc V c b a bc S 211)(31),)((

ππ=+=,22223

,bc V c ac S πππ=+= , c b V b ab S 23233

,πππ=+=, 选B.

4.原题（必修2第32页图像）改编如图几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得，现用一个竖直的平面截这个几何体，所得截面可能是：

O 正视图侧视图

俯视图

解：切面过轴线为（1），否则是圆锥曲线为（4）．本题以立体几何组合体为背景，其实运用圆锥曲线数学模型．答案（1）、（4）．

5.原题（必修2第37页复习参考题B 组第三题）

改编1 如右上图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么这六条面对角线所在直线中，所成的角为 60的直线共有 12 对.

改编2 如图正方体中，o ，1o 为底面中心，以1oo 所在直线为旋转轴，线段1BC 形成的几

何体的正视图为（）

解：选项A 、B 、D

中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的

(1)

(2)(3)

(4)

A 1

(A)(B)(C)

(D)

侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线.即A 、B 、D 不可能，故选C .

6.原题（必修2第37页复习参考题B 组第三题）你见过如图所示的纸篓吗？仔细观察它的几何结构，可以发现，它可以由多条直线围成，你知道它是怎么形成的吗？

改编如图所示的纸篓，观察其几何结构，可以看出是由许多条直线围成的旋转体，该几何体的正视图为（）

解：选项A 、B 、D 中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线。即A 、B 、D 不可能，故选C .

7.原题（必修2第59页例3）改编设四棱锥P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α （） A ．不存在 B ．只有1个 C ．恰有4个 D ．有无数多个解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m 、n, 直线 m 、n 确定了一个平面 β．作与 β 平行的平面 α, 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面 α 有无数多个．答案：D.

8.原题（必修2第62页习题2.2A 组第八题）如图，直线AA 1，BB 1，CC 1相交于点O ，AO=A 1O ，BO=B 1O ，CO=C 1O ，求证：平面ABC ∥平面A 1B 1C 1.

改编如图，直线AA 1、BB 1、CC 1相交于点O ，AO=A 1O ，BO=B 1O ，CO=C 1O ，形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥，设三棱锥高均为1，若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体，若液体流入下面的三棱锥，则液体高度为_______。

解：液体部分的体积为三棱锥体积的1

8，流下去后，液体上方空出三棱锥的体积为三棱锥体积的

，设空出三棱锥的高为x ，则331x =8

7，所以，x=273,液面高度为1 27

(A)(B)(C)(D)

A 1

B 1

C 1

(1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH 所在四边形的面积为定值； (4)棱A 1D 1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时，是定值.

(1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH 所在四边形的面积为定值； (4)棱A 1D 1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时，是定值；(6)当容器任意倾斜时, 水面可以是六边形；(7)当容器任意倾斜时, 水面可以是五边形.

（1）（2）（3）解：（1），（2），（4），（5），（6），（7）.

（6）（7）

10.原题（必修2第79页复习参考题A 组第十题）如图，已知平面,αβ，且,,,,AB PC PD C D αβαβ=⊥⊥是垂足，试判断直线AB 与CD 的位置关系？并证明你的结论. 改编如图，已知平面,αβ，且,,,,AB PC PD C D α

βαβ=⊥⊥是垂足．

（Ⅰ）求证：AB ⊥平面PCD ；

（Ⅱ）若1,PC PD CD ===α与平面β的位置关系，并证明你的结论．

BF BE ?BF BE

解：（Ⅰ）因为,PC AB αα⊥?，所以PC AB ⊥．同理PD AB ⊥．又PC PD P =，故AB ⊥平面

PCD ．

（Ⅱ）设AB 与平面PCD 的交点为H ，连结CH 、DH ．因为AB ⊥平面PCD ，所以

,AB CH AB DH ⊥⊥，所以CHD ∠是二面角C AB D --的平面角．

又1,PC PD CD ===所

以

2222CD PC PD =+=，即0

90CPD ∠=．在平面四边形PCHD 中，

090PCH PDH CPD ∠=∠=∠=，所以090CHD ∠=．故平面α⊥平面β．

11.原题（必修2第90页习题3.2B 组第一题）已知点)2,5(),2,2(-N M ,点P 在x 轴上，且MPN ∠为直角,求点P 的坐标.

