北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元
测试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.在Rt ABC 中,90C ∠=,3AC =,4AB =,那么cos A 的值是( )
A .45
B .
34 C .35
D .43 2.若α为锐角,且tanα=53,则有( ) A .0°<α<30° B .30°<α<45°
C .45°<α<60°
D .60°<α<90°
3.ABC 中,90C ∠=,且3c b =,则cos (A = )
A B C .13 D 4.已知α为锐角,则m =sinα+cosα的值( )
A .m >1
B .m =1
C .m <1
D .m ≥1 5.下列说法中,正确的是( )
A .sin60cos301+=
B .若α1sin α-
C .对于锐角β,必有sin cos ββ<
D .在Rt ABC 中,90C ∠=,则有tan cos 1A B =
6.如图,为测学校旗杆的高度,在距旗杆10米的A 处,测得旗杆顶部B 的仰角为α,则旗杆的高度BC 为( )
A .10tan α
B .10tan α
C .10sin α
D .10sin α 7.已知3sin 5α=
,α为锐角,则tan α的值为( ) A .45 B .43 C .34 D .12
8.在ABC 中,90C ∠=,1AC BC ==,则sin A 的值是( )
A B .2 C .1 D .12
9.如图,市规划局准备修建一座高6AB m =的过街天桥,已知天桥的坡面AC 的坡度3:4i =,则坡面AC 的长度为( )
A .10m
B .8m
C .6m
D .
10.一艘轮船从港口O 出发,以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A 处,此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B .若以港口O 为坐标原点,正东方向为x 轴的正方向,正北方向为y 轴的正方向,1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系(如图),则小岛B 所在位置的坐标是( )
A .,30)
B .(30,
C .30)
D .(30,
二、填空题 11.如图,Rt ABC 中,90C ∠=,D 是BC 上一点,AD BD =,4tan 3ADC ∠=,
AB =CD =________.
12.小丽在大楼窗口A 测得校园内旗杆底部C 的俯角为α度,窗口离地面高度A =?(米),那么旗杆底部与大楼的距离BC =________米(用α的三角比和?的式子表示)
13.如图,在ABC 中,已知AB AC =,45A ∠=,BD AC ⊥于点D .根据该图
可以求出tan22.5=________.
14.有一轮船由东向西航行,在A 处测得西偏北15有一灯塔P ,继续航行10海里后到B 处,又测得灯塔P 在西偏北30,如果轮船航向不变,则灯塔与船之间的最近距离是____海里.
15.如图,秋千链子的长度为4m ,当秋千向两边摆动时,两边的摆动角度均为30.则它摆动至最高位置与最低位置的高度之差为________(结果保留根号).
16.如图是引拉线固定电线杆的示意图.已知:CD AB ⊥,CD =,
60CAD CBD ∠=∠=,则拉线AC 的长是________m .
17.如图,P 是α∠的边OA 上一点,且P 点坐标为()3,4,则sin α=_____,cos α=______.
18.如图,BE 是半径为 6 的⊙D 的圆周,C 点是BE 上的任意一点,△ABD 是等边三角形,则四边形ABCD 的周长P 的取值范围是
19.在一次夏令营活动中,小亮从位于A 点的营地出发,沿北偏东60方向走了5km 到达B 地,然后再沿北偏西30方向走了若干千米到达C 地,测得A 地在C 地南偏西30方向,则A 、C 两地的距离为________.
三、解答题
20.计算:2tan 602sin45cos60-+.
21.在Rt ABC 中,90C ∠=,A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ,根据
下列条件:c =60A ∠=,求出直角三角形的其他元素.
22.在一海岸直线a 上由于A 、B 两个海港,一轮船由B 港沿北偏东60方向航行,当轮船航信20海里到达P 处时,在A 港测得轮船在A 港的北偏西60方向;当轮船继续按原航线航行到C 处时,在A 港测得轮船在A 港的北偏东15方向上.此时轮船在C 处发生故障,准备返回到A 港维修,求AC 的距离(保留根号).
