概率论与数理统计习题集
概率论与数理统计
习题集
学号_______________
姓名_______________
班级_______________
计算机学院
1 第一章 概率论的基本概念
一、填空题
1，在一副扑克牌（52张）中任取4张，则4张牌花色全不相同的概率为_________。 2，设A,B,C,D 是四个事件，则四个事件至少发生一个可表示为_______________；四个事件恰好发生两个可表示为_______________。
3，已知5把钥匙中有一把能打开房门，因开门者忘记是哪把能打开门，逐次任取一把试开，则前三次能打开门的概率为 _________。
4，10件产品中有3件次品，从中随机抽取2件，至少抽到一件次品的概率是_________。
5，设两个随机事件A ，B 互不相容，且4.0)(=A P ，3.0)(=B P ，则=)(B A P _____。 二、选择题
1，某公司电话号码有五位，若第一位数字必须是5，其余各位可以是0到9中的任意一个，则由完全不同数字组成的电话号码的个数是（ ）。
A ，126
B ，1260
C ，3024
D ，5040
2，若B A ?,C A ?,9.0)(=A P ,8.0)(=?C B P ,则=-)(BC A P （ ）。 A ，0.4 B ，0.6 C ，0.8 D ，0.7
3，在书架上任意放置10本不同的书，其中指定的三本书放在一起的概率为（ ）。 A ，1/15 B ，3/15 C ，4/5 D ，3/5
4，若5.0)(=A P ，4.0)(=B P ，3.0)(=-B A P ，则=?)(B A P （ ）。 A ，0.6 B ，0.7 C ，0.8 D ，0.5
5，设为A ，B 任意两个随机事件，且B A ?，0)(>B P ，则下列选项必然成立的是（ ）。
A ，)|()(
B A P A P < B ，)|()(B A P A P ≤
C ，)|()(B A P A P >
D ，)|()(B A P A P ≥
三、计算题
1，10个零件中有3个次品，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得合格品的概率。
2
2，有三箱同型号的灯泡，已知甲箱次品率为1.0%，乙箱次品率为1.5%，丙箱次品率为2%。现从三箱中任取一灯泡，设取得甲箱的概率为1/2，而取得乙、丙两箱的机会相同，求取得次品的概率。若已知取出的灯泡是次品，则此灯泡是从甲箱中取出的概率是多少？
3，已知7.0)|(=B A P ，3.0)|(=B A P ，6.0)|(=A B P ，求)(A P 。
4，某人投篮，命中率为0.8，现独立投五次，求最多命中两次的概率。
5，证明：若事件A 、B 、C 相互独立，则事件A 分别与B ?C ，BC ，B-C 相互独立。
6，设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只残次品的概率分别0.8，0.1，0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客开箱随机察看4只，若无残次品，则买此箱玻璃杯，否则不买。求：
（1） 顾客买此箱玻璃杯的概率；
（2） 在顾客买的此箱玻璃杯中，恰有一只是残次品的概率。
3
7，设一批产品中，一、二、三等品各占70%，20%，10%，从中任取一件，结果不是三等品，试求取到的是一等品的概率。
8，设一盒子中有5个不同的硬币，每一个经抛掷出现字面的概率不同：01=p ，412=p ，213=p ，4
34=p ，15=p 。试求（1）任取一个硬币抛掷，出现字面的概率；（2）若将同一硬币再抛一次，又出现字面的概率。
9，将两种信息分别编码为0和1传送出去，由于随机干扰，接收有误，0被误收为1的概率为0.02，1被误收为0的概率为0.01，在整个传送过程中，0与1的传送次数比为7:3，试求当接收到的信息是0时，原发信息也是0的概率。
10，甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，试求是甲射中的概率。
4
第二章 随机变量极其分布
一、填空题
1，已知随机变量X~N(3,16)，且P(X 2，若随机变量X 服从区间（1，6）上的均匀分布，则方程012=++Xx x 有实根的概率是_________。 3，设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且2)0(-==e X P ，则=>)1(X P _____。 4，设)02.0,10(~2 N X ，已知Φ(2.5) = 0.9938，则概率P(9.95 __________。 5，设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ? ??≤≤≤≤=其他,010,20,),(y x cxy y x f 则c=_______。 二、选择题 1，设随机变量),2(~2σN X ，则当σ增大时，概率)2|2(|σ<-X P 是（ ）。 A ，单调增大； B ，单调减小； C,保持不变； D ，增减不定； 2，已知离散型随机变量X 的分布函数为F(x)，则P(a ≤X ≤b)=（ ）。 A,F(b)-F(a)； B ，F(b)-F(a)-P(X=a)； C ，F(b)-F(a)-P(X=b)；D ，F(b)-F(a)+P(X=a)； 3，设随机变量X 的分布函数为F(x)，则随机变量Y=2X+1的分布函数G(y)是( )。 A ，??? ??-212y F B ，?? ? ??+12y F C ，1)(2+y F D ，21)(21-y F 4，设随机变量X 的取值范围是[-1，1]，以下函数中可以作为X 的概率密度的是（ ）。 A ， ?????<<-其他, 011,21x B ， ???<<-其他,011,2x C ， ???<<-其他,011,x x D ，???