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高三数学第二轮复习教案

第2讲数列问题的题型与方法

一、考试内容

数列；等差数列及其通项公式，等差数列前n 项和公式；等比数列及其通项公式，等比数列前n 项和公式。

二、考试要求

1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。

2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解答简单的问题。

3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题。

三、复习目标

1．能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式解题； 2．能熟练地求一些特殊数列的通项和前n 项的和；

3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；

4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．

5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．

6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．

四、双基透视

1．可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质. 2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。 (2)通项公式法：

①若 =

+（n-1）d=

+（n-k ）d ，则{}n a 为等差数列； ②若

，则{}n a 为等比数列。

(3)中项公式法：验证

都成立。

3. 在等差数列{}n a 中,有关S n 的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当 >0,d<0时，满足的项数m 使得

取最大值.

(2)当 <0,d>0时，满足的项数m 使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

4.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

五、注意事项

1．证明数列{}n a 是等差或等比数列常用定义，即通过证明11-+-=-n n n n a a a a 或1

1-+=n n n

n a a a a 而得。

2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。

3．对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 4．注意一些特殊数列的求和方法。 5．注意n s 与n a 之间关系的转化。如： n a =

,11--n n s s s

≥=n n ， n a =∑=--+

k k k

a a

a 2

11)(．

6．数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．

7．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．

8．通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力．

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决。

六、范例分析

例1．已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，其前n 项和为S n ．

(2)过点Q 1(1，a 1)，Q 2(2，a 2)作直线12，设l 1与l 2的夹角为θ，

证明：(1)因为等差数列{a n }的公差d ≠0，所以

Kp 1p k 是常数(k=2，3，…，n)．

(2)直线l 2的方程为y-a 1=d(x-1)，直线l 2的斜率为d ．

例2．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+== ，

⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2

n a c n

n ，求证：数列{}n c 是等差数列；

⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。

分析：由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关，{a n }中又有S 1n +=4a n +2，可由S 2n +-S 1n +作切入点探索解题的途径．

解：(1)由S 1n +=4a 2n +，S 2n +=4a 1n ++2，两式相减，得S 2n +-S 1n +=4(a 1n +-a n )，即a 2n +=4a 1n +-4a n ．(根据b n 的构造，如何把该式表示成b 1n +与b n 的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)

a 2n +-2a 1n +=2(a 1n +-2a n )，又

b n =a 1n +-2a n ，所以b 1n +=2b n ①

已知S 2=4a 1+2，a 1=1，a 1+a 2=4a 1+2，解得a 2=5，b 1=a 2-2a 1=3 ② 由①和②得，数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，故b n =3·21n -．

当n ≥2时，S n =4a 1n -+2=2

n -(3n-4)+2；当n=1时，S 1=a 1=1也适合上式．

综上可知，所求的求和公式为S n =21n -(3n-4)+2．

说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n 项和。解决本题的关键在于由条件241+=+n n a S 得出递推公式。

2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．

例3．已知数列{a n }是首项a1＞0，q ＞-1且q ≠0的等比数列，设数列{b n }的通项b n =a 1n +-ka 2n + (n ∈N)，数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ．如果T n ＞kS n 对一切自然数n 都成立，求实数k 的取值范围．

分析：由探寻T n 和S n 的关系入手谋求解题思路。

解：因为{a

n }是首项a

＞0，公比q＞-1且q≠0的等比数列，故

·q，a

·q2．

所以b

n =a

-ka

(q-k·q2)．

n =b

+…+b

=(a

+…+a

)(q-k·q2)=S

(q-kq2)．

依题意，由T

n ＞kS

，得S

(q-kq2)＞kS

，①对一切自然数n都成立．

当q＞0时，由a1＞0，知a

n ＞0，所以S

＞0；

当-1＜q＜0时，因为a1＞0，1-q＞0，1-q n＞0，所以S

综合上面两种情况，当q＞-1且q≠0时，S

＞0总成立．

由①式可得q-kq2＞k②，

例4．(2001年全国理)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以

此发展旅游产业. 根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少1

.本年度

当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收

入每年会比上年增加1

。(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为a n万元，旅游业总收入

为b n万元. 写出a n，b n的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 解析：第1年投入800万元，第2年投入800×（1-）万元……，

