理论力学第一章题及解答(文末)
第一章 思考题
1.1平均速度与瞬时速度有何不同？
1.2 在极坐标系中，r v r =，θθ r v =.为什么2θ r r a r
-=而非r ？为什么θθ r r a 20+=而非θθ r r +？你能说出r a 中的2θ r -和θa 中另一个θ r 出现的原因和它们的物理意义吗？
1.3 在内禀方程中，n a 是怎样产生的？为什么在空间曲线中它总沿着主法线方向？当质点沿空间运动时，副法线方向的加速度b a 等于零，而作用力在副法线方向的分量b F 一般不等于零，这是不是违背了牛顿运动定律呢？
1.4 在怎样的运动中只有τa 而无n a ？在怎样的运动中又只有n a 而无τa ？在怎样的运动中既有n a 而无τa ？
1.5dt r d 与dt dr 有无不同？dt v d
与dt
dv 有无不同？试就直线运动与曲线运动分别加以讨论. 1.6人以速度v 向篮球网前进，则当其投篮时应用什么角度投出？跟静止时投篮有何不同？
1.7雨点以匀速度v 落下，在一有加速度a 的火车中看，它走什么路经？
1.8某人以一定的功率划船，逆流而上.当船经过一桥时，船上的渔竿不慎落入河中.两分钟后，此人才发现，立即返棹追赶.追到渔竿之处是在桥的下游600米的地方，问河水的流速是多大？
1.9物体运动的速度是否总是和所受的外力的方向一致？为什么？
1.10在那些条件下，物体可以作直线运动？如果初速度的方向和力的方向一致，则物体是沿力的方向还是沿初速度的方向运动？试用一具体实例加以说明.
1.11质点仅因重力作用而沿光滑静止曲线下滑，达到任一点时的速度只和什么有关？为什么是这样？假如不是光滑的将如何？
1.12为什么被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力不作功？我们利用动能定理或能量积分，能否求出约束力？如不能，应当怎样去求？
1.13质点的质量是1千克，它运动时的速度是k j i v 323++=，式中i 、j 、k 是沿x 、
y 、z 轴上的单位矢量。求此质点的动量和动能的量值。
1.14在上题中，当质点以上述速度运动到（1，2，3）点时，它对原点O 及z 轴的动量矩各是多少？
1.15动量矩守恒是否就意味着动量也守恒？已知质点受有心力作用而运动时，动量矩是守恒的，问它的动量是否也守恒？
1.16如()r F F =，则在三维直角坐标系中，仍有▽0=?F 的关系存在吗？试验之。 1.17在平方反比引力问题中，势能曲线应具有什么样的形状？
1.18我国发射的第一颗人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的交角为68．5 ，
联及美国第一次发射的都要大。我们说，交角越大，技术要求越高，这是为什么？又交角大的优点是什么？
1.19卢瑟福公式对引力库仑场来讲也能适用吗？为什么？
第一章思考题解答
1.1答：平均速度是运动质点在某一时间间隔t t t ?+→内位矢大小和方向改变的平均快慢速度，其方向沿位移的方向即沿t ?对应的轨迹割线方向；瞬时速度是运动质点在某时刻或某未知位矢和方向变化的快慢程度其方向沿该时刻质点所在点轨迹的切线方向。在0→?t 的极限情况，二者一致，在匀速直线运动中二者也一致的。
1.2答：质点运动时，径向速度r V 和横向速度θV 的大小、方向都改变，而r a 中的r 只反映了r V 本身大小的改变，θa 中的θθ r r +只是θV 本身大小的改变。事实上，横向速度θV 方向的改变会引起径向速度r V 大小大改变，2θ r -就是反映这种改变的加速度分量；经向速度r
V 的方向改变也引起θV 的大小改变，另一个θ
r 即为反映这种改变的加速度分量，故2θ
r r a r -=，.2θθθ r r a +=。这表示质点的径向与横向运动在相互影响，它们一起才能完整地描述质点的运动变化情况
1.3答：内禀方程中，n a 是由于速度方向的改变产生的，在空间曲线中，由于a 恒位于密切面内，速度v 总是沿轨迹的切线方向，而n a 垂直于v 指向曲线凹陷一方，故n a 总是沿助法线方向。质点沿空间曲线运动时，0,0≠=b b F a z 何与牛顿运动定律不矛盾。因质点除受作用力F ，还受到被动的约反作用力R ，二者在副法线方向的分量成平衡力0=+b b R F ，故0=b a 符合牛顿运动率。有人会问：约束反作用力靠谁施加，当然是与质点接触的周围其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力。有人也许还会问：某时刻若
b b R F 与大小不等，b a 就不为零了？当然是这样，但此时刻质点受合力的方向与原来不同，
质点的位置也在改变，副法线在空间中方位也不再是原来b a 所在的方位，又有了新的副法线，在新的副法线上仍满足00==+b b b a R F 即。这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性，也反映了自然坐标系的方向虽质点的运动而变。
1.4答：质点在直线运动中只有n a a 而无τ，质点的匀速曲线运动中只有τa a n 而无；质点作变速运动时即有n t a a 又有。
1.5答：dt
d r 即反应位矢r 大小的改变又反映其方向的改变，是质点运动某时刻的速度矢量，
而
dt
dr 只表示r
大小的改变。如在极坐标系中，j i r θ r r dt d +=而r dt dr =。在直线运动中，规定了直线的正方向后，
dt d dt dr r =。且dt dr 的正负可表示dt d r 的指向，二者都可表示质点的运
动速度；在曲线运动中
dt d dt dr r ≠，且dt dr 也表示不了dt
d r 的指向，二者完全不同。 dt
d v 表示质点运动速度的大小，方向的改变是加速度矢量，而dt
dv 只是质点运动速度大小
的改变。在直线运动中规定了直线的正方向后，二者都可表示质点运动的加速度；在曲线运动中，二者不同，
ττa dt
dv a a dt d n =+=而,v 。 1.6答：不论人是静止投篮还是运动投篮，球对地的方向总应指向篮筐，其速度合成如题1.6
V V
球对人
人对地
题1-6图
图所示，故人以速度V 向球网前进时应向高于篮筐的方向投出。静止投篮是直接向篮筐投出，（事实上要稍高一点，使球的运动有一定弧度，便于投篮）。
1.7答：火车中的人看雨点的运动，是雨点的匀速下落运动及向右以加速度a 的匀速水平直线运动的合成运动如题1.7图所示，
题1-7图
y x o '''是固定于车的坐标系，雨点相对车的加速度a a -='，其相对运动方程????
?='='vt
y at
x 221消去t 的轨迹
x a
v y '
='22
2
如题图，有人会问：车上的人看雨点的轨迹是向上凹而不是向下凹呢？因加速度总是在曲线凹向的内侧，a '垂直于V '方向的分量n a '在改变着V '的方向，该轨迹上凹。
1.8答：设人发觉干落水时，船已上行s '，上行时船的绝对速度水
船V V -，则
()
2V V ?-='水
船s
①
船反向追赶竿的速度水船V V +，设从反船到追上竿共用时间t ，则
s t '+=+600)V V (水
船 ②
又竿与水同速，则
600)2=+t V （水
③
①+③=②得
min
150m
V =水
1.9答：不一定一致，因为是改变物体运动速度的外因，而不是产生速度的原因，加速度的方向与合外力的方向一致。外力不但改变速度的大小还改变速度的方向，在曲线运动中外力与速度的方向肯定不一致，只是在加速度直线运动二者的方向一致。
1.10答：当速度与物体受的合外力同一方位线且力矢的方位线不变时，物体作直线运动。在曲线运动中若初速度方向与力的方向不一致，物体沿出速度的方向减速运动，以后各时刻既可沿初速度方向运动，也可沿力的方向运动，如以一定初速度上抛的物体，开始时及上升过程中初速度的方向运动，到达最高点下落过程中沿力的方向运动。
在曲线运动中初速度的方向与外力的方向不一致，物体初时刻速度沿初速度的反方向，但以后既不会沿初速度的方向也不会沿外力的方向运动，外力不断改变物体的运动方向，各时刻的运动方向与外力的方向及初速度的方向都有关。如斜抛物体初速度的方向与重力的方向不一致，重力的方向决定了轨道的形状开口下凹，初速度的方向决定了射高和射程。 1.11答：质点仅因重力作用沿光滑静止曲线下滑，达到任意点的速度只和初末时刻的高度差有关，因重力是保守力，而光滑静止曲线给予质点的发向约束力不做功，因此有此结论 假如曲线不是光滑的，质点还受到摩擦力的作用，摩擦力是非保守力，摩擦力的功不仅与初
末位置有关，还与路径有关，故质点到达任一点的速度不仅与初末高度差有关，还与曲线形状有关。
1.12答：质点被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力的方向总是垂直于质点的运动方向，故约束力不做功，动能定理或能量积分中不含约束力，故不能求出约束力。但用动能定理或能量积分可求出质点在某位置的速度，从而得出n a ，有牛顿运动方程n n n ma R F =+便可求出n R ，即为约束力 1.13答：动量
()s m kg mv p .2
2243231=++?==
动能
()m N mv T ?=??? ??+??==832312
1212222
1.14答：
()()
()k j i k
j i v r J 62396323
2
332
1-+-+-==?=m 故
()()
()???