改编：已知点)2,5(),2,2(-N M ,P 在x 轴上，若MPN ∠为锐角，则点P 的横坐标的取值范围是

________

解：用向量的数量积判别：0>MP ，易求答案为6>m 或1

12.原题（必修2 第100页习题3.2 A 组第三题）已知)4,7(-A ，)6,5(-B ，求线段AB 的垂直平分线的方程.

改编1 已知)4,7(-A 关于直线l 的对称点为)6,5(-B ，则直线l 的方程是（） A.01165=-+y x B.0156=--y x C.01156=-+y x D.0165=+-y x 解：依题意得，直线l 是线段AB 的垂直平分线.∵6

-=AB k ，∴561=-=AB l k k ，∵AB 的中点为（1，1），∴直线l 的方程是)1(5

1-=

-x y 即0156=--y x ，故选（B ）. 改编2 已知圆16)4()7(2

=++-y x 与圆16)6()5(2

=-++y x 关于直线l 对称，则直线l 的方程是 .

解：依题意得，两圆的圆心)4,7(-A 与)6,5(-B 关于直线l 对称，故直线l 是线段AB 的垂直平分线，由改编1可得直线l 的方程为0156=--y x .

改编3 求点)4,7(-A 关于直线0156:=--y x l 的对称点B 的坐标.

解：设),(y x B .由l AB ⊥，且AB 的中点在直线l 上，得???

????=--?-+?-=?-+0

124527615

74y x x y ，解得???=-=65y x ，

∴)6,5(-B .

13.原题（必修2第100页习题3.2A 组第九题）求过点)3,2(P ，并且在两轴上的截距相等的直线方程. 改编1 求过点)3,2(P ，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是 . 解：依题意，直线的斜率为1或直线经过原点，∴直线的方程为23-=-x y 或x y 2

=，即01=+-y x 或023=-y x .

改编2 直线l 经过点)3,2(P ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l 的方程.

解:依题意，直线l 的斜率为±1，∴直线l 的方程为23-=-x y 或)2(3--=-x y ，即01=+-y x 或05=-+y x .

14.原题（必修2第101页习题3.2B 组第五题）若直线l 沿x 轴向左平移3个单位，再沿y 轴向上平移1个单位后，回到原来的位置，试求直线l 的斜率.

改编：若直线l 沿x 轴向右平移3个单位，再向上平移4个单位后，得到的直线与原来的位置在水平方向上相差2个单位，则原直线的斜率为 .

15.原题（必修2第110页习题 3.3B 组第七题）已知AO 是ABC 边BC 的中线，求证：

2222||||2(||||)AB AC AO OC +=+.

改编已知在三角形ABC 中，D 是BC 边的中点，且AB=8,BC=8,AC=6,则AD= 解:

16.原题（必修2第110页习题 3.3B 组第八题）已知01,01,x y <<<<求证

：

≥

改编长方形ABCD 的顶点坐标是A(0,0)，B(a,0)，C(a,b)，D(0,b)，P 是坐标平面上的动点，若AP 2+BP 2+CP 2+DP 2的值最小，则点P 的位置在( )

A.长方形的顶点处

B.AB 边的中点处

C.两条对角线的交点处

D.三角形ABC 的重心处解:设P(x,y)，|AP|2+|BP|2+|CP|2+|DP|2=x 2+y 2+(x-a) 2+y 2+(x-a) 2+(y-b) 2+x 2+(y-b) 2=4(x-a/2) 2+4(y-a/2) 2+a 2+b 2 当P(a/2,b/2)时，|AP|2+|BP|2+|CP|2+|DP|2最小，选C .

17.原题（必修2 第114页复习参考题A 组第3题）求直线01052=--y x 与坐标轴围成的三角形的面积.

改编1 过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是 . 解：设所求直线方程为)5(4+=+x k y ，依题意有

5)45)(54

(21=--k k

， 0.84或

∴01630252=+-k k （无解）或01650252=+-k k ，解得52=k 或5

8=k . ∴直线的方程是01052=--y x 或02058=+-y x .

改编2（2019年上海春季卷）已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，

O 为坐标原点，则△OAB 面积的最小值为 .

