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求轨迹方程例题方法解析

求轨迹方程的常用方法

知识梳理：

（一）求轨迹方程的一般方法：

1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。

2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。

4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。

6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。（二）求轨迹方程的注意事项：

1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。

)()

()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ???===

来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。

3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。

热身：

1. P 是椭圆5

2y x +=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 中点的轨迹中点的轨迹方程为：

（）

A 、159422=+y x

B 、154922=+y x

C 、12092

2=+y x D 、5

3622y x +=1

【答案】：B

【解答】:令中点坐标为),(y x ,则点P 的坐标为()2,y x 代入椭圆方程得15

492

2=+y x ,选B

2. 圆心在抛物线)0(22

>=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（）

A 04

222=-

--+y x y x B 0122

2=+-++y x y x C 0122

=+--+y x y x

D 04

222=+

--+y x y x 【答案】：D

【解答】:令圆心坐标为(),22a a ,则由题意可得21

22+=a a ,解得1=a ,则圆的方程为

222=+

--+y x y x ,选D 3: 一动圆与圆O ：12

=+y x 外切，而与圆C ：0862

=+-+x y x 内切，那么动圆的圆心M 的轨迹是：

A ：抛物线

B ：圆

C ：椭圆

D ：双曲线一支【答案】：D

【解答】令动圆半径为R ，则有???-=+=1

||1

||R MC R MO ，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D 。

4: 点P(x 0，y 0)在圆x 2+y 2=1上运动，则点M （2x 0，y 0）的轨迹是（） A.焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在y 轴上的椭圆 C. 焦点在y 轴上的双曲线 D. 焦点在X 轴上的双曲线【答案】：A

【解答】:令M 的坐标为),,(y x 则??

???==????==y y x x y y x x 00

0022代入圆的方程中得

1422=+y x

一：用定义法求曲线轨迹

求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。

例1：已知ABC ?的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足

,sin 4

sin sin C A B =+求点C 的轨迹。

【解析】由,sin 45sin sin C A B =+可知104

==+c a b ，即10||||=+BC AC ，满足椭

圆的定义。令椭圆方程为

2=+

b y a x ，则34,5'''=?==b

c a ，则轨迹方程为

252

2=+y x （)5±≠x ，图形为椭圆（不含左，右顶点）

。【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。

（1）圆：到定点的距离等于定长

（2）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）

（3）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4）

到定点与定直线距离相等。

【变式1】: 1:已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，

一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。解：设动圆的半径为R ，由两圆外切的条件可得：

，

。

∴动圆圆心P 的轨迹是以M 1、M 2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b 2=12。

故所求轨迹方程为

2:一动圆与圆O ：12

=+y x 外切，而与圆C ：0862

=+-+x y x 内切，那么动圆的圆

心M 的轨迹是：

A ：抛物线

B ：圆

C ：椭圆

D ：双曲线一支

【解答】令动圆半径为R ，则有??

?-=+=1

||1

||R MC R MO ，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D 。

二：用直译法求曲线轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。

例2：一条线段AB 的长等于2a ,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？

解设M 点的坐标为),(y x 由平几的中线定理：在直角三角形AOB 中，OM=

,22

21a a AB =?= 22222,a y x a y x =+=+∴

M 点的轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆周.

【点评】此题中找到了OM=

AB 2

这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下列几种情况：

1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。

2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。

3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。

4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.

【变式2】: 动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2|

|=PB PA ）

，求动点P 的轨迹方程？

【解答】∵|P A |=222

2)3(||,)3(y x PB y x +-=

代入2|||

|=PB PA 得

22222

2224)3(4)3(2)3()3(y x y x y x y x +-=++?=+-++ 化简得（x －5）2+y 2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.

三：用参数法求曲线轨迹方程

此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的

取值范围。

例3．过点P （2，4）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

【解析】

分析1：从运动的角度观察发现，点M 的运动是由直线l 1引发的，可设出l 1的斜率k 作为参数，建立动点M 坐标（x ，y ）满足的参数方程。

解法1：设M （x ，y ），设直线l 1的方程为y －4＝k （x －2），（k ≠０） )2(1

4221--

=-⊥x k

y l ，l l 的方程为则直线由，，A x l )0k 42(1-∴的坐标为轴交点与，k

，B y l )2

40(2+的坐标为轴交点与

∵M 为AB 的中点，

)(1222421242为参数k k k y k k x ????

?????