23.某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示,看台有四级高度相等的小台阶,每级小台阶都为0.4米.现要做一个不锈钢的扶手AB 及两根与FG 垂直且长均为l 米的不锈钢架杆AD 和BC (杆子的底端分别为D ,C ),且∠DAB=66°.
(1)求点D与点C的高度差DH的长度;
(2)求所用不锈钢材料的总长度l(即AD+AB+BC,结果精确到0.1米).(参考数据:sin66°≈0.91,cos66°≈0.41,tan66°≈2.25,cot66°≈0.45)
24.剑川县电力公司并入南方电网后,为进一步完善农村电路,需建造如图所示的铁塔、架设高压线.已知铁塔AE建在小山AB上,铁塔CD建在与AE水平距离为75米(即BC 米)的地方,并在铁塔CD处测得塔底C到山顶A的仰角为30(两铁塔的高75
相等).如果要在两铁塔顶D、E间架设一条高压线,那么这条高压线至少为多长?
25.(10分)小华为了测量楼房AB的高度,他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m,到达坡顶D处.已知斜坡的坡角为15°.(以下计算结果精确到0.1m)
(1)求小华此时与地面的垂直距离CD的值;
(2)小华的身高ED是1.6m,他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°,求楼房AB的高度.
参考答案
1.B
【分析】
由锐角三角函数的定义求解.
【详解】
如图所示:
Cos A =
AC AB =34
. 故选B. 【点睛】
考查了锐角三角函数的定义,解答本题的关键是余弦的定义(邻边与斜边的比值).
2.C.
【解析】
试题分析:首先明确tan45°=1,tan60°,再根据正切值随着角的增大而增大,进行分析.
∵tan45°=1,tan60°,α为锐角,α越大,正切值越大.
又1<53 ∴45°<α<60°.
故选C .
考点: 锐角三角函数的增减性.
3.C
【解析】
【分析】
本题可以利用锐角三角函数的定义求解.
【详解】
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,且c=3b,
∴cosA=b
c
=
b
3b
=
1
3
.
故选:C.
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.
4.A
【分析】
设出直角三角形中α的对边,邻边,斜边,表示出α的正弦值,余弦值,相加后可得相应的取值.
【详解】
设直角三角形中α的对边为a,邻边为b,斜边为c,
∴m=sinα+cosα
=a b a b c c c
+
+=,
∵a+b>c,
∴a b
c
+
>1,即m>1.
故选A.
【点睛】
考查三角函数的知识;注意利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题;掌握一个直角三角形中各个角的三角函数值的求法是解决本题的关键.
5.B
【解析】
【分析】
根据各个选项中的说法可以判断它们是否正确,从而可以解答本题.
【详解】
sin60°+cos30°A错误;
若α-1|=1-sinα,故选项B正确;
若β=60°,则sin60°>cos60°,故选项C错误;
在Rt△ABC中,∠C=90°,则有tanAcosB=a
b
?
a
c
=
2
a
bc
,故选项D错误.
故选:B.
【点睛】
本题考查特殊角的三角函数值、锐角三角函数,解题的关键是明确题意,可以判断题目中的语句是否正确.
6.A
【解析】
【分析】
直接根据锐角三角函数的定义即可得出结论.
【详解】
∵BC⊥AC,∠A=α,AC=10米,
∴BC=AC?tanα=10tanα.
故选:A.
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用,熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键.
7.C
【解析】
【分析】
利用sin =3
5
,设AB=5x,则BC=3x,可得AC=4x,再利用锐角三角函数关系求出即可.
【详解】如图所示:
∵sinA=3
5
,
∴设AB=5x,则BC=3x,故AC=4x,
∴tanA=3
4
.
故选C.
【点睛】
此题主要考查了同角三角函数的关系,用同一未知数表示出各边长是解题关键.8.B
【解析】
【分析】
先根据已知条件判断出三角形的形状,再根据特殊角的三角函数值求解即可.【详解】
∵在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=1,
∴△ABC是等腰直角三角形,∠A=45°,
sinA=sin45°.
故选:B.
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质和特殊角的三角函数值.
9.A
【解析】
【分析】
根据坡度分概念求出BC,根据勾股定理计算即可.