???
???? ???-=???
???≈-+-+-=s m kg J s m kg J Z 222
220467.8439632
1.15答：动量矩守恒意味着外力矩为零，但并不意味着外力也为零，故动量矩守恒并不意味着动量也守恒。如质点受有心力作用而运动动量矩守恒是由于力过力心，力对力心的矩为零，但这质点受的力并不为零，故动量不守恒，速度的大小和方向每时每刻都在改变。 1.16答：若()r F F =,在球坐标系中有
()()()00
0=??-??=????
??=
???θ?θ
θ??θe e e e e F r r F r F r F r 由于坐标系的选取只是数学手段的不同，它不影响力场的物理性质，故在三维直角坐标系中仍有0F =??的关系。在直角坐标系中
()()()()k j i r F zk,j i r r F i F r F y x z y x ++=++=
故
()()()
()
()
()
()
()(??=????=++??=??????=
??
????=??r
k j i k j i k j i F F r
r F r z y x r F r
z r F r
y r F r
x r F z y x r F r F r F z y x z y x 事实上据“?”算符的性质，上述证明完全可以简写为
()0=??=??r F r F
这表明有心力场是无旋场记保守立场
1.17答平方反比力场中系统的势能()r
m k r V 2
-=，其势能曲线如题图1.17图所示，
由()()()r V E T r V E T E r V T >>-==+故有因知,0,。
若0 ()T r V E --即为进入轨道需要的初动能若0>E 则质点的运动无界， 对应于双曲线轨道的运动；若0=E 位于有界和无界之间，对应于抛物线轨道的运动；这两种轨道的运动都没有近日点，即对大的r 质点的运动是无界的，当r 很大时()0→r V ，还是选无限远为零势点的缘故，从图中可知，做双曲轨道运动比抛物轨道和椭圆轨道需要的进入轨道需要的动能要大。事实及理论都证明，平方反比引力场中质点的轨道正是取决于进入轨道时初动能的大小 由 ?? ???<=>=-0 00 212 2E r m k m v 得 ???? ?????<=>r k r k r k V 2222 即速度V 的大小就决定了轨道的形状，图中321,,T T T 对应于进入轨道时的达到第一二三宇宙速度所需的能量由于物体总是有限度的，故r 有一极小值e R ，既相互作用的二质点不可能无限接近，对于人造卫星的发射e R 其为地球半径。()r V E T -=0为地面上发射时所需的初动能，图示030201,,T T T 分别为使卫星进入轨道时达到一二三宇宙速度在地面上的发射动能。()i i T T -0 3,2,1=i .为进入轨道前克服里及空气阻力做功所需的能量。 1.18答：地球附近的物体都受到随地球自转引起的惯性离心力的作用，此力的方位线平行于赤道平面，指向背离地轴。人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角越大，则卫星的惯性离心力与轨道平面的家教越大，运动中受的影响也越大，对卫星导向控制系统的要求越高。交角越大，对地球的直接探测面积越大，其科学使用价值越高。 1.19答：对库仑引力场有0E ,r 2V 4,21202 2〉则，〉若其中k ze k E r k mv '='='-πε，轨道是双 曲线的一点，与斥力情况相同，卢瑟福公式也适用，不同的是引力情况下力心在双曲线凹陷方位内侧；若0,22≤' ≤ E r k V 则，轨道椭圆()0?E 或抛物线()0=E ，卢瑟福公式不适用，仿照课本上的推证方法，在入射速度r k V '? 20的情况下即可得卢瑟福公式。 近代物理学的正， 负粒子的对撞试验可验证这一结论的近似正确性。 第一章习题 1.1沿水平方向前进的枪弹，通过某一距离s 的时间为t 1 ，而通过下一等距离s 的时间为2t . 试证明枪弹的减速度（假定是常数）为 ()() 2121122t t t t t t s +- 1.2 某船向东航行，速率为每小时15km,在正午某一灯塔。另一船以同样速度向北航行，在下午1时30分经过此灯塔。问在什么时候，两船的距离最近？最近的距离是多少？ 1.3 曲柄,r A O =以匀角速ω绕定点O 转动。此曲柄借连杆AB 使滑块B 沿直线Ox 运动。求连杆上C 点的轨道方程及速度。设a CB AC ==，ψ?=∠=∠ABO AOB ,。 x 第1.3题图 1.4 细杆OL 绕O 点以角速ω转动，并推动小环C 在固定的钢丝AB 上滑动。图中的d 为已知常数，试求小球的速度及加速度的量值。 A B O C L x θd 第1.4题图 1.5 矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示： ? ?? ? ? -=T t c a 2sin 1π 式中c 及T 为常数，试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初速度为零。 1.6 一质点沿位失及垂直于位失的速度分别为r λ及μθ，式中λ及μ是常数。试证其沿位矢及垂直于位失的加速度为 ??? ? ? +- r r r μλμθθμλ,2 22 1.7 试自 θθsin ,cos r y r x == 出发，计算x 及y 。并由此推出径向加速度r a 及横向加速度θa 。 1.8 直线FM 在一给定的椭圆平面内以匀角速ω绕其焦点F 转动。求此直线与椭圆的焦点 M 的速度。已知以焦点为坐标原点的椭圆的极坐标方程为 () θ cos 112e e a r +-= 式中a 为椭圆的半长轴，e 为偏心率，都是常数。 1.9 质点作平面运动，其速率保持为常数。试证其速度矢量v 与加速度矢量a 正交。 1.10 一质点沿着抛物线px y 22=运动其切向加速度的量值为法向加速度量值的k 2-倍。如此质点从正焦弦? ? ? ??p p ,2的一端以速度u 出发，试求其达到正焦弦另一端时的速率。 1.11 质点沿着半径为r 的圆周运动，其加速度矢量与速度矢量间的夹角α保持不变。求质点的速度随时间而变化的规律。已知出速度为0v 。 1.12 在上题中，试证其速度可表为 ()00θθ-=e v v α ctg 式中θ为速度矢量与x 轴间的夹角，且当0=t 时，0θθ=。 1.13 假定一飞机从A 处向东飞到B 处，而后又向西飞回原处。飞机相对于空气的速度为v '，而空气相对于地面的速度为0v 。A 与B 之间的距离为l 。飞机相对于空气的速度v '保持不变。 ()a 假定o v o =，即空气相对于地面是静止的，试证来回飞行的总时间为 v l t ' = 20 ()b 假定空气速度为向东（或向西），试证来回飞行的总时间为 2 00 2 1v v t t B '- = ()c 假定空气的速度为向北（或向南），试证来回飞行的总时间为 2 0021v v t t N ' -= 1.14 一飞机在静止空气中每小时的速率为100千米。如果飞机沿每边为6千米的正方形飞行，且风速为每小时28千米，方向与正方形的某两边平行，则飞机绕此正方形飞行一周，需时多少？ 1.15 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2米的甲板，篷高4米。但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3米。如果雨点的速度为8米/秒，求轮船的速率。 1.16 宽度为d 的河流，其流速与到河岸的距离成正比。在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为c 。一小船以相对速度u 沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点。 1.17 小船M 被水冲走后，由一荡桨人以不变的相对速度2C 朝岸上A 点划回。假定河流速 度1 C 沿河宽不变，且小船可以看成一个质点，求船的轨迹。 1.18 一质点自倾角为α的斜面上方O 点，沿一光滑斜槽OA 下降。如欲使此质点到达斜面上所需的时间为最短，问斜槽OA 与竖直线所成之角θ应为何值？ θ α O A 第1.18题图 1.19 将质量为m 的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即 22gv mk R =。如上抛时的速度为0v ，试证此质点又落至投掷点时的速度为 2 2011v k v v += 1.20 一枪弹以仰角α、初速度0v 自倾角为β的斜面的下端发射。试证子弹击中斜面的地方和发射点的距离d （沿斜面量取）及此距离的最大值分别为 ()ββαα202cos sin cos 2-= g v d ?? ? ??-=24sec 2202max βπg v d 。 1.21 将一质点以初速0v 抛出，0v 与水平线所成之角为α。此质点所受到的空气阻力为其速度的mk 倍，m 为质点的质量，k 为比例系数。试求当此质点的速度与水平线所成之角又为 α时所需的时间。 