<<-其他,011,2x x 5，设()x x f s i n =是某个连续型随机变量X 的概率密度函数，则X 的取值范围是 （ ）。 5 A ，??????2, 0π； B ，[]π,0； C ，??????-2,2ππ； D ，?? ????23,ππ； 三、计算题 1，设随机变量X 的密度函数为x x e e A x f -+= )(，求： （1）常数A ； （2）}3ln 2 10{< 2，某种电池的寿命服从正态分布),(2 σa N ，其中a = 400，σ = 35，求x ，使寿命在a-x 与a+x 之间的概率不小于0.9。 3，设随机变量X 服从区间（2，5）上的均匀分布，现在对X 进行三次独立观测，试求至少有两次观察值大于3的概率。 4，一个罐子装有m 个黑球和n 个白球，无放回地抽取r 个球(r ≤m+n)，问： （1）抽到白球数的分布律是什么？ （2）有放回呢？ 5，一电话交换台每分钟接到的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求： （1）每分钟恰有8次呼唤的概率；（2）每分钟呼唤次数大于10的概率。 6 6，设随机变量X 的概率函数密度为+∞<<∞-=-x Ce x f x ,)(||，求： （1）常数C ；（2）X 落在区间 (0,1) 内的概率。 7，对某一目标进行射击，直至击中为止。如果每次射击命中率为p ，求： （1）射击次数的分布律；（2）射击次数的分布函数。 8 试求随机变量2)2(-=X Y 的分布律和分布函数。 9，设X 在区间[0, 1]上服从均匀分布，试求Y=-2lnX 的分布函数和概率密度函数。 10，设某长街道有n 个路口，各路口都安置红绿灯，且出现什么颜色灯相互独立，红绿颜色显示时间为1：2，今有一汽车沿长街行驶，若以X 表示该汽车首次遇到红灯之前已通过路口的个数，试求随机变量X 的概率分布。 7 第三章 多维随机变量及其分布 一、填空题 1，设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为?? ?≤≤≤=else y x x y x f ,010,6),(， 则=≤+)1(Y X P ____________。 2，设随机变量X ，Y 相互独立，且都服从参数是1/3的（0—1）分布， 则P(X=Y)=________。 3，设随机变量X 与Y 相互独立，且它们的分布律均为： 则P(X ≥Y)=___________。 4，设X 和Y 为两个随机变量，且7 3)0,0(=≥≥Y X P ， 7 4)0()0(= ≥=≥Y P X P ，则=>)0),(max (Y X P __________。 5，设随机变量X 与Y 独立，X~B(2,p)，Y~B(3,p)，且95)1(=≥X P ， 则==+)1(Y X P _________。 二、选择题 1，设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F(x,y)，则（X ，Y ）关于Y 的边缘分布函数=)(y F Y （ ）。 A ，),(+∞x F ； B ，),(-∞x F ； C ，),(y F -∞； D ，),(y F +∞ 2 ，其分布律为 则F （0，1）=（ ）。 A ，0.2； B ，0.4； C ，0.6； D ，0.8 3，设随机变量X 和Y 的分布函数分别为F 1(x)和F 2(x)，为使)()()(21x bF x aF x F -= 8 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）。 A ，52,53-==b a ； B ，32,32==b a ； C ，23,21=-=b a ； D ，2 3,21-==b a 4，设相互独立的两个随机变量X 与Y 具有同一分布律，且X 的分布律为 则随机变量),max (Y X Z =的分布律为（ ）。 A ，()()2 11,210=== =z P z P ； B ， ()()01,10====z P z P ； C ，()()431,410====z P z P ； D ，()()411,430====z P z P 。 5，设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布为 则以下结果正确的是（ ）。 A ，X=Y ； B ，P(X=Y)=1； C ，P(X=Y)=0； D ，2 1)(==Y X P 三、计算题 1，二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 ? ??>>=+-其他,00,0,),()2(y x Ae y x f y x 求：（1）系数A ；（2）X ，Y 的边缘密度函数；（3）问X ，Y 是否独立。 2，设随机变量X 与Y 相互独立，X ，Y 分别服从参数为)(,μλμλ≠的指数分布，试求Y X Z 23+=的密度函数)(z f Z 。 9 3，设随机变量Z Y X ,,相互独立且服从同一),1(p B 分布，试证明随机变量Y X +与Z 相互独立。 4，设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度为： ?????<<+=else y x xy y x f , 01||,1||,41),( （1）求随机变量X 和Y 的边缘概率密度；（2）X 和Y 是否独立？（3）求)1(<+Y X P 。 5，设随机变量X 和Y 独立同分布，且X 的分布律为： 31)1(==X P ，3 2)2(==X P 求Y X Z +=的分布律。 6，将一枚硬币连掷三次，X 表示三次中出现正面的次数，Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求：（1）（X ，Y ）的联合概率分布；（2）{}X Y P >。 