解：设直线AB 的方程为)0()2(1<-=-k x k y ，

则4])1()4(24[21)]1()4(4[2114421)21)(12(21=-?-+≥-+-+=--=--=?k

k k k k k k k S OAB ，当且仅当

k k 14-

=-即21-=k 时取等号，∴当2

-=k 时，OAB S ?有最小值4. 改编3 已知射线)0(4:>=x x y l 和点)4,6(M ，在射线l 上求一点N ，使直线MN 与l 及x 轴围成的三角形面积S 最小.

解：设)1)(4,(000>x x x N ，则直线MN 的方程为0)4)(6()6)(44(00=-----y x x x .令0=y 得

1500-=x x x ，∴]21

1)1[(101]1)1[(101104)15(2100020020000+-+-=-+-=-=?-=x x x x x x x x x S 40]21

1)1(2[1000=+-?

-≥x x ，当且仅当11100-=

-x x 即20=x 时取等号，∴当N 为（2，8）时，三角

形面积S 最小.

18.原题（必修2第115页复习参考题B 组第七题）设,,,a b c d R ∈，求证：对于任意,,

p q R

∈

改编设

，a,b,c,d

为常数，其中，对于任意实数 ,

解:可设A （a ，b ），B （c ，d ），C （x ，2x+3），由，知A ，B 在直线y=2x+3两侧，

||AB =.

19.原题（必修2第129页例3）改编若圆0422

=-+-+m mx y x 与圆

08442222=-+-++m my x y x 相切，则实数m 的取值集合是 .

解：∵圆4)(2

=+-y m x 的圆心为)0,(1m O ，半径21=r ，圆9)2()1(2

=-++m y x 的圆心为

)2,1(2m O -，

半径32=r ，且两圆相切，∴2121r r O O +=或1221r r O O -=，∴5)2()1(2

2=++m m R d c b a ∈,,,()()03232<+-?+-d c b a x ()()()()的最小值为22223232--+-+--+-x d x c x b x a ()()03232<+-?+-d c b a ()()()()的最小值为22223232--+-+--+-x d x c x b x a ()()2

2a d b c -+-

或1)2()1(2

2=++m m ，解得512-

=m 或2=m ，或0=m 或2

m =-，∴实数m 的取值集合是122

{,,0,2}55

-. 20.原题（必修2第130页例4）改编某圆拱型彩虹桥，跨度为20米，高为4米，要用19根铁索等距离分布悬挂桥面，则其中一侧第m 根铁索的长度f(m)= _______米.

-10.5.

21.原题（必修2第132页习题4.2 A 组第三题）求以)3,1(N 为圆心，并且与直线0743=--y x 相切的圆的方程.

改编1 （2019年重庆卷）过坐标原点且与圆02

2422=++-+y x y x 相切的直线的方程为（） A.x y 3-=或x y 31=

B.x y 3=或x y 31-=

C.x y 3-=或x y 3

1-= D.x y 3=或x y 31

解：设直线方程为kx y =，即0=-y kx .∵圆方程可化为2

)1()2(22=

++-y x ，∴圆心为（2，-1），半径为210.依题意有2101

122=++k k ，解得3-=k 或31=k ，∴直线方程为x y 3-=或x y 31

=，故选（A ）.

改编2 （2019年湖北卷）已知直线0125=++a y x 与圆022

=+-y x x 相切，则a 的值为 . 解：∵圆1)1(22=+-y x 的圆心为（1，0），半径为1，∴

112

552

=++a ，解得8=a 或18-=a .

改编3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程.

解：设所求圆的方程为222)()(r b y a x =-+-，则?

????=+=-=-+r b

a b a r b a 525

2)5(2

22，解得?????===531r b a 或?????===5

5155

r b a ，∴圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(2

2=-+-y x .

22.原题（必修2第132页练习第三题）某圆拱桥的水面跨度20m ，拱高4m .现有一船宽10m ，水面以上高3m ，这条船能否从桥下通过？

改编某圆拱桥的水面跨度是20m ，拱高为4m .现有一船宽9m ，在水面以上部分高3m ，故通行无阻.近日水位暴涨了1.5m ，为此，必须加重船载，降低船身.当船身至少应降低 m 时，船才能通过桥洞.（结果精确到0.01m ）解：建立直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为2

)(r b y x =-+.

