2020届中考模拟北京市东城区九年级5月统一练习(一模)数学试题(含参考答案)
P
N
M
F E
D
C
B
A
北京市东城区第二学期统一练习（一）
初三数学
学校
班级
姓名 考号
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．
是符合题意的． 1．数据显示：2016年我国预期. 全年城镇新增就业1 314万人，高校毕业生就业创业人数再创新高. 将数据1 314用科学记数法表示应为
A ．31.31410?
B ．41.31410?
C ．213.1410?
D ． 40.131410? 2．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
A ．a b ＜
B ．a b ＞-
C ．b a ＞
D ．2
a ＞-
3．在一个布口袋里装有白、红、小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是 A ．
12 B ．13 C ．14 D ．1
6
4．某健步走运动的爱好者用手机个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如图所示的统计图．在每天所走的步数这组数
据中，众数和中位数分别是 A ．1.2，1.3 B ．1.3，1.3 C ．1.4，1.35 D ．1.4，1.3
5. 如图，A 线EF 分别交AB ，CD 于M ，N 两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB =75°，则∠PNM 等于 A ．15° B ．25° C ．30° D ．45°
6．下列哪个几何体，它的主视图、左视图、俯视图都相同
A B C D
P
O
E
D
C
B
A
7．我国传统建筑中，窗框（如图1）的图案玲珑剔透、千变万化. 如图2，窗框的一部分所展示的图形是一个轴对称图形，其对称轴有 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
8. 如图，点A ，B 的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB 平移至A 1B 1，则a +b 的值为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
9. 某经销商销售一批一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了．．．5.5万元．这批电话手表至少有 A ．103块 B ．104块 C ．105块 D ． 106块
10. 图1是某娱乐节环节的录制现场，场地由等边△ADE 和正方形ABCD 组成，正方形ABCD 两条对角线交
于点O ，在AD 的中点P 处放置了一台主摄像机.游戏参与者行进的时间为x ，与主摄像机的距离为y ，若游戏参与者匀速行进，且表示y 与x 的函数关系式大致如图2所示，则游戏参与者的行进路线可能是
图1 图2
A. A O D
B. E A C
C. A E D
D. E A B 二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．分解因式：2
2ab ab a -+= ．
12．请你写出一个二次函数，其图○
1开口向上；○2与y 轴的交点坐标为（0，1）. 此二次函数的解析式可以是 ．
13. 若关于方程x 2
+2（k ﹣1）x +k 2
﹣1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．
14. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ． 15. 北京市2012-2016年常住人口增量统计如图所示.根据统计图中提供的信息，预估
2017年北京市常住人口增量约为 万人次，你
的预估理由是 .
16．下面是“以已知线段为直径作圆”的尺规作图过程.
请回答：该作图的依据是 ．
三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17．计算：0
1
1122sin 60(2π)()2
--?+--.
18. 解不等式
122
123
x x ++-＞，并写出它的正整数解. 19．先化简，再求值： 224122
x x x x x -+?
?-
÷
- ?++?
?，其中2
2410x x +-=． 已知：线段AB.
求作：以AB 为直径的⊙O .
B
A
作法：如图， （1） 分别以A ，B 为圆心，大于
2
1
AB 的长为半径 作弧，两弧相交于点C ，D ；
（2）作直线CD 交AB 于点O ；
（3）以O 为圆心，OA 长为半径作圆. 则⊙O 即为所求作的.