10 7，设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从（0，1）上的均匀分布，求Z= X +Y 的分布函数及概率密度函数。 8，设随机变量X 1与X 2独立同分布，)2,1;3,2,1(,3 1)(====i k k X P i ，记随机变量},max {211X X Y =，},min{212X X Y =。求：（1）)(21Y Y 的联合分布律；（2）判断Y 1与Y 2是否独立；（3）求)3(21≤+Y Y P ，)(21Y Y P =。 9，设随机变量X ，Y 的概率密度分别为 ???>=-e l s e x e x f x X , 00,)(λλ，???<<=else x y f Y ,010,1)( 且X 与Y 相互独立，求Y X Z 2=的概率密度函数)(z f Z 。 10，设随机变量（X ，Y ）服从区域B 上的均匀 ，其中B 为x 轴，y 轴及直线y=2x+1围成的三角形区域，试求：（1）（X ，Y ）的联合概率密度函数及分布函数；（2）关于X ，Y 的边缘密度；（3）)|(y x f 。 11 第四章 随机变量的数字特征 一、填空题 1，设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，且X 服从（-1，2）上的均匀分布，Y 服从参数为4的指数分布，则=)(XY E _________，=-)32(Y X D ____________。 2，2)()(,0)()(,5.022=====Y E X E Y E X E XY ρ，则=+])[(2 Y X E ______。 3，设随机变量)1,(~μN X 且3)(2=X E ，则X 的概率密度=)(x f _____________。 4，设随机变量X 的分布律为????? ? ??-41121616 13121210 1，则EX=____，=+-)1(X E _____，=2EX _______。 5，设随机变量X 服从),(p n B 分布，已知6.1=EX ，28.1=DX ，则参数n=_____， =p ________。 二，选择题 1，如果随机变量X 与Y 满足)()(Y X D Y X D -=+，则下列说法正确的是（ ）。 A ，X 与Y 相互独立； B ，X 与Y 不相关； C ，0)(=Y D ； D ，0)()(=Y D X D 2，设随机变量X ，Y 相互独立，且)2,1(~-N X ，)3,1(~N Y ，则X + 2Y 服从的分布为（ ）。 A ，N(1,4)； B ，N(1,8)； C ，N(1,14)； D ，N(1,22) 3，设随机变量X 的分布函数为 ? ??≥-=-else x e x F x ,00,1)(2 则E(X) =（ ）。 A ，2； B ，1； C ，1/2； D ，3 4，设随机变量),(Y X 的方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则 方差=-)23(Y X D （ ） A ，40； B ， 34； C ， 25.6； D ， 17.6 12 5，设),(~2 σμN X ，b aX Y -=，其中a 、b 为常数，且0≠a ， 则~Y （ ）。 A ，),(222b a b a N +-σμ； B ，),(222b a b a N -+σμ； C ，),(22σμa b a N +； D ，),(22σμa b a N -。 三、计算题 1，游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个正点的5分钟，25分钟和55分钟从底层起行，假设一游客在早上8点的第X 分钟到达底层电梯处，且X 服从[0,60]上的均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。 2，设二维随机变量（X ，Y ）的密度函数为 ?????>>=+-else y x xye y x f y x ,00,0,4),()(22 试求：（1）EX ，DX ；（2）)(XY E ，)(22Y X E +。 3，设随机变量X 和Y 的分布律分别为 且5 1)1(= =XY P ，试求),(Y X 的联合分布和协方差),(Y X Cov 。 13 4，设连续型随机变量X 的概率密度函数为 ?? ???<≤-<≤-+=else x x x x x f ,010,101,1)( 试求方差)43(+X D 。 5，设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，同服从正态分布),0(2σN ，令bY aX Z -=1，bY aX Z +=2，其中a ，b 为不等于0的常数，讨论Z 1与Z 2的相关性和独立性。 6，设离散型随机变量X 服从泊松分布)(λπ，已知1)]2)(1[(=--X X E ，试求参数λ。 7，设连续型随机变量Y 服从指数分布)2(E ，令随机变量 2,1,,0,1=???≤>=k k Y k Y X k 试求：（1）),(21X X 的联合分布律，1X 和2X 是否独立？（2）},max {21X X M =的分布律；（3）)23(22 1X X E -；（4）1X 和2X 的相关系数ρ。 14 8，设随机变量)2,0(~2N X ，)4,0(~2N Y ，且X 与Y 的相关系数31-=XY ρ，令4 2Y X Z +=，试求Z 的分布及X 与Z 的相关系数。 9，设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率分布律为 试求：（1）EXY ；（2）当a ，b 取何值时，X 与Y 不相关；（3）当a ，b 取何值时，X 与Y 既不相关，又独立？ 10，设随机变量X 的概率密度函数为 +∞<<∞-=-x e x f x ,21)(|| （1）试求DX X E EX |,|,； （2）试求X 和||X 的相关系数； （3）试问X 和||X 是否相互独立，为什么？ 