∵圆经过点（10，0），（0，4），∴?????=-=+2

2)4(100r

b r

b ，解得???=-=5.145.10r b .

∴圆的方程是)40(5.14)5.10(2

22≤≤=++y y x . 令5.4=x ，得)(28.3m y ≈. 故当水位暴涨1.5m 后，船身至少应降低m 22.1)328.3(5.1=--，船才能通过桥洞.

23.原题（必修2第133页习题4.2A 组第九题）求圆2

40x y +-=与圆2

44120x y x y +-+-=的公共弦的长.

改编两圆C 1 ：x 2+ y 2-1=0和C 2：x 2+ y 2-8x+12=0的公切线长为_______. 解：

C 1 ：x 2+ y 2=1，C 2：（x-4）2+ y 2 = 4， |C 1 C 2|=4

图（1）：|AB|=22)12(4--=15；图（2）：|AB|=22)12(4+-=7，即公切线长15和7.

24.原题（必修2第133页习题4.2B 组第2题）已知点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A ,点P 在圆42

2=+y x 上运动，求2

22PC PB PA ++的最大值和最小值.

改编 1 已知点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A ,点P 坐标满足42

2≤+y x ，求2

22PC PB PA ++的最大值和最小值.

解：设点P 的坐标是),(y x ，则

22222

2(2)(2)(2)(6)(4)(2)2200334683()33d PA PB PC x y x y x y x y y x y =++=++++++-+-++??=+-+=+-+

???

?）

要求d 的最值，即求点P 与点 )3

2,0(Q 距离' d 的最值；因为点P 坐标满足422≤+y x ，所以'

d 的

最大值为2)2(+OQ ，则'

d 的最小值0在点P 与点 )3

,0(Q 重合时取得，??

??∈∴88,3200d 改编2 已知)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(2

=-+-y x 上运动，则2

PB PA +的最小值是 .

C 1

A B

C 2

C 1

C 2

D A B

(1)

(2)

解：设),(y x P ，则828)(2)2()2(2

22222222+=++=+-+++=+OP y x y x y x PB PA .设圆心为

)4,3(C ，则325min =-=-=r OC OP ，∴2

2PB PA +的最小值为268322=+?.

25.原题（必修2第133页习题4.2B 组第3题）已知圆x 2+y 2=4，直线l: y=x+b .当b 为何值时，圆x 2+y 2=4上恰有3个点到直线l 的距离都等于1.

改编已知圆x 2+y 2=4, 直线l: y=x+b . 圆上至少有三个点到直线l 的距离都是1，则b 的取值范围是_____.

解：??

26.原题（必修2第144页复习参考题B 组第2题）已知点(,)M x y 与两个定点1M ，2M 距离的比是一个正数m ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑1m =和1m ≠两种情形）. 改编1 已知两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的面积等于（） A.π B.π4 C.π8 D.π9 解：设点P 的坐标是),(y x .由PB PA 2=，得

2222)1(2)2(y x y x +-=++，化简得

4)2(22=+-y x ，∴点P 的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为π4，故选B.

改编2 由动点P 向圆12

2=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600

，则动点

P 的轨迹方程是 .

解：设),(y x P .∵APB ∠=600

，∴OPA ∠=300

.∵AP OA ⊥，∴22==OA OP ，∴222=+y x ，

化简得422=+y x ，∴动点P 的轨迹方程是42

2=+y x .

改编3 （2019年四川卷）已知两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的面积等于（）

A.π

B.π4

C.π8

D.π9 解：设点P 的坐标是),(y x .由PB PA 2=，得

2222)1(2)2(y x y x +-=++，化简得

4)2(22=+-y x ，∴点P 的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为π4，故选（B ）.

改编4（2019年北京春季卷）设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ，求P 点的轨迹.

解：设动点P 的坐标为),(y x P .由

)0(>=a a PB

PA ，得

a y

c x y c x =+-++2

22)()(，

化简得0)1()1(2)1()1(2222222=-+++-+-a c x a c y a x a .

当1≠a 时，化简得01)1(22

=+-+++c x a

a c y x ，整理得222222

)12()11(-=+-+-a ac y c a a x ；当1=a 时，化简得0=x .

所以当1≠a 时，P 点的轨迹是以)0,1

1(22c a a -+为圆心，122-a ac

为半径的圆；当1=a 时，P 点的轨迹

是y 轴.