+=+

=-=-=∴

消去k ，得x ＋2y －5＝0。

另外，当k ＝0时，AB 中点为M （1，2），满足上述轨迹方程；当k 不存在时，AB 中点为M （1，2），也满足上述轨迹方程。综上所述，M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0。

分析2：解法1中在利用k 1k 2＝－1时，需注意k 1、k 2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB 为直角三角形的几何特性： ||2

||AB MP =

解法2：设M （x ，y ），连结MP ，则A （2x ，0），B （0，2y ）， ∵l 1⊥l 2，∴△PAB 为直角三角形 ||2

||AB MP ，=由直角三角形的性质 222

)2()2(·2

)4()2(y x y x +=

-+-∴ 化简，得x ＋2y －5＝0，此即M 的轨迹方程。分析3：：设M （x ，y ），由已知l 1⊥l 2，联想到两直线垂直的充要条件：k 1k 2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M 点坐标表示A 、B 两点坐标。事实上，由M 为AB 的中点，易找出它们的坐标之间的联系。

解法3：设M （x ，y ），∵M 为AB 中点，∴A （2x ，0），B （0，2y ）。又l 1，l 2过点P （2，4），且l 1⊥l 2 ∴PA ⊥PB ，从而k PA ·k PB ＝－1，

02242204--=

--=

，k x k PB PA 而 05212

24·224=-+-=--∴y x y

x ，化简，得

注意到l 1⊥x 轴时，l 2⊥y 轴，此时A （2，0），B （0，4）中点M （1，2），经检验，它也满足方程x ＋2y －5＝0 综上可知，点M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0。

【点评】

1）解法1用了参数法，消参时应注意取值范围。解法2，3为直译法，运用了k PA ·k PB

＝－1，||2

||AB MP =这些等量关系。。

用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响【变式3】过圆O ：x 2 +y 2= 4 外一点A （4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC 的中点M 的轨迹。

解法一：“几何法”

设点M 的坐标为（x,y ）,因为点M 是弦BC 的中点，所以OM ⊥BC,

所以|OM | ２＋|ＭＡ|２＝|ＯＡ| ２

，即(x 2 +y 2)+(x －４)2 +y 2 =16 化简得：（x －2）2+ y 2 =4................................①

由方程 ① 与方程x 2 +y 2= 4得两圆的交点的横坐标为1，所以点M 的轨迹方程为（x －2）2+ y 2 =4 （0≤x ＜1）。所以M 的轨迹是以（2，0）为圆心， 2为半径的圆在圆O 内的部分。

解法二：“参数法”

设点M 的坐标为（x,y ），B （x 1,y 1）,C （x 2,y 2）直线AB 的方程为y=k(x －4), 由直线与圆的方程得（1+k 2）x 2 －8k 2x +16k 2－4=0...........(*),

由点M 为BC 的中点，所以x=2

21142k

k x x +=+...............(1) , 又OM ⊥BC ，所以k=

.................(2)由方程（1）（2）消去k 得（x －2）2+ y 2 =4,又由方程（*）的△≥0得k 2 ≤

,所以x ＜1. 所以点M 的轨迹方程为（x －2）2+ y 2 =4 （0≤x ＜1）所以M 的轨迹是以（2，0）为圆心， 2为半径的圆在圆O 内的部分。

四：用代入法等其它方法求轨迹方程

例4. 的的中点求线段为定点上的动点是椭圆点M AB ，a ，

，A b

y a x B )02(122

22=+ 轨迹方程。

分析：题中涉及了三个点A 、B 、M ，其中A 为定点，而B 、M 为动点，且点B 的运动是有规律的，显然M 的运动是由B 的运动而引发的，可见M 、B 为相关点，故采用相关点法求动点M 的轨迹方程。

【解析】设动点M 的坐标为（x ，y ），而设B 点坐标为（x 0，y 0）则由M 为线段AB 中点，可得

?=-=????????=+=+y y a x x y

y x a

x 2222

20000 即点B 坐标可表为（2x －2a ，2y ）

上在椭圆点又1)(22

2200=+b y a x ，y x B

，b

y a a x b

a x 1)2()22(1

2222

022

0=+-=+∴从而有

14)(422

2=+-b

y a a x M ，的轨迹方程为得动点整理【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系

【变式4】如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满

足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程

【解析】：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|| 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)

又|AR |=|PR |=22)4(y x +-

所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0

因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动

设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2

,241+=

+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得

4)2()24(

22+?

-++x y x －10=0 整理得 x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程【备选题】

已知双曲线22

2x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于

A B ，两点．

（I ）若动点M 满足1111F M F A F B FO =++

（其中O 为坐标原点）

，求点M 的轨迹方程；（II ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB

为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存

在，请说明理由．

解：由条件知1(20)F -，

，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．解法一：（I ）设()M x y ，，则则1(2)F M x y =+ ，，111(2)F A x y =+

，， 1221(2)(20)F B x y FO =+= ，，，，由1111F M F A F B FO =++ 得

121226x x x y y y +=++??

=+?，即12124x x x y y y

+=-??+=?，

于是AB 的中点坐标为422x y -??