第五章大数定律及中心极限定律 计算题 1，某宾馆一次性可接待1980人供旅游住宿，根据经验电话预约的客户入住率为90%，经理室一共接受了2200个电话预约，求实际入住人数在1950—2010之间的概率。 2，一大批产品中优质品占一半，现每次抽一件，看后放回再抽，问在100次抽取中取到优质品的次数超过45次的概率为多少？ 3，设一个复杂系统由几个独立的部件组成，在整个运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，为了使整个系统起作用，至少需要有80%部件工作，试问至少需要多少部件才能使系统的可靠度为0.95。 15 16 4，设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg ，均方差为0.1kg ，问5000只零件的总重量超过2510kg 的概率是多少？ 5，计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且在（-0.5，0.5）上服从均匀分布。（1）将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？ 6，某商店出售某种商品，根据经验，该商品每周销售量服从参数为1=λ的泊松分布。假定各周的销售量是相互独立的。用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率。 17 第六章 样本及抽样分布 一、填空题 1，设总体),(~2σμN X ，其中μ是已知参数，2σ是未知参数，从该总体抽取容量为 4 的样本4321,,,X X X X ，则∑=--=212 4 3)(i i X X X Y μ的分布为__________________。 2，设),,,(21n X X X 是取自总体),(2σμN 的样本，则统计量 ∑=-n i i X 122)(1μσ服从__________分布。 3，设统计量)(~n t T ，则~2T ________________。 4，)4,0(~N X ，),(321X X X 为样本。若要求)2(~])([223221χX X b aX -+， 则=),(b a _______________。 5，总体X 与Y 相互独立，且),(~21σμN X ，),(~22σμN Y 。),,,(21n X X X 与),,,(21n Y Y Y 是两总体中抽取的独立样本。21S 与22S 是两样本方差， 则~))(1(22221σS S n +-_________________。 二、选择题 1，设),,,(21n X X X 为总体)2,1(2 N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确的是（ ）。 A ，)(~/21 n t n X -； B ， )1,(~)1(4112n F X n i i ∑=-； C ，)1,0(~/21 N n X -； D ，)(~)1(41212n X n i i χ∑=- 2，),(~2 σμN X ，),,,(21n X X X 为样本，∑==n i i X n X 11， 18 ∑=-=n i i X X n S 122 )(1，则服从)1(2-n χ的变量为（ ）。 A ，22 )1(σS n -； B ，22σnS ； C ，212) (σμ∑=-n i i X ； D ，2 12 σ∑=n i i X 3，),0(~2σN X ，),,,(4321X X X X 为样本，则统计量 242321X X X X ++服从的分 布为（ ）。 A ，)1,0(N ； B ，)2(2χ； C ，)2(t ； D ，)2,2(F 4，设总体),(~2σμN X ，),,,(21n X X X 为样本。X 与2 S 是样本均值与方差，则2 ??? ? ??-=S X n T μ服从的分布为（ ）。 A ，)1,0(N ； B ，)1(-n t ； C ，)1,1(-n F ； D ，)1(2-n χ 5，设总体),(~2σμN X ，2,σμ是未知参数，()n X X X ,,,21 是来自总体的一个样本，则下列结论正确的是（ ） A ，2 221 1()~(1)1n i i S X X n n χ==---∑； B ，2211()~()n i i X X n n χ=-∑； C ， 222221(1)1()~(1)n i i n S X X n χσσ=-=--∑； D ，22211()~()n i i X X n χσ=-∑ 三、计算题 1，设总体)4,0(~N X ，),,,(21n X X X 为样本，∑==n i i X n X 1 1为样本均值，为使2.0)|(|2 ≤X E ，问n 至少应取多少？ 概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________. 数三《概率论与数理统计》教学大纲 教材：四川大学数学学院邹述超、何腊梅：《概率论与数理统计》，高等教育出版社出，2002年8月。 参考书：袁荫棠：《概率论与数理统计》（修订本），中国人民大学出版社。 四川大学数学学院概率统计教研室：《概率论与数理统计学习指导》 总学时：60学时，其中：讲课50学时，习题课10学时。 学分：3学分。 说明： 1.生源结构：数三的学生是由高考文科生和一部分高考理科生构成。有些专业全是文科生或含极少部分理科生（如：旅游管理，行政管理），有些专业约占1/4～1/3的理科生（国贸，财政学，经济学），有些专业全是理科生（如：国民经济管理，金融学）。 2.高中已讲的内容：高中文、理科都讲了随机事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率，即教材第一章除条件概率以及有关的内容以外，其余内容高中都讲了。高中理科已讲离散型随机变量的概率分布（包括二项分布、几何分布）和离散型随机变量的期望与方差，统计基本概念、频率直方图、正态分布、线性回归。