27.原题（必修2第144页复习参考题B 组第3题）求由曲线2

||||x y x y +=+围成的图形的面积. 改编由曲线2

2||2||x y x y +=+围成的图形的面积为_______. 解：围成的图形如图，面积为84π+.

高中数学必修2综合测试题

正视图侧视图俯视图 2 1 1 高中数学必修2综合测试题文科数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若直线1=x 的倾斜角为α，则=α( )． A ．0 B.3 π C ．2π D ．π 2．已知直线1l 经过两点)2,1(--、)4,1(-，直线2l 经过两点)1,2(、)6,(x ，且21//l l ，则=x （ )． A ．2 B ．－2 C ．4 D ．1 3.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )． A ．π25 B ．π50 C ．π125 D ．π200 4.若方程02 2 =++++k y x y x 表示一个圆,则k 的取值范围是( ) A.21> k B.21≤k C. 2 1 0<

【有关高中数学教学的】高中数学经典大题150道

【有关高中数学教学的】高中数学经典大题150道学习活动对学生来说本身就具有重要的意义，但是由于个体间的差异和教学时间紧迫等客观因素决定了在数学课堂上教师不可能兼顾到每一个学生的实际情况. 第一篇：民族地区的高中数学教学 1. 当前高中数学教学的问题和分析 ①不注重知识的循序渐进:从初中到高中的知识跨越是一个循序渐进的过程，一定要做到让学生吸收。而现在的教师为了让学生掌握的更多，没节制的拓宽知识面，不断地补充一些公式或者特殊的解题方法，这些在高中生的高三复习阶段屡见不鲜，导致学生的负担过重不能更好的发挥。 ②因材施教没有落到实处:一些高中教师教学过程中分层教学把握不到位，教法单一。只讲”范式”，不讲”变式”，只要求记结论、套题型，多数学生浅尝辄止，不求甚解。学生学习毫无兴致，导致两级分化严重。 2. 教学新思路探索 2.1注重生源状况研究，实施因材施教依据少数民族地区生源质量较差的实际情况，

教师需要对其因材施教。结合班级里学生能力参差不齐的实际，传统的一些僵化教法根本无法适应当前新课程改革的要求，无法推进后进生的转化。教师需要根据生源状况，将其分为差、中、好三个档次，对后进生在知识方面进行详细的了解，设计问题的过程中可以梯度小一点，采取”小步子、慢速度”的原则。 2.2掌握新课改新课程的基本理念在新课改下，高中数学旨在构建学生发展和学习的良好基础，激励学生学习的积极主动性;促进学生的全面发展，注重学生数学思维的形成，把信息技术和课程化作一体，建立适应学生个性发展的学习体系。这一切都要求教师提高自身的综合素质，在教学中探索更好的教学方法，实现从知识的传授到学生能力的培养的跨越。 2.3注重知识传授的循序渐进以及改进方法新课改高中数学教学的关键就是循序渐进，只有完成这个环节，才能顺利的开展教学。有的老师眼中只有成绩，一味赶进度，形成”填鸭式”的教学模式。但事实上这样会适得其反，数学学科肩负着学生运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力的培养。它的特点就是很抽象，对能力的要求很高。所以如果不遵从循序渐进的原则，那么必然会形成很多学生的掉队，不仅会影响学生的兴趣，更重要的是还会影响其成绩。所以高中数学教学方法一定要活，因材施教，要具有针对性。教师要真正成为学生的引导和合作者。考虑学生的自身状况以及学习需要，辅以多媒体教学，培养学生的积极性和兴趣，做到学生不仅能够掌握现有概念和技能，还能独立思考学习，要充分鼓励学生自主探索。

人教版高中数学必修2全册学案(完整版)

第一章立体几何初步一、知识结构二、重点难点重点：空间直线，平面的位置关系。柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。平行、垂直的定义，判定和性质。难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。文字语言，图形语言和符号语言的转化。平行，垂直判定与性质定理证明与应用。第一课时棱柱、棱锥、棱台【学习导航】学习要求 1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。掌握它们的形成特点。 2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。 3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法 4．了解多面体的概念和分类．【课堂互动】自学评价 1．棱柱的定义：表示法：思考:棱柱的特点：. 【答】 2．棱锥的定义：表示法：思考:棱锥的特点：. 【答】 3．棱台的定义：表示法：思考:棱台的特点：. 【答】