1.22 如向互相垂直的匀强电磁场E 、B 中发射一电子，并设电子的初速度V 与E 及B 垂直。试求电子的运动规律。已知此电子所受的力为e ()B v E ?+，式中E 为电场强度，e 为电子所带的电荷，v 为任一瞬时电子运动的速度。 1.23 在上题中，如 ()a 0=B ，则电子的轨道为在竖直平面()平面xy 的抛物线； ()b 如0=E ，则电子的轨道为半径等于eB mV 的圆。试证明之。 1.24 质量为m 与m 2的两质点，为一不可伸长的轻绳所联结，绳挂在一光滑的滑轮上。在m 的下端又用固有长度为a 、倔强系数k 为 a mg 的弹性绳挂上另外一个质量为m 的质点。在 开始时，全体保持竖直，原来的非弹性绳拉紧，而有弹性的绳则处在固有的长度上。由此静止状态释放后，求证这运动是简谐的，并求出其振动周期τ及任何时刻两段绳中的张力T 及 T '。 T T ' T '第1.24题图 1.25 滑轮上系一不可伸长的绳，绳上悬一弹簧，弹簧另一端挂一重为W 的物体。当滑轮以匀速转动时，物体以匀速0v 下降。如将滑轮突然停住，试求弹簧的最大伸长及最大张力。假定弹簧受W 的作用时的静伸长为0λ。 1.26 一弹性绳上端固定，下端悬有m 及m '两质点。设a 为绳的固有长度，b 为加m 后的伸长，c 为加m '后的伸长。今将m '任其脱离而下坠，试证质点m 在任一瞬时离上端O 的距离为 t b g c b a cos ++ 1.27 一质点自一水平放置的光滑固定圆柱面凸面的最高点自由滑下。问滑至何处，此质点将离开圆柱面？假定圆柱体的半径为r 。 1.28 重为W 的不受摩擦而沿半长轴为a 、半短轴为b 的椭圆弧滑下，此椭圆的短轴是竖直的。如小球自长2轴的端点开始运动时，其初速度为零，试求小球在到达椭圆的最低点时它对椭圆的压力。 1.29 一质量为m 的质点自光滑圆滚线的尖端无初速地下滑。试证在任何一点的压力为 θcos 2mg ，式中θ为水平线和质点运动方向间的夹角。已知圆滚线方程为 ()()θθθ2cos 1,2sin 2c a y a x =-=+= 1.30 在上题中，如圆滚线不是光滑的，且质点自圆滚线的尖端自由下滑，达到圆滚线的最低点时停止运动，则摩擦系数μ应满足下式 12=μπμe 试证明之。 1.31 假定单摆在有阻力的媒质中振动，并假定振幅很小，故阻力与θ 成正比，且可写为 θ mkl R 2-=，式中m 是摆锤的质量，l 为摆长，k 为比例系数。试证当2k ＜l g 时，单摆的振动周期为 l k g l 2 2-=π τ 1.32 光滑楔子以匀加速度0a 沿水平面运动。质量为m 的质点沿楔子的光滑斜面滑下。求质点的相对加速度a '和质点对楔子的压力P 。 1.33 光滑钢丝圆圈的半径为r ，其平面为竖直的。圆圈上套一小环，其中为w 。如钢丝圈以匀加速度a 沿竖直方向运动，求小环的相对速度r v 及圈对小环的反作用力R 。 1.34 火车质量为m ，其功率为常数k 。如果车所受的阻力f 为常数，则时间与速度的关系为： ()f v v m vf k f v k f mk t 002ln ----= 如果f 和速度v 成正比，则 () vf k v fv vk f mv t --=02ln 2 式中0v 为初速度，试证明之。 1.35 质量为m 的物体为一锤所击。设锤所加的压力，是均匀地增减的。当在冲击时间τ的一半时，增至极大值P ，以后又均匀减小至零。求物体在各时刻的速率以及压力所作的总功。 1.36 检验下列的力是否是保守力。如是，则求出其势能。 ()a 233206y bx y abz F x -=，y bx abxz F y 43106-=，218abxyz F z = ()b ()()()z F y F x F z y x k j i F ++= 1.37 根据汤川核力理论，中子与质子之间的引力具有如下形式的势能： ()k r ke r V ar ,-=＜0 试求 ()a 中子与质子间的引力表达式，并与平方反比定律相比较； ()b 求质量为m 的粒子作半径为a 的圆运动的动量矩J 及能量E 。 1.38 已知作用在质点上的力为 z a y a x a F z a y a x a F z a y a x a F z y x 333231232221131211++=++=++= 式中系数()3,2,1,=j i a ij 都是常数。问这些ij a 应满足什么条件，才有势能存在？如这些条件满足，试计算其势能。 1.39 一质点受一与距离2 3次方成反比的引力作用在一直线上运动。试证此质点自无穷远到 达a 时的速率和自a 静止出发到达 4 a 时的速率相同。 1.40 一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动，求其达到O 点所需的时间。 1.41 试导出下面有心力量值的公式： dr dp m h F 222-= 式中m 为质点的质点，r 为质点到力心的距离，==θ 2r h 常数，p 为力心到轨道切线的垂直距离。 1.42 试利用上题的结果，证明： ()a 如质点走一圆周，同时力心位于此圆上，则力与距离五次方成反比。 ()b 如一质点走一对数螺线，而其质点即力心，则力与距离立方成反比。 1.43 质点所受的有心力如果为 ? ?? ? ??+-=322r r m F νμ 式中μ及ν都是常数，并且ν＜2h ，则其轨道方程可写成 θ k e a r cos 1+= 试证明之。式中222222222 ,,μ μνh Ak e h k a h h k ==-=（A 为积分常数）。 1.45 如a s 及p s 为质点在远日点及近日点处的速率，试证明 p s ﹕a s =()e +1﹕()e -1 1.46 质点在有心力作用下运动。此力的量值为质点到力心距离r 的函数，而质点的速率则与距离成反比，即r a v = 。如果2a ＞2h () θ 2r h =，求点的轨道方程。设当0r r =时，0=θ。 1.47 ()a 某彗星的轨道为抛物线，其近日点距离为地球轨道（假定为圆形）半径的n 1。则此 彗星运行时，在地球轨道内停留的时间为一年的 π32n n n n 212-+ 倍，试证明之。 ()b 试再证任何作抛物线轨道的彗星停留在地球轨道（仍假定为圆形）内的最长时间为一年的 π 32倍，或约为76日。 1.48 试根据§1.9中所给出的我国第一颗人造地球卫星的数据，求此卫星在近地点和远地点的速率1v 及2 v 以及它绕地球运行的周期τ（参看79页）。 1.49 在行星绕太阳的椭圆运动中，如令T dt E ae r a ==-? τ π2,cos ，式中τ为周期，a 为 半长轴，e 为偏心率，E 为一个新的参量，在天文学上叫做偏近点角。试由能量方程推出下面的开普勒方程： E e E T sin -= 1.50 质量为m 的质点在有心斥力场3 r mc 中运动，式中r 为质点到力心O 的距离，c 为常数。 当质点离O 很远时，质点的速度为∞v ，而其渐进性与O 的垂直距离则为ρ（即瞄准距离）。 试求质点与O 的最近距离a 。 O 第1.50题图 第一章习题解答 1.1 由题可知示意图如题1.1.1图: { { S S t t 题1.1.1图 设开始计时的时刻速度为0v ,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为a . 则有: ()()??? ??? ? +-+=-=2 21210211021221t t a t t v s at t v s 由以上两式得 1102 1 at t s v += 再由此式得 ()() 2121122t t t t t t s a +-= 证明完毕. 1.2 解 由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题1. 2.1图. 题1.2.1图 设A 船经过0t 小时向东经过灯塔,则向北行驶的B 船经过??? ? ?+2110t 小时经过灯塔任意时刻A 船的坐标 ()t t x A 15150--=，0=A y B 船坐标0=B x ， ?? ????-??? ??+-=t t y B 15211150 则AB 船间距离的平方 ()()222B A B A y y x x d -+-= 即 ()2021515t t d -=2 01521115?? ????-??? ??++t t ()2 02 02 211225225675900450??? ? ? ++++-=t t t t t 2d 对时间t 求导 () ()67590090002 +-=t t dt d d AB 船相距最近，即() 02=dt d d ，所以 h t t 4 30= - 即午后45分钟时两船相距最近最近距离 2 2min 231543154315??? ???-?+??? ? ? ?=s km 1.3 解 ()1如题1.3.2图 第1.3题图 y 题1.3.2图 由题分析可知，点C 的坐标为 ?? ?=+=ψ ψ?sin cos cos a y a r x 又由于在?AOB 中，有 ? ψsin 2sin a r = （正 r y r a 2sin 2sin == ψ? 