而高中文科则只讲了一点统计基本概念、频率直方图、样本均值和样本方差的简单计算。 3.基本要求：学生的数学基础差异大，不同专业学生对数学课重视程度的差异大，这就给讲授这门课带来一定的难度，但要尽量做到“分层次”培养学生。高中没学过的内容要重点讲解，学过的内容也要适当复习或适当增加深度。讲课时，既要照顾数学基础差的学生，多举基本例子，使他们掌握大纲要求的基本概念和方法；也要照顾数学基础好的学生，使他们会做一些综合题以及简单证明题。因为有些专业还要开设相关的后继课程（如：计量经济学），将用到较多的概率统计知识；还有一部分学生要考研，数三的概率考研题往往比数一的难。 该教材每一章的前几节是讲述基本概念和方法，习题(A)是针对基本方法的训练而编写的，因此，这一部分内容须重点讲解，并要求学生必须掌握；每一章的最后一节是综合例题，习题(B)具有一定的综合性和难度，可以选讲部分例题，数学基础好的学生可选做(B)题。 建议各章学时分配(+号后面的是习题课学时)： 第一章随机事件及其概率 一、基本内容 随机事件的概念及运算。概率的统计定义、古典定义及公理化定义。概率的基本性质、加法公式、条件概率与乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。事件的独立性，独立随机试验、 07试题 一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，总计18分） 1. 设,A B 为随机事件,()()0.7P A P B +=,()0.3P AB =,则() () P AB P AB += 2．10件产品中有4件次品,从中任意取2件,则第2件为次品的概率为 3．设随机变量X 在区间[0,2]上服从均匀分布,则2Y X =的概率密度函数为 4．设随机变量X 的期望()3E X =,方差()5D X =,则期望()2 4E X ??+=? ? 5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则应用切比雪夫不等式估计得 {} 22P X -≥≤ . 6. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体X ~()0,4N 的样本,则当a = 时, ()()22 123422Y a X X a X X =++-~()22χ. 二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题 共6个小题，每小题3分，总计18分） 1．设,A B 为对立事件, ()01P B <<, 则下列概率值为1的是( ) ~ (A) ()|P A B ; (B) ()|P B A ; (C) () |P A B ; (D) ()P AB 2. 设随机变量X ~()1,1N ,概率密度为()f x ,分布函数()F x ,则下列正确的是( ) (A) {0}{0}P X P X ≤=≥; (B) {1}{1}P X P X ≤=≥; (C) ()()f x f x =-, x R ∈; (D) ()()1F x F x =--, x R ∈ 3. 设()f x 是随机变量X 的概率密度,则一定成立的是( ) (A) ()f x 定义域为[0,1]; (B) ()f x 非负; (C) ()f x 的值域为[0,1]; (D) ()f x 连续 4. 设4{1,1}9P X Y ≤≤= ,5 {1}{1}9 P X P Y ≤=≤=,则{min{,}1}P X Y ≤=( ) (A) 23; (B) 2081; (C) 49; (D) 13 5. 设随机变量(),X Y 的方差()4D X =,()1D Y =,相关系数0.6XY ρ=,则方差 ()32D X Y -= ( ) - (A) 40; (B) 34; (C) ; (D) 6. 设12,,,n X X X 是正态总体X ~() 2,N μσ的样本,其中σ已知,μ未知,则下列不是 统计量的是( ) (A) 1max k k n X ≤≤; (B) 1min k k n X ≤≤; (C) X μ-; (D) 1 n k k X σ =∑ 三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分） 1．甲乙丙三个同学同时独立参加考试,不及格的概率分别为: ,,, (1) 求恰有2位同学不及格的概率； (2) 若已知3位同学中有2位不及格,求其中1位是同学乙的概率. 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。 1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。 一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=< 概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：概率论与数理统计 所属专业：物理学 课程性质：必修 学分：3 （二）课程简介、目标与任务； 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握概率与数理统计的基本概念，并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程：高等数学。后续相关课程：统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础，起了重要作用。 （四）教材与主要参考书。 教材： 同济大学数学系编，工程数学–概率统计简明教程（第二版），高等教 育出版社，2012. 主要参考书： 1.浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计（第四版）， 高等教育出版社，2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计（第5版）影印版，高等教育出版社，2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件； 1.2 事件关系和运算。 第二章事件的概率 2.1概率的概念；2.2 古典概型；2.3几何概型；2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率； 3.2 全概率公式； 3.3贝叶斯公式；3.4 事件的独立性； 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数；4.2离散型随机变量；4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数；5.2 二维离散型随机变量；5.3 二维连续随机变量；5.4 边缘分布； 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布；6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数； 7.2 方差和标准差； 7.3协方差和相关系数； *7.4大数律； 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学；8.2统计量；8.3抽样分布。 第九章点估计 《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5 《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号：450006 课程名称：概率论与数理统计 课程类别：公共基础课（必修） 学时学分：理论48学时/3学分 适用专业：计算机、自动化、经管各专业 开课学期：第一学期 先修课程：高等数学 后续课程： 执笔人： 审核人： 制（修）订时间：2015.9 二、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类本科各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 三、课程教学基本要求 本课程以课堂讲授为主，致力于讲清楚基本的概率统计思想，使学生掌握基本的概率、统计计算方法。注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。每节课布置适量的习题以巩固所学知识，使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。 四、课程教学内容及各教学环节要求 （一）概率论的基本概念 1、教学目的 理解随机现象、样本空间、随机事件、概率等概念，掌握事件的关系与运算，掌握古典概犁及其计算、条件概率的计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 概率、条件概率与独立性的概念； ② 加法公式；乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式。 （2）教学难点 ① 古典概型的有关计算；② 全概率公式的应用； ③ 贝叶斯公式的应用。 3、教学方法 采用传统教学方式，以课堂讲授为主，课堂讨论、多媒体演示、课下辅导等为辅的教学方法。加强互动教学，学生对课程的某一学术问题通过检索资料、实际调查来提高自学能力和实践应用能力。 4、教学要求 （1）理解随机试验、样本空间、随机事件等基本概念；熟练掌握事件的关系及运算 （2）理解频率和概率定义；熟练掌握概率的基本性质 （3）理解等可能概型的定义性质；,会计算等可能概型的概率 （4）理解条件概率的定义；熟练掌握加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式（5）理解事件独立性概念,掌握应用独立性进行概率计算 （二）随机变量及其分布 1、教学目的 了解随机变量的概念；理解离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度的概念及性质，会利用性质确定分布律和概率密度；理解分布函数的概念及性质，会利用此概念和性质确定分布函数，会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握正态分布、均匀分布、指数分布、0-1分布、二项分布、泊松分布，会求简单的随机变量函数的分布 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 随机变量及其概率分布的概念； ② 离散型随机变量分布律的求法； 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． 《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的 进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配 1、甲，乙两人向同一目标独立地各射击一次,命中率分别为2 1 ,31现已知目标被击 中，则它是甲命中的概率为（） A 、1/3 B 、2/5 C 、1/2 D 、2/3 2、设C B A ,,是三个相互独立的随机事件，且1)(0< 《概率论与数理统计》课程重点与难点要记 第一章：随机事件及其概率 题型一：古典概型 1．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码，求最小号码为5的概率，及最大号码是5的概率。 2．设袋中有5个白球，3个黑球，从袋中随机摸取4个球，分别求出下列事件的概率： 1）采用有放回的方式摸球，则四球中至少有1个白球的概率； 2）采用无放回的方式摸球，则四球中有1个白球的概率。 3．