4．多面体的定义： 5．多面体的分类： ⑴棱柱的分类 ⑵棱锥的分类 ⑶棱台的分类【精典范例】例1：设有三个命题：甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱；乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥；丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。以上各命题中，真命题的个数是（A）A．0 B. 1 C. 2 D. 3 例2：画一个四棱柱和一个三棱台。【解】四棱柱的作法： ⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形； ⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段； ⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点互助参考７页例１ ⑷画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多余的线段檫去．互助参考７页例１点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得思维点拔：解柱、锥、台概念性问题和画图需要：(1).准确地理解柱、锥、台的定义(2).灵活理解柱、锥、台的特点：例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行四边形。反过来，若一个几何体，具有上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？答：不能．点评:就棱柱来验证这三条性质，无一例外，能不能找到反例，是上面三条能作为棱柱的定义的关键。自主训练一 1. 如图，四棱柱的六个面都是平行四边形。这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到？答由四边形ABCD沿AA1方向平移得到． 2.右图中的几何体是不是棱台？为什么？答：不是，因为四条侧棱延长不交于一点．3．多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体。答：４个面，四面体．第二课时圆柱、圆锥、圆台、球【学习导航】知识网络 A C B D A1 C1 B1 D1

高中数学集合典型例题

-- -- 集合 1．集合概念元素:互异性、无序性、确定性 2.集合运算全集Ｕ：如U ＝Ｒ交集:}{B x A x x B A ∈∈=且并集:}{B x A x x B A ∈∈=?或补集:}{A x U x x A C U ?∈=且３.集合关系空集A ?φ 子集B A ?：任意B x A x ∈?∈ B A B B A B A A B A ??=??= 注：数形结合-－-文氏图（即韦恩图、Ve ｎn 图）、数轴典型例题 1. 集合(){}0,=+=y x y x A ,(){}2,=-=y x y x B ,则=B A ２. 已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2,那么Q P 等于 3. 设(){}R b b x b x x A ∈=++++=,0122,求A 中所有元素之和. 4. 已知集合{}24,3,22++=a a A ,{}a a a B --+=2,24,7,02，且{}7,3=B A ,求a 的值. 5. 已知(){}011=+-=x m x A ,{}0322=--=x x x B ，若B A ?，则m 的值为 6. 已知{}121-≤≤+=m x m x A ，{}52≤≤-=x x B ，若B A ?,求实数m 的取值范围． 7. 设全集{}32,3,22-+=a a S ，{}2,12-=a A ,{}5=A C S ，求a 的值. 8．若{}Z n n x x A ∈==,2,{}Z n n x x B ∈-==,22，试问B A ,是否相等. 9. 已知(){}a x y y x M +==,,(){}2,22=+=y x y x N ,求使得φ=N M 成立的实数a 的取值范围. １0. 设集合{}R x x x x A ∈=+=,042,(){}R x R a a x a x x B ∈∈=-+++=,,011222,若A B ?，求实数a 的取值范围. １１．设R U =,集合{}R x a ax x x A ∈=+-+=,03442，(){}R x a x a x x B ∈=+--=,0122，{}R x a ax x x C ∈=-+=,0222,若C B A ,,中至少一个不是空集，求实数a 的取值范围. 12. 设集合(){}01,2=--=x y y x A ,(){} 05224,2=+-+=y x x y x B ,(){==y y x C ,}b kx +，是否存在N b k ∈,,使得()φ=C B A ?若存在,请求出b k ,的值;若不存在,请说明理由.

高一数学必修2期末试题及答案解析

高一数学必修2期末试题及答案解析参考公式：圆台的表面积公式：（分别为圆台的上、下底面半径，为母线长）柱体、椎体、台体的体积公式：为底面积，为柱体高）为底面积，为椎体高）分别为上、下底面面积，为台体高）一、选择题 1. 下列几何体中是棱柱的有 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2. 如图所示，正方体的棱长为1，点A 是其一棱的中点，则点A 在空间直角坐标系中的坐标是 A 、 B 、 C 、 D 、 3. 如图所示，长方体中，°，则与所成的角是 A 、60° B 、90° ()22''S r r r l rl π=+++'r r 、l =(V Sh S 柱体h 1 =(3V Sh S 椎体 h () 1 ='3 V S S h +台体(',S S h 11,,122?? ???11,1,2? ? ?? ?11,1,22?? ??? 11,,12?? ??? 1111ABCD A B C D -130BAB ∠=1C D 1B B