联立以上各式运用 1cos sin 22=+?? 由此可得 r y a x r a x 2 2cos cos --= -=ψ? 得 1242 2 222222=---++r y a x y a x r y 得 22222223y a x r a x y -=-++ 化简整理可得 ()() 2222222234r a y x y a x -++=- 此即为C 点的轨道方程. （2）要求C 点的速度，分别求导 ??? ??? ? =--=2cos sin cos 2cos sin ?ωψψ?ω?ωr y r r x 其中 ? ω = 又因为 ψ?sin 2sin a r = 对两边分别求导 故有 ψ ?ωψ cos 2cos a r = 所以 2 2 y x V += 4cos sin cos 2cos sin 2222 ?ωψψ?ω?ωr r r +??? ? ??--= ()ψ?ψ??ψ ω++= sin cos sin 4cos cos 22r 1.4 解 如题1.4.1图所示， A B O C L x θd 第1.4题图 OL 绕O 点以匀角速度转动，C 在AB 上滑动，因此C 点有一个垂直杆的速度分 量 22x d OC v +=?=⊥ωω C 点速度 d x d d v v v 222 sec sec cos +====⊥⊥ω θωθθ 又因为ωθ= 所以C 点加速度 θθθω ????==tan sec sec 2d dt dv a () 2 222222tan sec 2d x d x d += =ωθθω 1.5 解 由题可知，变加速度表示为 ? ?? ? ? -=T t c a 2sin 1π 由加速度的微分形式我们可知 dt dv a = 代入得 dt T t c dv ?? ? ?? -=2sin 1π 对等式两边同时积分 dt T t c dv t v ???? ? ?? -=00 2sin 1π 可得 ： D T t c T ct v ++ =2cos 2ππ （D 为常数） 代入初始条件：0=t 时，0=v ，故 c T D π 2- = 即 ????? ???? ??-+=12cos 2T t T t c v ππ 又因为 dt ds v = 所以 =ds dt T t T t c ????? ???? ??-+12cos 2ππ 对等式两边同时积分，可 ??? ?????? ??-+=t T t T T t c s 2sin 222 12πππ 1.6解 由题可知质点的位矢速度 r λ=//v ① 沿垂直于位矢速度 μθ=⊥v 又因为 r r λ== //v ， 即 r r λ= μθθ==⊥r v 即r μθθ= ()() j i v a θ r dt d r dt d dt d +== （取位矢方向i ，垂直位矢方向j ） 所以 ()j i i i θ r r dt d r i dt r d r dt d +=+= () dt d r dt d r dt dr r dt d j j j j θ θθθ ++=i j j 2r r r θθθ -+= 故 ()() j i a θθθ r r r r 22++-= 即 沿位矢方向加速度 () 2θ r r a -= 垂直位矢方向加速度 () θθ r r a 2+=⊥ 对③求导 r r r 2λλ== 对④求导 θμμθ θ r r r +-=2 ?? ? ??+=λμμθr 把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得 r r a 222 //θμλ- = ??? ? ? +=⊥r a μλμθ 1.7 解 由题可知 ?? ?==θ θsin cos r y r x ①② 对①求导 θθθ sin cos r r x -= ③ 对③求导 θθθθθθθcos sin sin 2cos 2 r r r r x ---=④ 对②求导 θθθcos sin r r y +=⑤ 对⑤求导 θθθθθθθsin cos cos 2sin 2 r r r r y -++=⑥ 对于加速度a ，我们有如下关系见题1.7.1图 精选文档 第一章 静力学公理和物体的受力分析 一、是非判断题 1.1.1 在任何情况下，体内任意两点距离保持不变的物体称为刚体。 ( ∨ ) 1.1.2 物体在两个力作用下平衡的必要与充分条件是这两个力大小相等、方向相反，沿同一直线。 ( × ) 1.1.3 加减平衡力系公理不但适用于刚体，而且也适用于变形体。 ( × ) 1.1.4 力的可传性只适用于刚体，不适用于变形体。 ( ∨ ) 1.1.5 两点受力的构件都是二力杆。 ( × ) 1.1.6 只要作用于刚体上的三个力汇交于一点，该刚体一定平衡。 ( × ) 1.1.7 力的平行四边形法则只适用于刚体。 ( × ) 1.1.8 凡矢量都可以应用平行四边形法则合成。 ( ∨ ) 1.1.9 只要物体平衡，都能应用加减平衡力系公理。 ( × ) 1.1.10 凡是平衡力系，它的作用效果都等于零。 ( × ) 1.1.11 合力总是比分力大。 ( × ) 1.1.12 只要两个力大小相等，方向相同，则它们对物体的作用效果相同。 ( × ) 1.1.13 若物体相对于地面保持静止或匀速直线运动状态，则物体处于平衡。 ( ∨ ) 1.1.14 当软绳受两个等值反向的压力时，可以平衡。 ( × ) 1.1.15 静力学公理中，二力平衡公理和加减平衡力系公理适用于刚体。 ( ∨ ) 1.1.16 静力学公理中，作用力与反作用力公理和力的平行四边形公理适用于任何物体。 ( ∨ ) 1.1.17 凡是两端用铰链连接的直杆都是二力杆。 ( × ) 1.1.18 如图1.1所示三铰拱，受力F ，F 1作用，其中F 作用于铰C 的销子上，则AC 、BC 构件都不是二力构件。 ( × ) 二、填空题 1.2.1 力对物体的作用效应一般分为 外 效应和 内 效应。 1.2.2 对非自由体的运动所预加的限制条件称为 约束 ；约束力的方向总是与约束所能阻止的物体的运动趋势的方向 相反 ；约束力由 主动 力引起，且随 主动 力的改变而改变。 1.2.3 如图1.2所示三铰拱架中，若将作用于构件AC 上的力偶M 搬移到构件BC 上，则A 、B 、C 各处的约束力 C 。 图1.2 班级姓名学号 第一章静力学公理与受力分析(1) 一．是非题 1、加减平衡力系公理不但适用于刚体，还适用于变形体。（） 2、作用于刚体上三个力的作用线汇交于一点，该刚体必处于平衡状态。（） 3、刚体是真实物体的一种抽象化的力学模型，在自然界中并不存在。（） 4、凡是受两个力作用的刚体都是二力构件。（） 5、力是滑移矢量，力沿其作用线滑移不会改变对物体的作用效果。（）二．选择题 1、在下述公理、法则、原理中，只适于刚体的有（） ①二力平衡公理②力的平行四边形法则 ③加减平衡力系公理④力的可传性原理⑤作用与反作用公理 三．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。整体受力图可在原图上画。 )a(球A )b(杆AB d(杆AB、CD、整体 )c(杆AB、CD、整体) f(杆AC、CD、整体 )e(杆AC、CB、整体) 四．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。多杆件的整体受力图可在原图上画。 )a(球A、球B、整体)b(杆BC、杆AC、整体 班级 姓名 学号 第一章 静力学公理与受力分析（2） 一．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑 接触。整体受力图可在原图上画。 W A D B C E Original Figure A D B C E W W F Ax F Ay F B FBD of the entire frame )a (杆AB 、BC 、整体 )b (杆AB 、BC 、轮E 、整体 )c (杆AB 、CD 、整体 )d (杆BC 带铰、杆AC 、整体 理论力学---1 1-1.两个力，它们的大小相等、方向相反和作用线沿同一直线。这是 (A)它们作用在物体系统上，使之处于平衡的必要和充分条件； (B)它们作用在刚体系统上，使之处于平衡的必要和充分条件； (C)它们作用在刚体上，使之处于平衡的必要条件，但不是充分条件； (D)它们作用在变形体上，使之处于平衡的必要条件，但不是充分条件； 1-2. 作用在同一刚体上的两个力F1和F2，若F1 = - F2，则表明这两个力 (A)必处于平衡； (B)大小相等，方向相同； (C)大小相等，方向相反，但不一定平衡； (D)必不平衡。 1-3. 若要在已知力系上加上或减去一组平衡力系，而不改变原力系的作用效果，则它们所作用的对象必需是 (A)同一个刚体系统； (B)同一个变形体； (C)同一个刚体，原力系为任何力系； (D)同一个刚体，且原力系是一个平衡力系。 1-4. 力的平行四边形公理中的两个分力和它们的合力的作用范围 (A)必须在同一个物体的同一点上； (B)可以在同一物体的不同点上； (C)可以在物体系统的不同物体上； (D)可以在两个刚体的不同点上。 