【详解】
∵坡面AC的坡度i=3:4,
∴
3
4 AC
BC
=,
又AB=6m,
∴BC=8m,
由勾股定理得,,
故选A.
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题,掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的
定义是解题的关键.
10.A
【详解】
解:OA=15×4=60海里,
∵∠AOC=60°,∴∠CAO=30°,
∵sin30°=OC
AO
=
1
2
,
∴CO=30海里,
∴AC
∴BC=(-50)海里,
∴B(50,30).
故选A
【点睛】
本题考查掌握锐角三角函数的应用.11.3
【分析】
在Rt△ACD中,根据正切的定义得到tan∠ADC=AC
CD
=
4
3
,设AC=4x,CD=3x,根据勾股
定理得AD=5x,则BD=AD=5x,所以BC=BD+CD=8x,在Rt△ABC中,根据勾股定理得到
,于是有x=1,所以CD=3.
【详解】
在Rt△ACD中,tan∠ADC=AC
CD
=
4
3
,
设AC=4x,CD=3x,
∴,∴BD=AD=5x,
∴BC=BD+CD=8x,
在Rt△ABC中,AC=4x,BC=8x,
∴,
而
∴
解得x=1,
∴CD=3x=3.
故答案为3.
【点睛】
本题考查了解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.
12.?
tanα
【解析】
【分析】
根据题意可得,∠ACB=α,AB=h,然后利用三角函数求出BC的长度.
【详解】
在Rt△ABC中,
∵∠ACB=α,AB=h,
∴BC=AB
tanα=?
tanα
.
故答案为:?
tanα
.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形,利用三角函数的知识求解.
131
【解析】
【分析】
根据AB=AC,∠A=45°,BD⊥AC,求出∠DBC的度数,设AD为x,表示出CD、BD,根
据正切的定义求解即可.
【详解】
∵AB=AC ,∠A=45°
, ∴∠ABC=∠ACB=67.5°
, ∵∠A=45°
,BD ⊥AC , ∴∠ABD=45°
, ∴∠DBC=22.5°
,
设AD 为x ,则BD 为x ,,
∵AB=AC ,
∴x ,
∴x-x ,
∴tan ∠DBC=CD BD =x x
-1,
.
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的知识,掌握锐角三角函数的概念是解题的关键,注意等腰三角形的性质和三角形内角和定理的运用.
14.5
【解析】
【分析】
作PD ⊥AB 于D ,则PD 即为所求距离.根据已知先求得BP 的长,再根据三角函数即可求得PD 的长.
【详解】
由题意得,∠1=15°
,∠2=30°,AB=10, ∴∠APB=∠2-∠1=15°
, ∴∠1=∠APB=15°
, ∴AB=PB=10,
作PD ⊥AB 于D ,
在Rt △PDB 中,∠2=30°
, ∴PD=12PB=12
×10=5(海里). 故答案为5.
【点睛】
此题考查的是方向角在实际生活中的运用,解答此类题目关键是构造直角三角形,利用解直角三角形的知识解答.
15.(4m -
【解析】
【分析】
设秋千摆至最低点时的位置为C ,连结AB ,交OC 于D .当秋千摆至最低点C 时,点C 为弧AB 的中点,由垂径定理的推论知AB ⊥OC ,AD=BD ,再解直角△AOD ,求得OD ,进而求出DC 即可.
【详解】
如图,
设秋千摆至最低点时的位置为C ,连结AB ,交OC 于D ,
∵点C 为弧AB 的中点,O 为圆心,
∴AB ⊥OC ,AD=BD ,弧AC=弧BC ,
∵∠AOB=60°
, ∴∠AOC=30°
, ∵OA=OB=OC=4,
∴AD=12
OA=2,
∴,
即它摆动至最高位置与最低位置的高度之差为(m.
故答案为(m.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用,垂径定理的应用,将实际问题抽象为几何问题是解题的关键.
16.6
【解析】
【分析】
在直角△ACD中,利用三角函数即可求解.
【详解】
在直角△ACD中,sin∠CAD=CD AC
,
则AC=
CD
sin CAD
∠
=6.
答:拉线AC的长是6.
【点睛】
本题考查了三角函数,理解三角函数的定义是关键.