C 、30° D 、45° 4. 下列直线中，与直线的相交的是 A 、 B 、 C 、 D 、 5. 在空间四边形的各边上的依次取点，若所在直线相交于点，则 A 、点必在直线上 B 、点必在直线上 C 、点必在平面外 D 、点必在平面内 6. 已知直线，给出以下四个命题： ①若平面平面，则直线平面； ②若直线平面，则平面平面； ③若直线不平行于平面，则平面不平行于平面。其中正确的命题是 A 、② B 、③ C 、①② D 、①③ 7. 已知直线与直线垂直，则实数的值等于 A 、 B 、 C 、 D 、 8. 如图所示，已知平面，则图中互相垂直的平面有 A 、3对 B 、2对 C 、1对 D 、0对 9. 已知是圆的弦的中点，则弦所在的直线的方程是 A 、 B 、 C 、 3 D 、 10x y +-=226x y +=0x y +=3y x =--1y x =-ABCD AB BC CD DA 、、、E F G H 、、、EH FG 、P P AC P BD P DBC P ABC a α?//αβ//a β//a β//αβa βαβ()110a a x y -+-=210x ay ++=a 1 2 3 210,230,2 AB ⊥,BCD BC CD ⊥()2,1P -()2 2125x y -+=AB AB 30x y --=10x y +-=230x y +-=250x y --=

高中数学必修2测试题附答案

数学必修2 一、选择题 1、下列命题为真命题的是（） A. 平行于同一平面的两条直线平行； B.与某一平面成等角的两条直线平行； C. 垂直于同一平面的两条直线平行； D.垂直于同一直线的两条直线平行。 2、下列命题中错误的是：（） A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β； B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β； C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β； D. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l ⊥γ. 3、右图的正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’ 中,异面直线AA ’与BC 所成的角是（） A. 300 B.450 C. 600 D. 900 4、右图的正方体ABCD- A ’B ’C ’D ’ 中，二面角D ’-AB-D 的大小是（） A. 300 B.450 C. 600 D. 900 5、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（） A.a=2,b=5; B.a=2,b=-5; C.a=-2，b=5 D.a=-2，b=-5 6、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（） A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（） A 4x+3y-13=0 B 4x-3y-19=0 C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=0 8、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（） A.3 a π; B. 2 a π; C.a π2; D.a π3. A B D A ’ B ’ D ’ C C ’

高中数学椭圆超经典知识点+典型例题讲解

学生姓名性别男年级高二学科数学授课教师上课时间2014年12月13 日第（）次课共（）次课课时：课时教学课题椭圆教学目标教学重点与难点选修2-1椭圆知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.

讲练结合一.椭圆的定义１．方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是 2．若ABC ?的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ?的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是 3.已知椭圆22 169 x y ＋=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意： 1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有和； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。

圆的标准方程；知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（1）对称性对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。

高中数学经典例题错题详解

高中数学经典例题、错题详解

【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M到N的映射是（） M N A M N B M N C M N D 映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应）映射与函数的区别与联系：函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射方向性上题答案应选 C 【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B 中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（2+1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1 得出x=1，即（2、1）在A中的对应元素为1 【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（）【分析】如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A到集合B的映射共有n m 个；集合B到集合A的映射共有m n个，所以答案为23=9；32=8 【例4】若函数f(x)为奇函数，且当x﹥0时，f(x)=x-1,则当x﹤0时，有（） A、f(x) ﹥0 B、f(x) ﹤0 C、f(x)·f(-x)≤0 D、f(x)-f(-x) ﹥0 奇函数性质： 1、图象关于原点对称；? 2、满足f(-x) = - f(x)?； 3、关于原点对称的区间上单调性一致；? 4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0；? 5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）