1-5. 若要将作用力沿其作用线移动到其它点而不改变它的作用，则其移动范围 (A)必须在同一刚体内； (B)可以在不同刚体上； (C)可以在同一刚体系统上； (D)可以在同一个变形体内。 1-6. 作用与反作用公理的适用范围是 (A)只适用于刚体的内部； (B)只适用于平衡刚体的内部； (C)对任何宏观物体和物体系统都适用； (D)只适用于刚体和刚体系统。 1-7. 作用在刚体的同平面上的三个互不平行的力，它们的作用线汇交于一点，这是刚体平衡的 (A)必要条件，但不是充分条件； (B)充分条件，但不是必要条件； (C)必要条件和充分条件； (D)非必要条件，也不是充分条件。 1-8. 刚化公理适用于 (A)任何受力情况下的变形体； (B)只适用于处于平衡状态下的变形体； (C)任何受力情况下的物体系统； (D)处于平衡状态下的物体和物体系统都适用。 1-9. 图示A、B两物体，自重不计，分别以光滑面相靠或用铰链C相联接，受两等值、反向且共线的力F1、F2的作用。以下四种由A、B所组成的系统中，哪些是平衡的？ 第一章静力学基础 一、是非题 1．力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。 （） 2．在理论力学中只研究力的外效应。（） 3．两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。（）4．作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。（）5．作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。（） 6．三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。（） 7．平面汇交力系平衡时，力多边形各力应首尾相接，但在作图时力的顺序可以不同。 （）8．约束力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。（） 二、选择题 1．若作用在A点的两个大小不等的力 1和2，沿同一直线但方向相反。则 其合力可以表示为。 ①1－2； ②2－1； ③1＋2； 2．作用在一个刚体上的两个力A、B，满足A=－B的条件，则该二力可能是 。 ①作用力和反作用力或一对平衡的力；②一对平衡的力或一个力偶。 ③一对平衡的力或一个力和一个力偶；④作用力和反作用力或一个力偶。 3．三力平衡定理是。 ①共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点； ②共面三力若平衡，必汇交于一点； ③三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。 4．已知F 1、F 2、F 3、F4为作用于刚体上的平面共点力系，其力矢 关系如图所示为平行四边形，由此。 ①力系可合成为一个力偶； ②力系可合成为一个力； ③力系简化为一个力和一个力偶； ④力系的合力为零，力系平衡。 5．在下述原理、法则、定理中，只适用于刚体的有。 ①二力平衡原理；②力的平行四边形法则； ③加减平衡力系原理；④力的可传性原理； ⑤作用与反作用定理。 三、填空题 1.图示结构中的各构件自重不计。已知P =5 kN ，M=5 kN. m，q = 2.5kN/m 。 试求固定端A及滚动支座B处的约束反力。 2、一重W的物体置于倾角为α的斜面上，若摩擦系数为f， 且tgα 《理论力学》试题库 第一部分 填空题： 第一类： 1，已知某质点运动方程为x=2bcoskt,y=2bsinkt,其中b 、k 均为常量，则其运动轨迹方程为————————————，速度的大小为————————————，加速度的大小为————————————。 2、已知某质点运动方程为x=2cos3t,y=2sin3t,z=4t 则其运动速度的大小为 ，加速度的大小为 。 3、已知某质点运动方程为r=e ct ,θ=bt,其中b 、c 是常数，则其运动轨道方程为——————————————————————，其运动速度的大小为——————————，加速度的大小为————————————。 4、已知某质点的运动方程为x=2bcos 2kt ，y=bsin2kt ，则其运动轨道方程为 ；速度大小为 ；加速度大小为 。 5、已知质点运动的参数方程为y=bt ，θ=at ，其中a 、b 为常数，则此质点在极坐标系中的轨道方程式为 ，在直角坐标系中的轨道方程式为 。 6、已知某质点的运动方程为r=at,θ=bt,其中a 、b 是常数，则其运动轨道方程为——————————————————————，其运动速度的大小为——————————，加速度的大小为————————————。 7、已知某质点运动方程为r=at,θ=b/t,其中a 、b 是常数，则其运动轨道方程为———————————————，其运动速度的大小为——————————，加速度的大小为—————————。 8、已知某质点的运动方程为x=at,y=a(e t －e －t )/2,其中a 为常数，则其运动轨道方程为——————————————————————，曲率半径为——————————。 第二类： 9、质点在有心力作用下，其————————————————————均守恒，其运动轨道的微 分方程为——————————————————————，通常称此轨道微分方程为比耐公式。 10、柯尼希定理的表达式为————————————————————，其中等式右边第一项和第 第一章 部分习题解答 1-3 试画出图示各结构中构件AB 的受力图 1-4 试画出两结构中构件ABCD 的受力图 F Ax F A y F B (a) (a) F A F B F Bx F C F B F C F By F B F D F D F Bx F By 1-5 试画出图a 和b 所示刚体系整体合格构件的受力图 1-5a F Ax F A y F D F By F A F Bx F B F A F A F B F D N ’ F B F D F A N 1-5b 1- 8在四连杆机构的ABCD 的铰链B 和C 上分别作用有力F 1和F 2，机构在图示位置平衡。 试求二力F 1和F 2之间的关系。 解： 杆AB ，BC ，CD 为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。 解法1(解析法) 假设各杆受压，分别选取销钉B 和C 为研究对象，受力如图所示： 由共点力系平衡方程，对B 点有： ∑=0x F 045cos 02=-BC F F 对C 点有： ∑=0x F 030cos 01=-F F BC F Ax F A y F Dx F Dy W T E F Cx F C y W F Ax F A y F Bx F B y F Cx F C y F Dx F Dy F Bx F By T E 045 030 解以上二个方程可得：22163.13 6 2F F F == 解法2(几何法) 分别选取销钉B 和C 为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B 和C 点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。 对B 点由几何关系可知：0245cos BC F F = 对C 点由几何关系可知： 0130cos F F BC = 解以上两式可得：2163.1F F = F F 理论力学第一章习题答案 设开始计时的时刻速度为,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为. 则有: 由以上两式得 再由此式得 证明完毕. { { S S t t 题1.1.1图 0v a ()()??? ??? ? +-+=-=2 2121021102122 1t t a t t v s at t v s 1102 1 at t s v += () () 2121122t t t t t t s a +-= () 1第1.3题图 由题分析可知，点的坐标为 又由于在中，有 （正弦定理）所以 联立以上各式运用 由此可得 得 得 化简整理可得 此即为点的轨道方程. （2）要求点的速度，分别求导 y 题1.3.2图 C ? ? ?=+=ψψ ?sin cos cos a y a r x ?AOB ? ψsin 2sin a r = r y r a 2sin 2sin == ψ?1cos sin 22=+??r y a x r a x 2 2cos cos --= -=ψ?12422 222222=---++r y a x y a x r y 22222223y a x r a x y -=-++()() 2 222222234r a y x y a x -++=-C C ??? ? ?? ? =--=2cos sin cos 2cos sin ?ωψψ?ω?