第n年投入800×（1－）n－1万元

所以总投入a n＝800＋800（1－）＋……＋800×（1－）n－1＝4000［1－（）n］

同理：第1年收入400万元，第2年收入400×（1＋）万元，……，

第n年收入400×（1＋）n－1万元

b n＝400＋400×（1＋）＋……＋400×（1＋）n－1＝1600×［（）n－1］

(2)∴b n－a n＞0，1600［（）n－1］－4000×［1－（）n］＞0

化简得，5×（）n

＋2×（

）n

－7＞0

设x ＝（）n ，5x 2

－7x ＋2＞0 ∴x ＜

，x ＞1（舍) 即（）n

＜

，n ≥5.

说明：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点在过好三关：（1）事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；（2）文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；（3）数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。

例5．设实数0≠a ，数列{}n a 是首项为a ，公比为a -的等比数列，记

),(||1*

N n a g a b n n n ∈=n n b b b S +++= 21，

求证：当1-≠a 时，对任意自然数n 都有n S =2

)

1(lg a a a +[]n

n a

na n )1()

1(11

++-++

解：n n n n n a a a q a a 1111)1()(----=-==。

||lg )

1(|)

1(|lg )

1(||lg 1

a na a a a a

b n

n n n n n n n n ----=--==∴

|lg )

1(||lg )1()

1(||lg 3||lg 2||lg 1

a na

a a

n a a a a a a S n

n n n n ----+--+++-=∴

||lg ])1()1()

1(32[1

a na a

n a a a n

n n n ----+--+++-=

记n n n n na a n a a a S 11232)1()1()1(32----+--+++-= ①

)1()1()

1()2()

1(2+-----+--+--++-=n n n

n n n na a n a

n a a as ②

①+②得1121232)1()1()1()1(+-----+-+-+++-=+n n n n n n na a a a a a s a ③ 1

(1)

1,(1)(1)

1(1)

n n n n a a

a a S n a

a -+-++-≠-∴+=

+-?--

]

)1()

1(1[)

1(||lg )

1(]

)

1)(1(1[)

1()

1()1()

1()1()1()

1(1

n n n

n n n n n n n a na n a a a S a a na n a a a

na n a S a a

n a a

a S ++-++=

∴+-+++=

+-?+++=∴+??-?++-+=

∴+++-+-+-

说明：本例主要复习利用错位相减解决差比数列的求和问题。关键是先研究通项，确定

}{,n n n n a b a C ?=是等差数列，}{n b 等比数列。

解法一：设等差数列{a n }的首项a 1=a ，公差为d ，则其通项为

根据等比数列的定义知S 5≠0，由此可得

一步加工，有下面的解法) 解法二：

依题意，得

例7．设二次方程n a x 2

-n a +1x+1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．

(1)试用n a 表示a 1n ；

例8．在直角坐标平面上有一点列 ),(,),(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，对一切正整数n ，点n P 位于函数4

133+=x y 的图象上，且n P 的横坐标构成以2

为首项，1-为公差的等差

数列{}n x 。

⑴求点n P 的坐标；

⑵设抛物线列 ,,,,,321n c c c c 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线n

c 的顶点为n P ，且过点)1,0(2

+n D n ，记与抛物线n c 相切于n D 的直线的斜率为n k ，求：

n k k k k k k 13

1111-+

。

⑶设{}{}1,4|,1,,2|≥==≥∈==n y y y T n N n x x x S n n ，等差数列{}n a 的任一项

T S a n ?∈，其中1a 是T S ?中的最大数，12526510-<<-a ，求{}n a 的通项公式。

解：（1）2

3)1()1(2

--=-?-+-

=n n x n

1353533,(,3)4

4n n n y x n P n n ∴=?+

=--

∴--

（2）n c 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为n P .∴设n c 的方程为：

12)2

32(2

=n n x a y

把)1,0(2+n D n 代入上式，得1=a ，n c ∴的方程为：1)32(2

2++++=n x n x y 。

32|0'