17.4
5
3
5
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义求解.
【详解】
∵P是∠α的边OA上一点,且P点坐标为(3,4),
∴PB=4,OB=3,.
故sinα=PB
OP
=
4
5
,cosα=
OB
OP
=
3
5
.
故答案为:4
5
,
3
5
【点睛】
此题很简单,考查的是锐角三角函数的定义,解答此类题目的关键是找出所求角的对应边.
18.1818
P
<≤+
【解析】
四边形ABCD的周长P就是四边形的四边的和,四边中AB,AD,CD的长是BD长度确定,因而本题就是确定BC的范围,BC一定大于0,且小于或等于BE,只要求出BE的长就可以.
∵△ABD是等边三角形,
∴AB+AD+CD=18,得p>18,
∵BC的最大值为当点C与E重合的时刻,BE=,
∴p≤18+6,
∴p的取值范围是18<P≤18+6.
故答案为18<P≤18+6.
此题考查了圆的性质与直角三角形的性质.解题的关键是找到临界点,将动态问题转化为普通的几何计算问题.注意数形结合思想的应用.
19
【解析】
【分析】
根据已知作图,由已知可得到△ABC是直角三角形,从而根据三角函数即可求得AC的长.【详解】
如图,
由题意可知,AB=5km,∠2=30°,∠EAB=60°,∠3=30°,
∵EF∥PQ,
∴∠1=∠EAB=60°
, 又∵∠2=30°
, ∴∠ABC=180°
-∠1-∠2=180°-60°-30°=90°, ∴△ABC 是直角三角形,
又∵MN ∥PQ ,
∴∠4=∠2=30°
, ∴∠ACB=∠4+∠3=30°
+30°=60°,
∴AC=sin ACB AB ∠3km .
故答案为:
3km . 【点睛】
本题是方向角问题在实际生活中的运用,解答此类题目的关键是根据题意画出图形利用解直角三角形的相关知识解答.
20.72
- 【解析】
【分析】
将特殊角的三角函数值代入求解即可.
【详解】
原式211723222
=-+=-=. 【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值,解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值.
21.30B ∠=, b =12a =.
【解析】
【分析】
在直角三角形中,两锐角互余可求出第三个角∠B ,之后再根据直角三角形中30°的角所对边是斜边的一半可得b 的长,再利用勾股定理计算出a .
【详解】
如图:
∵90C ∠=,c =,60A ∠=,
∴906030B ∠=-=,
∵c =
∴1122
b c ==?=
∴12a ===.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的问题,解题的关键是掌握解直角三角形的概念及方法.
22.AC 间的距离是
【解析】
【分析】
作AD ⊥BC 于点D .先根据方向角的定义得出∠PBA=∠PAB=30°,那么AP=PB=20海里,由三角形外角的性质得出∠APD=∠PBA+∠PAB=60°.再解Rt △ADP ,求出
AD=PA?sin ∠由∠BAC=90°+15°=105°,根据三角形内角和定理
得到∠C=180°-∠ABC-∠BAC=45°.然后解Rt △ADC 中,即可求出AC=
sin C
AD ∠海里.
【详解】
作AD ⊥BC 于点D ,
∵∠PBA=∠PAB=90°
-60°=30°, ∴AP=PB=20海里,
∴∠APD=∠PBA+∠PAB=60°
, 在Rt △ADP 中,∵∠ADP=90°
,
∴AD=PA?sin ∠海里,
∵∠BAC=90°
+15°=105°, ∴∠C=180°
-∠ABC-∠BAC=45°, 在Rt △ADC 中,∵∠ADC=90°
,
∴AC=sin C
AD 海里.
答:AC 间的距离是海里.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,等腰三角形的判定,三角形内角和定理及外角的性质,锐角三角函数的定义,准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键. 23.(1)1.2米;(2)约为4.9米.
【解析】
试题分析:(1)根据“每级小台阶都为0.4米”即可求得高度差DH 的长度;
(2)过点B 作BM ⊥AH ,垂足为M ,由题意得:MH =BC =AD= 1,∠A =66°,即可求得AM 的长,在Rt △AMB 中,根据∠A 的余弦函数即可求得AB 的长,从而可以求得结果.