F
E
C
B
A
D
20．如图，在△ABC 中，∠B =55°，∠C =30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于1
2
AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接
AD ，求∠BAD 的度数．
21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线()0y kx b k =+≠与双曲线6
y x
=
相交于点A （m ，3），B (-6，n )，与x 轴交于点C ．
（1）求直线()0y kx b k =+≠的解析式； （2）若点P 在x 轴上，且3
2
ACP BOC S S =
△△，求点P 的坐 标（直
接写出结果）．
22．列方程或方程组解应用题：
在某场CBA 比赛中，某位运动员的技术统计如下表所示：
技术 上场时间（分钟） 出手投篮（次） 投中 （次） 罚球得分（分） 篮板 （个） 助
攻（次） 个人总
得分（分） 数据
38
27
11
6
3
4
33
注：（1）表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球；
（2）总得分=两分球得分+三分球得分+罚球得分．
根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中两分球和三分球各几个．
23．如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAD 的角平分线AF 交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ． （1）求证：BF =CD ；
（2）连接BE ，若BE ⊥AF ，∠BFA =60°，BE =23ABCD 的周长．
24.阅读下列材料：
“共享单车”府合作，在校园、地铁站点、公交站点、居
民区、商业区、公
共服务区等提供自行车共享的一种服务，是共享经济的一种新形态.共享单车的出现让更多的用户有了更好的代步选择.自行车也代替了一部分公共交通甚至打车的出行.
Quest Mobile 监测的M 型与O 型单车从2016年10月——2017年1月的月度用户使用情况如下表所示：
F E
O
C
B
A
D 图1
D
C
B
A
根据以上材料解答下列问题：
（1）仔细阅读上表，将O 型单车总用户数用折线图表示出来，并在图中标明相应数据； （2）根据图表所提提供的数据，选择你所感兴趣的方面，写出一条你发现的结论.
25. 如图，四边形ABC ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC
的垂线交
AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ， DF ．
（1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）若DB 平分∠ADC ，AB =a ，AD ∶DE =4∶1，写出求
DE 长的思路．
26. 在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的
性质.
定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹
四边形（如图1）.
D
C
B
A
D
C
B
A D
C
B
A
（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号） ；
○
1 ○
2 ○
3 定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）.
特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形.
小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究. 下面是小洁的探究过程，请补充完整：
（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想
加以证明；
（3）如图2，在燕尾四边形ABCD 中，AB =AD =6，BC =DC =4，∠BCD =120°，求燕尾四边形ABCD 的面积（直
接写出结果）.
27．二次函数2
(2)2(2)5y m x m x m =+-+-+，其中20m +>． （1）求该二次函数的对称轴方程； （2）过动点C (0, n )作直线l ⊥y 轴.
① 当直线l 与抛物线只有一个公共点时, 求n 与m 的函数关 系；
② 若抛物线与x 轴有两个交点，将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴
翻折，
l 与新
图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象. 当n =7时，直线的图象恰好有三个公共点，求此时m 的值；
（3）若对于每一个给定的x 的值，它所对应的函数值都不小于1，求m 的取值范围． 28. 在等腰△ABC 中，
（1）如图1，若△ABC 为等边三段BC 中点，线段AD 关于直线AB 的对称线段为线段AE ，连接DE ，则∠BDE
的度数为___________；
（2）若△ABC 为等边三角形，点D 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），连接AD 并将 线段AD 绕点D
逆时针旋转60°得到线段DE ，连接BE .
①根据题意在图2中补全图形；
②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D 运动的过程中，恒有CD =BE .经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：
思路1：要证明CD =BE ，只需要连接AE ，并证明△ADC ≌△AEB ；
思路2：要证明CD =BE ，只需要过点D 作DF ∥AB ，交AC 于F ，证明△ADF ≌△DEB ； 思路3：要证明CD =BE ，只需要延长CB 至点G ，使得BG =CD ，证明△ADC ≌△DEG ； ……
请参考以上思路，帮助小玉证明CD =BE .（只需要用一种方法证明即可）
（3）小玉的发现启发了，若AB =AC =kBC ，AD =kDE ，且∠ADE =∠C ，此时小明发现BE ，BD ，AC 三者之间满足
一定的的数量关系，这个数量关系是______________________.（直接给出结论无须证明）
图
1
图2
图3
29．设平面内一点到等边三角为d ，等边三角形的内切圆半径为r ，外接圆半径为R .对于一个点与等边三
角形，给出如下定义：满足r ≤d ≤R 的点叫做等边三角形的中心关联点. 在平面直角坐标系xOy 中，
等边△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (0，2)，B （﹣3，﹣1），C (3，﹣1). （1）已知点D （2，2），E （3，1），F （2
1
-
，﹣1）. 在D ，E ，F 中，是等边△ABC 的中心关联点的是 ； （2）如图1，过点A 作直线交x 轴正半轴于M ，使∠AMO =30°.