?，．当AB 不与x 轴垂直时，1212

24822

y y y y x x x x -==----，即1212()8y y y x x x -=--．

又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22

222x y -=，两式相减得

12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．

将1212()8

y y x x x -=

--代入上式，化简得22(6)4x y --=．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是2

(6)4x y --=．

（II ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使.为常数．

当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入2

2x y -=有2

(1)4(42)0k x k x k -+-+=．

则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421

k x x k +=-，

于是)2)(2())((.212

21--+--=x x k m x m x CB CA

22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++

222222

(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++-- 22

222

2(12)2442(12)11

m k m m m m k k -+-=+=-++--．因为.是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时.=1-．

当AB 与x 轴垂直时，点A B ，

的坐标可分别设为(2

，(2，此时1)2,1).(2,1(.-=-=．

故在x 轴上存在定点(10)C ，，使.为常数．解法二：（I ）同解法一的（I ）有12124x x x y y y

+=-??

+=?，

当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入2

2x y -=有2

(1)4(42)0k x k x k -+-+=．

则12x x ，是上述方程的两个实根，所以2

12241

k x x k +=-．

21212244(4)411k k

y y k x x k k k ??+=+-=-= ?--??

．

由①②③得2

2441k x k -=-．…………………………………………………④

241

y k =

-．……………………………………………………………………⑤ 当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，

x k y

-=，将其代入⑤有 222

44(4)(4)(4)1x y x y y x x y

y -?

-==----．整理得22

(6)4x y --=．当0k =时，点M 的坐标为(40)，，满足上述方程．

当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．故点M 的轨迹方程是2

(6)4x y --=．

（II ）假设在x 轴上存在定点点(0)C m ，，使CB CA .为常数，

当AB 不与x 轴垂直时，由（I ）有212241k x x k +=-，2122421

k x x k +=-．

以上同解法一的（II ）．

1.错误诊断

【例题5】ABC ?中，B ，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，求点A 的轨迹方程。

【常见错误】由题意可知，|AB|+|AC|=10，满足椭圆的定义。令椭圆方程为122

22=+b y a x ，

则由定义可知3,5==c a ，则4=b ，得轨迹方程为116

252

2=+y x

【错因剖析】ABC 为三角形，故A ，B ，C 不能三点共线。

【正确解答】ABC 为三角形，故A ，B ，C 不能三点共线。轨迹方程里应除去点)0,5).(0,5(-，

即轨迹方程为)5(116

252

2±≠=+x y x

2.误区警示

1：在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此，在求出曲线方程的方程之后，应仔细检查有无“不法分子”掺杂其中，将其剔除；另一方面，又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥法外，要将其“捉拿归案”。

2：求轨迹时方法选择尤为重要，首先应注意定义法，几何法，直接法等方法的选择。

3：求出轨迹后，一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部分或漏掉的部分。

【课外作业】

【基础训练】

1:已知两点)4

5,4(),45,1(--N M 给出下列曲线方程：①0124=-+y x ；②32

2=+y x ；

③122

2=+y x ；④12

22=-y x ，在曲线上存在点P 满足||||NP MP =的所有曲线方程是（）

A ①③

B ②④

C ①②③

D ②③④

【答案】:D

【解答】: 要使得曲线上存在点P 满足||||NP MP =,即要使得曲线与MN 的中垂线

32--=x y 有交点.把直线方程分别与四个曲线方程联立求解,只有①无解,则选D

2.两条直线01=--my x 与01=-+y mx 的交点的轨迹方程是 . 【解答】:直接消去参数m 即得(交轨法):02

=--+y x y x

3:已知圆的方程为(x-1)2+y 2=1,过原点O 作圆的弦0A ，则弦的中点M 的轨迹方程是 .

【解答】:令M 点的坐标为(),y x ,则A 的坐标为(2)2,y x ,代入圆的方程里面得:)0(4

)21(22≠=

+-x y x 4:当参数m 随意变化时，则抛物线()y x m x m =+++-2

211的顶点的轨迹方程为___________。

【分析】：把所求轨迹上的动点坐标x ，y 分别用已有的参数m 来表示，然后消去参数m ，便可得到动点的轨迹方程。

【解答】：抛物线方程可化为x m y m ++?? ???=++?

? ??