ωr y r r x 又因为 对两边分别求导 故有 所以 ①② 对①求导 ③ 对③求导 ④ 对②求导 ⑤ 对⑤求导 ⑥ 对于加速度，我们有如下关系见题1.7.1图 ? ω =ψ?sin 2sin a r =ψ ? ωψ cos 2cos a r = 22y x V +=4cos sin cos 2cos sin 2222 ? ωψψ?ω?ωr r r +??? ? ??--=()ψ?ψ??ψ ω ++= sin cos sin 4cos cos 22r ? ? ?==θθ sin cos r y r x θθθ sin cos r r x -=θθθθθθθcos sin sin 2cos 2 r r r r x ---=θθθcos sin r r y +=θθθθθθθsin cos cos 2sin 2 r r r r y -++= a 题1.7.1图 理论力学题库——第二章 一、 填空题 1. 对于一个有n 个质点构成的质点系，质量分别为123,,,...,...i n m m m m m ，位置矢量分别 为123,,,...,...i n r r r r r ，则质心C 的位矢为 。 2. 质点系动量守恒的条件是 。 3. 质点系机械能守恒的条件是 。 4. 质点系动量矩守恒的条件是 。 5. 质点组 对 的微商等于作用在质点组上外力的矢量和，此即质点组的 定理。 6. 质心运动定理的表达式是 。 7. 平面汇交力系平衡的充分必要条件是合力为零。 8. 各质点对质心角动量对时间的微商等于 外力对质心的力矩 之和。 9. 质点组的角动量等于 质心角动量 与各质点对质心角动量之和。 10. 质点组动能的微分的数学表达式为： ∑∑∑===?+?==n i i i i n i i e i n i i i r d F r d F v m d dT 1 )(1)(12 )21( ， 表述为质点组动能的微分等于 力和 外 力所作的 元功 之和。 11. 质点组动能等于 质心 动能与各质点对 质心 动能之和。 12. 柯尼希定理的数学表达式为： ∑='+=n i i i C r m r m T 1 2221 ，表述为质点组动能等于 质心 动能与各质点对 质心 动能之和。 13. 2-6.质点组质心动能的微分等于 、外 力在 质心系 系中的元功之和。 14. 包含运动电荷的系统，作用力与反作用力 不一定 在同一条直线上。 15. 太阳、行星绕质心作圆锥曲线的运动可看成质量为 折合质量 的行星受太阳(不动) 的引力的运动。 16. 两粒子完全弹性碰撞，当 质量相等 时，一个粒子就有可能把所有能量转移给另一个 粒子。 17. 设木块的质量为m 2 , 被悬挂在细绳的下端，构成一种测定子弹速率的冲击摆装置。如 果有一质量为m 1的子弹以速率v 1 沿水平方向射入木块，子弹与木块将一起摆至高度为 h 处，则此子弹射入木块前的速率为： 2 /11 2 11)2(gh m m m += v 。 18. 位力定理（亦称维里定理）可表述为：系统平均动能等于均位力积的负值 。（或 理论力学部分 第一章 静力学基础 一、是非题 1．力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。 （ ） 2．两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。 （ ） 3．作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。 （ ） 4．作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。 （ ） 5．三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。 （ ） 6．约束反力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。 （ ） 二、选择题 线但方向相反。 1．若作用在A 点的两个大小不等的力1F 和2F ，沿同一直则其合力可以表示为 。 ① 1F －2F ； ② 2F －1F ； ③ 1F ＋2F ； 2．三力平衡定理是 。 ① 共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点； ② 共面三力若平衡，必汇交于一点； ③ 三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。 3．在下述原理、法则、定理中，只适用于刚体的有 。 ① 二力平衡原理； ② 力的平行四边形法则； ③ 加减平衡力系原理； ④ 力的可传性原理； ⑤ 作用与反作用定理。 4．图示系统只受F 作用而平衡。欲使A 支座约束力的作用线与AB 成30?角，则斜面的倾角应为 ________。 ① 0?； ② 30?； ③ 45?； ④ 60?。 5．二力A F 、B F 作用在刚体上且 0=+B A F F ，则此刚体________。 ①一定平衡； ② 一定不平衡； ③ 平衡与否不能判断。 三、填空题 1．二力平衡和作用反作用定律中的两个力，都是等值、反向、共线的，所不同的是 。 2．已知力F 沿直线AB 作用，其中一个分力的作用与AB 成30°角，若欲使另一个分力的大小在所有分力中为最小，则此二分力间的夹角为 度。 3．作用在刚体上的两个力等效的条件是 第一章 思考题 1.1 平均速度与瞬时速度有何不同？在什么情况下，它们一致？ 答：平均速度因所取时间间隔不同而不同，它只能对运动状态作一般描述，平均速度的方向只是在首末两端点连线的方向；而瞬时速度表示了运动的真实状况，它给出了质点在运动轨道上各点处速度的大小和方向（沿轨道切线方向）。只有在匀速直线运动中，质点的平均速度才与瞬时速度一致。 1.2 在极坐标系中，θθ&&r v r v r ==，为什么2θ&&&r r a r -=而非r &&？为什么θθθ&&&&r r a 2+=而非θθθ&&&&r r a +=？你能说出r a 中的2θ&r -和θa 中另一个θ& &r 出现的原因和它们的物理意义吗？ 答：在极坐标系中，径向速度和横向速度，不但有量值的变化，而且有方向的变化，单位矢量对时间的微商不再等于零，导致了上面几项的出现。实际上将质点的运动视为径向的直线运动以及以极点为中心的横向的圆周运动。因此径向加速度分量r a 中，除经 向直线运动的加速度r & &外，还有因横向速度的方向变化产生的加速度分量2θ&r -；横向加速度分量中除圆周运动的切向加速度分量θ&&r 外，还有沿横向的附加加速度θ&&r 2，其中的一半θ&&r 是由于径向运动受横向转动的影响而产生的，另一半θ&&r 是由于横向运动受径 向运动的影响而产生的。 1.3 在内禀方程中，n a 是怎样产生的？为什么在空间曲线中它总沿着主法线的方向？当质点沿空间曲线运动时，副法线方向的加速度b a 等于零，而作用力在副法线方向的分量b F 一般不等于零，这是不是违背了牛顿运动定律呢？ 答：由于自然坐标系是以轨道切线、主法线和副法线为坐标系，当质点沿着轨道曲线运动时，轨道的切线方向始终在密切平面内，由于速度方向的不断变化，产生了n a 沿主法线方向且指向曲率中心。在副法线方向不存在加速度分量，b a 等于零，这并不违背牛顿运动定律，因为在副法线方向作用的主动外力不一定为零，但可做到∑=0b F ，即所有外力之和在副法线方向平衡。 《理论力学》试题库 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 《理论力学》试题库 第一部分填空题： 第一类： 1，已知某质点运动方程为x=2bcoskt,y=2bsinkt,其中b、k均为常量，则其 运动轨迹方程为 ————————————，速度的大小为 ———————————— ，加速度的大小为 ———— ———————— 。 2、已知某质点运动方程为x=2cos3t,y=2sin3t,z=4t则其运动速度的大小为，加速度的大小为。 3、已知某质点运动方程为r=e ct,θ=bt,其中b、c是常数，则其运动轨道方程 为 ——————————————————————，其运动速度的大小为 —————————— ，加速度的大小为 — ——————————— 。 4、已知某质点的运动方程为x=2bcos2kt，y=bsin2kt，则其运动轨道方程 为 ；速度大小为；加速度大小为。 5、已知质点运动的参数方程为y=bt，θ=at，其中a、b为常数，则此质点在极坐标系中的轨道方程式为，在直角坐标系中的轨道方程式为。 6、已知某质点的运动方程为r=at,θ=bt,其中a、b是常数，则其运动轨道方 程为 ——————————————————————，其运动速度的大小为 —————————— ，加速度的大小为 ———————————— 。 7、已知某质点运动方程为r=at,θ=b/t,其中a、b是常数，则其运动轨道方 程为 ———————————————，其运动速度的大小为 —————————— ，加速度的大小为 —————— ——— 。 8、已知某质点的运动方程为x=at,y=a(e t－e－t)/2,其中a为常数，则其运动 轨道方程为 ——————————————————————，曲率半径为 —————————— 。 