高中数学必修2模块测试试卷

高中数学必修2模块测试试卷考号班级姓名一、选择题 1. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为（） B.-2 C. 2 D. 不存在 2．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（） A ．072=+-y x B ．012=-+y x C ．250x y --= D ．052=-+y x 3. 下列说法不正确的．．．．是（） A. 空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B ．同一平面的两条垂线一定共面； C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内； D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 4．已知点(1,2)A 、(3,1)B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 5. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（） A ． B ． C ． D ． 6. 已知a 、b 是两条异面直线，c ∥a ，那么c 与b 的位置关系（） A.一定是异面 B.一定是相交 C.不可能平行 D.不可能相交 7. 设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是 ( ) （A ）①和② （B ）②和③ （C ）③和④ （D ）①和④ 8. 圆22 (1)1x y -+= 与直线y x = 的位置关系是（） A ．相交 B. 相切 C.相离 D.直线过圆心 9. 两圆相交于点A （1，3）、B （m ，－1），两圆的圆心均在直线x －y +c=0上，则m+c 的值为

高中数学集合典型例题教学文案

高中数学集合典型例题

精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除集合 1．集合概念元素：互异性、无序性、确定性 2．集合运算全集U ：如U=R 交集：}{B x A x x B A ∈∈=且I 并集：}{B x A x x B A ∈∈=?或补集：}{A x U x x A C U ?∈=且 3．集合关系空集A ?φ 子集B A ?：任意B x A x ∈?∈ B A B B A B A A B A ??=??=Y I 注：数形结合---文氏图（即韦恩图、Venn 图）、数轴典型例题 1. 集合(){}0,=+=y x y x A ，(){}2,=-=y x y x B ，则=B A I 2. 已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2，那么Q P I 等于 3. 设(){}R b b x b x x A ∈=++++=,0122，求A 中所有元素之和． 4. 已知集合{}24,3,22++=a a A ，{}a a a B --+=2,24,7,02，且{}7,3=B A I ，求a 的值． 5. 已知(){}011=+-=x m x A ，{}0322=--=x x x B ，若B A ?，则m 的值为 6. 已知{}121-≤≤+=m x m x A ，{}52≤≤-=x x B ，若B A ?，求实数m 的取值范围． 7. 设全集{}32,3,22-+=a a S ，{}2,12-=a A ，{}5=A C S ，求a 的值. 8. 若{}Z n n x x A ∈==,2，{}Z n n x x B ∈-==,22，试问B A ,是否相等． 9. 已知(){}a x y y x M +==,，(){}2,22=+=y x y x N ，求使得φ=N M I 成立的实数a 的取值范围. 10. 设集合{}R x x x x A ∈=+=,042，(){}R x R a a x a x x B ∈∈=-+++=,,011222，若A B ?，求实数a 的取值范围.

高中数学经典题型50道(另附详细答案)

高中数学习题库（50道题另附答案） 1.求下列函数的值域：解法2 令t＝sin x，则f(t)＝－t2＋t＋1，∵|sin x|≤1, ∴|t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值．本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。

2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 3 4 万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32 π π和，求该慧星与地球的最近距离。解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的方程为122 22=+b y a x （图见教材P132页例1）。当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π 时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足)3 (3/π π=∠=∠xFA xFA 或。作 m FA FB Ox AB 3 2 21B ==⊥，则于故由椭圆第二定义可知得????? ??+-=-=)32(34)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,3 2 31 c c c m c a m a c m =-==∴?=代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答：彗星与地球的最近距离为m 3 2 万千米。说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a + （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识

人教版高中数学必修二测试卷

高中数学必修二检测题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间90分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 、一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4∶9，则此棱锥的侧棱被分成上下长度两部分之比为（） A ．4∶9 B ．2∶1 C ．2∶3 D ．2∶5 2 、如果实数x ，y 满足22 (2)3x y -+=，那么y x 的最大值是（） A 、3 B 、3- C 、33 D 、33 - 3 、已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 4 、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（） A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 5 、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为（）俯视图主视图侧视图 A.24πcm 2，12πcm 3 B.15πcm 2，12πcm 3 C.24πcm 2，36πcm 3 D.以上都不正确 6 、棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．平行或相交 D ．不相交

7 、直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（） A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1) 8 、两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（） A ．4 B C D 9、直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（） (A)2 2 (B)4 (C)2 4 (D)2 10、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1B C 成60角 11 、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ?M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有 A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 12 、点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（） (A) 11<<-a (B) 10<-