?12542

它的顶点坐标为x m y m =--

=--1254

，消去参数m 得：y x =-

故所求动点的轨迹方程为4430x y --=。

5:点M 到点F （4，0）的距离比它到直线x +=50的距离小1，则点M 的轨迹方程为____________。

【分析】：点M 到点F （4，0）的距离比它到直线x +=50的距离小1，意味着点M 到点F （4，0）的距离与它到直线x +=40的距离相等。由抛物线标准方程可写出点M 的轨迹方程。

【解答】：依题意，点M 到点F （4，0）的距离与它到直线x =-4的距离相等。则点M 的轨迹是以F （4，0）为焦点、x =-4为准线的抛物线。故所求轨迹方程为y x 2

16=。

6:求与两定点()()

O O A 1030，、，距离的比为1：2的点的轨迹方程为_________

【分析】:设动点为P ，由题意PO PA

，则依照点P 在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。

【解答】：设()

P x y ，是所求轨迹上一点，依题意得

PO PA

由两点间距离公式得：

()x y x y 22

312

+-+=

化简得：x y x 22

230++-=

7抛物线x y 42

=的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A 、B 两点，动点C 在抛物线上，求△ABC 重心P 的轨迹方程。

【分析】：抛物线x y 42

=的焦点为()01，F 。设△ABC 重心P 的坐标为()x y ，，点C

的坐标为()x y 11，。其中11≠x

【解答】：因点()

P x y ，是重心，则由分点坐标公式得：3

3211y

y x x =+=

，即y y x x 32311=-=，

由点()

C x y 11，在抛物线x y 42

=上，得：1214x y =

将y y x x 32311=-=，代入并化简，得：??

??-=

32342

x y （)1≠x 【能力训练】

8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （，0），直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，

MN 中点的横坐标为

，求此双曲线方程。

【解答】：设双曲线方程为122

22=-b

y a x 。将y=x －1代入方程整理得

。

由韦达定理得32

2,22

222122221-=-=+-=+b a a x x b a a x x 。又有

，联立方程组，

解得5,22

2==b a 。

∴此双曲线的方程为。

9.已知动点P 到定点F （1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P 的轨迹方程。

【解答】：设点P 的坐标为（x ，y ），则由题意可得。

（1）当x ≤3时，方程变为1)1(,43)1(2

222+=+-=-++-x y x x y x ，化简得

)30(42≤≤=x x y 。

（2）当x>3时，方程变为x y x x y x -=+-=-++-7)1(,43)1(2

222，化简得

。

故所求的点P 的轨迹方程是或

10.过原点作直线l 和抛物线642+-=x x y 交于A 、B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

【解答】：由题意分析知直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程y=kx 。把它代

入抛物线方程，得。因为直线和抛物线相交，所以△>0，解得),624()624,(+∞+-?---∞∈x 。设A （

），B （

），M （x ，y ），由韦达定理得

。

由消去k 得。

又

，所以),6()6,(+∞?--∞∈x 。

∴点M 的轨迹方程为),6()6,(,422+∞?--∞∈-=x x x y 。

【创新应用】

11.一个圆形纸片，圆心为O ，F 为圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F

重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于P ，则P 的轨迹是（） A:椭圆 B:双曲线 C:抛物线 D:圆【答案】：A 【解答】：由对称性可知||PF|=|PM|，则|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=R （R 为圆的半径），则P 的轨迹是椭圆，选A 。

(完整版)轨迹方程的五种求法例题

动点轨迹方程的求法一、直接法按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时．例1已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：，动点M 到圆C 的切线长与的比等于常数（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线．【解析】：设M （x ，y ），直线MN 切圆C 于N ，则有，即，．整理得，这就是动点 M 的轨迹方程．若，方程化为，它表示过点和x 轴垂直的一条直线；若λ≠1，方程化为，它表示以为圆心，为半径的圆．二、代入法若动点M （x ，y ）依赖已知曲线上的动点N 而运动，则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M 的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况．例2 已知抛物线，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :PA =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．【解析】：设，由题设，P 分线段AB 的比，∴ 解得.又点B 在抛物线上，其坐标适合抛物线方程，∴ 整理得点P 的轨迹方程为其轨迹为抛物线．三、定义法若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现．例3 若动圆与圆外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是 12 2 =+y x MQ ()0>λλλ=MQ MN λ=-MQ ON MO 2 2λ=+--+2 222)2(1y x y x 0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x 1=λ45= x )0,4 5 (2 222 222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（)0,12(2 2-λλ1 3122-+λλ12 +=x y ),(),,(11y x B y x P 2== PB AP λ.2121,212311++=++= y y x x 2 1 23,232311-=-=y y x x 12+=x y .1)2 3 23()2123( 2+-=-x y ),3 1 (32)31(2-=-x y 4)2(2 2 =++y x

直线与方程(经典例题)

直线与方程知识点复习：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当[ ) 90,0∈α时，0≥k ；当( ) 180,90∈α时，0