第二类： 9、质点在有心力作用下，其 ———————————————————— 均守恒，其运动轨道的微 第一章 静力学基础 一、 选择题 1.如图所示三铰刚架，受水平力P 作用，有以下四种说法，其中错的是（ ）。 A.AC 为二力平衡杆件 B.BC 为三力平衡构件 C.反力R A 和R B 的方向都指向C D.R A 的方向指向C ，R B 的方向不确定 2．光滑面对物体的约束力，作用在接触点处，方向沿接 触面的公法线，且（ ） A ．指向受力物体，恒为拉力 B ．指向受力物体，恒为压力 C ．背离受力物体，恒为拉力 D ．背离受力物体，恒为压力 3．力的可传性原理是指作用于刚体上的力可在不改变其对刚体的作用效果下（ ） A ．平行其作用线移到刚体上任一点 B ．沿其作用线移到刚体上任一点 C ．垂直其作用线移到刚体上任一点 D ．任意移动到刚体上任一点 4.柔索对物体的约束反力，作用在连接点，方向沿柔索( ) A.指向该被约束体，恒为拉力 B.背离该被约束体，恒为拉力 C.指向该被约束体，恒为压力 D.背离该被约束体，恒为压力 5.图示平面结构，由两根自重不计的直角弯杆组成，C 为铰链。不计各接触处摩擦，若在D 处作用有水平向左的主动力F ，则支座A 对系统的约束反力为（ ） A.F ，方向水平向右 B. 2 F ，方向铅垂向上 C. 2 2 F ，方向由A 点指向C 点 D. 2 2 F ，方向由A 点背离C 点 6.加减平衡力系公理适用于( ) A.刚体 B.变形体 C.任意物体 D.由刚体和变形体组成的系统 7.如图所示，不计自重的杆AB ，其A 端与地面光滑铰接，B 端放置在倾角为30°的光滑斜面上，受主动力偶M 的作用，则杆AB 正确的受力图为( ) 8、( )是平面一般力系简化的基础。 A.二力平衡公理 B.力的可传性定理 C.作用和与反作用公理 D.力的平移定理 9.三直角折杆AB 、BC 、BD 连接如图所示，不计自重。其中属二力杆的杆件是（ ） A.AB 杆 B.BC 杆 C.AB 杆和BC 杆 D.BD 杆 10.如图所示简支梁，受P 力作用，对于反力R A 、R B 有以下四种表述，其中正确的是（ ）。 A.R A 、R B 的方向都是向上的。即↑ B.反力R A ↓，R B ↑ C.反力R A 方向不定，R B ↑ D.反力R A 、R B 的方向都是向下的，即↓ 一选择题 1D2B 3B 4B 5C 6A 7C 8D 9A 10A 二 .填空题 1、力矩的三要素为大小、方向、 。 2、静力学是是研究物体在力系作用下的 的科学。 3．作用于刚体上的力，可沿其作用线任意移动其作用点，而不改变该力对刚体的作用效果，称为力的_________。 4.只在两点受力而处于 无重杆，称为二力杆。 5．作用在刚体上的力F ，可以平行移动到刚体上任一点O ，但必须附加一力偶，此附加力偶的矩等于____________。 第一章习题 1.4 细杆绕点以角速转动，并推动小环C 在固定的钢丝上滑动。图中的为已知常数，试求小球的速度及加速度的量值。 解 如题1.4.1图所示， 绕点以匀角速度转动，在上滑动，因此点有一个垂直杆的速度分量 点速度 又因为所以点加速度 OL O ωAB d A B O C L x θd 第1.4题图 OL O C AB C 22x d OC v +=?=⊥ωωC d x d d v v v 222 sec sec cos +====⊥⊥ω θωθθωθ =&C θθθω&????==tan sec sec 2d dt dv a () 2 222222tan sec 2d x d x d += =ωθθω 1.5 矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示： 式中及为常数，试求运动开始秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初速度为零。 解 由题可知，变加速度表示为 由加速度的微分形式我们可知 代入得 对等式两边同时积分 可得 ： （为常数） 代入初始条件：时，，故 即 又因为 所以 对等式两边同时积分，可得： ??? ? ? -=T t c a 2sin 1πc T t ?? ? ?? -=T t c a 2sin 1πdt dv a = dt T t c dv ??? ? ? -=2sin 1πdt T t c dv t v ???? ? ??-=00 2sin 1πD T t c T ct v ++ =2cos 2ππ D 0=t 0=v c T D π 2- =????????? ??-+ =12cos 2T t T t c v ππdt ds v = dt T t T t c ???? ? ???? ??-+12cos 2ππ=ds ??? ?????? ??-+=t T t T T t c s 2sin 222 12πππ 理论力学课后习题第二章思考题解答 2.1.答：因均匀物体质量密度处处相等，规则形体的几何中心即为质心，故先找出各规则形体的质心把它们看作质点组，然后求质点组的质心即为整个物体的质心。对被割去的部分，先假定它存在，后以其负质量代入质心公式即可。 2.2.答：物体具有三个对称面已足以确定该物体的规则性，该三平面的交点即为该物体的几何对称中心，又该物体是均匀的，故此点即为质心的位置。 2.3.答：对几个质点组成的质点组，理论上可以求每一质点的运动情况，但由于每一质点受到周围其它各质点的相互作用力都是相互关联的，往往其作用力难以 n3 预先知道；再者，每一质点可列出三个二阶运动微分方程，各个质点组有个相互关联的三个二阶微分方程组，难以解算。但对于二质点组成的质点组，每一质点的运动还是可以解算的。 若质点组不受外力作用，由于每一质点都受到组内其它各质点的作用力，每一质点的合内力不一定等于零，故不能保持静止或匀速直线运动状态。这表明，内力不改变质点组整体的运动，但可改变组内质点间的运动。 2.4.答：把碰撞的二球看作质点组，由于碰撞内力远大于外力，故可以认为外力为零，碰撞前后系统的动量守恒。如果只考虑任一球，碰撞过程中受到另一球的碰撞冲力的作用，动量发生改变。 2.5.答：不矛盾。因人和船组成的系统在人行走前后受到的合外力为零（忽略水对船的阻力），且开船时系统质心的初速度也为零，故人行走前后系统质心相对地面的位置不变。当人向船尾移动时，系统的质量分布改变，质心位置后移，为抵消这种改变，船将向前移动，这是符合质心运动定理的。 2.6.答：碰撞过程中不计外力，碰撞内力不改变系统的总动量，但碰撞内力很大， 本部理论力学复习资料 计算各题中构件的动量、对转轴的转动惯量，对转轴的动量矩、动能。图a-d 中未标注杆长L ，质量m ，圆盘半径R ，质量M ，均为均质构件,转动角速度均为w 。 填空题 1.平面任意力系平衡的充分必要条件是力系的（ ）（ ）为零。 2.力系向一点简化得到的主矢与简化中心位置（ ）关，主矩矢一般与简化中心位置（ ）关。平面一般力系向一点简化可能得到的结果为力系简化为（ ）、（ ）或力系平衡。 4.平面汇交力系独立的平衡方程有（ ）个，空间汇交力系有（ ）个独立 平衡方程。 5.动点作曲线运动时的全加速度等于（ ）与（ ）两者矢量和。 6．已知质点运动方程为22,x t t y t =-+=，式中单位均为国际单位，则2t =秒时质点速度在,x y 轴投影分别为（ ）（ ）；质点速度大小为（ ）；加速度在,x y 轴投影大小分别为（ ）（ ）。 8. 力F 在x 轴上投影Fx=0和力F 对x 轴之矩Mx(F)=0，那么力F 应与（ ）轴（ ）并且（ ）。 9. 力偶矩矢的三个基本要素是（ ）（ ）和（ ）。 10. 直角刚杆AO=2m ，BO=3m ，已知某瞬时A 点的速度V A =4m/s,而B 点加速度与BO 成?=α60角。则该瞬时刚杆的角速度ω=（ ）rad/s ，角加速度ε=（ ）rad/s 2。 (a)(b) (c) e f 11.物体保持原有的（ ）（ ）状态的性质称为惯性。 12.平面一般力系向一点简化可能得到的结果为力系简化为（ ）、（ ）或力系平衡。 13.质心运动定理在空间直角坐标系下的三个投影方程为：（ ）；（ ）；（ ）。 14.摩擦角是指临界平衡时（ ）与（ ）夹角。 15.瞬时平动刚体上各点的速度（ ）；各点加速度一般（ ）。（填相等、不相等）。 选择题 斜面倾角为30α= ，物块质量为m ，与斜面间的摩擦系数0.5s f =，动滑动摩擦系数 d f = （A ） （B ） （C ） (D)质量为m 压力大小为(A) mg （C ） 点 （t 以厘米计），则点（ ） (C)6cm,8cm/s 2 (D) 16cm,8cm/s 2 点的合成运动中的速度合成定理a e r v v v =+ ,适用于哪种类型的牵连运动? (A) 只适用于牵连运动为平动的情况 (B) (C) (D) 楔形块A ,B 自重不计,大小相等,方向相反,(A) A ,B 都不平衡(C) A 平衡, B 不平衡 第一章 思考题 平均速度与瞬时速度有何不同？在什么情况下，它们一致？ 