一盒子中有10件产品，其中4件次品，每次随机地取一只进行检验， 1）求第二次检验到次品的概率； 2）求第二才次检验到次品的概率。 4．在1－2000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除 的概率是多少？（合理的设置事件，通过概率的性质解题也很重要） 课后习题：P16：2，3，4，5， 7，9，10，11，12，13，14 P30：8，9，10，16 题型二：利用条件概率、乘法公式及事件的独立性计算事件的概率 1。3人独立去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1/5、1/4、1/3，问能将此密码译出的概率。 2。设口袋有2n-1只白球，2n 只黑球，一次取出n 只球，如果已知取出的球都是同一种颜色，试计算该颜色是黑色的概率。 3。设袋中装有a 只红球，b 只白球，每次自袋中任取一只球，观察颜色后放回，并同时放入m 只与所取出的那只同色的球，连续在袋中取球四次，试求第一、第二次取到红球且第三次取到白球，第四次取到红球的概率。 课后习题：P23：1，2，3，4，6，10，11 P28：1，2，4，5，6，7，9，10，12， 13 题型三：全概率与贝叶斯公式 1．在一个每题有4个备选答案的测验中，假设有一个选项是正确的，如果一个学生不知道问题的正确答案，他就作随机选择。知道正确答案的学生占参加测验者的90%，试求： （1）学生回答正确的概率； （2）假如某学生回答此问题正确，那么他是随机猜出的概率。 2．一通讯通道，使用信号“0”和“1”传输信息。以A 记事件收到信号“1”，以B 记事件发出信号“1”。已知()0.4,(/)0.95,(/)0.90P B P A B P A B ===。 1）求收到信号“1”的概率？ 2）现已收到信号“1”，求发出信号是“1”的概率？ 课后习题：P23：7，8，9，12 P31：19，26，27，28 第二章：随机变量及其分布 题型一：关于基本概念：概率分布律、分布函数、密度函数 1．一房间有三扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了 第二章随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数 一、随机变量 随机试验的结果是事件，就“事件”这一概念而言，它是定性的。要定量地研究随机现象，事件的数量化是一个基本前提。很自然的想法是，既然试验的所有可能的结果是知道的，我们就可以对每一个结果赋予一个相应的值，在结果(本事件)数值之间建立起一定的对应关系，从而对一个随机试验进行定量的描述。 例2-1 将一枚硬币掷一次，观察出现正面H、反面T的情况。这一试验有两个结果：“出现H”或“出现T”。为了便于研究，我们将每一个结果用一个实数来代表。比如，用数“1”代表“出现H”，用数“0”代表“出现T”。这样，当我们讨论试验结果时，就可以简单地说成结果是1或0。建立这种数量化的关系，实际上就相当于引入一个变量X，对于试验的两个结果，将X的值分别规定为1或0。如果与样本空间 { } {H,T}联系起来，那么，对于样本空间的不同元素，变量X可以取不同的值。因此，X是定义在样本空间上的函数，具体地说是 1,当 H X X( ) 0,当 T 由于试验结果的出现是随机的，因而X(ω)的取值也是随机的，为此我们称 X( )X(ω)为随机变量。 例2-2 在一批灯泡中任意取一只，测试它的寿命。这一试验的结果（寿命）本身就是用数值描述的。我们以X记灯泡的寿命，它的取值由试验的结果所确定，随着试验结果的不同而取不同的值，X是定义在样本空间 {t|t 0}上的函数 X X(t) t,t 因此X也是一个随机变量。一般地有 定义2-1 设 为一个随机试验的样本空间，如果对于 中的每一个元素 ，都有一个实数X( )与之相对应，则称X为随机变量。 一旦定义了随机变量X后，就可以用它来描述事件。通常，对于任意实数集合L,X在 L上的取值，记为{X L}，它表示事件{ |X( ) L}，即 。 {X L} { |X( ) L} 例2-3 将一枚硬币掷三次，观察出现正、反面的情况。设X为“正面出现”的次数，则X是一个随机变量。显然，X的取值为0，1，2，3。X的取值与样本点之间的对应关系如表2-1所示。 表2-1 表2-1 概率论与数理统计习题及答案 习题一 1.见教材习题参考答案. 2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C （1）A发生，B，C都不发生； （2）A与B发生，C （3）A，B，C都发生； （4）A，B，C （5）A，B，C都不发生； （6）A，B，C （7）A，B，C至多有2个发生； （8）A，B，C至少有2个发生. 【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC （4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC (5) ABC=A B C(6) ABC (7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC 3.. 4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）. 【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7, （1）在什么条件下P（AB （2）在什么条件下P（AB） 【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6. （2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3. 6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率. 