研究生数理方程期末试题-10-11-1-A-答案

北京交通大学硕士研究生2010-2011学年第一学期《数学物理方程》期末试题(A 卷) (参考答案) 学院__________ 专业___________ 学号 __________ 姓名____________ 1、( 10分)试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为：玫［I h .丿&」V h .丿& 其中E是圆锥体的杨氏模量，「是质量密度，h是圆锥的高(如下图所示) 【提示：已知振动过程中，在x处受力大小为ES ，S为x处截面面积。】 ex 【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是r1和r2，如图所示。于是，我们有 2、：：u(x dx,t) 2 u(x,t) — 2 u2(x,t) E( D) E( * ) ( A )dx 于 x x t r1 = (h「x)tan : r2= (h _(x dx)) tan : 上式化简后可写成

2 2 ：：U(X,t) 2 :：u(x,t) 2, ；u (x,t) E[(h -x) 卜亠 & -(h -'X) 〔x J - - (h -'X)dx 2 从而有 E ：：[(^x)2；：U(x ,t)H-(^x)2：：u2(x,t) .x :X :t 或成 2 ::[(1「)2汽("]“2(1「)小叩) .x h ：：x h ；：t 其中a^E ，证明完毕。 2、 (20分)考虑横截面为矩形的散热片，它的一边y=b 处于较高温度U ，其它三边y=0. x = 0和x = a 则处于冷却介质中，因而保持较低的温度 u o 。试求该截面上的稳定温度分布u(x,y)，即求解以下定解问题: u|y 卫二 %, u|y 生二 U, 0 x a. 【提示：可以令u(x, y)二u 0 v(x, y)，然后再用分离变量方法求解。】【解】令u(x, y) v(x, y)，则原定解问题变为 Wl x￡=0, V=0, 0cy

求动点的轨迹方程方法例题习题答案

求动点的轨迹方程（例题，习题与答案）在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点内容（求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形状类型）。求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法”。求动点轨迹的常用方法动点P 的轨迹方程是指点P 的坐标（x, y ）满足的关系式。 1. 直接法（1）依题意，列出动点满足的几何等量关系；（2）将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。例题已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长等与MQ ，求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线．解：设动点M(x,y)，直线MN 切圆C 于N 。依题意：MN MQ =，即22MN MQ = 而222NO MO MN -=,所以 (x-2)2+y 2=x 2+y 2-1 化简得：x=45 。动点M 的轨迹是一条直线。 2. 定义法分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆（或椭圆、双曲线、抛物线）的定义。依题意求出曲线的相关参数，进一步写出轨迹方程。例题：动圆M 过定点P （－4，0），且与圆C ：082 2=-+x y x 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。解：设M(x,y)，动圆Ｍ的半径为r 。若圆M 与圆C 相外切，则有 ∣M C ∣=r ＋4 若圆M 与圆C 相内切，则有 ∣M C ∣=r-4 而∣M P ∣=r, 所以 ∣M C ∣-∣M P ∣=±4 动点M 到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4，所以动点M 的轨迹为双曲线。其中a=2, c=4。动点的轨迹方程为： 3. 相关点法若动点P(x ，y)随已知曲线上的点Q(x 0，y 0)的变动而变动，且x 0、y 0可用x 、y 表示，则将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程。这种方法称为相关点法。

直线与直线方程经典例题

必修2 第二章解析几何初步第一节：直线与直线方程（王建明）一、直线的倾斜角和斜率（1）倾斜角定义：平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把__x 轴(正方向)_按__逆时针__方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角。（0°≤α<180°）（2）斜率k=tan α=1 212x x y y -- （0°≤α＜180°），当α=90时，k 不存在。（两种求法，注意21x x =的情况）（3）函数y=tanx 在)90,0[0增加的，在)180,90(00也是增加的。例1：过点M （-2，m ）,N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为。例2：过两点A （m 2+2,m 2-3）,B （3-m-m 2,2m ）的直线l 的倾斜角为45°求m 的值。例3：已知直线l 经过点P （1,1），且与线段MN 相交，又M （2，-3），N （-3，-2），求直线l 的斜率k 的取值范围。例4：已知a ＞0,若平面内三点A （1，—a ），B （2，a 2）,C(3,a 3)共线，则a 值为。练习： 1经过点P (2，m )和Q (2m ，5)的直线的斜率等于12 ，则m 的值是( B ) A ．4 B ．3 C ．1或3 D ．1或4 变：的取值范围的斜率的直线求经过点 )1,cos (),sin ,2( k l B A θθ-- 2. 已知直线l 过P(－1，2)，且与以A(－2，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围．点评：要用运动的观点，研究斜率与倾斜角之间的关系！答案： ? ?? ??－∞，－12∪[5，＋∞) 3.已知坐标平面内三点A (－1，1)，B (1，1)，C (2，3＋1)，若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围．答案：? ???－∞，－12∪[5，＋∞) 二、两直线的平行与垂直 1.平行的判定： 2. 垂直的判定：例（1）l 1 经过点M （-1，0）, N (-5,-2)，l 2经过点R （-4,3），S （0,5），l 1与l 2是否平行？（2）l 1 经过点A （m ，1）, B (-3,4), ）l 2 经过点C （1，m ）, D (-1, m+1),确定m 的值，使l 1//l 2。练习：例（1） l 1的倾斜角为45，l 2经过点P （-2,-1），Q （3,-6）. 例（2）已知点M （2,2）和N （5，-2），点P 在x 轴上，且∠MPN 为直角，求点P 的坐标。练习： 1.求a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？答案：a=-1 2.求过点P (1，－1)，且与直线l 2：2x ＋3y ＋1＝0垂直的直线方程．答案：3x －2y －5＝0. 三、直线的方程 1、点斜式: y-y 0=k (x －x 0) (斜率存在，可为0) 1、斜截式： y=kx +b (b 是与y 轴的交点) (斜率存在，可为0)