答：平均速度因所取时间间隔不同而不同，它只能对运动状态作一般描述，平均速度的方向只是在首末两端点连线的方向；而瞬时速度表示了运动的真实状况，它给出了质点在运动轨道上各点处速度的大小和方向（沿轨道切线方向）。只有在匀速直线运动中，质点的平均速度才与瞬时速度一致。 在极坐标系中，θθ&&r v r v r ==，为什么2θ&&&r r a r -=而非r & &？为什么θθθ&&&&r r a 2+=而非θθθ&&&&r r a +=？你能说出r a 中的2θ&r -和θa 中另一个θ&&r 出现的原因和它们的物理意 义吗？ 答：在极坐标系中，径向速度和横向速度，不但有量值的变化，而且有方向的变化，单位矢量对时间的微商不再等于零，导致了上面几项的出现。实际上将质点的运动视为径向的直线运动以及以极点为中心的横向的圆周运动。因此径向加速度分量r a 中，除经 向直线运动的加速度r & &外，还有因横向速度的方向变化产生的加速度分量2θ&r -；横向加速度分量中除圆周运动的切向加速度分量θ&&r 外，还有沿横向的附加加速度θ&&r 2，其中的一半θ&&r 是由于径向运动受横向转动的影响而产生的，另一半θ&&r 是由于横向运动受径 向运动的影响而产生的。 在内禀方程中，n a 是怎样产生的？为什么在空间曲线中它总沿着主法线的方向？当质点沿空间曲线运动时，副法线方向的加速度b a 等于零，而作用力在副法线方向的分量b F 一般不等于零，这是不是违背了牛顿运动定律呢？ 答：由于自然坐标系是以轨道切线、主法线和副法线为坐标系，当质点沿着轨道曲线运动时，轨道的切线方向始终在密切平面内，由于速度方向的不断变化，产生了n a 沿主法线方向且指向曲率中心。在副法线方向不存在加速度分量，b a 等于零，这并不违背牛顿运动定律，因为在副法线方向作用的主动外力不一定为零，但可做到∑=0b F ，即所有外力之和在副法线方向平衡。 1.物体重P=20KN,用绳子挂在支架的滑轮B上，绳子的另一端接在绞D上，如图所示，转动绞，物体便能升起。设滑轮的大小，AB与CD杆自重及摩擦忽略不算，A,B,C三处均为铰链链接。当物体平衡时，求拉杆AB和支杆CB所受的力。 2.在图示刚架的点B作用一水平力F尺寸如图，钢架重量忽略不计，求支座A,D的约束力 Fa和Fd。 3.已知梁AB上作用一力偶，力偶矩为M，梁长为L，梁重不计，求在图a,b,c三种情况下， 支座A,B的约束力。 4.无重水平梁的支撑和载荷如图a,b所示，已知力F，力偶矩M的力偶和强度为q的均布载荷，求支座A,B处的约束力。 5.由AC和CD构成的组合梁通过铰链C链接，它的支撑和受力如图所示，已知均布载荷强度q=10kN/m，力偶矩M=40kN·m，不计梁重，求支座A,B,D的约束力和铰链C处的所受的力。 6.在图示构架中，各杆单位长度的重量为300N/m，载荷P=10kN,A处为固定端，B,C,D,处为铰链，求固定端A处及B,C铰链处的约束力。 7..杆OA长L,有推杆推动而在图面内绕点O转动，如图所示，假定推杆的速度为v，其弯头高为a。求杆端A的速度大小（表示为x的函数）。 8.平底顶杆凸轮机构如图所示，顶杆AB课沿导槽上下移动，偏心圆盘绕轴O转动，轴O 位于顶杆轴线上。工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面。该凸轮半径为R，偏心距OC=e，凸轮绕轴O 转动的角速度为w，OC与水平线成夹角φ。当φ=0°时，顶杆的速度。 9.图示铰接四边形机构中，O1A=O2B=100mm，又O1O2=AB,杆O1A以等角速度w=2rad/s绕轴O1转动。杆AB上有一套筒C，此套筒与杆CD相铰接。机构的各部件都在同一铅直面内。求φ=60°时，杆CD的速度和加速度。 理论力学2章作业题解 1-1 支座受力F ，已知F ＝10kN ，方向如图所示。求力F 沿x 、y 轴及沿x ′、y ′轴分解的结果，并求力F 在各轴上的投影。 解答 分力的大小需按平行四边形法则进行计算。 F 在x ，y 轴上的分力大小为：kN F F x 66.830cos ||0 ==r ，kN F F y 0.530sin ||0==r 。 F 在x ￠，y ￠轴上的分力大小为：kN F F x 0.10||==￠r ，kN F F y 17.515sin 2||0=′=￠r 。 F 在x ，y 轴上的投影大小为：kN F F x 66.830cos 0==，kN F F y 0.530sin 0==。 F 在x ￠，y ￠轴上的投影大小为：kN F F x 66.830cos 0==￠，kN F F y 59.275cos 0-=-=￠。 1-3计算图中F 1、F 2、F 3三个力分别在x 、y 、z 轴上的投影。已知F 1＝2kN ，F 2＝1kN ，F 3＝3kN 。 解答 0.0,6.18.0,2.16.011111==′=-=′-=z y x F kN F F kN F F . kN F F kN F F kN F F z y x 707.0,566.08.0,424.06.022 2222222222=′==′′==′′ = kN F kN F kN F z y x 0.3,0.0,0.0333=== 1-5 力F 沿正六面体的对顶线AB 作用，F ＝100N 。求F 在ON 上的投影。 解答 计算ON 方向的单位矢量n 。 k j k j n 447.0894.020040020040022+=++= 力F 的解析表达式为： k j i k j i F 470.62470.62852.46 400400300)400400300(1002 22++-=++++-= 力F 在ON 轴的投影为 N F ON 78.83447.047.62894.047.62=′+′=×=n F 题1-1 附图 题1-3 附图 题1-5 附图 理论力学 期末考试试题 1-1、自重为P=100kN 的T 字形钢架ABD,置于铅垂面内，载荷如图所示。其中转矩M=20kN.m ，拉力F=400kN,分布力q=20kN/m,长度l=1m 。试求固定端A 的约束力。 解：取T 型刚架为受力对象，画受力图. 1-2 如图所示，飞机机翼上安装一台发动机，作用在机翼OA 上的气动力按梯形分布： 1q =60kN/m ，2q =40kN/m ，机翼重1p =45kN ，发动机重2p =20kN ，发动机螺旋桨的反作用 力偶矩M=18kN.m 。求机翼处于平衡状态时，机翼根部固定端O 所受的力。 解： 1-3图示构件由直角弯杆EBD以及直杆AB组成，不计各杆自重，已知q=10kN/m，F=50kN，M=6kN.m，各尺寸如图。求固定端A处及支座C的约束力。 1-4 已知：如图所示结构，a, M=Fa, 12F F F ==, 求：A ，D 处约束力. 解： 1-5、平面桁架受力如图所示。ABC 为等边三角形，且AD=DB 。求杆CD 的内力。 1-6、如图所示的平面桁架，A 端采用铰链约束，B 端采用滚动支座约束，各杆件长度为1m 。在节点E 和G 上分别作用载荷E F =10kN ，G F =7 kN 。试计算杆1、2和3的内力。 解： 2-1 图示空间力系由6根桁架构成。在节点A上作用力F，此力在矩形ABDC平面内，且与铅直线成45o角。ΔEAK=ΔFBM。等腰三角形EAK，FBM和NDB在顶点A，B和D处均为直角，又EC=CK=FD=DM。若F=10kN，求各杆的内力。 第一章静力学公理与受力分析（1） 一. 是非题 1、 加减平衡力系公理不但适用于刚体，还适用于变形体。 （） 2、 作用于刚体上三个力的作用线汇交于一点 ，该刚体必处于平衡状态。（） 3、 刚体是真实物体的一种抽象化的力学模型 ，在自然界中并不存在。（） 4、 凡是受两个力作用的刚体都是二力构件 。 （） 5、 力是滑移矢量，力沿其作用线滑移不会改变对物体的作用效果 。 （） 二. 选择题 1、在下述公理、法则、原理中，只适于刚体的有 （） ①二力平衡公理 ②力的平行四边形法则 ③加减平衡力系公理 ④力的可传性原理 ⑤作用与反作用公理 滑接触。整体受力图可在原图上画 (b)杆 AB F H 画出下列图中指定物体受力图 。未画重力的物体不计自重 ，所有接触处均为光 （c）杆AB、CD、整体 （d ）杆AB、CD、整体 (e)杆AC 、CB 、整体 (f )杆AC 、CD 、整体 四.画出下列图中指定物体受力图 。未画重力的物体不计自重 ，所有接触处均为光 滑接触。多杆件的整体受力图可在原图上画 。 (a )球A 、球B 、整体 (b)杆BC 、杆AC 、整体 岁」」L j 第一章静力学公理与受力分析(2) 画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接 触。整体受力图可在原图上画 B FBD of the en tire frame (a)杆AB、BC、整体 Original Figure (b )杆AB、BC、轮E、整体 (d )杆BC带铰、杆AC、整体 (e )杆CE、AH、整体 (g )杆AB带轮及较A、整体 ru\p 月(h )杆AB、AC、AD、整体理论力学习题答案
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