【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) = 14+14+13-112=34 7. 52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？ 【解】 p =5332 131313131352C C C C /C 8. （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）= 517=（17 ）5 （亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故 P （A 2）=5567 =(67)5 (3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日} P （A 3）=1-P (A 1)=1-( 17 )5 9..见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n 概率论与数理统计课程总结报告——概率论与数理统计在日常生活中的应用 姓名： 学号： 专业：电子信息工程 摘要：数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中扮演着极其重要的角色。概率论与 数理统计作为数学的一个重要组成部分，在生活中的应用也越来越广泛，近些年来，概率论与数理统计知识也越来越多的渗透到经济学，心理学，遗传学等学科中，另外在我们的日常生活之中，赌博，彩票，天气，体育赛事等都跟概率学有着十分密切的关系。本文着眼于概率论与数理统计在我们生活中的应用，通过前半部分对概率论与数理统计的一些基本知识的介绍，包括概率的基本性质，随机变量的数字特征及其分布，贝叶斯公式，中心极限定理等，结合后半部分的事例分析讨论了概率论与数理统计在我们生活中的指导作用，可以说，概率论与数理统计是如今数学中最活跃，应用最广泛的学科之一。 关键词：概率论 数理统计 经济生活 随机变量 贝叶斯公式 基本知识 §1.1 概率的重要性质 1.1.1定义 设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率。 概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P （3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞） 1.1.2 概率的一些重要性质 （i ） 0)(=φP （ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞） （iii ）设A ，B 是两个事件若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P （v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率） （vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=? 概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一 一、填空题（本题满分18分，每题3分） 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若9 5 )1(= ≥X p ，则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本，则统计量∑==n 1 i i X Y 服从 分布。 6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。（按下侧分位数） 二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、 若A 与自身独立，则（ ） (A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<
概率论与数理统计期末复习资料(学生)
数三概率论与数理统计教学大纲
概率论与数理统计试题
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
概率论与数理统计习题集及答案
概率论与数理统计期末总结
(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案
概率论与数理统计课程教学大纲
概率论与数理统计期末考试卷答案
《概率论与数理统计》课程教学大纲
概率论与数理统计题库及答案
(完整版)概率论与数理统计课程标准
概率论与数理统计题型
《概率论与数理统计》课程重点与难点要记
概率论与数理统计课本_百度文库
概率论与数理统计习题及答案
概率论与数理统计结课论文
概率论与数理统计试题与答案
相关文档
- 《概率论与数理统计》期末考试试题及答案
- (完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案
- 概率论与数理统计期末考试试题及答案
- 概率论与数理统计期末复习资料
- 《概率论与数理统计》期末考试试题及答案
- 概率论与数理统计期末考试试题及解答
- 大学概率论与数理统计期末考试
- 概率论与数理统计期末考试卷 暨南大学
- 概率论与数理统计期末考试试卷及答案
- 概率论和数理统计期末考试题库(完整版)
- 概率论与数理统计期末试卷及答案
- 概率论与数理统计期末总结
- 概率论与数理统计期末试卷及答案(最新1)
- 概率论与数理统计期末复习知识点
- 概率论与数理统计期末考试试卷答案
- 概率论与数理统计期末考试试题及解答
- 重庆大学概率论与数理统计期末考试模拟题及答案
- 概率论与数理统计-期末试卷及答案
- 概率论与数理统计期末考试题及答案
- 概率论与数理统计期末复习重要知识点