数理方程期末考试试题

2013-2014学年度第二学期数理方程（B ）期末考试试题考后回忆版本一、求下列偏微分方程的通解),(y x u u =（16分）（1）y x y x u 22=???（2）xy x u y x u y =??+???2二、求下列固有之问题的解。要求明确指出固有值及其所对应的固有函数（10分） ?????=′+∞<<<=+′+′′.0)2(,)0()20(,022y y x y x y x y x λ三、求第一象限}0,0|),{(2 >>∈=y x R y x D 的第一边值问题的Green 函数。（12分）四、用积分变换法求解下列方程。（12分）???=>+∞<<<=).21(),0(,)(),0(. 1)1,(,0)0,()0,10(,4x x u x x x u t u t u t x u u t xx tt δ?七、用分离变量法求解下列方程。（15分） ?????=<++=++=++0|)1(,1 222222z y x zz yy xx u z y x z u u u 八、求解下列定解问题。（5分） ?????==>+∞<

轨迹方程的求法及典型例题(含答案)

" 轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点. 一、知识复习例1：点P（－3，0）是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。 { ]

例2、如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠ APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. $ 解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2) ）又|AR |=|PR |= 2 2)4(y x +- 所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0 因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2 ,2 41+= +y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得 2 4 4)2()24( 22+? -++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. |

例3、如图, 直线L 1和L 2相交于点M, L 1 L 2, 点N L 1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的任一点到L 2的距离与到点N 的距离相等. 若 AMN 为锐角三角形, |AM|= 17 , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程. 、解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点。依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点。 @ 设曲线段C 的方程为)0,(),0(22 >≤≤>=y x x x p px y B A ，其中x A,x B 分别为A ，B 的横坐标，P=|MN|。 ) 2(92)2() 1(172)2(3||,17||)0,2 (),0,2(22=+-=++==- A A A A px p x px p x AN AM p N p M 得由所以由①，②两式联立解得 p x A 4= 。再将其代入①式并由p>0解得??????====2214A A x p x p 或因为△AMN 是锐角三角形，所以A x p >2，故舍去???==2 2A x p ∴p=4,x A =1

高三数学轨迹方程50题及答案精选

高三数学轨迹方程50题及答案求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法. (1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程. (2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求. (3)相关点法根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程. (4)参数法若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程. （5）交轨法若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点，我们可以以消去这个参量得到动点轨迹方程. (6)待定系数法求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念. 一、选择题： 1、方程y=122+--x x 表示的曲线是：（） A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线 2、方程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是：（） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线 3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是：（） A 、x 2+y 2=1 B 、x 2+y 2=1(x ≠±1） C 、x 2+y 2=1(x ≠1） D 、y=21x - 4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是：（） A 、x 2+y 2=2(x+y) B 、x 2+y 2=2|x+y| C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|) D 、x 2+y 2=2(x －y) 5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（）A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆 C 、中点在原点的双曲线 D 、中心在（5，0）的双曲线

研究生数理方程期末试题10111A答案

《数学物理方程》期末试题（A 卷）（参考答案）学院专业学号姓名 1、（10分）试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为：其中E 是圆锥体的杨氏模量，ρ是质量密度，h 是圆锥的高（如下图所示）：【提示：已知振动过程中，在x 处受力大小为u ES x ??，S 为x 处截面面积。】【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是1r 和2r ，如图所示。于是，我们有上式化简后可写成从而有或成其中2 E a ρ = ，证明完毕。 2、（20分）考虑横截面为矩形的散热片，它的一边y b =处于较高温度U ，其它三边0y =， 0x =和x a =则处于冷却介质中，因而保持较低的温度0u 。试求该截面上的稳定温度分布(,)u x y ，即求解以下定解问题：【提示：可以令0(,)(,)u x y u v x y =+，然后再用分离变量方法求解。】【解】令0(,)(,)u x y u v x y =+，则原定解问题变为分离变量：