(1)DH =0.4×3=1.2(米);
(2)过点B 作BM ⊥AH ,垂足为M.
由题意得:MH =BC =AD= 1,∠A =66°.
∴AM =AH -MH =∠A =66°=1.2
在Rt △AMB 中,
∵cosA =AM AB ,
∴AB =AM cos66°≈ 1.20.41=2.92(米)
∴AD +AB +BC ≈1+2.92+1≈4.9(米)
答:点D 与点C 的高度差DH 为1.2米;所用不锈钢材料的总长度约为1.2米.
考点:解直角三角形的应用
点评:解直角三角形的应用是中考必考题,一般难度不大,正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键.
24.这条高压线至少为
【解析】
【分析】
连接DE ,由于塔一定与地面垂直,所以DC ⊥BC ,EB ⊥BC ,故DC ∥EA ,再根据DC=EA ,DC ∥EA ,可知四边形ACDE 为平行四边形,所以DE=AC ,在Rt △ABC 中,由AC=cos30BC ?
即可求出AC 的长,进而得出结论. 【详解】
连接DE ,
∵塔一定与地面垂直,
∴DC ⊥BC ,EB ⊥BC ,
∴DC ∥EA ,
∵DC=EA ,DC ∥EA ,
∴四边形ACDE 为平行四边形,
∴ED=AC ,
在Rt △ABC 中,AC=cos30BC ?
∴米.
答:这条高压线至少为米.
人教版九年级数学上册一元二次方程单元测试卷附答案 一、初三数学一元二次方程易错题压轴题(难) 1.Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6,动点P从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动,到达点C停止运动.设运动时间为t秒 (1)如图1,过点P作PD⊥AC,交AB于D,若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积 的7 9 ,求t的值; (2)点Q在射线PC上,且PQ=2AP,以线段PQ为边向上作正方形PQNM.在运动过程中,若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8,求t的值. 【答案】(1)t1=2,t2=4;(2)t 4 7 7 58. 【解析】 【分析】 (1)先求出△ABC的面积,然后根据题意可得AP=t,CP=6﹣t,然后再△PBC与△PAD 的面积和是△ABC的面积的7 9 ,列出方程、解方程即可解答; (2)根据不同时间段分三种情况进行解答即可.【详解】 (1)∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6,∴S△ABC=1 2 ×6×6=18, ∵AP=t,CP=6﹣t, ∴△PBC与△PAD的面积和=1 2t2+ 1 2 ×6×(6﹣t), ∵△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的7 9 , ∴1 2t2+ 1 2 ×6×(6﹣t)=18× 7 9 , 解之,得t1=2,t2=4;(2)∵AP=t,PQ=2AP,∴PQ=2t,
①如图1,当0≤t≤2时,S=(2t)2﹣1 2 t2= 7 2 t2=8, 解得:t1=4 7 7 ,t2=﹣ 4 7 7 (不合题意,舍去), ②如图2,当2≤t≤3时,S=1 2 ×6×6﹣ 1 2 t2﹣ 1 2 (6﹣2t)2=12t﹣ 2 5 t2=8, 解得:t1=4(不合题意,舍去),t2=4 5 (不合题意,舍去), ③如图3,当3≤t≤6时,S=1 2 6×6﹣ 1 2 t2=8, 解得:t1=25,t2=﹣25(不合题意,舍去), 综上,t的值为4 7 7或25时,重叠面积为8. 【点睛】 本题考查了三角形和矩形上的动点问题,根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键. 2.元旦期间,某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元. (1)求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元? (2)在(1)的情况下,超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克,若将这两种苹果的售价各提高1元,则超市每天这两种苹果均少售出10千克,超市决定把这两种苹果的售价提高x元,在不考虑其他因素的条件下,使超市销售这两种苹果共获利 960元,求x的值. 【答案】(1)甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克;(2)x的值为2或7.【解析】 【分析】 (1)根据题意列二元一次方程组即可求解,(2)根据题意列一元二次方程即可求解. 【详解】 (1)解:设甲、乙两种苹果的进价分别为a元/千克, b元/千克.