①若线段AM 上存在等边△ABC 的中心关联点P （m ，n ），求m 的取值范围；
②将直线AM 向下平移得到直线y =kx +b ，当b 满足什么条件时，直线y =kx +b 上总存在．．．等边△ABC 的中心关联点；（直接写出答案，不需过程） （3）如图2，点Q 为直线y =﹣1上一动点，⊙Q 的半径为
2
1
. 当Q 从点（﹣4，﹣1）出个单位的速度向右移动，运动时间为t 秒.是否存在某一时刻t ，使得⊙Q 上所有点都是等边△ABC 的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t 的值；如果不存在，请说明理由.
图1
图2
北京市东城区第二学期统一练习（一） 初三数学参考答案及评分标准
一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
A
C
B
D
C
B
B
A
C
A
题号
11
12 13
14 15 16
答案
2(-1)a b
答案不唯一
如：
21y x =+
1k ＜
6
答案不唯一，合理就行
垂直平分线的判定；垂直平分线的定义和圆的定义
题8分） 17．计算：0
1
1
122sin 60(2π)()2
--?+--
解：原式=23312-+- …………4分 =31-. …………5分 18. 解： 去分母得：3（x +1）＞2（2x +2）﹣6，
…………1分
去括号得：3x +3＞4x +4﹣6， …………2分 移项得：3x ﹣4x ＞4﹣6﹣3，
…………3分
合并同类项得：﹣x ＞﹣5， 系数化为1得：x ＜5.
…………4分
故不等式的正整数解有1，2，3，4这4个.
…………5分
19. 解： 224
122
x x x x x -+??-
÷
- ?++?? =
224
22x x x x x x -++?-
-+ =
24
2
x x x x ++-
+ =
4
(2)
x x +. …………3分
∵ 2
2410x x +-=. ∴ 2
1
22
x x +=
. …………4分 原式=8. …………5分
20. 解：由题意可得：MN 是AC 的垂直平分线．
则AD =DC ．故∠C =∠DAC ．…………2分 ∵ ∠C =30°，
∴ ∠DAC =30°． …………3分 ∵ ∠B =55°，
∴ ∠BAC =95°． …………4分 ∴ ∠BAD =∠BAC ﹣∠CAD =65°． …………5分
21．解：（1）由题意可求：m =2，n =-1．
将（2，3），B (-6，-1)带入y kx b =+，得
32,
16.k b k b =+??
-=-+?
解得 1,22.
k b ?
=???=?
∴ 直线的解析式为1
22
y x =
+. …………3分 （2）（-2,0）或（-6,0）. …………5分
22．解：设本场比赛中该运动员投中两分球x 个，三分球y 个. …………1分
依题意有
23633,
11.
x y x y ++=??
+=?. …………3分 解得6,
5.
x y =??
=? …………4分
答：设本场比赛中该运动员投中两分球6个，三分球5个． …………5分
F
E
C
B
A D
23. 解：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，∠FAD=∠AFB.
又∵AF平分∠BAD，
∴∠FAD=∠FAB.
∴∠AFB=∠FAB.
∴AB=BF.
∴BF=CD. …………3分
（2）解：由题意可证△ABF为等边三角形，点E是AF的中点.
在Rt△BEF中，∠BFA=60°，BE=3
可求EF=2，BF=4.