代入方程得到关于X 和Y 的常微分方程以及关于X 的定解条件：可以判定，特征值特征函数利用特征值n λ可以求得于是求得特征解形式解为由边界条件，有得到解得最后得到原定解问题的解是 3、（20分）试用行波法求解下列二维半无界问题【解】方程两端对x 求积分，得也即对y 求积分，得也即由初始条件得也即再取0x =，于是又有从而得于是将这里的()g x 和()h y 代入(,)u x y 的表达式中，即得 4、（20分）用积分变换法及性质，求解无界弦的自由振动问题：【提示：可利用逆Fourier 积分变换公式：11 ,||sin []20, ||x at a t F a a x at ωω-?

求轨迹方程的常用方法(例题及变式)

求轨迹方程的常用方法：题型一直接法此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件)}(|{M P M 直接翻译成y x ,的形式0),(=y x f ，然后进行等价变换，化简0),(=y x f ，要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外（纯粹性）；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。例1 过点)3,2(A 任作互相垂直的两直线AM 和AN ，分别交y x ,轴于点N M ,，求线段MN 中点P 的轨迹方程。解：设P 点坐标为),(y x P ，由中点坐标公式及N M ,在轴上得)2,0(y M ，)0,2(x N ),(R y x ∈ ∴12 0322230-=--?--y x )1(≠x ，化简得01364=-+y x )1(≠x 当1=x 时，)3,0(M ，)0,2(N ，此时MN 的中点)2 3,1(P 它也满足方程01364=-+y x ，所以中点P 的轨迹方程为01364=-+y x 。变式1 已知动点(,)M x y 到直线:4l x =的距离是它到点(1,0)N 的距离的2倍。（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）过点(0,3)P 的直线m 与轨迹C 交于,A B 两点。若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率。题型二定义法圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。例2 动圆M 过定点)0,4(-P ，且与圆08:2 2=-+x y x C 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。解：根据题意4||||||=-MP MC ，说明点M 到定点P C 、的距离之差的绝对值为定值，故点M 的轨迹是双曲线。 ∴2=a ，4=c 故动圆圆心M 的轨迹方程为112 42 2=-y x 变式2 在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程．

直线与方程知识点及典型例题.docx

第三章直线与方程知识点及典型例题 1. 直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率 ① 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即 k=tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线 l 与 x 轴平行或重合时 ,α=0°,k = tan0 =0;° 当直线 l 与 x 轴垂直时 ,α= 90k°不,存在 . 当0,90时， k0 ；当90 ,180时， k0；当90 时，k不存在。例 .如右图，直线l 1的倾斜角 =30°，直线 l1⊥ l 2，求直线 l1和 l2的斜率 . y 解： k1=tan30° =3∵ l1⊥ l2∴ k1· k2 =— 1l 1 3 ∴ k2 =—32x 1 例：直线 x 3 y50 的倾斜角是()o l2 °°°° ②过两点 P1 (x1， y1)、P1(x1，y1) 的直线的斜率公式： k y2y 1 ( x1x 2 ) x2x1 注意下面四点： (1)当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k与 P1、 P2的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。例 .设直线l1经过点A(m，1)、B(—3，4)，直线l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)，当 (1) l / / l 2(2) l⊥l时分别求出 m 的值 111 ※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。 3. 直线方程 ① 点斜式：y y1k( x x1 )直线斜率k，且过点x1, y1 注意：当直线的斜率为0°时， k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都

高考动点轨迹方程的常用求法(含练习题及答案)

轨迹方程的经典求法一、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程．例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有 2 39263 BM CM +=?=． M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．5b =∴． ∴所求ABC △的重心的轨迹方程为 22 1(0)16925 x y y +=≠．二、直接法：直接根据等量关系式建立方程. 例1：已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA PB x = ·，则点P 的轨迹是（） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解析：由题知(2)PA x y =--- ，，(3)PB x y =-- ，，由2P AP B x = ·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+， P ∴点轨迹为抛物线．故选D ．三、代入法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题. 例3：已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程．解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++? =????=?? ，，00323x x y y =+??=?， ①∴． ② 又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，2 00y x =∴． ③ 将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是24 34(0)3 y x x y =++≠．四、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决. 例5：已知A ，B ，D 三点不在一条直线上，且(20)A -，，(20)B ，，2AD = ，1()2 AE AB AD =+ ．（1）求E 点轨迹方程；（2）过A 作直线交以A B ，为焦点的椭圆于M N ，两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为4 5 ，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程．解：（1）设()E x y ，，由1()2 AE AB AD =+ 知E 为BD 中点，易知(222)D x y -，．又2AD = ，则22(222)(2)4x y -++=．即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠；（2）设1122()()M x y N x y ，，，，中点00()x y ，．由题意设椭圆方程为22 2214 x y a a +=-，直线MN 方程为(2)y k x =+．