+===n y k x n ，)3211

(

)32)(12(1

11+-

++=∴

-n n n n k k n

n n

n k k k k k k 13

1111-+

∴

)]3

211

(

171(

)7151[(

21+-

+++-+-=

n n

101)32151(21+-

=+-n n （3）}1,),32(|{≥∈+-==n N n n x x S ，

}1,),512(|{≥∈+-==n N n n y y T }1,,3)16(2|{≥∈-+-==n N n n y y

,S T T ∴= T 中最大数171-=a .

设}{n a 公差为d ，则)125,265(91710--∈+-=d a ，由此得

(247,24),

(12,129

248*

N n n a d N m m d T a d n n ∈-=∴-=∴∈-=∴∈-<<- 又

说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出n k ，

解决（3）的关键在于算出S T 及求数列{}n a 的公差。

高三数学二轮复习教学案一体化：函数的性质及应用(2)

专题1 函数的性质及应用（2）高考趋势 1.函数历来是高中数学最重要的内容，不仅适合单独命题，而且可以综合运用于其它内容．函数是中学数学的最重要内容，它既是工具，又是方法和思想．在江苏高考文理共用卷中，函数小题（不含三角函数）占较大的比重，其中江苏08年为3题，07年为4题． 2.函数的图像往往融合于其他问题中，而此时函数的图像有助于找出解决问题的方向、粗略估计函数的一些性质。另外，函数的图像本事也是解决问题的一种方法。这些高考时常出现。图像的变换则是认识函数之间关系的一个载体，这在高考中也常出现。通过不同途径了解、洞察所涉及到的函数的性质。在定义域、值域、解析式、图象、单调性、奇偶性、周期性等方面进行考察。在上述性质中，知道信息越多，则解决问题越容易。考点展示 1. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S 1、S 2 分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是 B 2. 函数x y 1=的图像向左平移2个单位所得到的函数图像的解析式是 21 +=x y 3. 函数 )(x f 的图像与函数2)1(2---=x y 的图像关于 x 轴对称，则函数 )(x f 的解析式是 2)1(2+-x 4. 方程22 3x x -+=的实数解的个数为 2 5. 函数)1(x f y +=的图像与)1(x f y -=的图像关于 x=0 对称函数图象对称问题是函数部分的一个重要问题，大致有两类：一类是同一个函数图象自身的对称性；一类是两个不同函数之间的对称性。定理1 若函数y=f(x) 对定义域中任意x 均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线2 a b x += 对称。定理2 函数()y f a x ω=+与函数()y f a x ω=-的图象关于直线2b a x ω -=对称特殊地，函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线2 b a x -= 对称。 6. 函数2 1()2 f x x x =-+定义域为[]n m ,，值域为[]n m 2,2，m n <，则m n += -2 样题剖析例1. 已知R 上的奇函数)(x f 在),0[+∞上是单调递增函数，且2)3(=f ,若函数)(x f 的图像向右平移1个单位后得到函数)(x g 的图像，试解不等式： 02 )(2 )(>+-x g x g ),4()2,(+∞--∞ 变式：若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是（-2，2）．例2. 已知函数x b b ax x f 22242)(-+-=，R b a a x x g ∈---=,,)(1)(2 其中（1）当b=0时，若)(x f 在),2[+∞上单调递增，求a 的取值范围；1≥a （2）求满足下列条件的所有实数对),(b a ：当a 为整数时，存在0x ，使得)(0x f 是)(x f 的最大值， )(0x g 是)(x g 的最小值。（2224b b a -+=2)1(5--=b ，502≤