∴平行四边形ABCD的周长为12. …………5分
24. 解：（1）
…………4分
（2）答案不唯一．…………5分
25. 解：（1）证明：连接OD.
∵OD=CD，
∴∠ODC=∠OCD.
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=∠EDC=90°.
∵点F为CE的中点，
∴DF=CF.
∴∠FDC=∠FCD.
∴∠FDO=∠FCO.
又∵AC⊥CE，
∴∠FDO=∠FCO=90°.
∴DF是⊙O的切线. …………2分
（2）○1由DB平分∠ADC，AC为⊙O的直径，证明△ABC是等腰直角三角形；
○2由AB=a，求出AC2a；
○3由∠ACE=∠ADC=90°，∠CAE是公共角，证明△ACD∽△AEC，得到2
AC
AD AE
=?；
○
4设DE 为x ，由AD ∶DE =4∶1
，求出10
DE a =. …………5分 26．解：
（1）○
2. …………1分 （2）它是一个轴对称图形；相等；一组对角相等；一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线等
等. …………3分
已知：如图，在凹四边形ABCD 中，AB =AD ，BC =DC. 求证：∠B =∠D. 证明：连接AC .
∵AB=AD,CB=CD,AC=AC ， ∴△ABC ≌△ADC.
∴∠B =∠D. …………4分
（3）燕尾四边形ABCD
的面积为…………5分 27.解：
（1）对称轴方程：2(2)
12(2)
m x m -+=-
=+. …………1分
（2）①∵直线l 与抛物线只有一个公共点,
∴23n m =-+. …………3分 ② 依题可知：当237m -+=-时，直线l 与新的图象恰好有三个公共点. ∴5m =. …………5分
（3）抛物线2
(2)2(2)5y m x m x m =+-+-+的顶点坐标是(1,23)m -+.
依题可得 20,
23 1.
m m +>??
-+≥?
解得2,1.
m m >-??
≤? ∴ m 的取值范围是21m -<≤. …………7分
28.解：
（1）30°； …………1分 （2）思路1：如图，连接AE .
E
D
C
B
A
,60. ..
AD DE ADE ADE ABC EAB DAC AB AC AE AD EAB DAC CD BE =∠=?∴∴∠=∠==∴∴=Q Q ，△为等边三角形.
△为等边三角形,
，，△≌△
E
…………5分
思路2：过点D 作DF ∥AB ，交AC 于F .
…………5分
思路3：延长CB 至G ，使BG =CD.
…………5分
（3）k (BE +BD )=AC . …………7分 29.解：
（1）E ,F ; …………2分 （2）①解：依题意A （0，2），M （32，0）.
可求得直线AM 的解析式为23
3
+-=x y . 经验证E 在直线AM 上. 因为OE =OA =2，∠MAO =60°， 所以△OAE 为等边三角形， 所以AE 边上的高长为3.
=60.,=60.
.
===60,.,..
ABC AC BC BAC DF AB DFC CDF AF BD ADE ACB ABC DAF EDB AD DE ADF DEB DF BE CD ∴=∠?∴∠?∴∴=∠∠∠?∴∠=∠=∴∴==Q Q Q Q △为等边三角形，，∥△为等边三角形.又△≌△=60.,.
===60,.,.
,==60..
ABC AC BC BAC CD BG DG AC ADE ACB ABC DAF EDB AD DE ADC DEG CD EG BG C G BGE BE BG CD ∴=∠?=∴=∠∠∠?∴∠=∠=∴∴==∠∠?∴∴==Q Q Q Q △为等边三角形,，又△≌△△为等边三角形.
当点P 在AE 上时，3≤OP ≤2.
所以当点P 在AE 上时，点P 都是等边△ABC 的中心关联点. 所以0≤m ≤3; …………4分 ②﹣
3
3
4≤b ≤2; …………6分 （3）t =2
5425-
4 或 …………8分