直线与圆的方程典型例题(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改赠人玫瑰，手留余香。高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 2224)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C

∴半径204)11(2 2 = ++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆04242 2 =---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ．又已知圆04242 2 =---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ． (1)当)4,(1a C 时，2 2 2 7)14()2(=-+-a ，或2 2 2 1)14()2(=-+-a (无解)，故可得 1022±=a ． ∴ 所求圆方程为 2 224)4()1022(=-+--y x ，或 2224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2 2 2 7)14()2(=--+-a ，或2 2 2 1)14()2(=--+-a (无解)，故 622±=a ． ∴ 所求圆的方程为 2 224)4()622(=++--y x ，或 2224)4()622(=+++-y x ．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如 2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2 2 2 7)14()2(=-+-a ，解

求轨迹方程例题方法解析

求轨迹方程的常用方法知识梳理：（一）求轨迹方程的一般方法： 1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。 2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。 6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。（二）求轨迹方程的注意事项： 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。 )()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ?? ?=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。 3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。热身： 1. P 是椭圆5 92 2y x +=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 中点的轨迹中点的轨迹方程为：（） A 、159422=+y x B 、154922=+y x C 、12092 2=+y x D 、5 3622y x +=1 【答案】：B

数理方程期末试题B答案

北京交通大学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ）（参考答案）学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、计算题（共80分，每题16分） 1．求下列定解问题（15分） 2．用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分） 3．设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。初速度为零，又没有外力作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是由初始条件可得 4．证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求出波动方程的通解。 5．用分离变量法解下列定解问题 [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n π sin ，其解可以表示成把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数因此有利用参数变易法，有于是 6．用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得

以及设0ρβλn n = 为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为问题（I ）的解为于是原问题的解是由初始条件得到故于是最后得到原问题的解是二、证明题（共2分，每题10分） 7．证明平面上的Green 公式其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分。 [证明] 设),(),,(y x Q y x p 在D+C 上有一阶连续偏导数，n 为C 的外法线方向，其方向余弦为βαcos ,cos ，则有再设u,v 在D 内有二阶连续偏导数，在D+C 上有一阶连续偏导数，令得到交换u,v ，得到上面第二式减去第一式，得到证毕。 8．证明关于Bessel 函数的等式：

圆锥曲线轨迹方程经典例题

轨迹方程经典例题一、轨迹为圆： 1、长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程：已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为 2 1 ，求点M 的轨迹方程; 2、线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆1)1(22=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。（2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。（1）求圆心的P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线x y =的距离为 2 2 ，求圆P 的方程。 3如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 4在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 5（2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）已知点)0,1(-B ，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点Q P ,，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明直线l 过定点。二、椭圆类型： 3、定义法：点M(x ,y )与定点F(2，0)的距离和它到定直线8=x 的距离之比为2 1 ，求点M 的轨迹方程.

高一数学直线方程知识点归纳及典型例题

直线的一般式方程及综合【学习目标】 1．掌握直线的一般式方程； 2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处； 3．能利用直线的一般式方程解决有关问题. 【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．要点诠释： 1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线. 当B≠0时，方程可变形为 A C y x B B =--，它表示过点0, C B ?? - ? ?? ，斜率为 A B -的直线．当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即 C x A =-，它表示一条与x轴垂直的直线．由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是 11 22 x y -+=，还可以是4x―2y+2=0等．）要点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x1≠x2，y1≠y2），应用时若采用(y2―y1)(x―x1)―(x2―x1)(y―y1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．要点三：直线方程的综合应用 1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求． 2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．

轨迹方程的求法及典型例题

轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点. 一、知识复习例1：点P（－3，0）是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。

例2、如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2) 又|AR |=|PR |= 2 2)4(y x +- 所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0 因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2 ,2 41+= +y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得 2 4 4)2()24( 22+? -++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.

例3、如图, 直线L 1和L 2相交于点M, L 1⊥L 2, 点N ∈L 1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的任一点到L 2的距离与到点N 的距离相等. 若?AMN 为锐角三角形, |AM|= 17 , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程. 解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点。依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点。设曲线段C 的方程为)0,(),0(22>≤≤>=y x x x p px y B A ，其中x A,x B 分别为A ，B 的横坐标，P=|MN|。 ) 2(92)2() 1(172)2(3||,17||)0,2 (),0,2(22=+-=++==- A A A A px p x px p x AN AM p N p M 得由所以由①，②两式联立解得 p x A 4= 。再将其代入①式并由p>0解得??????====2214A A x p x p 或

求轨迹方程例题方法解析

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